Степенные или показательные уравнения

Когда число умножается само на себя , произведение называется степенью .

Так 2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
2.2.2 = 8, куб или третья степень.
2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.

Также, 10.10 = 100, вторая степень 10.
10.10.10 = 1000, третья степень.
10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.

И a.a = aa, вторая степень a
a.a.a = aaa, третья степень a
a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a

Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.

Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель . Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а 2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a 3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.

Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a 1 записывается как a.

Вы не должны путать степени с коэффициентами . Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.
Так, 4a = a + a + a + a. Но a 4 = a.a.a.a

Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква . В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении a x , показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень . Так, b m и d n возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда b m = b 3 ; но если m = 5, тогда b m =b 5 .

Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d) 3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель , и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.

Так, в ряде aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
показатели, если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножать на a, мы успешно получим несколько значений.

Tак a.a = a 2 , второй член. И a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третий член. a 4 .a = a 5 .

Если мы начнем слева делить на a,
мы получим a 5:a = a 4 и a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.

Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.

Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a 3) = a 3 .

Тот же самый план записи может применяться к многочленам . Так, для a + b, мы получим множество,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.

Согласно этой форме, 1/a или 1/a 1 = a -1 . И 1/aaa или 1/a 3 = a -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa или 1/a 4 = a -4 .

А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a 0 .

Тогда, учитывая прямые и обратные степени
вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можно записать a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Или a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Корень степени может выражен более чем одной буквой.

Так, aa.aa или (aa) 2 есть второй степенью aa.
И aa.aa.aa или (aa) 3 есть третьей степенью aa.

Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.

Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:

Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.

Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.

Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

Четвертая степень a есть a 4 или aaaa. (Art. 195.)
Шестая степень y есть y 6 или yyyyyy.
N-ая степень x есть x n или xxx..... n раз повторенное.

Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.

Tак (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Так, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.

Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy) 4 , или d 4 h 4 y 4 .

Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b) 3 , или 4 3 b 3 , или 64b 3 .

Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad) n или 6 n a n d n .

Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y) 3 , или 27m 3 .8y 3 .

Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,

(a + b) 1 = a + b, первая степень.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , вторая степень (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , третья степень.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 , четвертая степень.

Квадрат a - b, есть a 2 - 2ab + b 2 .

Квадрат a + b + h есть a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3

Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.

Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.

Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 - b.

Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.

Если мы умножаем a + h само на себя или a - h само на себя,
мы получаем: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 также, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.

Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.

Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.

Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a 2 + 4ab + b 2 .

Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Пример 3. Квадрат 3d - h, есть 9d 2 + 6dh + h 2 .

Пример 4. Квадрат a - 1 есть a 2 - 2a + 1.

Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.

Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.

Так, квадрат a + b, есть (a + b) 2 .
N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x) n

В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.

Но если корень степени состоит из нескольких множителей , скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.

Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)] 2 или (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго - произведением их квадратов. Но они равны друг другу.

Куб a.(b + d), есть 3 , или a 3 .(b + d) 3 .

Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.

Вторая степень (- a) есть +a 2
Третья степень (-a) есть -a 3
Четвёртая степень (-a) есть +a 4
Пятая степень (-a) есть -a 5

Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.
Так, +a.+a = +a 2
И -a.-a = +a 2

Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.

Третья степень a 2 есть a 2.3 = a 6 .

Для a 2 = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a 2 .

Четвертая степень a 3 b 2 есть a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

Третья степень 4a 2 x есть 64a 6 x 3 .

Пятая степень (a + b) 2 есть (a + b) 10 .

N-ая степень a 3 есть a 3n

N-ая степень (x - y) m есть (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.

Пример 1. Третья степень a -2 есть a -3.3 =a -6 .

Для a -2 = 1/aa, и третья степень этого
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Четвертая степень a 2 b -3 есть a 8 b -12 или a 8 /b 12 .

Квадрат b 3 x -1 , есть b 6 x -2 .

N-ая cтепень ax -m есть x -mn или 1/x .

Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть "-", то он должен быть изменен на "+" всегда, когда степень есть четным числом.

Пример 1. Квадрат -a 3 есть +a 6 . Квадрат -a 3 есть -a 3 .-a 3 , которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a 6 .

2. Но куб -a 3 есть -a 9 . Для -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-ая степень -a 3 есть a 3n .

Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n - чётное или нечётное.

Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.

Квадрат a/b есть a 2 /b 2 . Согласно правилу умножению дробей,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a 2 , 1/a 3 и 1/a n .

Примеры двочленов , в которых один из членов является дробью.

1. Найдите квадрат x + 1/2 и x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Квадрат a + 2/3 есть a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Квадрат x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Квадрат x - b/m есть x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени .

Так, в дроби ax -2 /y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.
Тогда ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

В дроби a/by 3 мы можем переместить у из знаменателя в числитель.
Тогда a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.

Так, ax 3 /b = a/bx -3 . Для x 3 обратным есть x -3 , что есть x 3 = 1/x -3 .

Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.

Так, a/b = 1/ba -1 , or ab -1 .

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Глава первая.

Возвышение в квадрат одночленных алгебраических выражений.

152. Определение степени. Напомним, что произведение двух одинаковых чисел аа называется второю степенью (или квадратом ) числа а , произведение трех одинаковых чисел ааа называется третьей степенью (или кубом ) числа а ; вообще произведение n одинаковых чисел аа... а называется n -ю степенью числа а . Действие, посредством которого находится степень данного числа, называется возвышением в степень (вторую, третью и т. д.). Повторяющийся сомножитель называется основанием степени, а число одинаковых сомножителей называется показателем степени.

Сокращенно степени обозначаются так: а 2 , а 3 , а 4 ... и т. д.

Мы сначала будем говорить о простейшем случае возвышения в степень, именно о возвышении в квадрат ; а пoсле рассмотрим возвышение и в другие степени.

153. Правило знаков при возвышении в квадрат. Из правила умножения относительных чисел следует, что:

(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;

(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9

(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2

(-a) 2 =(-a) (-a) = +a 2

Значит, квадрат всякого относительного числа есть число положительное.

154. Возвышение в квадрат произведения, степени и дроби.

а) Пусть требуется возвысить в квадрат произведение нескольких сомножителей, напр. аbс . Это значит, что требуется аbс умножить на аbс . Но чтобы умножить на произведение аbс , можно умножить множимое на а , результат умножить на b и что получатся умножить еще на с .

(аbс) 2 = (аbс) (аbс) = (аbс) аbс = аbсаbс

(мы отбросили последние скобки, так как от этого смысл выражения не изменяется). Теперь, пользуясь сочетательным свойством умножения (отдел1 § 34, б), сгруппируем сомножители так:

(аа) (bb) (сс),

что можно сокращенно написать: а 2 b 2 с 2 .

Значит, чтобы возвысить произведение в квадрат, можно возвысить в квадрат каждый сомножитель отдельно
(Для сокращения речи правило это, как и последующее, выражено не полно; надо было бы еще добавить: „и полученные результаты перемножить". Добавление ото само собой подразумевается..)

Таким образом:

(3 / 4 xy) 2 = 9 / 16 x 2 y 2 ; (- 0,5mn) 2 = + 0,25m 2 n 2 ; и т. п.

б) Пусть требуется какую-нибудь степень, напр. a 3 , возвысить в квадрат. Это можно выполнить так:

(а 3) 2 = а 3 а 3 = а 3+3 = а 6 .

Подобно этому: (х 4) 2 = x 4 x 4 = x 4+4 = x 8

Значит, чтобы возвысить степень в квадрат, можно показатель степени умножить на 2 .

Таким образом, применяя эти два правила, будем, напр., иметь:

(- 3 3 / 4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3 / 4) 2 a 2 (x 2) 2 (у 3) 2 = 225 / 2 a 2 x 4 y 6

в) Пусть требуется возвысить в квадрат какую-нибудь дробь a / b . Тогда, применяя правило умножения дроби на дробь, получим:

Значит, чтобы возвысить в квадрат дробь, можно возвысить в квадрат отдельно числитель и знаменатель.

