Как вычислить среднюю скорость. Средняя скорость перемещения. Средняя путевая скорость
Понятие скорости − одно из главных понятий в кинематике.
Многим наверняка известно, что скорость − это физическая величина, показывающая насколько быстро (или насколько медленно) перемещается в пространстве движущееся тело. Разумеется, речь идет о перемещении в выбранной системе отсчета. Известно ли, однако, Вам, что используются не одно, а три понятия скорости? Есть скорость в данный момент времени, называемая мгновенной скоростью, и есть два понятия средней скорости за данный промежуток времени − средняя путевая скорость (по английски speed) и средняя скорость по перемещению (по-английски velocity).
Будем рассматривать материальную точку в системе координат x
, y
, z
(рис. а).
Положение A
точки в момент времени t
характеризуем координатами x(t)
, y(t)
, z(t)
, представляющими три составляющих радиуса-вектора (t
). Точка движется, ее положение в выбранной системе координат с течением времени изменяется − конец радиуса-вектора (t
) описывает кривую, называемую траекторией движущейся точки.
Траектория, описанная за промежуток времени от t
до t + Δt
, показана на рисунке б.
Через B
обозначено положение точки в момент t + Δt
(его фиксирует радиус-вектор (t + Δt
)). Пусть Δs
− длина рассматриваемой криволинейной траектории, т. е. путь, пройденный точкой за время от t
до t + Δt
.
Среднюю путевую скорость точки за данный промежуток времени определяют соотношением
Очевидно, что v п
− скалярная величина; она характеризуется только числовым значением.
Показанный на рисунке б вектор
называют перемещением материальной точки за время от t
до t + Δt
.
Среднюю скорость по перемещению за данный промежуток времени определяют соотношением
Очевидно, что v ср
− векторная величина. Направление вектора v ср
совпадает с направлением перемещения Δr
.
Заметим, что в случае прямолинейного движения средняя путевая скорость движущейся точки совпадает с модулем средней скорости по перемещению.
Движение точки по прямолинейной либо криволинейной траектории называют равномерным, если в соотношении (1) величина vп не зависит от Δt
. Если, например, уменьшить Δt
в 2 раза, то и длина пройденного точкой пути Δs
уменьшится в 2 раза. При равномерном движении точка проходит за равные промежутки времени пути равной длины.
Вопрос
:
Можно ли считать, что при равномерном движении точки от Δt
не зависит также вектор ср средней скорости по перемещению?
Ответ
:
Так можно считать только в случае прямолинейного движения (при этом, напомним, модуль средней скорости по перемещению равен средней путевой скорости). Если же равномерное движение совершается по криволинейной траектории, то с изменением промежутка усреднения Δt
будут изменяться как модуль, так и направление вектора средней скорости по перемещению. При равномерном криволинейном движении равным промежуткам времени Δt
будут соответствовать разные векторы перемещения Δr
(а значит, и разные векторы v ср
).
Правда, в случае равномерного движения по окружности равным промежуткам времени будут соответствовать равные значения модуля перемещения |r|
(а значит, и равные |v ср |
). Но направления перемещений (а значит, и векторов v ср
) и в данном случае будут различными для одинаковых Δt
. Это видно на рисунке,
Где равномерно движущаяся по окружности точка описывает за равные промежутки времени равные дуги AB
, BC
, CD
. Хотя векторы перемещений 1
, 2
, 3
имеют одинаковые модули, однако направления у них различны, так что о равенстве этих векторов говорить не приходится.
Примечание
Из двух средних скоростей в задачах обычно рассматривают среднюю путевую скорость, а среднюю скорость по перемещению используют довольно редко. Однако она заслуживает внимания, так как позволяет ввести понятие мгновенной скорости.
1.
Материальная точка прошла
половину окружности. Найти отношение
средней путевой скорости
Решение . Из определения средних значений путевой и векторной скоростей с учетом того, что путь, пройденный материальной точкой за время движенияt , равенR , а величина перемещения 2R , гдеR - радиус окружности, получим:
2.
Автомобиль проехал первую треть
пути со скоростью v 1 = 30 км/ч,
а оставшуюся часть пути - со скоростью
v 2 = 40 км/ч. Найти среднюю
скорость
Решение
. По определению
Поэтому искомая средняя скорость равна
3.
Студент проехал половину пути
на велосипеде со скоростьюv 1 = 12 км/ч.
Далее половину оставшегося времени он
ехал со скоростьюv 2 = 10 км/ч,
а оставшуюся часть пути шел пешком со
скоростьюv 3 = 6 км/ч.
Определить среднюю скорость движения
студента
Решение
. По определению
гдеS –
путь, аt
- время движения.
Ясно, чтоt
=t
1 +t
2 +t
3 .
Здесь
-
время движения на первой половине пути,t
2 – время движения на втором
участке пути иt
3 - на третьем.
По условию задачиt
2 =t
3 .
