Вынесение за скобки. Вынесение общего множителя за скобки — Гипермаркет знаний. Как привести дроби к общему знаменателю? Правило, примеры, решения

>>Математика: Вынесение общего множителя за скобки

Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое произведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Разложить на множители многочлен:

А) 2х + 6у, в) 4а 3 + 6а 2 ; д) 5а 4 - 10а 3 + 15а 8 .
б) а 3 + а 2 ; г) 12аЬ 4 - 18а 2 b 3 с;

Р е ш е н и е.
а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.

б) а 3 + а 2 = а 2 (а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).

в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных - наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а 2). Получаем:

4а 3 + 6а 2 = 2а 2 2а + 2а 2 3 = 2а 2 (2а + 3).

г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная b также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:

12аb 4 - 18а 2 Ь 3 с = 6аЬ 3 2b - 6аЬ 3 Зас = 6аb 3 (2b - Зас).

д) 5а 4 -10а 3 +15а 8 = 5а 3 (а-2 + За 2).

Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.

Замечание . В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент.

Например:

Пример 2. Разложить на множители:

Х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 .

Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.

1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.
2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х 2 .
3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.

В ы в о д: за скобки можно вынести х 2 . Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x 2 .

Получим:
-х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 = - х 2 (х 2 у 3 + 2ху 2 - 5).

Пример 3 . Можно ли разделить многочлен 5а 4 - 10а 3 + 15а 5 на одночлен 5а 3 ? Если да, то выполнить деление .

Решение. В примере 1д) мы получили, что

5а 4 - 10а 3 + 15а 8 - 5а 3 (а - 2 + За 2).

Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а 3 , при этом в частном получится а - 2 + За 2 .

Подобные примеры мы рассматривали в § 18; просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки.

Разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, которые мы изучали в § 15 и 18, - с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен .

А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.

Пример 4. Разложить на множители:

2x(x-2) + 5(x-2) 2 .

Решение. Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим:

2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = 2ху + 5у 2 .

Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:

2ху + 5у 2 - у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:

у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).

В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую

2х(х - 2) + 5(х - 2) 2 = (х - 2)(2x + 5(x - 2))= (х - 2)(2х + 5х~ 10) = (х - 2)(7x - 10).

Календарно-тематичне планування з математики, відео з математики онлайн , Математика в школі скачати

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

В реальной жизни нам необходимо оперировать обыкновенными дробями. Однако чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, например, 2/3 и 5/7, нам потребуется найти общий знаменатель. Приведя дроби к общему знаменателю, мы сможем легко осуществить операции сложения или вычитания.

Определение

Дроби - одна из самых сложных тем в начальной арифметике, и рациональные числа пугают школьников, которые встречаются с ними впервые. Мы привыкли оперировать с числами, записанными в десятичном формате. Куда проще сходу сложить 0,71 и 0,44, чем суммировать 5/7 и 4/9. Ведь для суммирования дробей их необходимо привести к общему знаменателю. Однако дроби куда точнее представляют значение величин, чем их десятичные эквиваленты, а в математике представление рядов или иррациональных чисел в виде дроби становится приоритетной задачей. Такая задача носит название «приведение выражения к замкнутому виду».

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на один и тот же коэффициент, то значение дроби не изменится. Это одно из самых важных свойств дробных чисел. К примеру, дробь 3/4 в десятичной форме записывается как 0,75. Если умножить числитель и знаменатель на 3, то получим дробь 9/12, что точно также равняется 0,75. Благодаря этому свойству мы можем умножать разные дроби таким образом, чтобы они все имели одинаковые знаменатели. Как это сделать?

Поиск общего знаменателя

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) - это наименьшее общее кратное для всех знаменателей выражения. Найти такое число мы можем тремя способами.

Использование максимального знаменателя

Это один из самых простых, но трудоемких методов поиска НОЗ. Вначале из знаменателей всех дробей выписываем самое большое число и проверяем его делимость на меньшие числа. Если делится, то наибольший знаменатель и есть НОЗ.

