Главная » Мебель » Системы уравнений с параметром. Соотношение между коэффициентами ошибки замкнутой системы. Решение систем методом подстановки

Системы уравнений с параметром. Соотношение между коэффициентами ошибки замкнутой системы. Решение систем методом подстановки

Соотношение (в математике) - это взаимосвязь между двумя или более числами одного рода. Соотношения сравнивают абсолютные величины или части целого. Соотношения вычисляются и записываются по-разному, но основные принципы одинаковы для всех соотношений.

Шаги

Часть 1

Определение соотношений

Использование соотношений. Соотношения используются как в науке, так и в повседневной жизни для сравнения величин. Простейшие соотношения связывают только два числа, но есть соотношения, сравнивающие три или более значения. В любой ситуации, в которой присутствует более одной величины, можно записать соотношение. Связывая некоторые значения, соотношения могут, например, подсказать, как увеличить количество ингредиентов в рецепте или веществ в химической реакции.

Определение соотношений. Соотношение - это взаимосвязь между двумя (или более) значениями одного рода. Например, если для приготовления торта необходимы 2 стакана муки и 1 стакан сахара, то соотношение муки к сахару равно 2 к 1.
- Соотношения могут быть использованы и в тех случаях, когда две величины не связаны друг с другом (как в примере с тортом). Например, если в классе учатся 5 девочек и 10 мальчиков, то соотношение девочек к мальчикам равно 5 к 10. Эти величины (число мальчиков и число девочек) не зависят друг от друга, то есть их значения изменятся, если кто-то уйдет из класса или в класс придет новый ученик. Соотношения просто сравнивают значения величин.
Обратите внимание на разные способы представления соотношений. Соотношения могут быть представлены словами или при помощи математических символов.
- Очень часто соотношения выражены словами (как показано выше). Особенно такая форма представления соотношений применяется в повседневной жизни, далекой от науки.
- Также соотношения можно выразить через двоеточие. При сравнении двух чисел в соотношении вы будете использовать одно двоеточие (например, 7:13); при сравнении трех и более значений ставьте двоеточие между каждой парой чисел (например, 10:2:23). В нашем примере с классом вы можете выразить соотношение девочек и мальчиков так: 5 девочек: 10 мальчиков. Или так: 5:10.
- Реже соотношения выражаются при помощи наклонной черты. В примере с классом оно может быть записано так: 5/10. Тем не менее это не дробь и читается такое соотношение не как дробь; более того, запомните, что в соотношении цифры не представляют собой часть единого целого.
Часть 2
Использование соотношений
1. Упростите соотношение. Соотношение можно упростить (аналогично дробям), разделив каждый член (число) соотношения на . Однако при этом не упустите из виду исходных значений соотношения.
  - В нашем примере в классе 5 девочек и 10 мальчиков; соотношение равно 5:10. Наибольший общий делитель членов соотношения равен 5 (так как и 5, и 10 делятся на 5). Разделите каждое число соотношения на 5 и получите соотношение 1 девочка к 2 мальчикам (или 1:2). Однако при упрощении соотношения помните об исходных значениях. В нашем примере в классе не 3 ученика, а 15. Упрощенное соотношение сравнивает количество мальчиков и количество девочек. То есть на каждую девочку приходится 2 мальчика, но в классе не 2 мальчика и 1 девочка.
  - Некоторые соотношения не упрощаются. Например, соотношение 3:56 не упрощается, так как у этих чисел нет общих делителей (3 - простое число, а 56 не делится на 3).
2. Используйте умножение или деление для увеличения или уменьшения соотношения. Распространены задачи, в которых необходимо увеличить или уменьшить два значения, пропорциональных друг другу. Если вам дано соотношение и нужно найти соответствующее ему большее или меньшее соотношение, умножьте или разделите исходное соотношение на некоторое данное число.
  - Например, пекарю нужно утроить количество ингредиентов, данных в рецепте. Если по рецепту соотношение муки к сахару составляет 2 к 1 (2:1), то пекарь умножит каждый член соотношения на 3 и получит соотношение 6:3 (6 чашек муки к 3 чашкам сахара).
  - С другой стороны, если пекарю необходимо уполовинить количество ингредиентов, данных в рецепте, то пекарь разделит каждый член соотношения на 2 и получит соотношение 1:½ (1 чашка муки к 1/2 чашке сахара).
3. Поиск неизвестного значения, когда даны два эквивалентных соотношения. Это задача, в которой необходимо найти неизвестную переменную в одном соотношении при помощи второго соотношения, которое эквивалентно первому. Для решения таких задач пользуйтесь . Запишите каждое соотношение в виде обыкновенной дроби, поставьте между ними знак равенства и перемножьте их члены крест-накрест.
  - Например, дана группа учеников, в которой 2 мальчика и 5 девочек. Каково будет число мальчиков, если число девочек увеличить до 20 (пропорция сохраняется)? Во-первых, запишите два соотношения - 2 мальчика:5 девочек и х мальчиков:20 девочек. Теперь запишите эти соотношения в виде дробей: 2/5 и х/20. Перемножьте члены дробей крест-накрест и получите 5x = 40; следовательно, х = 40/5 = 8.
  Часть 3
  Распространенные ошибки
  1. Избегайте сложения и вычитания в текстовых задачах на соотношение. Многие текстовые задачи выглядят примерно так: «В рецепте необходимо использовать 4 клубня картофеля и 5 корнеплодов моркови. Если вы хотите добавить 8 клубней картофеля, то сколько понадобится моркови, чтобы соотношение осталось неизменным?» При решении подобных задач ученики часто допускают ошибку, прибавляя одинаковое количество ингредиентов к исходному числу. Однако, чтобы сохранить соотношение, нужно использовать умножение. Вот примеры правильного и неправильного решения:
    - Неверно: «8 - 4 = 4 - так мы добавили 4 клубня картофеля. Значит, нужно взять 5 корнеплодов моркови и к ним добавить еще 4... Стоп! Соотношения так не вычисляют. Стоит попробовать снова».
    - Верно: «8 ÷ 4 = 2 - значит, мы умножили количество картофеля на 2. Соответственно, 5 корнеплодов моркови тоже нужно умножить на 2. 5 x 2 = 10 - в рецепт нужно добавить 10 корнеплодов моркови».