Пример.

Глава вторая.

Возвышение в квадрат многочлена.

155. Вывод формулы. Пользуясь формулой (отдел2 глава3 § 61):

(а + b) 2 = a 2 + 2аb + b 2 ,

мы можем возвысить в квадрат трехчлен a + b + с , рассматривая его как двучлен (а + b) + с :

(а + b +c) 2 = [(а + b) + c ] 2 = (а + b) 2 + 2(а + b)c + c 2 = a 2 + 2аb + b 2 + 2(а + b)c + c 2

Таким образом, с прибавлением к двучлену а + b третьего члена с после возвышения в квадрат прибавились 2 члена: 1) удвоенное произведение суммы первых двух членов на третий член и 2) квадрат третьего члена. Приложим теперь к трехчлену а + b + с еще четвертый член d и возвысим четырехчлен а + b + с + d в квадрат, принимая сумму а + b + с за один член.

(а + b +c + d) 2 = [(а + b + c) + d ] 2 = (а + b +c) 2 + 2(а + b + c)d + d 2

Подставив вместо (а + b +c) 2 то выражение, которое мы получили выше, найдем:

(а + b +c + d) 2 = a 2 + 2аb + b 2 + 2(а + b)c + c 2 + 2(а + b + c)d + d 2

Мы опять замечаем, что с прибавлением нового члена к возвышаемому многочлену в квадрате его прибавляются 2 члена: 1) удвоенное произведение суммы прежних членов на новый член и 2) квадрат нового члена. Очевидно, что такое прибавление двух членов будет идти и дальше по мере прибавления новых членов к возвышаемому многочлену. Значит:

Квадрат многочлена равен: квадрату 1-го члена, плюс удвоенное произведение 1-го члена на 2-й, плюс квадрат 2-го члена, плюс удвоенное произведение суммы первых двух членов на 3-й, плюс квадрат 3-го члена, плюс удвоенное произведение суммы первых трех членов на 4-й, плюс квадрат 4-го члена, и т. д. Конечно, члены многочлена могут быть и отрицательными.

156. Замечание о знаках. В окончательном результате со знаком плюс окажутся, во-первых, квадраты всех членов многочлена и, во-вторых, те удвоенные произведения, которые произошли от умножения членов с одинаковыми знаками.

Пример.

157. Сокращенное возвышение в квадрат целых чисел . Пользуясь формулою квадрата многочлена, можно возвышать в квадрат всякое целое число иначе, чем обыкновенным умножением. Пусть, напр., требуется возвысить в квадрат 86 . Разложим это число на разряды:

86 = 80 + 6 = 8 дес.+ 6 ед.

Теперь по формуле квадрата суммы двух чисел можем написать:

(8 дес.+ 6 ед.) 2 =(8 дес.) 2 + 2(8 дес.) (6 ед.) + (6 ед.) 2 .

Чтобы быстрее вычислить эту сумму, примем во внимание, что квадрат десятков составляет сотни (но могут быть и тысячи); напр. 8 дес . в квадрате образуют 64 сотни , так как 80 2 = б400 ; произведение десятков на единицы составляет десятки (но могут быть и сотни), напр. 3 дес. 5 ед. = 15 дес, так как 30 5 = 150; и квадрат единиц составляет единицы (но могут быть и десятки), напр. 9 ед. в квадрате = 81 ед. Поэтому вычисление всего удобнее расположить так:

т. е. мы пишем сначала квадрат первой цифры (сотни); под этим числом пишем удвоенное произведение первой цифры на вторую (десятки), наблюдая при этом, чтобы последняя цифра этого произведения стояла на одно место правее последней цифры верхнего числа; далее, снова отступив последней цифрой на одно место вправо, ставим квадрат второй цифры (единицы); и все написанные числа складываем в одну сумму. Конечно, можно было бы дополнить эти числа надлежащим количеством нулей, т. е. написать так:

но это бесполезно, если только будем правильно подписывать числа друг под другом, отступая каждый раз (последней цифрой) на одно место вправо.