Если в предыдущей операции числа делятся с остатком, то необходимо самое большое из них умножить на 2 и повторить проверку на делимость. Если оно делится без остатка, то новый коэффициент становится НОЗ.

Если нет, то самый большой знаменатель умножается на 3, 4 , 5 и так далее, пока не будет найдено наименьшее общее кратное для нижних частей всех дробей. На практике это выглядит так.

Пусть у нас есть дроби 1/5, 1/8 и 1/20. Проверяем 20 на делимость 5 и 8. 20 не делится на 8. Умножаем 20 на 2. Проверяем 40 на делимость 5 и 8. Числа делятся без остатка, следовательно, НОЗ (1/5, 1/8 и 1/20) = 40, а дроби превращаются в 8/40, 5/40 и 2/40.

Последовательный перебор кратных

Второй способ - это простой перебор кратных и выбор из них наименьшего. Для поиска кратных мы умножаем число на 2, 3, 4 и так далее, поэтому количество кратных устремляется в бесконечность. Ограничить эту последовательность можно пределом, которое представляет собой произведение заданных чисел. К примеру, для чисел 12 и 20 НОК находится следующим образом:

• выписываем числа, кратные 12 - 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120;
• выписываем числа, кратные 20 - 40, 60, 80, 100, 120;
• определяем общие кратные - 60, 120;
• выбираем наименьшее из них - 60.

Таким образом, для 1/12 и 1/20 общим знаменателем будет 60, а дроби преобразуются в 5/60 и 3/60.

Разложение на простые множители

Этот способ нахождения НОК наиболее актуален. Данный метод подразумевает разложение всех чисел из нижних частей дробей на неделимые множители. После этого составляется число, которое содержит множители всех знаменателей. На практике это работает так. Найдем НОК для той же пары 12 и 20:

• раскладываем на множители 12 - 2 × 2 × 3;
• раскладываем 20 - 2 × 2 × 5;
• объединяем множители таким образом, чтобы они содержали в себе числа и 12, и 20 - 2 × 2 × 3 × 5;
• перемножаем неделимые и получаем результат - 60.

В третьем пункте мы объединяем множители без повторов, то есть двух двоек достаточно для формирования 12 в комбинации с тройкой и 20 - с пятеркой.

Наш калькулятор позволяет определить НОЗ для произвольного количества дробей, записанных как в обыкновенной, так и в десятичной форме. Для поиска НОЗ вам достаточно ввести значения через табуляцию или запятую, после чего программа вычислит общий знаменатель и выведет на экран преобразованные дроби.

Пример из реальной жизни

Сложение дробей

Пусть в задаче по арифметике нам необходимо сложить пять дробей:

0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20

Решение вручную производилось бы следующим способом. Для начала нам необходимо представить числа в одной форме записи:

• 0,75 = 75/100 = 3/4;
• 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.

Теперь у нас есть ряд обыкновенных дробей, которые необходимо привести к одинаковому знаменателю:

3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20

Так как у нас 5 слагаемых, проще всего использовать способ поиска НОЗ по наибольшему числу. Проверяем 20 на делимость остальными числами. 20 не делится на 8 без остатка. Умножаем 20 на 2, проверим 40 на делимость - все числа делят 40 нацело. Это и есть наш общий знаменатель. Теперь для суммирования рациональных чисел нам необходимо определить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Дополнительные множители буду выглядеть так:

• 40/4 = 10;
• 40/5 = 8;
• 40/8 = 5;
• 40/4 = 10;
• 40/20 = 2.

Теперь умножим числитель и знаменатель дробей на соответствующие дополнительные множители:

30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40

Для такого выражения мы можем легко определить сумму, равную 85/40 или 2 целых и 1/8. Это громоздкие вычисления, поэтому вы можете просто ввести данные задачи в форму калькулятора и сразу получить ответ.

Заключение

Арифметические операции с дробями - не слишком удобная вещь, ведь для поиска ответа приходится осуществлять множество промежуточных вычислений. Используйте наш онлайн-калькулятор для приведения дробей к общему знаменателю и быстрого решения школьных задач.

В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие вынесения множителя за скобки

Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5 · 3 и 5 · 4 , то мы можем вынести за скобки общий множитель 5 .

