Написать словесный алгоритм решения квадратного уравнения. Способы решения квадратных уравнений. Решение полных квадратных уравнений

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Решение любой математической задачи предполагает знание точного предписания, определяющего, как от исходных данных перейти к искомому результату. Такое предписание называется алгоритмом решения.

В этом видеоуроке рассмотрен алгоритм решения квадратного уравнения

ax 2 + bx + c = 0.

1. Поскольку число корней квадратного уравнения, а значит его решений, зависит от дискриминанта, то сначала целесообразно определить этот дискриминант. Возможно, что уравнение и вовсе не придется решать.

Итак, вычисляем дискриминант D по формуле D = b 2 - 4ac. Далее следуем пунктам.

2. Если D<0, то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

4. Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые определяются по формулам x 1 = ((- b + √D) / (2a)), x 2 = ((- b - √D) / (2a)).

Этот алгоритм универсален, потому что с его помощью можно решать уравнения полные, и так называемые неполные квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение - это уравнение ax 2 + bx + c = 0, где b не равно 0 и с не равно 0.

Если в уравнении b=0 или с=0, то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным.

Рассмотрим решение некоторых уравнений. Например, x 2 + 3x - 5 = 0. В видеоуроке показано, как применяется алгоритм решения. Дискриминант данного уравнения D=29, то есть D>0, значит, уравнение имеет два корня, которые мы и находим по формулам

x 1 = (- b + √D) / (2a), x 2 = (- b - √D) / (2a). В результате получаем ответ x 1 = (- 3 + √29)/2 , x 2 = (- 3 - √29)/2.

Некоторые уравнения нужно сначала преобразовать, а затем решать. Примеры решения таких уравнений показаны в видеоуроке.

Рассмотрим уравнение -9x 2 + 6x - 1 = 0. Умножая обе части этого уравнения на -1, получим 9x 2 - 6x + 1 = 0. Дискриминант данного уравнения D=0. Значит, согласно алгоритму, квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

X = - (b/2a). Этот корень x = 1/3.

Данное уравнение можно решить иначе. Как? Смотрите видеоурок.

Следующее уравнение 2x 2 - x + 3,5 = 0. Определяем дискриминант этого уравнения. Оказывается, что D= -27, то есть D<0, а это значит, что данное квадратное уравнение не имеет корней.

При решении уравнений для простоты записи можно сразу применить общую формулу корней x 1,2 = (-b +- √D)/2a. Если окажется, что D = b 2 - 4ac < 0, то корней нет.

Если D = b 2 - 4ac = 0, то x 1,2 = (-b +- √0)/2a = -(b/2a) . Говорят, также, что уравнение имеет два равных корня, или корень кратности два.

Если же D = b 2 - 4ac > 0, то уравнение имеет два корня, которые вычисляют по формулам x 1 = (- b + √D) / (2a), x 2 = (- b - √D) / (2a). Таким образом, квадратное уравнение можно решать подробно, как это показано в видеоуроке, либо сразу записать общую формулу, и с ее помощью делать необходимые вычисления.

Рассмотрим пример 2/3x 2 + 5/6x 2 - 7/12 = 0. Мы видим, что коэффициенты и свободный член уравнения представляют собой дроби, с которыми неудобно работать. Как преобразовать и решить это и подобные уравнения, узнаем из видеоурока. Оттуда же поймем, когда удобнее пользоваться развернутым алгоритмом, а когда общей формулой.

Рассмотрим уравнение x 2 - (2p + 1)x+ (p 2 + p -2) = 0. Отличие этого уравнения состоит в том, что коэффициенты его являются буквенными выражениями. Говорят, что это уравнение с буквенными коэффициентами или с параметрами. Решение уравнений с параметрами требует особых навыков. В видеоуроке подробно и доступно показано решение таких уравнений и учет значений параметра при этом.

Квадратным уравнением называют уравнение вида a*x^2 +b*x+c=0, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x - переменная. Причем число а=0.

Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а - называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.

