Какие математические действия используются в русском языке. «Язык математики». Доклад. Математика и современный мир
Математика и современный мир
3. Что такое математический язык?
Всякое точное объяснение того или иного явления - математично и, наоборот, все, что точно - математика. Любое же точное описание - это описание на соответствующем математическом языке. Классический трактат Ньютона "Математические начала натуральной философии", произведший переворот во всей математике, по существу является учебником грамматики разгаданного им "языка Природы", дифференциального исчисления, вместе с рассказом о том, что ему удалось у нее в результате услышать. Естественно, что он смог разобрать только смысл ее самых простых фраз. Последующие поколения математиков и физиков, постоянно совершенствуясь в этом языке, постигали все более и более сложные выражения, потом несложные четверостишия, поэмы... Соответственно, печатались расширенные и дополненные версии Ньютоновской грамматики.
История математики знает две великие революции, каждая из которых полностью меняла её облик и внутреннее содержание. Их движущей силой была "невозможность жить по старому", т.е. невозможность адекватно интерпретировать актуальные проблемы точного естествознания на языке существующей математики. Первая из них связана с именем Декарта, вторая с именами Ньютона и Лейбница, хотя, конечно же, они отнюдь не сводятся только к этим великим именам. По словам Гиббса, математика - это язык, и сутью этих революций была глобальная перестройка всей математики на новой языковой основе. В итоге первой революции, языком всей математики стал язык коммутативной алгебры, вторая же заставила её говорить языком дифференциального исчисления.
Математики отличаются от "нематематиков" тем что, обсуждая научные проблемы или решая практические задачи, говорят между собой и пишут работы на особом "математическом языке" - языке специальных символов, формул и т.п.
Дело в том, что на математическом языке многие утверждения выглядят яснее и прозрачнее, чем на обычном. Например, на обычном языке говорят: "От перемены мест слагаемых сумма не меняется" - так звучит переместительный закон сложения чисел. Математик пишет (или говорит): a + b = b + a
А выражение: "Путь S, пройденный телом со скоростью V за период времени от начала движения t н до конечного момента t к " запишут так: S = V · (t к - t н)
Или такую фразу из физики: "Сила равна произведению массы на ускорение" запишут: F = m · a
Он переводит высказанное утверждение на математический язык, в котором используются разные числа, буквы (переменные), знаки арифметических действий и иные символы. Все эти записи экономны, наглядны и удобны для применения.
Возьмем другой пример. На обычном языке говорят: "Чтобы сложить две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители и записать в числителе дроби, а знаменатель оставить тот же без изменения и записать в знаменатель". Математик осуществляет "синхронный перевод" на свой язык:
А вот пример обратного перевода. На математическом языке записан распределительный закон: a (b + c) = ab + ac
Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: "Чтобы умножить число a на сумму чисел b и c, надо число a умножить поочередно на каждое слагаемое: b, потом c, и полученные произведения сложить".
Во всяком языке есть своя письменная и устная речь. Выше мы говорили о письменной речи в математике. А устная речь - это употребление специальных терминов или словосочетаний, например: "слагаемое", "произведение", "уравнение", "неравенство", "функция", "график функции", "координата точки", "система координат" и т.п., а также различные математические утверждения, выраженные словами: "Число а делится на 2 тогда и только тогда, когда оканчивается на 0 или четную цифру".
Говорят, что культурный человек, кроме родного языка должен владеть ещё хотя бы одним иностранным языком. Это верно, но требует дополнения: культурный человек должен ещё уметь говорить, писать и думать и на математическом языке, поскольку это тот язык, на котором, как мы не раз уже убеждались, "говорит" окружающая действительность. Чтобы овладеть новым языком, необходимо изучить, как говорят, его алфавит, синтаксис и семантику, т.е. правила написания и смысл, заложенный в написанном. И, конечно же, в результате такого изучения представления о математическом языке и предмете будут постоянно расширяться.
Алгоритм Дейкстры
ТЕОРИЯ ГРАФОВ - это область дискретной математики, особенностью которой является геометрический подход к изучению объектов. Основной объект теории графов-граф и его обобщения...
Выдающиеся люди статистики. П.Л. Чебышев
Наибольшее число работ Чебышева посвящено математическому анализу. В диссертации 1847 на право чтения лекций Чебышев исследует интегрируемость некоторых иррациональных выражений в алгебраических функциях и логарифмах...
История развития математики
Основатели современной науки - Коперник, Кеплер, Галилей и Ньютон - подходили к исследованию природы как математики. Исследуя движение, математики выработали такое фундаментальное понятие, как функция, или отношение между переменными...
Логика на словах
Предикатная сигнатура - это множество символов двух типов - объектные константы и предикатные константы - с неотрицательным целым числом, называемым арностью, назначенным каждой предикатной константе...
Минимакс и многокритериальная оптимизация
Прежде чем мы начнем рассматривать саму задачу оптимизации, договоримся, каким математическим аппаратом будем пользоваться. Для решения задач с одним критерием достаточно уметь работать с функцией одной переменной...
Особенности языка математики
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки любой научной информации, независимо от ее содержания...
Особенности языка математики
Для описания времени, понимаемого как время жизненного мира, время человеческого бытия, наиболее удобен язык феноменологии. Но феноменологическое описание времени и вечности вполне может использовать и математический язык...
Форма высказывания естественного языка Соответствующая формула языка алгебры логики Не А; неверно, что А; А не имеет места А и В; как А, так и В; не только А, но и В; А вместе с В; А, несмотря на В; А в то время как В А*В А, но не В; не В...