В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5 · 3 и 5 · 4 и получим 5 (3 + 4) . Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5 .

Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a · (b + c) = a · b + a · c . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.

Правило вынесения общего множителя за скобки

Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

Определение 1

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Пример 1

Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 , которое является суммой трех слагаемых 3 · 7 , 3 · 2 и общего множителя 3 . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3 · (7 + 2 − 5) . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 = 3 · (7 + 2 − 5) .

Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3 · x − 7 · x + 2 можно вынести переменную x и получить 3 · x − 7 · x + 2 = x · (3 − 7) + 2 , в выражении (x 2 + y) · x · y − (x 2 + y) · x 3 – общий множитель (x 2 + y) и получить в итоге (x 2 + y) · (x · y − x 3) .

Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Пример 2

Так, к примеру, в выражении 6 · x + 4 · y можно вынести общий множитель 2 , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2 · 3 , а четыре как 2 · 2 . То есть 6 · x + 4 · y = 2 · 3 · x + 2 · 2 · y = 2 · (3 · x + 2 · y) . Или в выражении x 3 + x 2 + 3 · x можно вынести за скобки общий множитель x , который обнаруживается после замены x 3 на x · x 2 . Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x · (x 2 + x + 3) .

Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение − 5 − 12 · x + 4 · x · y . Перепишем выражение как (− 1) · 5 + (− 1) · 12 · x − (− 1) · 4 · x · y , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.

В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Продолжаем разбираться с основами алгебры. Сегодня мы поработаем с , а именно рассмотрим такое действие, как вынесение общего множителя за скобки .

Содержание урока

Основной принцип

Распределительный закон умножения позволяет умножить число на сумму (или сумму на число). Например, чтобы найти значение выражения 3 × (4 + 5) можно умножить число 3 на каждое слагаемое в скобках и сложить полученные результаты:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Число 3 и выражение в скобках можно поменять местами (это следует из переместительного закона умножения). Тогда каждое слагаемое, которое в скобках, будет умножено на число 3

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Пока не будем вычислять конструкцию 3 × 4 + 3 × 5 и складывать полученные результаты 12 и 15 . Оставим выражение в виде 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 . Ниже оно нам потребуется именно в таком виде, чтобы понять суть вынесения общего множителя за скобки.

Распределительный закон умножения иногда называют внесением множителя во внутрь скобок. В выражении 3 × (4 + 5) множитель 3 был за скобками. Умножив его на каждое слагаемое в скобках, мы по сути внесли его во внутрь скобок. Для наглядности можно так и записать, хоть и не принято так записывать:

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

Поскольку в выражении 3 × (4 + 5) число 3 умножается на каждое слагаемое в скобках, это число является общим множителем для слагаемых 4 и 5

Как говорилось ранее, умножив этот общий множитель на каждое слагаемое в скобках, мы вносим его во внутрь скобок. Но возможен и обратный процесс — общий множитель можно обратно вынести за скобки. В данном случае в выражении 3 × 4 + 3 × 5 общий множитель виден, как на ладони — это множитель 3 . Его и нужно вынести за скобки. Для этого сначала записывается сам множитель 3

и рядом в скобках записывается выражение 3 × 4 + 3 × 5 но уже без общего множителя 3 , поскольку он вынесен за скобки

3 (4 + 5)

В результате вынесения общего множителя за скобки получается выражение 3 (4 + 5) . Это выражение тождественно равно предыдущему выражению 3 × 4 + 3 × 5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Если вычислить обе части полученного равенства, то получим тождество:

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

Как происходит вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки по сути является обратной операцией внесению общего множителя во внутрь скобок.

Если при внесении общего множителя внутрь скобок, мы умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках, то при вынесении этого множителя обратно за скобки, мы должны разделить каждое слагаемое в скобках на этот множитель.