Относительные величины бывают четырех видов: интенсивные, экстенсивные, показатели соотношения, показатели наглядности.

Интенсивные показатели - показывают частоту явления в среде. В качестве среды обычно выступает некая совокупность объектов (населения, пациентов, случаев), у части которых происходит какое-то явление. Рассчитывается по следующей формуле:

И.п. = явление/среда*коэффициент.

Коэффициент используется для удобства представления показателя, представляет собой различные степени числа 10 и обычно принимает значения 100, 1000, 10 000, 100 000. Его величина зависит от частоты встречаемости явления: чем реже встречается, тем больше коэффициент. Так, показатели рождаемости, смертности, общей заболеваемости населения обычно рассчитываются на 1000 человек. При расчете материнской смертности, как значительно более редкого события, используется коэффициент 100 000. Наоборот, частота такого распространенного явления, как случай временной утраты трудоспособности, рассчитывается на 100 работающих.

Пример расчета интенсивного показателя:

За год в больнице Н. было выполнено 360 хирургических операций. В 54 случаях в послеоперационном периоде наблюдались различные осложнения. Найти частоту послеоперационных осложнений из расчета на 100 операций.

Решение: Частота послеоперационных осложнений - это интенсивный показатель, который может быть рассчитан как отношение явления к среде. Средой выступает совокупность выполненных операций (360), из числа которых в 54 случаях, как следует из условия задачи, происходило явление - отмечались послеоперационные осложнения. Таким образом:

Частота послеоперационных осложнений = (Число случаев послеоперационных осложнений) / (Число выполненных операций) * 100 = (54 / 360) * 100 = 15.

Значение коэффициента принято равным 100, так как в условии задачи спрашивается частота, рассчитанная на 100 выполненных операций.

Ответ: Частота послеоперационных осложнений в больнице Н. за год составила 15 случаев на 100 выполненных операций.

Экстенсивные показатели - характеризуют структуру явления, измеряются в процентах, реже - в промилле или долях единицы. Экстенсивные величины показывают, какую часть составляет отдельная группа единиц в структуре всей совокупности. Рассчитываются по формуле:

Э.п. = часть/целое*100%.

Пример расчета экстенсивного показателя:

В исследовании эффективности лечения пневмонии с использованием нового антибиотика приняли участие 200 пациентов, из них 90 - мужчины. Необходимо определить долю мужчин среди исследуемых, результат выразить в %.

Решение: Пациенты мужского пола представляют собой часть от всей совокупности исследуемых. Следовательно, мы должны воспользоваться формулой для расчета экстенсивных показателей:

Доля пациентов мужского пола среди всех исследуемых = (число мужчин) / (число всех пациентов) * 100% = (90 / 200) * 100% = 45%.

Ответ: Доля пациентов в структуре исследуемых составляет 45%.