Решение квадратных уравнений

Решить квадратное уравнение - это значит найти все его корни либо же установить тот факт, что квадратное уравнение корней не имеет. Корнем квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0 называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x^2 +b*x+c обращается в нуль. Иногда такого значение х называют корнем квадратного трехчлена.

Существует несколько способов решения квадратных уравнений. Рассмотри один из них - самый универсальный. С его помощью можно решить любое квадратное уравнение.

Формулы решения квадратных уравнений

Формула корней квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), где D =b^2-4*a*c.

Данная формула получается, если решить уравнение a*x^2 +b*x+c=0 в общем виде, с помощью выделения квадрата двучлена.

В формуле корней квадратного уравнения выражение D (b^2-4*a*c) называется дискриминантом квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0. Такое название пришло из латинского языка, в переводе «различитель». В зависимости от того, какое значение имеет дискриминант, квадратное уравнение будет иметь два или один корень, либо не иметь корней вообще.

Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два корня. (x=(-b±√D)/(2*a))

Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет один корень. (x=(-b/(2*a))

Если дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение не имеет корней.

Общий алгоритм решения квадратного уравнения

Исходя из вышесказанного, сформулируем общий алгоритм решения квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0 по формуле:

1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b^2-4*a*c.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Данный алгоритм универсален и подходит для решения любых квадратных уравнений. Полных и не полных, приведенных и неприведенных.

Задача хорошо знакома из математики. Исходными данными здесь являются коэффициенты a, b, c. Решением в общем случае являются два корня x 1 и x 2 , которые вычисляются по формулам:

Все величины, используемые в этой программе, имеют вещественный тип.

алг корни квадратного уравнения

вещ a, b, c, x1, x2, d

нач ввод a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

вывод x1, X2

Слабость такого алгоритма видна «невооруженным глазом». Он не обладает важнейшим свойством, предъявляемым к качественным алгоритмам: универсальностью по отношению к исходным данным. Какими бы ни были значения исходных данных, алгоритм должен приводить к определенному результату и выходить на конец. Результатом может быть числовой ответ, но может быть и сообщение о том, что при таких данных задача решения не имеет. Недопустимы остановки в середине алгоритма из-за невозможности выполнить какую-то операцию. Это же свойство в литературе по программированию называют результативностью алгоритма (в любом случае должен быть получен какой-то результат).

Чтобы построить универсальный алгоритм, сначала требуется тщательно проанализировать математическое содержание задачи.

Решение уравнения зависит от значений коэффициентов a, b, c. Вот анализ этой задачи (ограничиваемся только поиском вещественных корней):

если a=0, b=0, c=0, то любое х – решение уравнения;

если a=0, b=0, c¹0, то уравнение решений не имеет;

если a=0, b¹0, то это линейное уравнение, которое имеет одно решение: x=–c/b;

если a¹0 и d=b 2 -4ac³0, то уравнение имеет два вещественных корня (формулы приведены выше);

если a¹0 и d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Блок-схема алгоритма:

Этот же алгоритм на алгоритмическом языке:

алг корни квадратного уравнения

вещ a, b, c, d, x1, x2

нач ввод a, b, c

если a=0

то если b=0

то если c=0

то вывод «любое х – решение»

иначе вывод «нет решений»

иначе x:= –c/b

иначе d:=b2–4ac

есл и d<0

то вывод «нет вещественных корней»

инач е x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

вывод “x1=”,x1, “x2=”,x2

В этом алгоритме многократно использована структурная команда ветвления. Общий вид команды ветвления в блок-схемах и на алгоритмическом языке следующий:

Вначале проверяется «условие» (вычисляется отношение, логическое выражение). Если условие истинно, то выполняется «серия 1» – последовательность команд, на которую указывает стрелка с надписью «да» (положительная ветвь). В противном случае выполняется «серия 2» (отрицательная ветвь). В АЯ условие записывается после служебного слова «если», положительная ветвь – после слова «то», отрицательная – после слова «иначе». Буквы «кв» обозначают конец ветвления.