В выражении 3 × 4 + 3 × 5 , которое было рассмотрено выше, так и происходило. Каждое слагаемое было разделено на общий множитель 3 . Произведения 3 × 4 и 3 × 5 и являются слагаемыми, поскольку если их вычислить, мы получим сумму 12 + 15

Теперь мы можем детально увидеть, как происходит вынесение общего множителя за скобки:

Видно, что общий множитель 3 сначала вынесен за скобки, затем в скобках происходит деление каждого слагаемого на этот общий множитель.

Деление каждого слагаемого на общий множитель можно выполнять не только разделяя числитель на знаменатель, как это было показано выше, но и сокращая эти дроби. В обоих случаях получится один и тот же результат:

Мы рассмотрели простейший пример вынесения общего множителя за скобки, чтобы понять основной принцип.

Но не всё так просто, как кажется на первый взгляд. После того, как число умножено на каждое слагаемое в скобках, полученные результаты складывают, и общий множитель пропадает из виду.

Вернёмся к нашему примеру 3 (4 + 5) . Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число 3 на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

После того, как вычислена конструкция 3 × 4 + 3 × 5 , мы получаем новое выражение 12 + 15 . Видим, что общий множитель 3 пропал из виду. Теперь в полученном выражении 12 + 15 попробуем обратно вынести общий множитель за скобки, но чтобы вынести этот общий множитель его сначала нужно найти.

Обычно при решении задач встречаются именно такие выражения, в которых общий множитель сначала нужно найти, прежде чем его выносить.

Чтобы в выражении 12 + 15 вынести общий множитель за скобки, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) слагаемых 12 и 15. Найденный НОД и будет общим множителем.

Итак, найдём НОД для чисел 12 и 15. Напомним, что для нахождения НОД необходимо разложить исходные числа на простые множители, затем выписать первое разложение и убрать из него множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся множители нужно перемножить и получить искомый НОД. Если испытываете затруднения на этом моменте, обязательно повторите .

НОД для 12 и 15 это число 3. Данное число является общим множителем для слагаемых 12 и 15. Его и нужно выносить за скобки. Для этого сначала записываем сам множитель 3 и рядом в скобках записываем новое выражение, в котором каждое слагаемое выражения 12 + 15 разделено на общий множитель 3

Ну и дальнейшее вычисление не составляет особого труда. Выражение в скобках легко вычисляется — двенадцать разделить на три будет четыре , а пятнадцать разделить на три будет пять :

Таким образом, при вынесении общего множителя за скобки в выражении 12 + 15 получается выражение 3(4 + 5) . Подробное решение выглядит следующим образом:

В коротком решении пропускают запись в которой показано, как каждое слагаемое разделено на общий множитель:

Пример 2. 15 + 20

Найдём НОД для слагаемых 15 и 20

НОД для 15 и 20 это число 5. Данное число является общим множителем для слагаемых 15 и 20. Его и вынесем за скобки:

Получили выражение 5(3 + 4). Получившееся выражение можно проверить. Для этого достаточно умножить пятёрку на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 15 + 20

Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 18+24+36

Найдём НОД для слагаемых 18, 24 и 36. Чтобы найти , нужно разложить эти числа на простые множители, затем найти произведение общих множителей:

НОД для 18, 24 и 36 это число 6. Данное число является общим множителем для слагаемых 18, 24 и 36. Его и вынесем за скобки:

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 18+24+36

Пример 4. Вынести общий множитель за скобки в выражении 13 + 5

Слагаемые 13 и 5 являются простыми числами. Они раскладываются только на единицу и самих себя:

Это значит, что у слагаемых 13 и 5 нет общих множителей, кроме единицы. Соответственно, нет смысла выносить эту единицу за скобки, поскольку это ничего не даст. Покажем это:

Пример 5. Вынести общий множитель за скобки в выражении 195+156+260

Найдём НОД для слагаемых 195, 156 и 260

НОД для 195, 156 и 260 это число 13. Данное число является общим множителем для слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 13 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 195+156+260

Выражение в котором требуется вынести общий множитель за скобки может быть не только суммой чисел, но и разностью. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении 16 − 12 − 4. Наибольшим общим делителем для чисел 16, 12 и 4 это число 4. Данное число и вынесем за скобки:

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим четвёрку на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 16 − 12 − 4

Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении 72+96−120

Найдём НОД для чисел 72, 96 и 120

НОД для 72, 96 и 120 это число 24. Данное число является общим множителем для слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 24 на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 72+96−120

Общий множитель, выносимый за скобки, может быть и отрицательным. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении −6−3. Вынести общий множитель за скобки в таком выражении можно двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Способ 1.

