Нерешенные проблемы гильберта. Проблемы гильберта

Алгебраическую геометрию, вещественный и комплексный анализ, математическую физику и , а также ) не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, - физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем три не решены, а две решены только для некоторых случаев.

Список проблем

Сноски

1. Результат Коэна (Cohen) показывает, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречит (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть.
2. Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.
3. Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.
4. Проблема № 8 содержит две известные проблемы, обе из которых остаются нерешёнными. Первая из них, является одной из семи Millennium Prize Problems, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.
5. Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.
6. Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для редуктивных групп. Нагата в 1958 году построил контрпример для общего случая. Доказано также, что если алгебра инвариантов любого (конечномерного) представления алгебраической группы конечно порождена, то группа редуктивна.
7. Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют - их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены - см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей - неизвестно даже, сколько даже их может быть, и даже что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля предельных циклов конечное число) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем - для чего каждому из них пришлось написать по книге.

Математику XX века нам неизбежно придется рассматривать лишь в обзорном порядке. Более или менее ясно, что она представляла собой в первой половине века; сложнее обстоит дело со второй половиной: ведь для того, чтобы объективно оценить математику того или иного периода, требуется известная дистанция во времени. Проблема и в том, что в XX в. развивались, главным образом, такие области математики, которые находят отражение в вузовских математических курсах.

XX век был великой эпохой в истории математики. Достижения математики в этом столетии, пожалуй, превосходят все, что было сделано в ней за предшествующие две с половиной тысячи лет, − с того времени, когда математика стала превращаться в дедуктивную науку.

Сопоставим математику начала и конца века. На Втором международном математическом конгрессе, который состоялся в Париже в 1900 г., имелись четыре основные секции: арифметики и алгебры, анализа, геометрии, механики и математической физики. На современных международных математических конгрессах, число основных секций много больше: математическая логика и основания математики; теория чисел; геометрия; алгебраическая геометрия; алгебра; группы Ли и теория представлений; комплексный анализ; теория функций действительной переменной и функциональный анализ; теория вероятностей и математическая статистика; обыкновенные дифференциальные уравнения; дифференциальные уравнения с частными производными; математическая физика; численные методы и теория вычисления; дискретная математика и комбинаторика; математические аспекты информатики; приложения математики к нефизическим наукам. Многие из перечисленных областей появились или оформились лишь в XX в.

На упоминавшемся выше Втором международном математическом конгрессе, на рубеже двух веков, немецкий ученый Д. Гильберт сформулировал 23 крупные проблемы математики, которые должны быть решены в XX в.; они получили название проблем Гильберта.

Давид Гильберт (1862-1943) был профессором математики в Геттингенском университете, возглавлял крупную научную школу. Он был математиком –универсалом, из числа тех ученых, которых за три последних столетия было немного: в XVIII в. – Л. Эйлер, в XIX− К. Гаусс и О. Коши, в XX в. – Д. Гильберт. Гильберт занимался многими областями математики: алгеброй, теорией чисел, геометрией, математической физикой, функциональным анализом, математической логикой и др.

Рассмотрим некоторые из проблем Гильберта.

1.Проблема континуума: существует ли множество, промежуточное по мощности между счетным множеством (например, множеством натуральных чисел) и множеством действительным чисел?

Решение проблемы оказалось неожиданным: при существующей аксиоматике теории множеств гипотезу о существовании такого множества нельзя ни опровергнуть (К. Гедель, 1936), ни доказать (П. Коэн,1963). Отсюда следует, что аксиоматика теории множеств неполна.

2.Найти алгоритм решения алгебраических уравнений с несколькими неизвестными и с целыми коэффициентами в целых числах.

Доказано, что такого алгоритма не существует (Ю В. Матиясевич, 1970).

3.Построить пример непрерывной функции трех переменных, которая не представима в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных. Смысл это проблемы: функция трех переменных в принципе устроена сложнее, чем функция двух переменных.

Решение проблемы оказалось также отрицательным: с помощью одной функции двух переменных и непрерывных функций одной переменной можно построить любую непрерывную функциюпеременных, где(А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд, 1957).

4.Доказать, что любое число вида алгебраическое число, отличное от 0 и 1,число не ниже второй степени, есть число−трансцендентное. (Степенью алгебраического числа называется степень многочлена с рациональными коэффициентами, корнем которого оно является. Допускаются мнимые значения).