Применение аппарата алгебры логики к решению содержательных задач
Переведем на язык алгебры логики следующие высказывания: 1) Если светит солнце, то для того, чтобы не было дождя, достаточно, чтобы дул ветер. Обозначим: Солнечная погода - С Идет дождь - Д Дует ветер - В Обратившись в вышеприведенную таблицу...
Проценты в жизни жителей городского поселения "город Завитинск"
Слово «процент» имеет латинское происхождение: «pro centum» - «на сто». Часто вместо слова «процент» используют словосочетание «сотая часть числа». Итак, процент - это сотая часть числа...
Симметрия - символ красоты, гармонии и совершенства
"right">О, симметрия! Гимн тебе пою! "right">Тебя повсюду в мире узнаю. "right">Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке, "right">Ты в елочке, что у лесной дорожки. "right">С тобою в дружбе и тюльпан, и роза...
Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины, а как величины постоянные. Достаточно раскрыть любой учебник физики...
Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора
Гипердействительные числа можно рассматривать как классы последовательностей обыкновенных действительных чисел. Рассмотрим способ построения классов...
Доклад на конференции в рамках «Дней науки»
(организатор — Фонд «Династия», СПб, 21−23 мая 2009 г.)
Вообразите Париж 20-х годов — столицу модернизма и мировой моды. Коко Шанель, вспоминая это время, рассказывает Полю Морану о Пикассо: «Я восхищалась его живописью, хотя не понимала ее. Но я находила ее убедительной, а это то, что я люблю. Для меня это как таблица логарифмов».
Вдумайтесь в эту удивительную параллель. Математика абстрактна, живопись Пикассо абстрактна; казалось бы, вот самое очевидное сходство между двумя непонятностями: «Девушка с обручем» (1919) и «Таблица логарифмов». Но Шанель выбирает другое слово: обе «убедительны», а убедительность — это то, что ее привлекает.
В рамках этого доклада, посвященного разным языковым аспектам содержания и формы математической деятельности, я постараюсь уделить специальное внимание этому качеству — «убедительности».
На личностном уровне убедительность доказательства, идеи, компьютерной симуляции зависит от предрасположенности математика к геометрическому или логическому мышлению, философских склонностей (возможно, неосознаваемых), наконец, ценностной установки.
В социальном плане в игру вступают крупномасштабные исторические обстоятельства, которые могут способствовать как поразительному расцвету математики, так и ее практическому исчезновению.
По понятным причинам историки математики обращаются к тем местам и временам, где математика создавалась или хотя бы принималась по наследству. Но очень интересно было бы пристально вглядеться в исторические обстоятельства ее неприятия, вплоть до (временного) ухода со сцены.
Развитие античной, главным образом греческой, математики в Европе прервалось по крайней мере на первую тысячу лет христианства. Ho еще до христианства практичные и воинственные римляне, создав высокую цивилизацию, интегрировали в нее греческую гуманитарную культуру, но не греческую науку. Даже очевидные военные приложения не смогли соблазнить их. Согласно Плутарху, при осаде Сиракуз римский генерал Марцелл тщетно призывал своих солдат не отступать перед «этим геометрическим Бриареем» (Архимедом), который со своими военными игрушками «превосходит сторуких гигантов мифологии!»
Впрочем, сам Архимед не считал свои инженерные свершения «приложением» своей математики: для его могучего ума они были отвлечением от математики, которого он предпочел бы избежать.
Скудное математическое наследие античного Рима включает дошедшую до наших дней систему обозначения целых чисел:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,…, L,…, C,…, D,…, M.
Поучительнее всего рассматривать ее как уникальную археологическую коллекцию следов архаического состояния математической мысли.
Единица I символизирует зарубку на посохе (не латинскую букву I — это позднее переосмысление). Усилие, уходящее на каждую зарубку, и занимаемое ею место на, скажем, пастушеской палке, заставляет переходить от тупой, но предельно систематической и потенциально бесконечно продолжимой системы обозначения чисел
I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII,. . .
к гораздо более непоследовательной (и не позволяющей уйти в бесконечность), но поначалу экономной и уютной системе скорее «имен», чем символов (так же в начальном отрезке прослеживаемой до зарубок):
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.
Короткие последовательности этих примарных символов интерпретируются с помощью сложения, иногда вычитания: 2009 = MMIX = M + M — I + X. Конечно, нуль не имеет имени. Ужас перед «отсутствием», «пустотой», глубоко укоренен в человеческой психологии. Еще Экклезиаст сказал: «Чего нет, того нельзя считать».
Невозможность обозначить нуль критически мешает развитию системы и превращению ее в позиционную.
Распространение позиционной системы записи чисел в Европе после выхода книги Леонардо Фибоначчи Liber Abaci (1202) было в сущности началом экспансии единственного действительно глобального мирового языка. Семантикой этого языка был счет чего угодно: зарубок, скота, кораблей, флоринов… Его ядерный синтаксис определялся универсальным правилом перевода абстрактного количества в позиционную (десятичную) запись и обратно. Наконец, его прагматика имела две стороны. Когда референтом текста, состоящего из чисел, был фрагмент внешнего мира, скажем торговля, важным связующим звеном между текстом и внешним миром становились синтаксические правила более высокого уровня. Знаменитый пример таких правил — система двойной бухгалтерии, кодифицированная Лукой Пачиоли в 1494 г.
