Главная » Мебель » Конечные интегральные преобразования. Интегральное преобразование

Конечные интегральные преобразования. Интегральное преобразование

Cтраница 1

Применение интегрального преобразования к первой группе данных, очевидно, сводится к замене функций переменной Ау.

Применение интегральных преобразований (4) сводит решение вязкоупругой задачи (3) к решению чисто упругой задачи (5) в изображениях. Принимая во внимание приведенное ранее решение (16) разд.

Применение интегральных преобразований по пространственным координатам на конечных интервалах и других строгих аналитических методов к краевым задачам для дифференциальных уравнений переноса дает решения в виде бесконечных функциональных рядов. При этом из полученного решения для практических расчетов используется только главная часть этого ряда. Поэтому простой способ определения приближенного решения, эквивалентного главной части точного решения, бесспорно должен иметь большое прикладное значение.

Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полупрямой.

Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полупрямой. Определение интегрального преобразования Фурье и общая схема применения к решению краевых задач даны в гл.

Применение интегральных преобразований дает полезный метод решения прежде всего плоских, а также пространственных задач теории упругости. Существенно при этом, что может быть уменьшено число независимых переменных в дифференциальных уравнениях с частными производными. Роль соответствующих независимых переменных переходит к параметрам, и, таким образом, удается привести дифференциальные уравнения с частными производными относительно многих переменных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Применение интегральных преобразований к построении точных решения задач фильтрации в трещиновато-порис тих средех / / Мртеметический анализ и его приложения: С.

Применение интегральных преобразований позволяет свести задачу об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений для изображения искомых функций. Для иллюстрации этой идеи мы приведем здесь решение задачи об упругой полуплоскости с помощью преобразования Фурье; для областей другого вида оказываются удобными другие интегральные преобразования. Таким образом, задача о полуплоскости может быть сведена к определению одной единственной функции p (z) по заданным значениям ее действительной или мнимой части на границе. Ограничиваясь теми примерами, которые были рассмотрены в § 10.4, перейдем к изложению метода интегральных преобразований.

После применения интегральных преобразований задача сведена к парным интегральным уравнениям, строится приближенное решение путем разложения в ряд по косинусам, обращение преобразования по времени выполняется методом трапеций. Приведены численные результаты, иллюстрирующие влияние коэффициента Пуассона на осадки штампа.

После применения интегральных преобразований Ханкеля по координате и Лапласа по времени строится приближенное решение задачи путем разложения по системе кусочно-постоянных функций с выделением статической особенности под краем штампа. Обращение преобразования Лапласа выполняется численно. Приведены некоторые результаты численных расчетов для равномерно распределенной нагрузки на плиту, исследовано влияние проницаемости и жесткости плиты и коэффициента Пуассона грунта на степень консолидации.

Преимущество применения интегральных преобразований перед другими аналитическими методами исследования тепловых процессов, связанными с интегрированием дифференциальных уравнений переноса энергии, состоит прежде всего в стандартности и простоте нахождения решений.

При применении интегрального преобразования Меллина к общим решениям уравнений плоской теории упругости (6.1.1) - (6.1.5) в форме Папковича-Нейбера (6.5.34) и (6.5.35) возникают вопросы общего и частного характера.

Аналогична идея применения интегральных преобразований и в задачах для уравнений с частными производными: стремятся выбрать интегральное преобразование, которое позволило бы дифференциальные операции по одной из переменных заменить алгебраическими операциями. Когда это удается, преобразованная задача обычно проще исходной. Найдя решение преобразованной задачи, с помощью обратного преобразования находят и решение исходной.

Основным условием для применения интегральных преобразований является наличие теоремы обращения, позволяющей найти исходную функцию, зная ее образ. В зависимости от весовой функции и области интегрирования рассматриваются преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, Ханкеля, Мейера, Гильберта и др. С помощью этих преобразований могут быть решены многие задачи теории колебаний, теплопроводности, диффузии и замедления нейтронов, гидродинамики, теории упругости, физической кинетики.

Кратко изложим схему применения указанного интегрального преобразования.