Кроме того,S
/2 =v 2 t
2 + v 3 t
3 = (v 2 +v 3)t
2 .
Отсюда следует:
Подставив t 1 и t 2 +t 3 = 2t 2 в выражение для средней скорости, получим:
4.
Расстояние между двумя станциями
поезд прошел за времяt
1 = 30 мин.
Разгон и торможение длилисьt
2 = 8 мин,
а остальное время
поезд двигался
равномерно со скоростью v = 90 км/ч.
Определить среднюю скорость поезда
Р ешение . Построим график зависимости скорости поезда от времени (см. рис.). Этот график описывает трапецию с длинами оснований, равнымиt 1 иt 1 –t 2 и высотой, равной v. Площадь этой трапеции численно равна пути, пройденному поездом от начала движения до остановки. Поэтому средняя скорость равна:
Задачи и упражнения
1.1.
Мяч упал с высотыh
1 = 4 м,
отскочил от пола и был пойман на
высотеh
2 = 1 м. Чему равен путьS
и величина перемещения
?
1.2. Материальная точка переместилась на плоскости из точки с координатамиx 1 = 1 см иy 1 = 4cм в точку с координатамиx 2 = 5 см иy 2 = 1 см. Построить вектор перемещения и с помощью линейки определить модуль вектора перемещения и проекции вектора перемещения на осиx иy . Найти эти же величины аналитически и сравнить результаты.
1.3.
Первую половину пути поезд
шел со скоростью вn
= 1,5 раза
большей, чем вторую половину пути.
Средняя скорость поезда на всем
пути
1.4. Первую половину времени своего движения велосипедист проехал со скоростью v 1 = 18 км/ч, а вторую половину времени - со скоростью v 2 = 12 км/ч. Определить среднюю скорость движения велосипедиста.
1.5.
Движение двух автомобилей
описывается уравнениями
и
,
где все величины измеряются в системе
СИ. Запишите закон изменения расстояния
между автомобилями от времени и найдите
через время
с.
после начала движения.
Средней скоростью называется скорость, которая получается, если весь путь поделить на время, за которое объект преодолел этот путь. Формула средней скорости:
- V ср = S/t.
- S = S1 + S2 + S3 = v1*t1 + v2*t2 + v3*t3
- V ср = S/t = (v1*t1 + v2*t2 + v3*t3) / (t1 + t2 + t3)
Чтобы не путаться с часами и минутами, переводим все минуты в часы: 15 мин. = 0,4 час, 36 мин. = 0,6 час. Подставляем числовые значения в последнюю формулу:
- V ср = (20*0,4 + 0,5*6 + 0,6*15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = 20 / 1,5 = 13,3 км/час
Ответ: средняя скорость V ср = 13,3 км/час.
Как найти среднюю скорость движения с ускорением
Если скорость в начале движения отличается от скорости в его конце, такое движение называют ускоренным. Причём далеко не всегда тело действительно двигается всё быстрее и быстрее. Если движение замедляется, всё равно говорят, что оно движется с ускорением, только ускорение будет уже отрицательным.
Иными словами, если автомобиль, трогаясь с места, через секунду разогнался до скорости 10 м/сек, то его ускорение а равно 10 м в секунду за секунду а = 10 м/сек². Если в следующую секунду автомобиль остановился, то его ускорение тоже равно 10 м/сек², только уже со знаком минус: а = -10 м/сек².
Скорость движения с ускорением в конце временного отрезка вычисляется по формуле:
- V = V0 ± at,
где V0 - начальная скорость движения, a - ускорение, t - время, за которое наблюдалось данное ускорение. Плюс или минус в формуле ставится в зависимости от того, увеличивалась скорость или уменьшалась.
Средняя скорость за отрезок времени t вычисляется как среднее арифметическое начальной и конечной скорости:
- V ср = (V0 + V) / 2.
Находим среднюю скорость: задача
Шарик толкнули по ровной плоскости с начальной скоростью V0 = 5 м/сек. Через 5 сек. шарик остановился. Чему равны ускорение и средняя скорость?
Конечная скорость шарика V = 0 м/сек. Ускорение из первой формулы равно
- а = (V - V0)/ t = (0 - 5)/ 5 = - 1 м/сек².
Средняя скорость V ср = (V0 + V) / 2= 5 /2 = 2,5 м/сек.
Помните, что скорость задается как численным значением, так и направлением. Скорость описывает быстроту изменения положения тела, а также направление, в котором движется это тело. Например, 100 м/с (на юг).
Найдите общее перемещение, то есть расстояние и направление между начальной и конечной точками пути. В качестве примера рассмотрим тело, движущееся с постоянной скоростью в одном направлении.
- Например, ракета была запущена в северном направлении и двигалась в течение 5 минут с постоянной скоростью 120 метров в минуту. Чтобы вычислить общее перемещение, воспользуйтесь формулой s = vt: (5 минут) (120 м/мин) = 600 м (на север) .