Когда референтом числового текста служили данные научных, например астрономических, наблюдений, его прагматика могла быть связана с предсказанием, скажем, затмения или построением количественной модели Солнечной системы. В этом случае текст должен был подвергнуться алгоритмической переработке. Иными словами, он служит входом для некоторой программы, тогда как ее выходом становится новый числовой текст, опять имеющий референтом наблюдаемый мир.
Неоценимым достоинством позиционной системы была ее идеальная приспособленность к такой алгоритмической переработке, в частности простые и универсальные правила сложения и умножения, которым можно было научить школьников и клерков. Более сложные программы — инструкции клеркам — описывались на естественном языке как итерация элементарных алгоритмов с добавлением условных переходов («если дебит клиента NN превзойдет его кредит на ZZ флоринов, прекратить поставки»).
Язык программ очень долго существовал лишь как неформализованный поддиалект естественного языка с очень ограниченной (хотя критически важной) сферой применимости. Еще Алан Тьюринг, уже в XX в., мотивируя свою универсальную формализацию вычислимости, когда говорил «компьютер», подразумевал человека, механически следующего конечному списку лежащих перед ним инструкций.
Парадоксальный пример такой деятельности, ставший культурно-историческим памятником общецивилизационного масштаба, — 90 страниц таблиц натуральных логарифмов Джона Непера, опубликованные в его работе Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 1614 (интуиция Коко Шанель и здесь не обманула ее). Логарифмы были вычислены знак за знаком, вручную. Конечно, Непер соединял в одном лице роль творца новой математики и клерка-компьютера, следующего собственным инструкциям.
Тем поразительнее философское прозрение Лейбница, его знаменитое Calculemus!, постулирующее, что не только манипуляции с числами, но любое строгое и логически последовательное рассуждение, выводящее умозаключение из принятых посылок, должно быть сводимо к вычислению.
Нанесение на карту точных границ лейбницевского идеального мира, в котором рассуждение эквивалентно вычислению, истинность может быть формализована, но не всегда может быть формально удостоверена, где с предельной ясностью можно увидеть, как даже самая малая канторовская бесконечность (натуральных чисел) ускользает из объятий конечно порожденного языка, и было высшим достижением великих логиков ХХ в. (Гильберт, Черч, Гедель, Тар-ский, Тьюринг, Марков, Колмогоров…).
Центральное понятие этой программы, формальный язык, унаследовало основные черты как естественных языков (фиксируемых посредством алфавитной письменности), так и позиционной системы записи чисел и арифметики. В частности, любой классический формальный язык одномерен/линеен, состоит из дискретных символов, эксплицитно выражает базисные логические средства.
Любой реальный математический текст состоит из слов с вкраплениями формул. Формулы можно считать выражениями формального языка (он может меняться от статьи к статье, но часто представляет собой просто версию языка теории множеств).
Вопрос о том, как слова и символы делят между собой функцию передачи содержания, заслуживает отдельного обсуждения. Важнее всего, что слова адресуют работу людям, а не читающим автоматам; они же занимаются такими тонкостями, как выражение системы ценностей автора.
Формулы не всегда и не везде являются носителем смысла в ядерных фрагментах математического текста. По крайней мере со времени Евклида и до наших дней в школьных учебниках геометрии роль формул играют чертежи. Многие помнят рисунок квадрата, разделенного двумя линиями на два меньших квадрата и два прямоугольника. Этот чертеж иллюстрирует/заменяет/доказывает формулу (а + b) 2 = а 2 + 2ab + b 2 .
Гораздо интереснее — и гораздо менее известен — чертеж, иллюстрирующий античную теорему Паппа Александрийского (около 300 г. н. э.).
Пользуясь им, удобно проиллюстрировать, как геометрическое мышление математиков взаимодействует с формульным и формальным, причем на протяжении многих поколений.
Прежде всего — о содержании теоремы.
Начнем с плоского шестиугольника, на чертеже его вершины BXbCYc. (Он не обязан быть выпуклым, как на картинке! Вот первая ловушка чертежей — они часто заставляют принимать неосознанные ограничения.)
Любая пара противоположных сторон шестиугольника, скажем Bc и bC, определяет также промежуточную между ними диагональ XY. Продолжим эти две стороны и диагональ; может оказаться, что три прямые пересекутся в одной точке.
ТЕОРЕМА ПАППА. Если это свойство выполняется для двух пар противоположных сторон шестиугольника, то оно выполняется и для третьей пары.
Это удивительный результат. Прежде всего, трудно вообразить себе, как к нему можно было прийти. Он не принадлежит евклидовой геометрии: расстояния, длины и углы не играют в его формулировке и доказательстве никакой роли; не играет роли также группа эвклидовых движений плоскости. Единственные структурные отношения примитивны: плоскость состоит из точек; прямые — это некоторые подмножества точек; две прямые пересекаются ровно в одной точке; через две точки проходит одна прямая.
Только в XIX в. было понято, что теорема Паппа — центральный результат плоской проективной геометрии. Сначала это была геометрия обычной плоскости над вещественными числами. Потом открылось, что-то же верно для проективной плоскости над любым абстрактным полем; это поле, его законы композиции и аксиомы — всё восстанавливается по конфигурациям Паппа.
Наконец, ближе к концу XX в. оказалось, что эквивалентность теоремы Паппа с теорией коммутативных полей объясняется и обобщается в широком контексте теории моделей. Модель формального языка есть, попросту говоря, отображение этого языка в язык теории множеств вместе со стандартной интерпретацией последнего. Так смысл изысканного чертежа проявляется в сложной метаязыковой конструкции.