Заменим вычитание сложением:

−6 + (−3)

Теперь находим общий множитель. Общим множителем данного выражения будет наибольший общий делитель слагаемых −6 и −3.

Модуль первого слагаемого это 6. А модуль второго слагаемого это 3. НОД(6 и 3) равен 3. Данное число является общим множителем для слагаемых 6 и 3. Его и вынесем за скобки:

Выражение полученное таким способом получилось не очень аккуратным. Много скобок и отрицательных чисел не придают выражению простоту. Поэтому можно воспользоваться вторым способом, суть которого заключается в том, чтобы вынести за скобки не 3, а −3.

Способ 2.

Как и в прошлый раз заменяем вычитание сложением

−6 + (−3)

В этот раз мы вынесем за скобки не 3, а −3

Выражение полученное в этот раз выглядит намного проще. Запишем решение покороче, чтобы сделать его ещё проще:

Разрешать выносить отрицательный множитель за скобки связано с тем, что разложение чисел −6 и (−3) можно записать двумя видами: сначала сделать множимое отрицательным, а множитель положительным:

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

во втором случае множимое можно сделать положительным, а множитель отрицательным:

2 × (−3) = −6

1 × (−3) = −3

А значит мы вольны выносить за скобки тот сомножитель, который захотим.

Пример 8. Вынести общий множитель за скобки в выражении −20−16−2

Заменим вычитание сложением

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

Наибольшим общим делителем для слагаемых −20, −16 и −2 является число 2. Это число является общим множителем для этих слагаемых. Посмотрим, как это выглядит:

−10 × 2 = −20

−8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

Но приведенные разложения можно заменить на тождественно равные разложения. Различие будет в том, что общим множителем будет не 2 , а −2

10 × (−2) = −20

8 × (−2) = −16

1 × (−2) = −2

Поэтому для удобства за скобки можно вынести не 2 , а −2

Запишем приведенное решение покороче:

А если бы вынесли за скобки 2 , то получилось бы не совсем аккуратное выражение:

Пример 9. Вынести общий множитель за скобки в выражении −30−36−42

Заменим вычитание сложением:

−30 + (−36) + (−42)

Наибольшим общим делителем слагаемых −30, −36 и −42 это число 6. Данное число является общим множителем для этих слагаемых. Но за скобки мы вынесем не 6, а −6 поскольку числа −30, −36 и −42 можно представить так:

5 × (−6) = −30

6 × (−6) = −36

7 × (−6) = −42

Вынесение минуса за скобки

При решении задач иногда может быть полезным вынесение минуса за скобки. Это позволяет упростить выражение и привести его в порядок.

Рассмотрим следующий пример. Вынести минус за скобки в выражении −15+(−5)+(−3)

Для наглядности заключим данное выражение в скобки, ведь речь идёт о том, чтобы вынести минус за эти скобки

(−15 + (−5) + (−3))

Итак, чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые, но с противоположными знаками

Мы вынесли минус за скобки в выражении −15+(−5)+(−3) и получили −(15+5+3). Оба выражения равны одному и тому же значению −23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Поэтому между выражениями −15+(−5)+(−3) и −(15+5+3) можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

На самом деле при вынесении минуса за скобки опять же срабатывает распределительный закон умножения:

a(b+c) = ab + ac

Если поменять местами левую и правую часть этого тождества, то получится, что сомножитель a вынесен за скобки

ab + ac = a(b+c)

Тоже самое происходит, когда мы выносим общий множитель в других выражениях и когда выносим минус за скобки.

Очевидно, что при вынесении минуса за скобки, выносится не минус, а минус единица. Мы уже говорили, что коэффициент 1 принято не записывать.

Поэтому и образуется перед скобками минус, а знаки слагаемых которые были в скобках меняют свой знак на противоположный, поскольку каждое слагаемое разделено на минус единицу.