Пусть еще требуется возвысить в квадрат 238 . Так как:

238 = 2 сот. + 3 дес. + 8 ед. , то

Но сотни в квадрате дают десятки тысяч (напр., 5 сот. в квадрате будет 25 дес. тысяч, так как 500 2 = 250 000), произведение сотен на десятки дает тысячи (напр. 500 30= 15 000) и т. д.

Примеры.

Глава третья.

у = х 2 и у = ах 2 .

158. График функции у = х 2 . Проследим, как при изменении возвышаемого числа х изменяется квадрат его х 2 (напр., как при изменении стороны квадрата изменяется его площадь). Для этого предварительно обратим внимание на следующие особенности функции у = х 2 .

а) При всяком значении х функция всегда возможна и всегда получает только одно определенное значение. Напр, при х = - 10 функция будет (-10) 2 = 100 , при
х =1000 функция будет 1000 2 =1 000 000 , и т. п.

б) Так как (-х ) 2 = х 2 , то при двух значениях х , отличающихся только знаками, получаются два одинаковые положительные значения у ; напр, при х = - 2 и при х = + 2 значение у будет одно и то же, именно 4 . Отрицательных значений для у никогда не получается.

в) Если абсолютная величина х неограниченно увеличивается, то и у неограниченно увеличивается. Так, если для х будем давать ряд неограниченно возрастающих положительных значений: 1, 2, 3, 4... или ряд неограниченно убывающих отрица тельных значений: -1, -2, -3, -4..., то для у получим ряд неограниченно возрастающих значений: 1, 4, 9, 16, 25... Эти кратко выражают, говоря, что при x = + ∞ и при x = - ∞ функция у делается + ∞ .

г) х у . Так, если значению х = 2 , дадим приращение, положим, 0,1 (т. е. вместо х = 2 возьмем х = 2,1 ), то у вместо 2 2 = 4 сделается равным

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .

Значит, у увеличится на 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . Если тому же значению х дадим еще меньшее приращение, положим, 0,01 , то у сделается равным

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .

Значит, тогда у увеличится на 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 , т. е. увеличится меньше, чем прежде. Вообще, чем на меньшую дробь мы увеличим х , тем на меньшее число увеличится у . Таким образом, если представим себе, что х увеличивается (положим от значения 2) непрерывно , переходя через все значения, большие 2, то у будет увеличиватьcя тоже непрерывно, переходя через все значения, большие 4.

Заметив все эти свойства, составим таблицу значений функции у = х 2 , напр., такую:

Изобразим теперь эти значения на чертеже в виде точек, абсциссы которых будут выписанные значения х , а ординаты соответствующие значения у (на чертеже за единицу длины мы приняли сантиметр); полученные точки обведем кривою. Кривая эта называется параболой .

Рассмотрим некоторые ее свойства.

а) Парабола есть кривая непрерывная , так как при не прерывном изменении абсциссы х (как в положительном направлении, так и в отрицательном) ордината, как мы видели сейчас, изменяется тоже непрерывно.

б) Вся кривая расположена по одну сторону от оси x -ов, именно по ту сторону, по какую лежат положительные значения ординат.

в) Парабола подразделяется осью у -ов на две части (ветви). Точка О , в которой эти ветви сходятся, называется вершиною параболы. Эта точка есть единственная общая у параболы и оси x -ов; значит, в этой точке парабола касается оси x -ов.

г) Обе ветви бесконечны, так как х и у могут увеличиваться беспредельно. Ветви поднимаются от оси x -ов неограниченно вверх, удаляясь в то же время неограниченно от оси y -ов вправо и влево.

д) Ось y -ов служит для параболы осью симметрии, так что, перегнув чертеж по этой оси так, чтобы левая половина чертежа упала на правую, мы увидим, что обе ветви совместятся; напр, точка с абсциссой - 2 и с ординатой 4 совместитcя с точкой, имеющей абоциссу +2 и ту же ординату 4.