Чертежи не поддаются объединению в язык по многим причинам. Синтаксис чертежей прихотлив и не систематичен, синтаксические связи между ними сопротивляются формализации, чертежи обладают целостностью, которая утрачивается при анализе. Их функция в разных процессах передачи и хранения информации отличается от функции даже «синонимичных» языковых конструкций, они взывают к другому типу воображения, к право-полушарной интуиции.
Когда с развитием гомологической алгебры и теории категории во второй половине ХХ в. в математику стали внедряться «чертежеподобные» языковые конструкции, коммутативные диаграммы, должен был пройти некоторый период привыкания к ним.
На рис. 2 изображена такая диаграмма (вполне реалистическая: из работы Д. Борисова и автора, 2007 г.). Элементарной составляющей диаграммы является коммутативный квадрат. До эры категорий линейная языковая запись утверждения, выражаемого этим квадратом, почти исчерпывалась бы равенством h ◦ f = k ◦ g. Но это верно лишь с существенной оговоркой: f, g, h, k здесь — морфизмы в категории, и необходимо знать, из какого объекта в какой каждый морфизм «бьет».
Более того, в большой диаграмме на рис. 2 можно увидеть косые стрелки, вроде а. Такая стрелка изображает морфизм не в исходной категории, скажем C, где живут объекты, имена которых отмечают начала и концы стрелок. Она изображает морфизмы в категории морфизмов Mor C:
а: Id ◦ F"- F" ◦ G.
Точное содержание диаграммы можно передать лишь подробно откомментировав ее обычным линейным текстом, перемежающим слова и формулы. Но делает ли такой текст излишней самое диаграмму? Нет! (Я переписывался с коллегой по электронной почте, обсуждая вполне конкретный математический сюжет. В тексте e-mail, конечно, приходится обходиться словесными экивоками. Вдруг я получаю от своего корреспондента вопль души: «Диаграмму! Полцарства за диаграмму!»)
Ниже я намерен аргументировать точку зрения, согласно которой, развитие теории категорий, и в особенности гомотопической топологии, в течение последних десятилетий не только было существенным прогрессом конкретной области математики, но также способствовало осознанию и вербализации происходящего на наших глазах эпистемологического сдвига в том, что принято было называть «основаниями» математики.
Я должен оговориться: для меня «основания» лишены прескриптивной или нормативной функции. Я понимаю под «основаниями» плод работы математиков, которые склонны вглядываться в практику выбора задач, оформления доказательств и экспериментов, в ценностные ориентации живущих и ушедших поколении математиков.
Важнейшая социальная функция исследований, посвященных основаниям, состоит в поддержании диалога между «двумя культурами» (Ч.П.Сноу). Диалог этот начинается потому, что математика постоянно вызывает естественное философское беспокойство. Если не принимать буквально существование объективного, независимого от нас платоновского мира идей (а философы иногда готовы не принимать даже существования мира вещей и явлений), то придется признать, что математика есть просто плод высокотренированного воображения нескольких тысяч человек в каждом поколении.
Тогда, даже оставив на время заботу о критериях «истинности» математических утверждений, нельзя не поразиться упрямой устойчивости математического знания, его межпоколенческой и межцивили-зационной воспроизводимости.
Больше того, это знание не просто воспроизводится, как воспроизводятся тексты «Одиссеи», «Гильгамеша» или Евангелия. Оно развивается и обогащается, в последние 200 лет — с неслыханной прежде скоростью.
Возвращаясь к проблеме математического содержания «оснований математики» и его исторической эволюции за последние полторы сотни лет, я представлю ее следующим образом.
Исходным ментальным образом, общим для огромного большинства работающих математиков после, скажем, Второй мировой войны, является образ множества с дополнительной структурой: топологического пространства, группы, кольца, пространства с мерой…
На первых ступеньках это множество является чисто канторовской абстракцией: природа его элементов не важна, важно лишь, что они попарно различимы и мыслятся как объединенные в единое целое. На следующих этапах элементы нового множества могут быть открытыми подмножествами предыдущего, локальными функциями на нем и т. п.
Сам Кантор в минималистком вдохновении задал самые базисные вопросы о таких множествах, продемонстрировал бесконечную шкалу бесконечностей и оставил нескольким поколениям логиков задачу разбираться с онтологией и гносеологией этой шкалы.
Более прагматичное поколение, пережившее первую войну, построило на этом потенциально метафизическом фундаменте архитектурно современное и функционально эффективное здание работающей математики из индустриально производимых элементов под названием «структуры» в смысле Бурбаки.
Вопросы о шкале бесконечностей ушли для работающих математиков на задний план, но дискретные множества как основной строительный материал остались. Непрерывное стало надстройкой над дискретным.
Между тем, еще до Кантора некоторые проблемы со строительством из множеств даже элементарной арифметики были совершенно ясны. Если натуральные числа именуют количества палочек или любых конечных дискретных множеств,
I, II, III,. . .
то уже нуль как мощность пустого множества создает психологические проблемы, а отрицательные числа требуют или искусственной алгебры, или интерпретации в совершенно другом универсуме, скажем экономических отношений («долг»).
Вместе с тем, если исходным элементом интуиции считать непрерывное, а дискретное вводить как производную структуру, то целые числа получают удивительно естественное воплощение. Вообразите точку, движущуюся по плоскости. Пусть она выходит из какой-то начальной позиции, блуждает некоторое время, а потом возвращается назад, ни на момент не попадая, скажем, в начало координат. Вопрос: сколько раз она обойдет вокруг начала? Нетрудно дать точное определение этому целому числу: оно может быть нулем, положительным или отрицательным (обходы бывают по часовой стрелке, а бывают — против).