Показатели соотношения - характеризуют отношение двух не связанных между собой совокупностей. Данные совокупности могут измеряться в одних величинах, главное условие, что их изменения должны происходить независимо друг от друга. Обычно в таком виде представляются различные индексы, коэффициенты, показатели обеспеченности населения. Рассчитываются по следующей формуле:

П.с. = (первая совокупность) / (вторая совокупность)*коэффициент

Коэффициент обычно принимает значения 1 (для индексов) или 10 000 (для показателей обеспеченности населения).

Пример расчета показателя соотношения:

В одном из районов Республики Татарстан проживает 40 000 населения. В лечебно-профилактических учреждениях данного района развернуты 384 стационарные койки. Какова обеспеченность населения койками в районе?

Решение: Мы имеем две совокупности: население и стационарные койки. Изменения числа населения не зависят от изменений числа стационарных коек и наоборот, в связи с чем делаем вывод о том, что представленные совокупности не связаны между собой. Рассчитаем показатель обеспеченности населения стационарными койками:

Обеспеченность населения койками = (число коек) / (численность населения) *10 000 = (384 / 40 000) * 10 000 = 96.

Ответ: Обеспеченность населения стационарными койками составляет 96 на 10 000 населения.

58. Способ сложения и вычитания или способ уравнения коэффициентов . Решим совместно следующие 2 уравнения:

7x + 5y = 47 и 7x – 5y = 9 (1)

Мы видим, что в левой части одного уравнения входит член +5y, а в левой части другого - член –5y. Если бы пришлось эти части сложить между собою, то эти члены уничтожились бы. И этого достигнуть легко: из данных двух уравнений составим вытекающее из них новое, для чего сложим и левые части обоих уравнений между собою, и правые части между собою – результаты этих сложений, очевидно, должны быть равны между собою, т. е. получим:

(члены +5y и –5y взаимно уничтожились). Отсюда получим x = 4. Умножим затем обе части второго уравнения на –1; получим:

7x + 5y = 47
–7x + 5y = –9

и теперь опять сложим левые части между собою и правые между собою (говорят: сложим эти 2 уравнения по частям). Получим, так как члены +7x и –7x взаимно уничтожаются:

10y = 38, откуда y = 3,8

Мы могли бы взамен этого сделать и так: вернемся к уравнениям (1) и вычтем по частям (т. е. из левой части левую часть и из правой части правую часть) из первого уравнения второе. Тогда надо у всех членов 2-го уравнения переменить знаки - результат получится тот же самый.

В разобранном примере абсолютные величины коэффициентов при каждом неизвестном в каждом уравнении были равны; рассмотрим теперь пример, когда абсолютные величины этих коэффициентов неравны.

3x + 4y = 23 и 9x + 10y = 65.

Рассматривая эти уравнения, мы видим, что коэффициенты при x не равны, но что их легко сделать равными, если обе части первого уравнения умножим на 3. Сделав это, получим:

9x + 12y = 69
9x + 10y = 65

Теперь вычтем по частям из первого уравнения второе (надо у всех членов 2-го уравнения переменить знаки). Получим:

2y = 4, откуда y = 2.

Рассматривая данные уравнения, мы теперь приходим к возможности уравнять коэффициенты при y, для чего можно поступить по разному: 1) обе части 1-го уравнения умножить на 2 ½ - тогда получим:

7 ½ x + 10y = 57 ½
9x + 10y = 65

Вычтем теперь из 2-го уравнения по частям 1-е, для чего переменим знаки у всех членов 1-го уравнения (мы вычитаем из 2-го первое, а не наоборот, только для того, чтобы в левой части коэффициент при x получился положительный), получим:

1 ½ x = 7 ½, откуда x = 7 ½: 1 ½ = 5.

2) Обе части 2-го уравнения умножим на 2/5, - получим:
3x + 4y = 23 (первое оставляем без изменения).

3 3/5 x + 4y = 26

Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:

3/5 x = 3, откуда x = 3: 3/5 = 5.

3) Если не желаем иметь дело с дробными коэффициентами, то найдем общее наименьшее кратное для коэффициентов при y, т. е. для чисел 4 и 10 – оно есть 20 и, умножением обеих частей 1-го уравнения и обеих частей 2-го, сведем дело к тому, чтобы в каждом уравнении коэффициентом при y служило это общее наименьшее кратное. В нашем примере для этого умножим обе части 1-го уравнения на 5 и обе части 2-го уравнения на 2. Получим:

15x + 20y = 115
18x + 20y = 130.

Опять вычтем по частям из 2-го уравнения первое, - получим:

3x = 15, откуда x = 5.