е) При х = 0 ордината тоже равна 0. Значит, при х = 0 функция имеет наименьшее значение из всех возможных. Наибольшего значения функция не имеет, так как ординаты кривой увеличиваются беспредельно.

159. График функции вида у = ах 2 . Предположим сначала, что а есть число положительное. Возьмем, напр., такие 2 функции:

1) y = 1 1 / 2 x 2 ; 2) y = 1 / 3 x 2

Составим таблицы значений этих функции, напр., такие:

Нанесем все эти значения на чертеж и проведем кривые. Для сравнения мы поместили на том же чертеже (прерывистой линией) еще график функции:

3) y = x 2

Из чертежа видно, что при одной и той же абсциссе ордината 1-й кривой в 1 1 / 2 , раза больше, а ордината 2-й кривой в 3 раза меньше, чем ордината 3-й кривой. Вследствие этого все такие кривые имеют общий характер: бесконечные непрерывные ветви, ось симметрии и пр., только при а > 1 ветви кривой более приподняты вверх, а при a < 1 они более отогнуты книзу, чем у кривой y= x 2 . Все такие кривые называются параболамми .

Предположим теперь, что коэффициент а будет число отрицательное. Пусть, напр., y = - 1 / 3 x 2 . Сравнивая эту функцию с такой: y = + 1 / 3 x 2 замечаем, что при одном и том же значении х обе функции имеют одну и ту же абсолютную величину, но противоположны по знаку. Поэтому на чертеже для функции y = - 1 / 3 x 2 получится такая же парабола, как и для функции y = 1 / 3 x 2 только расположенная под осью х -ов симметрично с параболой y = 1 / 3 x 2 . В этом случае все значения функции отрицательны, кроме одного, равного нулю при х = 0 ; это последнее значение является наибольшим из всех.

Замечание. Если зависимость между двумя переменными величинами у и х выражается равенством: у = ах 2 , где а какое-нибудь постоянное число, то можно сказать, что величина у пропорциональна квадрату величины х , так как с увеличением или уменьшением х в 2 раза, в 3 раза и т. д. величина у увеличивается или уменьшается в 4 раза, в 9 раз, в 16 раз и т. д. Напр, площадь круга равна π R 2 , где R есть радиус круга и π постоянное число (равное приблизительно 3,14); поэтому можно сказать, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса..

Глава четвертая.

Возвышение в куб и в другие степени одночленных алгебраических выражений.

160. Правило знаков при возвышении в степень. Из правила умножения относительных чисел следует, что

(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;

(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;

(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;

(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = +l; и т. п.

Значит, от возвышения отрицательного числа в степень с четным показателем получается положительное число, а от возвышения его в степень с нечетным показателем получается отрицательное число.

161. Возвышение в степень произведения, степени и дроби. При возвышении произведения степени и дроби в какую-нибудь степень мы можем поступать так же, как и при возвышении в квадрат (). Так:

(аbс) 3 = (аbс)(аbс)(аbс) = аbс аbс аbс = (ааа)(bbb)(ссс) = a 3 b 3 с 3 ;

Глава пятая.

Графическое изображение функций: у = х 3 и у = ах 3 .

162. График функции у = х 3 . Рассмотрим, как при изменении возвышаемого числа изменяется куб его (напр., как при изменении ребра куба изменяется его объем). Для этого предварительно укажем следующие особенности функции у = х 3 (напоминающие свойства функции у = х 2 , рассмотренные нами раньше, ):

а) При всяком значении х функция у = х 3 возможна и имеет единственное значение; так, (+ 5) 3 = +125 и никакому другому числу куб числа + 5 равняться не может. Подобно этому (- 0,1) 3 = - 0,001 и никакому другому числу куб числа -0,1 равняться не может.