Более того, нетрудно понять, как обходы сначала в одну сторону, а потом в другую сокращаются (1 — 1 = 0): путь, состоящий из двух таких обходов, можно стянуть в точку, не задевая начала координат.
Так что же было вначале, дискретное или непрерывное? Конечно, это архетипический вопрос философии: ijoyoq, вероятно, символизирует дискретное, а х ао? — непрерывное.
Пользуясь метафорой из смежной профессии, этнографии, я сравнил бы эту ситуацию с теорией мифа по Леви-Строссу. Не без влияния Бурбаки Леви-Стросс сконструировал интерпретацию мифа как медиации оппозиции. Обдумывая его концепцию четверть века назад, я предположил эволюцию в обратном направлении: согласно этому взгляду, миф отмечает эпоху, когда осознание оппозиции («дискретного») рождалось из ментального хаоса. Так музыкальная нотация рождалась из самой музыки.
Способ вводить целые числа, который я набросал выше — считать количество обходов с учетом ориентации, которые делает замкнутый путь на плоскости вокруг начала координат, — начал свое существование как одна из самых ранних теорем гомотопической топологии.
Геометр, занимающийся гомотопической топологией, видит умственным взором бесконечномерные пространства, которые могут деформироваться и должны деформироваться вплоть до стягивания в одну точку. В конечном счете дискретность, которую тополог вычисляет и передает дискретным языком, сводится к «связным компонентам» этих пространств и производных от них пространств отображений.
В популярных изложениях математики, а теперь и в видеофильмах «узлы» в R 3 , или «выворачивание сферы наизнанку», используются, чтобы экстериоризировать такие приватные ментальные образы. Возможности этой экстериоризации как учебного средства ограничены, так же как ограничена возможность вообразить себя Святославом Рихтером, исполняющим Шуберта, посмотрев его интервью с Бруно Монсенжоном.
Поэтому я смогу лишь вкратце изложить свои впечатления об эпистемологическом сдвиге, динамику которого я различаю в основаниях математики.
Суть его состоит в том, что отношения между дискретным и непрерывным, между языком и воображением, между алгеброй и топологией инвертируются. Непрерывность, геометрическое воображение, топология медленно завоевывают место первичного математического материала.
Язык становится вторичным, подчиненным, его «внутренняя письменность» возвращается к архаичной иероглифической форме, и его материей делается комбинаторика геометрических образов. Сама эта комбинаторика нелинейна, многомерна, и уже на уровне своего зарождения новый язык смешивает синтаксис, семантику и прагматику способами, которые мы еще не начали философски осмыслять.
Коммутативные диаграммы категорного языка были предвестием такой эволюции. С проникновением в обиход поликатегорий, обогащенных категорий, А∞-алгебр и подобных структур мы начинаем говорить на языке, который в гораздо меньшей степени поддается экстериоризации, чем мы привыкли.
Очень убедительным для меня аргументом в пользу того, что эта перцепция — больше, чем моя частная иллюзия, было осознание параллельных процессов, происходящих на границе математики с теоретической физикой. Я имею в виду Фейнмановские интегралы, методы ренормализации и такие их приложения, как интеграл Виттена, вычисляющий инварианты узлов.
В заключение я хочу вернуться к теме, с которой начал, — проблеме убедительности математики и, более общо, современной науки.
Убедительность личного опыта, свидетельств очевидцев, отсылка к авторитетам и авторитетным текстам часто воспринимаются как полный список средств убеждения. Конечно, физики, химики, биологи добавляют к этому списку направленный эксперимент.
Но я бы хотел рассмотреть здесь то, что я назову «цивилизационным» аргументом, интуитивно угаданным Коко Шанель. Цивилизация предоставляет в наше распоряжение способы проверки истинности, которые не сводятся ни к апелляции к авторитетам, ни к личному опыту разбора длинных математических доказательств, ни к свидетельствам.
Готовясь к этому докладу, я вел обильную переписку по электронной почте. Возможность ее воспринимается почти всеми сейчас как нечто, само собой разумеющееся. Но ее сделал возможной такой уровень математики, выстроенной за 2 тыс. лет, полномасштабную убедительность которого ни мы сами, ни авторитетные для нас люди проверить не в состоянии. Математика верна кроме всего прочего и потому, что открытие уравнений Максвелла привело к технике передачи информации электромагнитными волнами, а Булева алгебра стала работать в вашем и моем ноутбуке.
Культура математического рассуждения в цивилизационном аспекте есть важнейшая форма объективации абстрактного математического знания, способ его передачи от поколения к поколению.
В личностном плане математическую культуру, культуру доказательства я сравнил бы с тренировкой музыканта — отработка точности мелких движений, пока они не станут автоматическими и смогут быть синтезированными, скажем, в «Сонату для скрипки соло» Баха. Кодификация формального языка с его компонентами логики и теории множеств была идеальным средством такой «отработки точных движений». Но если она сопровождается идеологической пропагандой вроде интуиционизма или конструктивизма, она становится философски зашоренной и цивилизационную ценность теряет.
Секция Математика
«Язык математики»
Выполнила Шаповалова Анна
Научный руководитель
учитель математики высшей квалификационной категории.
Введение.
Увидев в кабинете высказывание Г. Галилея «Книга природы написана языком математики» я заинтересовалась: а что же это за язык?