Заметим еще, что когда одно неизвестное определено, можно подстановкою получить другое. Так, мы сначала нашли y = 2. Подставим это значение в 1-ое уравнение:

3x + 4 · 2 = 23

3x = 23 – 8 = 15, откуда x = 5.

Коротко выполним еще один пример:

6x – 15y = 32 | · 3 | · 2
4x + 9y = 34 | · 5 | · 3

Сбоку мы отметили, что надо обе части 1-го уравнения умножить на 3 и обе части 2-го на 5 - мы имеем в виду уравнять абсолютные величины коэффициентов при y. Получим:

18x – 45y = 96.
20x + 45y = 170.

Сложим эти уравнения по частям, получим:

38x = 266 и x = 7.

Теперь умножим обе части 1-го уравнения на 2 и обе части второго на 3 (отмечено сбоку). Получим:

12x – 30y = 64
12x + 27y = 102.

Вычтем по частям из 2-го уравнения первое; получим:

57y = 38 и y = 38/57 = 2/3.

Примем этот способ к решению двух уравнений с двумя неизвестными в общем виде:

ax + by = m | · d | · c
cx + dy = n | · b | · a

Сначала умножим, как отмечено, обе части 1-го уравнения на d и обе части 2-го на b. Получим:

adx + bdy = md
cbx + =bdy = nb.

Вычтем по частям из 1-го уравнения второе, получим:

adx – cbx = md – nb.

Вынесем в левой части x за скобки, получим:

(ad – cb)x = md – nb,

x = (md – nb) / (ad – cb).

Уравняем теперь коэффициенты при x, для чего обе части 1-го уравнения умножим на c и обе части второго на a. Получим:

Вычтем по частям из 2-го уравнения первое, получим:

ady – bcy = na – mc,

(ad – bc) y = na – mc

y = (na – mc) / (ad – bc).

Мы вычитали здесь из 2-го уравнения первое, а не наоборот, с целью получить тот же знаменатель ad – bc, какой получился при определении x – a.

Аналогичные уравнения можно получить, применяя описанные выше операции по отношению к переменным С 2 ,…,С m . Эти уравнения образуют систему нормальных уравнений:

a 11 С 1 + a 12 С 2 +…+ a 1m С m = b 1

a 21 С 1 + a 22 С 2 +…+ a 2m С m = b 2 (5)

……………………………………………………………..

a m1 С 1 + a m2 С 2 +…+ a m m С m = b m ,

где коэффициенты a k l и величины b k (k, l = 1, 2,…, m ) определяются выражениями

Уравнения (5) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.

Преимущество использования линейного представления аппроксимирующей функции j (x) состоит в том, что в этом случае однозначно решается вопрос о минимуме величины J . Действительно, если решение системы линейных уравнений (9) существует, то оно единственно, поэтому необходимые условия являются в данном случае и достаточными условиями минимума функции J(С 1 , С 2 ,…, С m).

5)Описание метода определения параметров аппроксимирующей функции (решение системы нормальных уравнений).

Для решения системы нормальных уравнений был выбран метод Гаусса.

Один из возможных способов минимизации критерия аппроксимации предполагает решение системы нормальных уравнений. При выборе в качестве аппроксимирующей функции линейной функции искомых параметров нормальные уравнения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.

Систему n линейных уравнений общего вида (где через x k обозначены искомые параметры С k аппроксимирующей функции)

a 11 x 1 + a 12 x 2 +…+ a 1n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 +…+ a 2n x n = b 2

…………………………………………..

a n1 x 1 + a n2 x 2 +…+ a n n x n = b n

можно записать посредством матричных обозначений в следующем виде:

A X = B, где

Квадратная матрица A называется матрицей системы, вектор X – вектором-столбцом неизвестных системы , а вектор B – вектором-столбцом свободных членов.

В матричном представлении исходная система линейных уравнений примет вид

Решение системы линейных уравнений сводится к отысканию значений элементов вектора-столбца (x i ), называемых корнями системы . Для получения единственного решения системы входящие в нее n уравнений должны быть линейно независимыми. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя данной системы, т.е.
det A ¹ 0.

Для решения был выбран метод Гаусса. Согласно этому методу, исходная система линейных уравнений преобразуется путем последовательного исключения неизвестных в эквивалентную систему уравнений, имеющую так называемый «треугольный» вид. Последнее уравнение «треугольной» системы содержит лишь одно неизвестное (x n ), предпоследнее – два (x n , x n -1 ) и т.д. Решение полученной системы уравнений осуществляется последовательным («снизу вверх») определением x n из последнего уравнения «треугольной» системы, x n -1 изпредпоследнего и т.д. Применительно к системе уравнений преобразование к «треугольному» виду осуществляется за (n – 1 ) шагов.