Это предложение доказано А.О. Гельфандом и Т. Шнейдером в 1934г.

В первой половине XX в. математика в значительной степени развивалась под влиянием проблем Гильберта. К настоящему времени большинство проблем решены.

В двадцатые годы XX в. Гильберт и ряд его последователей задались целью перестроить всю математику на аксиоматической основе. Они надеялись на этом пути решить все главные проблемы основания математики. однако результаты австрийского математика К. Геделя, полученные в начале тридцатых годов, привели к краху эту программу. Гедель с помощью математической логики доказал следующее: любая непротиворечивая формализация арифметики или любой другой теории, содержащей арифметику (например, теории множеств) неполна: вимеются неразрешимые формулы, т.е. такие, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью конечного числа рассуждений в рамках этой теории; такая формализация непополнима: каким бы конечным множеством дополнительных аксиом ни решить систему, в новой формальной системе существуют свои неразрешимые формулы. Эту теорему Геделя по праву можно назвать великой: она ставит принципиальные границы для полной формализации большей части математики – той, которая пользуется арифметикой можно назвать великой: она ставит принципиальные границы для полной формализации большей части математики – той, которая пользуется арифметикой. Алгоритмически неразрешимые формулы были обнаружены во многих разделах математики: в теории множеств (гипотеза континуума), алгебре, теории чисел, топологии, теории вероятностей и др.

(стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).

8 августа 1900 года в Париже на заседании второго Международного конгресса математиков Д. Гильберт выступил с докладом «Математические проблемы».

Доклад был необычен. Он не включал в себя новых теорем, не предлагал решений никаких проблем. Напротив, он содержал формулировки двадцати трех проблем, решение которых, по замыслу докладчика, должно было стать главным стимулом развития математики в 20 столетии.

«Кто из нас не хотел бы приот­крыть завесу, за которой скрыто на­ше будущее, чтобы хоть одним взгля­дом проникнуть в предстоящие успе­хи нашего знания и тайны его раз­вития в ближайшие столетия? Ка­ковы будут те особенные цели, ко­торые поставят себе ведущие мате­матические умы ближайшего поколе­ния? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столе­тии на широком и богатом поле ма­тематической мысли? - такими сло­вами Д. Гильберт начал свой доклад. Затем он продолжал. - История учит, что развитие науки протекает непре­рывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые после­дующая эпоха или решает, или отод­вигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный харак­тер развития математики в ближай­шем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, кото­рые еще остаются открытыми, обоз­реть проблемы, которые ставит сов­ременная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным». И Гильберт пред­лагает вниманию слушателей двад­цать три проблемы из различ­ных областей математики, «исследо­вание которых может значительно стимулировать дальнейшее разви­тие науки».

Решение каждой из двадцати трех проблем Гильберта, даже каждый частичный успех в их решении при­нимаются всем математическим миром как крупное математическое достиже­ние. В чем секрет такой популярности гильбертовских проблем, той значимости, которое придается их решению? Ведь число нерешенных задач, поставленных в математической литературе, огромно, и лишь некоторые из них (как, например, проблема Ферма) приобретают ши­рокую известность. А здесь не одна, а целых двадцать три задачи, неко­торые из которых - не просто задачи в узком смысле этого слова, а планы разработки целых математических на­правлений!

Первые шесть проблем доклада Гильберта относятся к обоснованию различных математических дисцип­лин, следующие девять - к более специальным вопросам алгебры, ал­гебраической геометрии и теории чи­сел, остальные восемь - к теории функций, дифференциальным урав­нениям и вариационному исчислению. Следует отметить, что некоторые из этих проблем были поставлены задолго до Гильберта. Так, первая в списке - проблема континуума - была поставлена Г. Кантором в 1878 году, вопросы, относящиеся к третьей проблеме, обсуждались еще К.Гаус­сом в его переписке с Герлингом. Что касается вопросов, составляющих со­держание восьмой проблемы, то один из них - гипотеза о нулях дзета-функции - был поставлен Б. Риманом в 1859 году, другой, именуемый гипотезой Гольдбаха, - еще в 1742 го­ду в письме последнего к Л. Эйлеру, наконец, 21-я проблема - задача, выдвинутая Б. Риманом в 1857 году. Остальные проблемы, автором кото­рых был сам Гильберт, составляют лишь часть задач, поставленных им к тому времени. Эти обстоятельства подчеркивают особый характер вы­бора проблем, содержащихся в док­ладе,- здесь лишь те наиболее важ­ные, по мнению Гильберта, задачи, которые стояли тогда перед матема­тикой, размышления над которыми могли помочь «представить себе воз­можный характер развития математи­ческого знания в ближайшем буду­щем».