Оказывается, Галилей придерживался мнения о том, что природа сотворена по математическому плану. Он писал: “Философия природы написана в величайшей книге,… но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики”.
И вот, что бы найти ответ на вопрос о математическом языке, я изучила много литературы, материалов из интернета.
В, частности, нашла в Интернете «Историю математики» , где узнала этапы развития математики и математического языка.
Я постаралась ответить на вопросы:
· как возник математический язык;
· что собой представляет математический язык;
· где он распространен;
· действительно ли он универсален.
Я думаю, это будет интересно не только мне, т. к. все мы пользуемся языком математики.
Поэтому целью моей работы стало изучение такого явления как «математический язык» и его распространение.
Естественно, что объектом исследования будет математический язык.
Я сделаю анализ применения математического языка в различных областях науки (естествознании, литературе, музыке); в повседневной жизни. Докажу, что этот язык действительно универсален.
Краткая история развития математического языка.
Математика удобна для описания самых разнообразных явлений реального мира и тем самым может выполнять функцию языка.
Исторически составные части математики - арифметика и геометрия - выросли, как известно, из нужд практики, из необходимости индуктивного решения различных практических задач земледелия, мореплавания, астрономии , сбора налогов, возврата долгов, наблюдения за небом, распределения урожая и т. п. При создании теоретических основ математики, основ математики как научного языка, формального языка наук, различных теоретических построений стали важными элементами различные обобщения и абстракции , исходящие из этих практических задач, и их инструментарий.
Язык современной математики - результат ее длительного развития. В период своего зарождения (до VI в. до н. э.) математика не имела собственного языка. В процессе формирования письменности появились математические знаки для обозначения некоторых натуральных чисел и дробей. Математический язык античного Рима включает дошедшую до наших дней систему обозначения целых чисел был скуден:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,..., L,..., C,..., D,..., M.
Единица I символизирует зарубку на посохе (не латинскую букву I - это позднее переосмысление). Усилие, уходящее на каждую зарубку, и занимаемое ею место на, скажем, пастушеской палке, заставляет переходить от просто системы обозначения чисел
I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII, . . .
к более сложной, экономной системе скорее «имен», чем символов:
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.
2. Перловский Л. Сознание, язык и математика. "Русский журнал" *****@***ru
3. Грин Ф. Математическая гармония природы. Журнал « Новые Грани» №2 2005 года
4. Бурбаки Н. Очерки по истории математики, М.: ИЛ, 1963.
5. Стройк Д. Я «История математики» - М.: Наука, 1984.
6. Эвфоника «Незнакомки» А. М.ФИНКЕЛЬ Публикация, подготовка текста и комментарии Сергея ГИНДИНА
7. Эвфоника «Зимней дороги» . Научный руководитель – учитель русского языка
В языке все подчиняется строгим правилам, нередко похожим на математические Напри мер, отношения между фонемами напоминают математические пропорции в русском языке [б] так относится к [п], как [д] к [т] (см Артикуляционная классификация звуков) По трем членам такой «пропорции» можно «вы числить» четвертый Точно так же по одной форме слова удается обычно «вычислить» остальные его формы, если известны все формы каких либо других «похожих» слов, такие «вы числения» постоянно производят детн, когда учатся говорить (см Аналогия в грамматике) Именно благодаря своим строгим правилам язык может служить средством общения если бы их не было, людям трудно было бы понимать друг друга
Сходство этих правил с математическими объясняется тем, что математика произошла в конечном счете нз языка и сама представляет собой особого рода язык для описания колн чественных отношений н взаимного располо жения предметов Такие языки, специально предназначенные для описания каких то от дельных «частей» или сторон действительности, называют специализированными в отличне от универсальных, на которых можно говорить о чем угодно Люди создали много специали зированных языков, например систему дорож ных знаков, язык химических формул, нотную запись музыки Но среди всех этих языков математический язык ближе всего к универ сальным, потому что отношения, которые выражаются с его помощью, встречаются повсюду - ив природе, и в человеческой жиз ни, и притом это самые простые и самые важ ные отношения (больше, меньше, ближе, дальше, внутри, вне, между, непосредственно следует и т п), по образцу которых люди на учились говорить и о других, более сложных
Многие математические выражения напо минают по своему строению предложения обыч ного, естественного языка Например, в таких выражениях, как 2 < 3 или 2 + 3=5, знаки < и = играют такую же роль, как глагол (сказуемое) в предложениях естественною языка, а роль знаков 2, 3, 5 похожа на роль существительного (подлежащего) Но особен но похожи на предложения естественного язы ка формулы математической логики - наукн, в которой изучается строение точных рассуж дений, в первую очередь математических, н при этом используются математические же методы Наука эта сравнительно молода она возникла в XIX в и бурно развивалась в течение первой половины XX в Примерно в то же время воз никла и развилась абстрактная алгебра - ма тематическая наука, изучающая всевозможные отношения и всевозможные действия, которые можно производить над чем угодно (а не только над числами и многочленами, как в элементарной алгебре, которую изучают в школе)
С развитием этих двух наук, а также некото рых других, тесно связанных с ними разделов математики стало возможным применение математических средств для исследования строения естественных языков, и начиная с середины нынешнего столетня математические средства действительно применяются для этой цели Готовых методов, пригодных для линг вистических приложений, в математике не было, нх пришлось создать заново, н образцом для них послужили прежде всего методы ма тематической логики и абстрактной алгебры Так возникла новая наука - математическая лингвистика И хотя это математическая дис циплина, разрабатываемые ею понятия и ме тоды находят применение в языкознании н играют в нем все большую роль, становясь постепенно одним из его главных инструмен тов
Для чего же используются в языкознании математические средства? Язык можно пред ставить себе как своеобразный механизм, с помощью которого говорящий преобразует имеющиеся в его мозгу «смыслы» (т е свои мыслн, чувства, желания н т п) в «тексты» (т е цепочки звуков или письменных знаков), а затем преобразует «тексты» обратно в «смыс лы» Эти-то преобразования удобно изучать математически Для нх изучения служат фор мальные грамматики - сложные математи ческне системы, совсем не похожие на обычные грамматики, чтобы но настоящему понять, как они устроены, и научиться нми пользовать ся, желательно сначала познакомиться с мате матической логикой Но среди применяемых в языкознании математических методов есть н довольно простые, например различные спо собы точного описания синтаксического строе ния предложения с помощью графов
Графом в математике называют фигуру, состоящую из точек - их называют узлами графа, - соединенных стрелками Графами пользуются в самых разных науках (н не толь ко в науках), причем роль узлов могут играть какие угодно «предметы», например, родословное дерево - это граф, узлы которого - люди. При использовании графов для описания строения предложения проще всего брать в качестве узлов слова и проводить стрелки от подчиняющих слов к подчиненным. Например, для предложения Волга впадает в Каспийское море получаем такой граф:
Волга впадает в Каспийское море.