Если на ветвях одного ветвления содержатся другие ветвления, то такой алгоритм имеет структуру вложенных ветвлений . Именно такую структуру имеет алгоритм «корни квадратного уравнения». В нем для краткости вместо слов «да» и «нет» использованы соответственно «+» и «–».

Рассмотрим следующую задачу: дано целое положительное число n. Требуется вычислить n! (n-факториал). Вспомним определение факториала.

Ниже приведена блок-схема алгоритма. В нем используются три переменные целого типа: n – аргумент; i – промежуточная переменная; F – результат. Для проверки правильности алгоритма построена трассировочная таблица. В такой таблице для конкретных значений исходных данных по шагам прослеживается изменение переменных, входящих в алгоритм. Данная таблица составлена для случая n=3.

Трассировка доказывает правильность алгоритма. Теперь запишем этот алгоритм на алгоритмическом языке.

алг Факториал

цел n, i, F

нач ввод n

F:=1; i:=1

пока i£n, повторять

нц F:=F´i

Этот алгоритм имеет циклическую структуру. В алгоритме использована структурная команда «цикл-пока», или «цикл с предусловием». Общий вид команды «цикл-пока» в блок-схемах и в АЯ следующий:

Повторяется выполнение серии команд (тела цикла), пока условие цикла истинно. Когда условие становится ложным, цикл заканчивает выполнение. Служебные слова «нц» и «кц» обозначают соответственно начало цикла и конец цикла.

Цикл с предусловием – это основная, но не единственная форма организации циклических алгоритмов. Другим вариантом является цикл с постусловием. Вернемся к алгоритму решения квадратного уравнения. К нему можно подойти с такой позиции: если a=0, то это уже не квадратное уравнение и его можно не рассматривать. В таком случае будем считать, что пользователь ошибся при вводе данных и следует предложить ему повторить ввод. Иначе говоря, в алгоритме будет предусмотрен контроль достоверности исходных данных с предоставлением пользователю возможности исправить ошибку. Наличие такого контроля – еще один признак хорошего качества программы.

В общем виде структурная команда «цикл с постусловием» или «цикл-до» представляется так:

Здесь используется условие окончания цикла. Когда оно становится истинным, цикл заканчивает работу.

Составим алгоритм решения следующей задачи: даны два натуральных числа M и N. Требуется вычислить их наибольший общий делитель – НОД(M,N).

Эта задача решается с помощью метода, известного под названием алгоритма Евклида . Его идея основана на том свойстве, что если M>N, то НОД(M

1) если числа равны, то взять их общее значение в качестве ответа; в противном случае продолжить выполнение алгоритма;

2) определить большее из чисел;

3) заменить большее число разностью большего и меньшего значений;

4) вернуться к выполнению пункта 1.

Блок-схема и алгоритм на АЯ будут следующими:

Алгоритм имеет структуру цикла с вложенным ветвлением. Проделайте самостоятельно трассировку этого алгоритма для случая M=18, N=12. В результате получится НОД=6, что, очевидно, верно.

1.Найти дискриминант D по формуле D= -4ac .

2.Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3.Если D=0, то уравнение имеет один корень:

4.Если D>0, то уравнение имеет два корня:

Теперь приступим к решению нашего уравнения 3 -10х+3=0,

где =3, b=-10 а с=3.

Находим дискриминант:

D= -4*3*3=64

Поскольку D>0, то у данного уравнения два корня. Находим их:

; .

Таким образом, корнями многочлена f(x)=3 -10+3 будут являться числа 3 и .

Схема Горнера

Схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) - алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы полиномов (одночленов), при заданном значении переменной. Она, в свою очередь, и помогает нам выяснить, является ли число корнем данного многочлена или нет.

Для начала рассмотрим как делится многочлен f(x )на двучлен g(x) .

Это можно записать следующим образом: f(x):g(x)=n(x), где f(x)- делимое, g(x)- делитель а n(x)- частное.

Но в случае, когда f(x) не делится нацело на g(x) имеет место общая запись выражения

При это степень r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Рассмотрим деление многочлена на двучлен. Пусть

,

Получаем

Где r- число т.к. степень r должна быть меньше степени (x-c).