Вернёмся к предыдущему примеру и детально увидим, как на самом деле минус выносился за скобки

Пример 2. Вынести минус за скобки в выражении −3 + 5 + 11

Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение −3 + 5 + 11 с противоположным знаком у каждого слагаемого:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Как и в прошлом примере, здесь за скобки вынесен не минус, а минус единица. Подробное решение выглядит следующим образом:

Сначала получилось выражение −1(3 + (−5) + (−11)) , но мы раскрыли в нем внутренние скобки и получили выражение −(3 − 5 − 11) . Раскрытие скобок это тема следующего урока, поэтому если данный пример вызывает у вас затруднения, можете пока пропустить его.

Вынесение общего множителя за скобки в буквенном выражении

Выносить общий множитель за скобки в буквенном выражении намного интереснее.

Для начала рассмотрим простейший пример. Пусть имеется выражение 3 a + 2 a . Вынесем общий множитель за скобки.

В данном случае, общий множитель виден невооруженным глазом — это множитель a . Его и вынесем за скобки. Для этого записываем сам множитель a и рядом в скобках записываем выражение 3a + 2a , но уже без множителя a поскольку он вынесен за скобки:

Как и в случае с числовым выражением, здесь происходит деление каждого слагаемого на вынесенный общий множитель. Выглядит это так:

В обеих дробях переменные a были сокращены на a . Вместо них в числителе и в знаменателе получились единицы. Единицы получились по причине того, что вместо переменной a может стоять любое число. Эта переменная располагалась и в числителе и в знаменателе. А если в числителе и в знаменателе располагаются одинаковые числа, то наибольший общий делитель для них будет само это число.

Например, если вместо переменной a подставить число 4 , то конструкция примет следующий вид: . Тогда четвёрки в обеих дробях можно будет сократить на 4:

Получается то же самое, что и раньше, когда вместо четвёрок стояла переменная a .

Поэтому не следует пугаться при виде сокращения переменных. Переменная это полноправный множитель, пусть даже выраженный буквой. Такой множитель можно выносить за скобки, сокращать и выполнять другие действия, которые допустимы к обычным числам.

Буквенное выражение содержит не только числа, но и буквы (переменные). Поэтому общий множитель, который выносится за скобки часто бывает буквенным множителем, состоящим из числа и буквы (коэффициента и переменной). К примеру, следующие выражения являются буквенными множителями:

3a, 6b, 7ab, a, b, c

Прежде чем выносить такой множитель за скобки, нужно определиться, какое число будет в числовой части общего множителя и какая переменная будет в буквенной части общего множителя. Другими словами, нужно узнать какой коэффициент будет у общего множителя и какая переменная будет в него входить.

Рассмотрим выражение 10a + 15a . Попробуем вынести в нём общий множитель за скобки. Сначала определимся из чего будет состоять общий множитель, то есть узнаем его коэффициент и какая переменная будет в него входить.

Коэффициентом общего множителя должен быть наибольший общий делитель коэффициентов буквенного выражения 10a + 15a . 10 и 15 , а их наибольший общий делитель это число 5 . Значит число 5 будет коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки.

Теперь определимся какая переменная будет входить в общий множитель. Для этого нужно посмотреть на выражение 10a + 15a и найти буквенный сомножитель, который входит во все слагаемые. В данном случае, это сомножитель a . Этот сомножитель входит в каждое слагаемое выражения 10a + 15a . Значит переменная a будет входить в буквенную часть общего множителя, выносимого за скобки:

Теперь осталось вынести общий множитель 5a за скобки. Для этого разделим каждое слагаемое выражения 10a + 15a на 5a . Для наглядности коэффициенты и числа будем отделять знаком умножения (×)

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 5a на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то получим выражение 10a + 15a

Буквенный множитель не всегда можно вынести за скобки. Иногда общий множитель состоит только из числа, поскольку ничего подходящего для буквенной части в выражении не находится.

Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении 2a − 2b . Здесь общим множителем будет только число 2 , а среди буквенных сомножителей общих множителей в выражении нет. Поэтому в данном случае будет вынесен только множитель 2

Пример 2. Вынести общий множитель выражении 3x + 9y + 12

Коэффициентами данного выражения являются числа 3, 9 и 12, их НОД равен 3 3 . А среди буквенных сомножителей (переменных) нет общего множителя. Поэтому окончательный общий множитель это 3

Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 8x + 6y + 4z + 10 + 2

Коэффициентами данного выражения являются числа 8, 6, 4, 10 и 2, их НОД равен 2 . Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 2 . А среди буквенных сомножителей нет общего множителя. Поэтому окончательный общий множитель это 2

Пример 4. Вынести общий множитель 6ab + 18ab + 3abc

Коэффициентами данного выражения являются числа 6, 18 и 3, их НОД равен 3 . Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 3 . В буквенную часть общего множителя будут входить переменные a и b, поскольку в выражении 6ab + 18ab + 3abc эти две переменные входят в каждое слагаемое. Поэтому окончательный общий множитель это 3ab

При подробном решении выражение становится громоздким и даже непонятным. В данном примере это более чем заметно. Это связано с тем, что мы сокращаем множители в числителе и в знаменателе. Лучше всего делать это в уме и сразу записывать результаты деления. Тогда выражение станет коротким и аккуратным:

Как и в случае с числовым выражением в буквенном выражении общий множитель может быть и отрицательным.

Например, вынесем общий за скобки в выражении −3a − 2a .

Для удобства заменим вычитание сложением

−3a − 2a = −3a + (−2a )

Общим множителем в данном выражении является множитель a . Но за скобки можно вынести не только a , но и −a . Его и вынесем за скобки:

Получилось аккуратное выражение −a (3+2). Не следует забывать, что множитель −a на самом деле выглядел как −1a и после сокращения в обеих дробях переменных a , в знаменателях остались минус единицы. Поэтому в итоге и получаются положительные ответы в скобках

Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении −6x − 6y

Заменим вычитание сложением

−6x−6y = −6x+(−6y)

Вынесем за скобки −6

Запишем решение покороче:

−6x − 6y = −6(x + y)

Пример 7. Вынести общий множитель за скобки в выражении −2a − 4b − 6c

Заменим вычитание сложением

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Вынесем за скобки −2

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Для решения примеров с дробями необходимо уметь находить наименьший общий знаменатель. Ниже приведена подробная инструкция.

Как найти наименьший общий знаменатель – понятие

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) простыми словами – это минимальное число, которое делится на знаменатели всех дробей данного примера. Другими словами его называют Наименьшим Общим Кратным (НОК). НОЗ используют только в том случае, если знаменатели у дробей различны.

Как найти наименьший общий знаменатель – примеры

Рассмотрим примеры нахождения НОЗ.

Вычислить: 3/5 + 2/15.

Решение (Последовательность действий):

• Смотрим на знаменатели дробей, убеждаемся, что они разные и выражения максимально сокращены.
• Находим наименьшее число, которое делится и на 5, и на 15. Таким числом будет 15. Таким образом, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Со знаменателем разобрались. Что будет в числителе? Помочь выяснить это нам поможет дополнительный множитель. Дополнительный множитель – это число, получившееся при делении НОЗ на знаменатель конкретной дроби. Для 3/5 дополнительный множитель равен 3, так как 15/5 = 3. Для второй дроби дополнительным множителем будет 1, так как 15/15 = 1.
• Выяснив дополнительный множитель, умножаем его на числители дробей и складываем получившиеся значения. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Ответ: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Если в примере складываются или вычитаются не 2, а 3 или больше дробей, то НОЗ нужно искать уже для стольких дробей, сколько дано.

Вычислить: 1/2 – 5/12 + 3/6

Решение (последовательность действий):

• Находим наименьший общий знаменатель. Минимальным числом, делящимся на 2, 12 и 6 будет 12.
• Получим: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Ищем дополнительные множители. Для 1/2 – 6; для 5/12 – 1; для 3/6 – 2.
• Умножаем на числители и приписываем соответствующие знаки: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Ответ: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.