В формальных грамматиках принято считать, что сказуемое подчиняет себе не только все дополнения и обстоятельства, если они есть, но и подлежащее, потому что сказуемое - «смысловой центр» предложения: все предложение в целом описывает некоторую «ситуацию», и сказуемое, как правило, есть имя этой ситуации, а подлежащее и дополнения - имена ее «участников». Например, предложение Иван купил у Петра корову за сто рублей описывает ситуацию «покупки» с четырьмя участниками - покупателем, продавцом, товаром и ценой, а предложение Волга впадает в Каспийское море - ситуацию «впадения» с двумя участниками. Считают, кроме того, что существительное подчинено предлогу, потому что глагол управляет существительным через предлог. Уже такое простое математическое представление, казалось бы немного добавляющее к обычному, «школьному» разбору предложения, позволяет подметить н точно сформулировать много важных закономерностей.
Оказалось, что для предложений без однородных членов и не сложносочиненных построенные таким образом графы являются деревьями. Деревом в теории графов называют такой граф, в котором: 1) существует узел, н притом только один - называемый корнем,- в который не входит нн одна стрелка (в дереве предложения корнем, как правило, служит сказуемое); 2) в каждый узел кроме корня входит ровно одна стрелка; 3) невозможно, двигаясь из какого-нибудь узла в направлении стрелок, вернуться в этот узел. Деревья, построенные для предложений так, как сделано в примере, называются деревьями синтаксического подчинения. От вида дерева синтаксического подчинения зависят некоторые стилистические особенности предложения. В предложениях так называемого нейтрального стиля (см. Функциональные стили языка) соблюдается, как правило, закон проективности, состоящий в том, что если в дереве синтаксического подчинения все стрелки проведены сверху от той прямой, на которой записано предложение, то никакие две из них не пересекаются (точнее - можно провести их так, чтобы никакие две не пересекались) и ни одна стрелка не проходит над корнем. За исключением небольшого числа особых случаев, когда в предложении имеются некоторые специальные Ьлова н словосочетания (например, сложные формы глаголов: Здесь будут играть дети), несоблюдение закона проективности в предложении нейтрального стнля - верный признак недостаточной грамотности:
«Собрание обсудило выдвинутые предложения Сидоровым».
В языке художественной литературы, особенно в поэзин, нарушения закона проективности допустимы; там онн чаще всего придают предложению какую-либо особую стилистическую окраску, например торжественности, приподнятости:
Еще одно последнее сказанье
И летопись окончена моя.
(А.С. Пушкин)
или, наоборот, непринужденность, разговорность:
Какой-то Повар, грамотей, С поварни побежал своей В кабак (он набожных был правил)
(И.А. Крылов)
Стилистическая окраска предложения связана также С наличием в дереве синтаксического подчинения гнезд - последовательностей стрелок, вложенных друг в друга и не имеющих общих концов (число стрелок, образующих гнездо, называется его глубиной). Предложение, у которого дерево содержит гнезда, ощущается как громоздкое, тяжеловесное, причем глубина гнезда может служить «мерой громоздкости». Сравним, например, предложения:
Приехал собирающий нужные для новой книги сведения писатель (в дереве которого есть гнезда глубины 3) и
Приехал писатель, сооирающии сведения, нужные для новой книги (в дереве которого нет гнезд, точнее - нет гнезд глубины, большей 1).
Исследование особенностей деревьев синтаксического подчинения может дать много интересного для изучения индивидуального стиля писателей (например, нарушения проективности встречаются у А. С. Пушкина реже, чем у И. А. Крылова).
С помощью деревьев синтаксического подчинения изучают синтаксическую омонимию - явление, состоящее в том, что предложение или словосочетание имеет два разных смысла - или больше, - но не за счет многозначности входящих в него слов, а за счет различий в синтаксическом строении. Например, предложение Школьники из Костромы поехали в Ярославль может означать либо «костромские школьники поехали откуда-то (не обязательно из Костромы) в Ярославль», либо «какие-то (не обязательно костромские) школьники поехали из Костромы в Ярославль». Первому смыслу отвечает дерево Школьники из Костромы поехали в Ярославль, второму - Школьники из Костромы поехали в Ярославль.