Интегральное уравнение функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро дифференциальном уравнении.… … Википедия

Уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Многочисленные задачи физики и математической физики приводят к И. у. различных типов. Пусть, например, требуется с помощью некоторого оптического прибора получить… … Большая советская энциклопедия

ГОСТ 24736-81: Преобразователи интегральные цифроаналоговые и аналого-цифровые. Основные параметры - Терминология ГОСТ 24736 81: Преобразователи интегральные цифроаналоговые и аналого цифровые. Основные параметры оригинал документа: Время преобразования Интервал времени от момента изменения сигнала на входе аналого цифровых преобразователей до… …

Время преобразования - Интервал времени от момента изменения сигнала на входе аналого цифровых преобразователей до появления на выходе соответствующего устойчивого кода, мкс Источник: оригинал документа Смотри также родственные термины: 13 время преобразования… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются… … Википедия

Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и … Википедия

Преобразование Фурье операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … … Википедия

Интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 го года. Важнейшее свойство преобразования Радона обратимость, то есть возможность… … Википедия

Книги

Интегральные преобразования
Интегральные преобразования , Князев П.Н.. В настоящей книге излагаются вопросы теории интегральных преобразований, тесно связанные с краевыми задачами теории аналитических функций (преобразования Фурьеаналитических функций,…

Преобразования неопределенных интегралов Подобно тому, как в алгебре даются правила, позволяющие преобразовывать алгебраические выражения с целью их упрощения, так и для неопределенного интеграла существуют правила, позволяющие производить его преобразования. I. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого члена в отдельности, т. е. S dx=lf(x)dx+l (i)="" ii.="" постоянный множитель можно " вынести="" за="" знак="" интеграла, е.="" (с-постоянная величина формула интегрирования по частям, а именно: Докажем формулу (III). Возьмем дифференциал от правой части равенства (III) Применяя формулу 4 из таблицы § 2 гл. IX, получим x. Член преобразуем по формуле 5 той же таблицы: а член d J /" (д:) ф (л;) dx по формуле (Б) § 1 этой главы равен d\f (*)ф = =/ (х) ф" (л:) dx + ф (х) /" (х) dx -/" (х) ф (*) dx = =f(x)y"(x)dx, т. е. мы получили то, что получается при дифференцировании левой части равенства (III). Аналогично проверяются формулы (I) и (II). Пример 1. ^ (лг* - Применяя правило инте- грирования I и формулы 1 и 5 из таблицы интегралов, получаем J (х1-- sin л:) dx= ^ хг dx-^ sin xdx = х* х9 = (-cosх) + С= y + cos х + С. Пример 2. I ^ dx. Применяя правило II и формулу J COS X 6 из таблицы интегралов, получаем J cos2* J COS2* to 1 Пример 3. ^ Inx dx. В таблице ицтегралов, приведенных в § 1, такого интеграла нет. Вычислим его, интегрируя по частям; для этого перепишем данный интеграл следующим образом: J In xdx= ^ In л: 1 dx. Положив /(х) = In л: и <р"(д;)=п1, применим правило интегрирования по частям: J 1 п лг tf* = 1 п л: ср (л;) - J (In х)" ф (х) dx. Но так как ф (л:) = J ф" (л:) dx = ^ 1. = j х0 dx, то, применяя формулу 1 таблицы интегралов (п = 0), получим Ф = *. Окончательно получаем Inxdx = x In л:- = л: In х- J dx - x In jc - x + C. Пример 4. Рассмотрим ^ л; sfn л; rfx. Положим f(x) - x и ф" (л:) = sinx. Тогда ф(лг) = - cosjc, так как (-cos*)" = = sin*. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J х sin х dx = - х cos *- J (*)" (- cos x) dx = = - x cos * + ^ cos x dx = - x cos x + sin x + C. Пример 5. Рассмотрим ^ хгехdx. Положим /(x) = xг и ф"(лг) = е*. Тогда ф(лг) = е*, так как (ех)" = ех. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J хгех dx = x*ex- J (л:1)" dx = = хгех - 2 ^ хех dx. (*) Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла J хех dx. Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим f(x) = x и ф/(лг) = ех. Преобразования неопределенных интегралов Отсюда ^ хех dx = хех - ^ (х)" ех dx = ~хе*-J ех dx = xe* - ех Соединяя равенства (*) и (**), получим окончательно ^ х2е* dx = x2ex - 2 [хех - ех + С] = = х2ех - 2хех + 2ех - 2 С = = хгех - 2хех + 2ех + С, где Ct = - 2С, так что С, есть произвольное постоянное интегрирования.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, функциональное преобразование вида

где С - конечный или бесконечный контур в комплексной плоскости, К(х, t) - ядро интегрального преобразования. Наиболее часто рассматриваются интегральные преобразования, для которых К(х, t)=К(xt) и С - действительная ось или её часть (а, b). Если - ∞ < а, b < ∞, то интегральное преобразование называется конечным. При К(х, t) = К(х - t) интегральное преобразование называется интегральным преобразованием типа свёртки. Если х и t - точки n-мерного пространства, а интегрирование ведётся по области этого пространства, то интегральное преобразование называется многомерным. Используются также дискретные интегральные преобразования вида

где n = 0, 1, 2,..., а {Gn(t)} - некоторая система функций, например Якоби многочлены. Формулы, позволяющие восстановить функцию f(t) по известной функции F(х), называются формулами обращения. Интегральные преобразования определены также для обобщённых функций (распределений).