Умножим s(x) на и получим

Таким образом, при делении на двучлен можно определять коэффициенты частного по полученным формулам. Подобный способ определения коэффициентов и называется схемой Горнера.

				...
	+			...
c				...	r

Теперь рассмотрим несколько примеров применения схемы Горнера.

Пример . Выполнить деление многочлена f(x)= на x+3.

Решение. В начале необходимо записать (x+3) в виде (x- (-3)), поскольку в самой схеме будет участвовать именно -3.В верхней строке мы будем записывать коэффициенты, в нижней- результат действий.

f(x )=(x-2)(1 )+16.

Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корней

По схеме Горнера можно находить целочисленные корни многочлена f(x ). Рассмотрим это на примере.

Пример . Найти все целочисленные корни многочлена f(x )= , при помощи схемы Горнера.

Решение. Коэффициенты данного многочлена- целые числа. Коэффициент перед старшей степенью(в нашем случае перед ) равен одному. Поэтому, целочисленные корни многочлена мы будем искать среди делителей свободного члена (у нас это 15), это числа:

Начнем проверку с числа 1.

Таблица №1

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38

Из полученной таблицы видно, что при =1 многочлен многочлена f(x )= , мы получили остаток r=192, а не 0, из этого следует, что единица не является корнем. Поэтому продолжим проверку при =-1. Для этого мы не будем создавать новую таблицу, а продолжим в старой, а уже не нужные данные зачеркнем.

Таблица №2

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22

Как мы видим из таблицы, в последней ячейке получился нуль, а это значит, что r=0. Следовательно? число -1 является корнем данного многочлена. Поделив наш многочлен многочлена f(x )= на ()=x+1 мы получили многочлен

f(x )=(x+1)(),

коэффициенты для которого мы взяли из третей стоки таблицы № 2.

Также мы можем сделать равносильную запись

(x+1)(). Пометим его (1)

Теперь необходимо продолжить поиск целочисленных корней, но только сейчас мы уже будем искать корни многочлена . Искать эти корни мы будем среди свободного члена многочлена, числа 45.

Еще раз проверим число -1.

Таблица №3

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22

Таким образом, число -1 является корнем многочлена , его можно записать в виде

С учетом равенства (2) мы можем записать равенство (1) в следующем виде

Теперь ищем корни для многочлена , опять же среди делителей свободного члена. Вновь проверим число -1.

Таблица №4

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21

По таблице мы видим, что число -1 является корнем многочлена .

С учетом (3*) мы можем переписать равенство (2*) как:

Теперь будем искать корень для . Вновь смотрим делители свободного члена. Начнем проверку вновь с числа -1.

Таблица №5

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19

У нас получился остаток не равный нулю, а это значит, что число -1 не является корнем для многочлена . Проверим следующее число 1.

Таблица №6

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21

И мы видим, что опять не подходит, остаток r(x)= 24.Берем новое число.

Проверим число 3.

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15

Таблица №7

r(x)= 0, это значит, что число 3 является корнем многочлена , этот многочлен мы можем записать как:

=(x-3)()

Учитывая получившееся выражение, мы можем записать равенство (5) в следующем виде:

(x-3)() (6)

Проверим теперь для многочлена

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+

Таблица №8

Исходя из таблицы, мы видим, что число 3 это корень многочлена . Теперь запишем следующее:

Запишем равенство (5*), с учетом получившегося выражения, следующим образом:

(x-3)()= = .

Найдем корень для двучлена среди делителей свободного члена.

Возьмем число 5

Таблица №9

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+
	+	-5
-5

r(x)=0, следовательно, 5 является корнем двучлена .

Таким образом, мы можем записать

Решением данного примера будет являться таблица№8.

Как видно из таблицы, числа -1;3;5 – корни многочлена.

Теперь перейдем непосредственно к видам корней .

1- корень третьей степени, поскольку скобка (x+1) находится в третьей степени;

3- корень второй степени, скобка(x-3) во второй степени;

5- корень первой степени или, другими словами, простой.