Дальнейший ход событий показал, что выбор проблем, сделанный Гиль­бертом, был в основном правильным: разработка идей, связанных с их содержанием, составила значитель­ную часть математики XX века. В ре­шении этих проблем принимали уча­стие очень многие талантливые мате­матики из различных стран мира, в том числе сам Гильберт и его много­численные ученики. Замечательное место среди них принадлежит оте­чественным математикам. В то время Россия не была еще мощной мате­матической державой, подобной Гер­мании или Франции, хотя и обладала уже признанными математическими школами и дала миру ряд выдаю­щихся математиков, среди них - ве­личайших математических гениев - Н. И. Лобачевского, П. Л. Чебышева. Однако золотой век отечественной математики был еще впереди. На конгрессе в Париже русская делега­ция была сравнительно небольшой- 9 человек (сравните: Франция - 90, Германия - 25) и выступила всего с одним сообщением «Об исчезновении (мы бы сказали - о нулях - С. Д.) функции Н нескольких переменных», которое сделал харьковский профес­сор М. А. Тихомандрицкий.

А. А. Болибрух. Проблемы Гильберта (100 лет спустя)

Проблемы Гильберта: историческое вступление

История Международных математических конгрессов насчитывает уже более ста лет; традиционно они проводятся раз в 4 года. Самый, наверное, знаменитый из них состоялся в августе 1900-го года в Париже. Именно на этом конгрессе, на секции преподавания и методологии математики, выступил 38-летний немецкий математик Давид Гильберт. В своем докладе он сформулировал те проблемы, которые, на его взгляд, являлись наиболее значимыми для математики начинающегося XX столетия.

Ни до, ни после него никто не ставил перед собой такую титаническую задачу. Даже в то время математика уже была достаточно специализированной: было много различных направлений, и одному человеку было очень трудно охватить все ее разделы. Но Гильберт отличался широким кругозором: он работал практически во всех существовавших тогда областях математики и во многих из них добился выдающиxся результатов. Это и позволило ему сформулировать ставшие знаменитыми 23 математические проблемы.

Эти проблемы делятся по областям математики следующим образом:

Из таблицы видно, что проблемы Гильберта относятся к самым разным областям математики, а некоторые --- сразу к нескольким областям. Это вполне естественно: математика едина, и одна и та же проблема может быть сформулирована и исследована в терминах различных математических дисциплин.

Доклад Гильберта на Парижском конгрессе можно найти, в частности, в недавно вышедшем двухтомнике его избранных трудов. Вступительная часть этого доклада читается почти как литературное произведение. То была пора "романтической математики", и сам Гильберт начинает свой доклад словами, которые замечательно звучат и сейчас: "Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи наших знаний и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли?" Так звучал математический доклад Гильберта на математическом международном конгрессе.

Когда эти проблемы были сформулированы, выяснилось, что некоторые из них либо решены, либо близки к решению. Однако другие потребовали для своего решения несколько десятков лет и усилий многих выдающихся математиков, а две из них до сих пор не решены. Почему же Гильберт включил в свой доклад именно эти 23 проблемы? Чем он руководствовался, формулируя их?

Сам Гильберт, поясняя свой выбор, приводил слова одного известного французского математика: "Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному". Конечно, здесь имеется некоторое преувеличение, но процитированная фраза показывает, что Гильберт придавал большое значение понятности и доступности математики.

Выбирая проблемы для своего доклада, Гильберт придерживался следующих принципов. Он говорил, что задача должна быть а) понятной (должно быть ясно, откуда она возникла); б) достаточно трудной, чтобы вызывать интерес; в) не настолько трудной, чтобы ее невозможно было решить.

Перейдем теперь к более подробному рассказу о некоторых из этих проблем.