б) При двух значениях х , отличающихся только знаками, функция х 3 получает значения, также отличающиеся друг от друга только знаками; так, при х = 2 функция х 3 равна 8, а при х = - 2 она равна -8 .

в) При возрастании х функция х 3 возрастает и притом быстрее, чем х , и даже быстрее, чем х 2 ; так при

х = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. х 3 будет = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...

г) Очень малому приращению переменного числа х соответствует и очень малое приращение функции х 3 . Так, если значение х = 2 увеличим на дробь 0,01 , т. е. если вместо х = 2 возьмем x = 2,01 , то функция у будет не 2 3 (т. е. не 8 ), а 2,01 3 , что составит 8,120601 . Значит, функция эта увеличится тогда на 0,120601 . Если значение х = 2 увеличим еще меньше, напр, на 0,001 , то х 3 сделается равным 2,001 3 , что составит 8,012006001 , и, значит, у увеличится только на 0,012006001 . Мы видим, таким образом, что если приращение переменного числа х будет все меньше и меньше, то и приращение х 3 будет все меньше и меньше.

Заметив это свойство функции у = х 3 , начертим ее график. Для этого предварительно составим таблицу значений этой функции, напр., такую:

163. График функции у = aх 3 . Возьмем такие две функции:

1) у = 1 / 2 х 3 ; 2) у = 2 х 3

Если сравним эти функции с более простой: у = х 3 , то заметим, что при одном и том же значении х первая функция получает значения вдвое меньшие, а вторая вдвое большие, чем функция у = aх 3 , во вcем остальном эти три функции сходны между собой. Графики их изображены для сравнения на одном и том же чертеже. Кривые эти называются параболами 3-й степени .

Глава шестая.

Основные свойства извлечения корня.

164. Задачи.

а) Найти сторону квадрата, которого площадь равнялась бы площади прямоугольника с основанием 16 см и с высотою 4 см.

Обозначив сторону искомого квадрата буквою х (см), получим такое уравнение:

х 2 =16 4, т. е. х 2 = 64.

Мы видим таким образом, что х есть такое число, которое, будучи возвышено во вторую степень, дает в результате 64. Такое число называется корнем второй степени из 64. Оно равно + 8 или - 8, так как (+ 8) 2 = 64 и (- 8) 2 = 64. Отрицательное число - 8 для нашей задачи не годится, так как сторона квадрата должна выразиться обыкновенным арифметическим числом.

б) Свинцовый кусок, весящий 1 кг 375 г (1375 г), имеет форму куба. Как велико ребро этого куба, если известно, что 1 куб. см свинца весит 11 граммов?

Пусть длина ребра куба будет х см. Тогда его объем будет равен х 3 куб. см, а вес его окажется 11 х 3 г.

11х 3 = 1375; х 3 = 1375: 11 = 125.

Мы видим таким образом, что х есть такое число, которое, будучи возвышено в третью степень, составляет 125 . Такое число называется корнем третьей степени из 125. Оно, как нетрудно догадаться, равно 5, так как 5 3 = 5 5 5 = 125. Значит, ребро куба, о котором говорится в задаче, имеет длину в 5 см.

165. Определение корня. Корнем второй степени (или квадратным) из числа а называется такое число, которого квадрат равняется а . Так, квадратный корень из 49 есть 7, а также и - 7, так как 7 2 = 49 и (- 7) 2 = 49. Корнем третьей степени (кубичным) из числа а называется такое число, которого куб равняется а . Так, кубичный корень из -125 есть - 5, так как (- 5) 3 =(-5)(-5)(-5)= -125.

Вообще корнем n -ой степени из числа а называется такое число, которого n -ая степень равна а .

Число n , означающее, какой степени находится корень, называется показателем корня .

Корень обозначается знаком √ (знак радикала, т. е. знак корня). Латинское слово radix означает корень. Знак √ впервые введен в XV столетии. . Под горизонтальной чертой его пишут то число, из которого корень отыскивается (подкоренное число), а над отверстием угла ставят показатель корня. Так:

корень кубичный из 27 обозначается..... 3 √27 ;

корень четвертой степени из 32 обозначается... 3 √32 .