- Если в задаче дано постоянное ускорение, воспользуйтесь формулой s = vt + ½at 2 (в следующем разделе описывается упрощенный способ работы с постоянным ускорением).
Найдите общее время в пути. В нашем примере ракета перемещается в течение 5 минут. Среднюю скорость можно выразить в любых единицах измерения, но в международной системе единиц скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Конвертируйте минуты в секунды: (5 минут) х (60 секунд/минута) = 300 секунд .
- Если даже в научной задаче время дано в часах или других единицах измерения, лучше сначала вычислить скорость, а затем преобразовать ее в м/с.
Вычислите среднюю скорость. Если вы знаете значение перемещения и общее время в пути, вычислить среднюю скорость можно по формуле v ср = Δs/Δt. В нашем примере средняя скорость ракеты равна 600 м (на север) / (300 секунд) = 2 м/с (на север) .
- Не забудьте указать направление движения (например, «вперед» или «на север»).
- В формуле v ср = Δs/Δt символ «дельта» (Δ) означает «изменение величины», то есть Δs/Δt означает «изменение положения к изменению времени».
- Средняя скорость может быть записана как v ср или как v с горизонтальной чертой сверху.
Решение более сложных задач, например, если тело вращается или ускорение не является постоянным. В этих случаях средняя скорость по-прежнему вычисляется как отношение общего перемещения к общему времени. Не имеет значения, что происходит с телом между начальной и конечной точками пути. Вот несколько примеров задач с одинаковым общим перемещением и общим временем (а, следовательно, и одинаковой средней скоростью).
- Анна идет на запад со скоростью 1 м/с в течение 2 секунд, затем мгновенно ускоряется до 3 м/с и продолжает идти на запад в течение 2 секунд. Ее общее перемещение составляет (1 м/с)(2 с) + (3 м/с)(2 с) = 8 м (на запад). Общее время в пути: 2 с + 2 с = 4 с. Ее средняя скорость: 8 м / 4 с = 2 м/с (на запад) .
- Борис идет на запад со скоростью 5 м/с в течение 3 секунд, затем разворачивается и идет на восток со скоростью 7 м/с в течение 1 секунды. Мы можем рассматривать движение на восток как «отрицательное движение» на запад, поэтому общее перемещение равно (5 м/с)(3 с) + (-7 м/с)(1 с) = 8 метров. Общее время равно 4 с. Средняя скорость равна 8 м (на запад) / 4 с = 2 м/с (на запад) .
- Юля проходит 1 метр на север, затем проходит 8 метров на запад, а затем проходит 1 метр на юг. Общее время в пути составляет 4 секунды. Нарисуйте схему этого движения на бумаге, и вы увидите, что оно заканчивается в 8 метрах к западу от начальной точки, то есть общее перемещение равно 8 м. Общее время в пути составило 4 секунды. Средняя скорость равна 8 м (на запад) / 4 с = 2 м/с (на запад) .
В данной статье рассказано о том, как найти среднюю скорость. Дано определение этого понятия, а также рассмотрено два важных частных случая нахождения средней скорости. Представлен подробный разбор задач на нахождение средней скорости тела от репетитора по математике и физике.
Определение средней скорости
Средней скоростью движения тела называется отношение пути , пройденного телом, ко времени , в течение которого двигалось тело:
Научимся ее находить на примере следующей задачи:
Обратите внимание, что в данном случае это значение не совпало со средним арифметическим скоростей и , которое равно:
м/с.
Частные случаи нахождения средней скорости
1. Два одинаковых участка пути. Пусть первую половину пути тело двигалось со скоростью , а вторую половину пути — со скоростью . Требуется найти среднюю скорость движения тела.
2. Два одинаковых интервала движения. Пусть тело двигалось со скоростью в течение некоторого промежутка времени, а затем стало двигаться со скоростью в течение такого же промежутка времени. Требуется найти среднюю скорость движения тела.
Здесь мы получили единственный случай, когда средняя скорость движения совпала со средним арифметическим скоростей и на двух участках пути.
Решим напоследок задачу из Всероссийской олимпиады школьников по физике, прошедшей в прошлом году, которая связана с темой нашего сегодняшнего занятия.
Тело двигалось с, и средняя скорость движения составила 4 м/с. Известно, что за последние с движения средняя скорость этого же тела составила 10 м/с. Определите среднюю скорость тела за первые с движения. |
Пройденный телом путь составляет: м. Можно найти также путь, который прошло тело за последние с своего движения: м. Тогда за первые с своего движения тело преодолело путь в м. Следовательно, средняя скорость на этом участке пути составила:
м/с.
Задачи на нахождение средней скорости движения очень любят предлагать на ЕГЭ и ОГЭ по физике, вступительных экзаменах, а также олимпиадах. Научиться решать эти задачи должен каждый школьник, если он планирует продолжить свое обучение в вузе. Помочь справиться с этой задачей может знающий товарищ, школьный учитель или репетитор по математике и физике. Удачи вам в изучении физики!
Сергей Валерьевич