На первом шаге выделяется первое уравнение системы. Это уравнение не преобразуется, и оно объявляется ведущим уравнением. Затем исключается неизвестное x 1 из всех уравнений, кроме ведущего. Для этого последовательно из каждого уравнения вычитается ведущее уравнение, умноженное на некоторый специально подобранный множитель, позволяющий сделать результирующий коэффициент при x 1 равным нулю. Так, например, для исключения x 1 из второго уравнения

a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2 n x n = b 2

необходимо из него вычесть ведущее уравнение, умноженное на коэффициент q 21 = a 21 / a 11 . Действительно, результат вычитания имеет вид

(a 21 – q 21 a 11) x 1 + (a 22 – q 21 a 12) x 2 + …+ (a 2n – q 21 a 1n) x n =
= b 2 – q 21 b 1 .

Очевидно, что коэффициент (a 21 – q 21 a 11 ) при x 1 равен нулю. Вводя новые обозначения для коэффициентов

k=(2, …, n) ,

И свободного члена

можно переписать уравнение в виде

Аналогичную процедуру можно проделать с третьим уравнением системы. Умножая ведущее уравнение на q 31 =a 31 /a 11 и вычитая результат умножения из третьего уравнения, получим эквивалентное уравнение

В результате рассмотренного первого шага исходная система уравнений превратится в эквивалентную систему уравнений, причем неизвестное x 1 входит только в первое уравнение:

На втором шаге ведущим объявляется второе уравнение системы и исключается неизвестное x 2 из уравнений с номерами от третьего до последнего. Исключение неизвестного проводится по схеме, описанной в первом шаге. Для исключения x 2 из третьего уравнения системы ведущее уравнение умножается на

и результат умножения вычитается из третьего уравнения, результирующий коэффициент при x 2 будет равен нулю. Для исключения x 2 из четвертого уравнения ведущее уравнение умножается на

и т.д. В результате второго шага (исключения неизвестного x 2 ) будет получена система уравнений, также эквивалентная исходной системе:

где введены новые обозначения для коэффициентов преобразуемых уравнений. Отметим, что неизвестное x 1 входит только в первое уравнение, а неизвестное x 2 - в первое и второе уравнения.

На (n -1 ) шаге исключается неизвестное x n -1 из последнего n -го уравнения, и в результате система уравнений принимает окончательный «треугольный» вид

Полученная система уравнений эквивалентна исходной системе уравнений. Описанный процесс последовательного исключения неизвестных носит название прямого хода метода Гаусса.

Определим обобщенные формулы для расчета коэффициентов системы в процессе прямого хода метода Гаусса. На i -м шаге неизвестное x i исключается из всех уравнений с номерами k , где i+1 £ k £ n , при этом ведущее уравнение (с номером i ) умножается на

и результат умножения вычитается из k -го уравнения. Новые значения коэффициентов (в уравнении с номером k ) при неизвестных x j , (i+1 £ j £ n ) равны

новое значение свободного члена

Решение треугольной системы уравнений носит название обратного хода метода Гаусса и заключается в последовательном определении всех неизвестных, начиная с последнего x n . Действительно, из последнего уравнения системы вытекает, что

Значение x n -1 получается при решении предпоследнего уравнения

Так как x n уже определено, то

Эта процедура применяется последовательно ко всем уравнениям, включая и первое, из которого определяется

Обобщенная формула вычисления x i имеет вид

В процессе прямого хода метода Гаусса может оказаться, что коэффициент a ij (i -1) ведущего уравнения равен нулю. Тогда исключить x i из остальных уравнений описанным методом нельзя. Однако уравнения системы можно поменять местами и объявить ведущим то уравнение, у которого коэффициент при неизвестном x i отличен от нуля. Отметим, что системы, отличающиеся лишь взаимным расположением образующихих уравнений, являются эквивалентными. Перестановка уравнений не только допустима, но часто и полезна для уменьшения погрешности арифметических вычислений. Для уменьшения погрешности вычислений в качестве ведущего обычно выбирается уравнение с максимальным по модулю коэффициентом при x i . Это уравнение и уравнение с номером i меняют местами, и процесс исключения продолжается обычным образом. Поиск максимального по модулю коэффициента приx i носит название определение ведущего элемента .

6)Схемы алгоритмов и их описание.

Подпрограмма функции fi

Алгоритм подпрограммы нахождения матриц А и В:

выход матрицы A и вектора B

Алгоритм подпрограммы вывода матрицы А.

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Напечатать