Показатель квадратного корня принято не писать вовсе, напр.

вместо 2 √16 пишут √16 .

Действие, посредством которого отыскивается корень, называется извлечением корня; оно обратно возвышению в степень, так как посредством этого действия отыскивается то, что дано при возвышении в степень, именно основание стенени, а дано то, что при возвышении в степень отыскивается, именно сама степень. Поэтому правильность извлечения корня мы можем всегда поверять возвышением в степень. Напр., чтобы проверить

равенство: 3 √125 = 5, достаточно 5 возвысить в куб: получив подкоренное число 125, мы заключаем, что корень кубичный из 125 извлечен правильно.

166. Арифметический корень. Корень называется арифметическим, если он извлекается из положительного числа и сам представляет собою положительное число. Напр., арифметический квадратный корень из 49 есть 7, тогда как число - 7, которое тоже есть квадратный корень из 49, нельзя назвать арифметическим.

Укажем следующие два свойства арифметического корня.

а) Пусть требуется найти арифметический √49 . Такой корень будет 7, так как 7 2 = 49. Зададимся вопросом, нельзя ли подыскать какое-нибудь другое положительное число х , которое тоже было бы √49 . Предположим, что такое число существует. Тогда оно должно быть либо меньше 7, либо больше 7. Если допустим, что x < 7, то тогда и х 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что x >7, то тогда и х 2 >49. Значит, никакое положительное число, ни меньшее 7, ни большее 7, не может равняться √49 . Таким образом арифметический корень данной степени из данного числа может быть только один.

К другому заключению мы пришли бы, если бы говорили не о положительном значении корня, а о каком-нибудь; так, √49 равен и числу 7, и числу - 7, так как и 7 2 = 49 и (- 7) 2 = 49.

б) Возьмем какие-нибудь два неравные положительные числа, напр. 49 и 56. Из того, что 49 < 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125

Действительно: 3 √64 = 4 и 3 √125 = 5 и 4 < 5. Вообще меньшему положительному числу соответствует и меньший арифметическии корень (той же степени).

167. Алгебраический корень. Корень называется алгебраическим , если не требуется, чтобы он извлекался из положительного числа и чтобы сам был положительный. Таким образом, если под выражением n √a разумеется алгебраический корень n -й степени, то это значит, что число а может быть и положительное и отрицательное, и самый корень может быть и положительным и отрицательным.

Укажем следующие 4 свойства алгебраического корня.

а) Корень нечетном степеци из положительного числа есть положительное число .

Так, 3 √8 должен быть числом положительным (он равен 2), так как отрицательное число, возвышенное в степень с нечетным показателем, дает отрицательное число.

б) Корень нечетной степени из отрицательною числа есть отрицательное число.

Так, 3 √-8 должен быть отрицательным числом (он равен -2), так как положительное число, возвышенное в какую бы то ни было степень, дает положительное число, а не отрицательное.

в) Корень четной степени из положительного числа имеет два значения с противоположными знаками и с одинаковой абсолютной величиной.

Так, √+4 = + 2 и √+4 = - 2 , потому что (+ 2 ) 2 = + 4 и (- 2 ) 2 = + 4 ; точно так же 4 √+81 = + 3 и 4 √+81 = - 3 , потомуу что обе степени (+3) 4 и (-3) 4 равны одному и тому же числу. Двойное значение корня обозначается обыкновенно постановкою двух знаков перед абсолютной величиной корня; так пишут:

√4 = ± 2 ; √a 2 = ± a ;

г) Корень четной степени из отрицательного числа не может равняться никакому ни положительному, ни отрицательному числу , так как и то и другое после возвышения в степень с четным показателем дает положительное число, а не отрицательное. Напр., √-9 не равен ни +3, ни -3 и никакому иному числу.

Корень четной степени из отрицательного числа принято называть мнимым числом; относительные же числа называются вещественными , или действительными , числами.