Существуют и другие способы представления синтаксического строения предложения с помощью графов. Если представить его строение с помощью дерева, составляющими узлами будут служить словосочетания и слова; стрелки проводятся от более крупных словосочетаний к содержащимся в них более мелким и от словосочетаний к содержащимся в них словам.
Применение точных математических методов дает возможность, с одной стороны, глубже проникнуть в содержание «старых» понятий языкознания, с другой - исследовать язык в новых направлениях, которые прежде трудно было бы даже наметить.
Математические методы исследования языка важны не только для теоретического языкозна ния, но и для прикладных лингвистических за дач, в особенности для тех, которые связаны с автоматизацией отдельных языковых процессов (см Перевод автоматический), автоматическим поиском научных и технических книг и статей по заданной теме и т. п. Технической базой для решения этих задач служат электронные вычислительные машины. Чтобы решит! какую-либо задачу на такой^ машине, нужно сначала составить программу, четко н недвусмысленно определяющую порядок работы машины, а для составления программы необходимо представить исходные данные в ясном и точном виде. В частности, для составления программ, с помощью которых решаются лингвистические задачи, необходимо точное описание языка (или хотя бы тех его сторон, которые важны для данной задачи) - н именно математические методы дают возможность построить такое описание
Не только естественные, но и искусственные языки (см Искусственные языки) можно исследовать с помощью средств, разрабатываемых математической лингвистикой. Некоторые искусственные языки можно этими средствами описывать полностью, что не удается и, надо полагать, никогда не удастся для естественных языков, устроенных несравненно сложнее. В частности, формальные грамматики используются при построении, описании и анализе входных языков вычислительных машин, на которых записывается вводимая в машину информация, и при решении многих других задач, связанных с так называемым общением между человеком и машиной (все этн задачи сводятся к разработке некоторых искусственных языков)
Уходят в прошлое времена, когда языковед мог обходиться без знания математики С каждым годом эта древняя наука, соединяющая в себе черты наук естественных и гуманитарных, становится все более необходимой ученым, занимающимся теоретическим исследованием языка и практическим применением результатов этого исследования. Поэтому в наше время каждый школьник, который хочет основательно познакомиться с языкознанием или собирается сам заниматься им в будущем, должен уделять изучению математики самое серьезное внимание.
I. Известное нам понятие приведённое в название раздела требуют повторного осмысления в контексте начального образования. Ими дети пользуются уже с первых дней обучения математики. Но строгих определений они не знают и не будут знать, т.к. это материал старших классов.
Математический язык- искусственный язык . Вещь рождается вместе с человеком, а математический язык внедряется только в результате обучения. Рассмотрим компоненты математического языка.
1) Цифры или «буквы» языка: их всего 10-0,1,2,3…9. С их помощью по специальным правилам записываются числа. Этот процесс называется нумерацией. Нумерация предполагает – чтение чисел, не путать цифры и числа. Цифр всего- 10, а чисел бесконечное множество. До первого десятка цифры можно называть числами.
2) Знаки операции:
| + |
| - |
| . |
| : |
3) Знаки отношений:
| = | > | < | : . |
- делится без остатка 24:.3 ; 24:. 12
4) Буквы латинского алфавита (лат.язык- это мертвый язык; он является языком науки; область возникновения- Италия)
5) Технические знаки- скобки (), , {}
Используя этот алфавит в математике образуют словосочетание носящее название «выражение». Из выражения составляют математическое выражение, которое носит название – «числовое равенство» или «числовое неравенство», «уравнение» и т.д.
II Выражение и их виды.
Запишем несколько словосочетаний математического языка: 15+21, 72:5а, 2х+18. Они отличаются друг от друга:
1)не содержит букв, называемых переменными; 15+21- числовое выражение;
2)последние записи называются выражениями с переменными.
| ВЫРАЖЕНИЕ НЕ СОДЕРЖИТ ЗНАКОВ ОТНОШЕНИЙ |
Одна буква- это уже выражение, одно число тоже выражение. Выполнив все действия можно найти значения числового выражения. Не все выражения имеют смысл. В первую очередь это те выражения, которые связаны с деление на ноль. 35+26:(27-27)
В младших классах, дети на это не обращают внимания, но в старших классах приходится постоянно проверять не присутствует ли в выражении деление на ноль. Для младшего школьника не имеющего смысла являются и такие: 14-23, 4:48 и др.
В выражениях из скобок сильными считаются умножение и деление, поэтому их выполняют по порядку слева на право, потом приступают к сложению, выписывают тоже по порядку.
III тождественные преобразования выражения.
Задача: Разложите на множители выражение с переменной: ах- в 2 – вх+ав.
ах-в 2 –вх+ав= - исходное выражение
Ах-вх+ав-в 2 = - использовали переменную- закон сложения
= (ах-вх)+(ав-в 2)= - использовали сочетательный закон
Х(а-в)+в(а-в)= - использовали распределительный закон относительного вычитания
=(а-в).(х+в) – искомый результат
Заметим, что одно и тоже выражение записано 5-ю способами. В таких случаях говорят, что выражение -тождественное преобразование выражения.
Определение: два выражения называется тождественно равным, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответствие значения равны.
В начальном курсе математики рассматривают в основном числовые выражения. Дети выполняют тождественные преобразования не обозначая его математическим значением: 35. 4=(30+5).4=30.4+5.4=120+20=140. Здесь 5 выражений тождественно равных друг другу. Объяснение мы писать не станем.