Интегральные преобразования широко используются в математике и её приложениях, в частности при решении дифференциальных и интегральных уравнений математической физики. Наиболее важными для теории и приложений являются Фурье преобразование, Лапласа преобразование, преобразование Меллина.

Примерами интегрального преобразования являются преобразование Стилтьеса

где c v (α, β) = J ν (α) Y v (ß) - Υ ν (α)J ν (β), J v (x), Y v (x) - цилиндрические функции 1-го и 2-го рода. Формула обращения для преобразования Вебера имеет вид

При а → 0 преобразование Вебера переходит в преобразование Ганкеля

При v = ± 1/2 это преобразование сводится к синус и косинус-преобразованиям Фурье.

Примером преобразования свёртки является преобразование Вейерштрасса

Операционные методы.

Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным, например применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла.

Основные правила и теоремы операционного исчисления были получены М.Вищенко-Захарченко и Хевисвйдом. Наибольшее распространение они получили в электротехнике благодаря работам Хевисайда.

Операционный метод Хевисвйда равнозначен методу интегрального преобразования Лапласа.

Метод преобразования Лапласа состоит в том, что изучается не сама функция (оригинал), а её видоизменение (изображение).

Интегральное преобразование функции
определяется формулой

(40)

Здесь Sможет быть комплексным числом; но при этом вещ-я часть больше 0.

- оригинал;
- изображение функции. Чтобы изображение существовало необходимо, интеграл (51) должен сходиться.

Если задача решена в изображениях, то оригинал определяется по изображению (обр-е преобр-е) с помощью формулы обращения

(41)

Вместо формулы (52) для определения оригинала функции по её изображению можно воспользоваться следующей формулой обращения

(41.а)

Эта формула даёт возможность получить оригинал функции лишь при помощи операция дифференцирования и перехода к пределу.

Если изображение представляет собой функцию

(42)

которая является частичным случаем двух целых трансцендентных функций, то по теореме разложения имеем

(43)

где - простые корни функции
; при этом знаменатель не содержит свободных членов и

2. Если изображение
представляет собой отношение двух номиналов (дробно-рациональная функция), причём степень номинала
меньше степени номинала
, и номинал
имеет корни кратностиKв точках, то

где сумма берётся по всем корням
. Если все корни простые, т.е. все К равны единице, то формула (5) переходит в (43)

Интегральное преобразование Лапласа имеет свои недостатки. В частности, трудности возникают при решении задач, где условия заданы в виде функции пространственных координат, или решении многомерных задач.

В этой связи был предложен ряд методов интегральных преобразований по пространственным координатам в соответствии с геометрической формой тела.

Если преобразование берётся по пространственной координате х, то интегральное преобразование функции
может быть представлено так:

(44)

Если ядро преобразования K(p,x) берётся в виде
или
, то это интегральное преобразование называется соответственно синус- или косинус- преобразованием Фурье.

Если же ядром преобразования выбрана функция Бесселя
, то оно называется преобразованием Ханкеля.

Комплексное преобразование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяжённости, синус- преобразование Фурье следует использовать, когда на поверхности тела задано значение формулами, т.е. при ГУ!, а косинус – преобразование Фурье, когда решается диф. уравнения переноса при ГУ2. Преобразования Ханкеля применимы в том случае, когда тело имеет осевую симметрично. Практическое применение названных интегральных преобразований при наличии подробных таблиц изображения не вызывают особых затруднений.

Переход от изображений к оригиналам можно осуществить по формулам обращения для:

Комплексное преобразование Фурье

(45)

Синус-преобразование Фурье

(46)

Косинус-преобразование Фурье

(47)

Преобразование Ханкеля

(48)

Рассмотренные интегральные преобразования применимы для тел полуограниченной протяженности.

Конечные интегральные преобразования

Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля, и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привели к созданию методов конечных интегральных преобразований. Они более предпочтительны даже для задач, решаемых классическими методами.

Идея метода конечных интегральных преобразований предложена Н.С. Коммековым

(49)

Дальнейшая проработка вопросов метода конечных интегральных преобразований нашла отражение в трудах Гриабарга Г.А., Следдона, Трантера, Дёга (Дейг) и др.

Если граница интегрирования заключается между 0 и е, ядро конечных синус - и косинус - преобразований Фурье, а также преобразования Ханкеля соответственно имеют вид:

(50)