168. Извлечение корня из произведения, из степени и из дроби.

а) Пусть надо извлечь квадратный корень из произведения аbс . Если бы требовалось произведение возвысить в квадрат, то, как мы видели (), можно возвысить в квадрат каждый сомножитель отдельно. Так как извлечение корня есть действие, обратное возвышению в степень, то надо ожидать, что и для извлечения корня из произведения можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно, т. е. что

√abc = √a √b √c .

Чтобы убедиться в верности этого равенства, возвысим правую часть его в квадрат (по теореме: чтобы возвысить в степень произведение...):

(√a √b √c ) 2 = (√a ) 2 (√b ) 2 (√c ) 2

Но, согласно определению корня,

(√a ) 2 = a , (√b ) 2 = b, (√c ) 2 = c

Следовательно

(√a √b √c ) 2 = аbс .

Если же квадрат произведения √a √b √c равен аbс , то это значит, что произведение это равно квадратному корню из abc .

Подобно этому:

3 √abc = 3 √a 3 √b 3 √c ,

(3 √a 3 √b 3 √c ) 3 = (3 √a ) 3 (3 √b ) 3 (3 √c ) 3 = abc

Значит, чтобы извлечь корень из произведения, достаточно извлечь его из каждого сомножители отдельно.

б) Легко убедиться поверкою, что следующие равенства верны:

√a 4 = а 2 , потому что (a 2 ) 2 = а 4 ;

3 √x 12 = x 4 , „ (x 4 ) 3 = x 12 ; и т. п.

Значит, чтобы извлечь корень из степени, показатель которой делится на показатель корня, можно разделить показатель степени на показатель корня.

в) Верны будут также и следующие равенства:

Значит, чтобы извлечь корень из дроби, можно изелень сю из числителя и знаменателя отоельно.

Заметим, что в этих истинах предполагается, что речь идет о корнях арифметических.

Примеры .

1) √9a 4 b 6 = √9 √a 4 √b 6 = 3а 2 b 3 ;

2) 3 √125 a 6 x 9 = 3 √125 3 √a 6 3 √x 9 = 5а 2 x 3

Замечание Если искомый корень четной степени и предполагается алгебраический, то перед найденным результатом надо поставить двойной знак ± Так,

√9x 4 = ± 3x 2 .

169. Простейшие преобразования радикалов,

а) Вынесение множителей за знак радикала. Если подкоренное выражение разлагается на такие множители, что из некоторых из них можно извлечь корень, то такие множители, по извлечении из них корня, могут быть написаны перед знаком радикала (могут быть вынесены за знак радикала).

1) √a 3 = √a 2 a = √a 2 √a = а √a .

2) √24 a 4 x 3 = √4 6 a 4 x 2 x = 2a 2 x √6x

3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2 x 3 x = 2x 3 √2 x

б) Подведение множителей под знак радикала. Иногда бывает полезно, наоборот, подвести под знак радикала множители, стоящие перед ним; для этого достаточно возвысить такие множители в степень, показатель которой равен показателю радикала, а затем написать множителями под знаком радикала.

Примеры.

1) а 2 √a = √(а 2 ) 2 a = √а 4 a = √a 5 .

2) 2x 3 √x = 3 √(2x ) 3 x = 3 √8x 3 x = 3 √8x 4 .

в) Освобождение подкоренного выражения от знаменателей. Покажем это на следующих примерах:

1) Преобразуем дробь так, чтобы из знаменателя можно было извлечь квадратный корень. Для этого умножим оба члена дроби на 5:

2) Умножим оба члена дроби на 2 , на а и на х , т. е. на 2ах :

Замечание. Если требуется извлечь корень из алгебраической суммы, то было бы ошибочно извлечь его из каждого слагаемого отдельно. Напр.√9 + 16 = √25 = 5 , тогда как
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; значит, действие извлечения корня по отношению к сложению (и вычитанию) не обладает распределительным свойством (как и возвышение в степень, отдел 2 глава 3 § 61, замечание).