Продвинутые методы многомерной оптимизации. решение слау с помощью метода сопряжённых градиентов. Тема: Многомерная безусловная оптимизация (методы первого и нулевого порядков)
Лабораторная работа № 2
Тема : Многомерная безусловная оптимизация (методы первого и нулевого порядков).
Цель работа: знакомство с методами многомерной безусловной оптимизации первого и нулевого порядка и их освоение , сравнение эффективности применения этих методов конкретных целевых функций.
Краткие теоретические сведения.
О численных методах многомерной оптимизации.
Задача многомерной безусловной оптимизации формулируется в виде:
Где x={x (1) , x (2) ,…, x (n) } – точка в n-мерном пространстве X=IR n , то есть целевая функция f(x)=f(x (1) ,…,f(x (n)) – функция n аргументов.
Так же как и в первой лабораторной работе мы рассматриваем задачу минимизации. Численные методы отыскания минимума, как правило, состоят в построении последовательности точек {x k }, удовлетворяющих условию f(x 0)>f(x 1)>…>f(x n)>… . Методы построения таких последовательностей называются методами спуска. В этих методах точки последовательности {x k } вычисляются по формуле:
Х k +1 = x k + k p k , k=0,1,2,… ,
Где p k – направление спуска, k – длина шага в этом направлении.
Различные методы спуска отличаются друг от друга способами выбора направления спуска p k и длины шага k вдоль этого направления. Алгоритмы безусловной минимизации принято делить на классы, в зависимости от максимального порядка производных минимизируемой функции, вычисление которых предполагается. Так, методы, использующие только значения самой целевой функции , относят к методам нулевого порядка (иногда их называют также методами прямого поиска); если, кроме того, требуется вычисление первых производных минимизируемой функции, то мы имеем дело с методами первого порядка; если же дополнительно используются вторые производные, то это методы второго порядка и т. д.
1.2. Градиентные методы.
1.2.1. Общая схема градиентного спуска.
Как известно , градиент функции в некоторой точке x k направлен в сторону наискорейшего локального возрастания функции и перпендикулярен линии уровня (поверхность постоянного значения функции f(x), проходящей через точку x k). Вектор, противоположный градиенту , называется антиградиентом , который направлен в сторону наискорейшего убывания функции f(x). Выбирая в качестве направления спуска p k антиградиент - в точке x k , мы приходим к итерационному процессу вида:
X k +1 = x k - k f’(x k), k >0, k=0,1,2,… .
Но может привести к неприемлемо большому количеству итераций, необходимых для достижения точки минимума. С другой стороны , слишком большой шаг может вызвать неожиданный рост функции (невыполнение условия убывания) либо привести к колебаниям около точки минимума. Однако проверка условия убывания на каждой итерации является довольно трудоемкой, поэтому в методе градиентного спуска с постоянным шагом задают = k постоянным и достаточно малым, чтобы можно было использовать этот шаг на любой итерации. При этом приходится мириться с возможно большим количеством итераций. Утешением является лишь то, что трудоемкость каждой итерации, в этом случае, минимальна (нужно вычислять только градиент ).
Схема алгоритма
Задаются начальное приближение х 0 , постоянный шаг , условия останова алгоритма 3 . Вычисляется значение градиента – направление поиска. Присваивается к=0.
Определяется точка очередного эксперимента:
Если ||
|| 3 , то поиск точки минимума заканчивается и полагается:
Иначе к=к+1 и переход к шагу 2.
1.3.Метод покоординатного спуска.
При к=0 вводятся исходные данные х 0 , 1 .
Осуществляется циклический по j (j=1,2,…,n) покоординатный спуск из точки х kn по формулам:
где kn + j -1 является решением задачи одномерной минимизации функции:
Если ||x (k +1) n – x kn || 1 , то поиск минимума заканчивается , причем:
Иначе к=к+1 и переходим к шагу 2.
Таблица 1
Таблица 2
| № | Вид квадратичной формы | Вид ограничений |
| 1. | ||
| 2. |  |
|
| 3. |  | |
| 4. | ||
| 5. |  |
|
| 6. |  |
|
| 7. | |
|
| 8. |  | |
| 9. |  |
|
| 10. | 2 |
Таблица 3
| Координаты начальной точки | |||||||||||||
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 3 | 0 | -2 | 5 | 6 | 7,5 | 3 | 3 | 1 | 4 | 7 | 4 | 7 | |
| -2 | 1 | 12 | -3 | -2 | -2 | 0 | 4 | 2 | 3 | 1 | 4 | 3 | |
Этапы проектирования
- Постановка задачи в соответствии с вариантом задания.
- Представление заданной квадратичной формы в матричной форме записи.
- Исследование характера экстремума.
- Описание в матричной форме метода поиска и составление алгоритма.
- Составление структурной схемы алгоритма поиска.
- Программирование в среде Math Cad.
- Расчет.
- Выводы по работе.
Постановка и решение задач многомерной безусловной оптимизации
Задачи многомерной безусловной минимизации
Для заданной функции решить задачу многомерной безусловной минимизации f(x 1 , x 2), xX (XR) и начальной точки x 0 .Пусть f(x) = f(x 1 , x 2 , … ,x n) – действительная функция n переменных, определенная на множестве X Ì R n . Точка x* Î X называется точкой локального минимума f(x) на множестве X, если существует такая
e-окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности, т. е., если
|| x - x*|| < e, выполняется условие f(x*) £ f(x).
Если выполняется условие f(x*) < f(x), то x* называется точкой строгого локального минимума. У функции может быть несколько локальных минимумов. Точка x*Î X называется точкой глобального минимума f(x) на множестве X, если для всех x Î X выполняется условие f(x*) £ f(x). Значение функции f(x*) называется минимальным значением f(x) на множестве X. Для нахождения глобального минимума необходимо найти все локальные минимумы и выбрать наименьшее значение. В дальнейшем будем рассматривать задачу нахождения локального минимума.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума)
Пусть есть точка локального минимума (максимума) функции f(x) на множестве и она дифференцируема в точке х*. Тогда градиент функции в точке х* равен нулю:
Теорема 2 (достаточное условие)
Пусть функция f(x) в точке х* дважды дифференцируема, ее градиент равен нулю, а матрица Гессе является положительно определенной (отрицательно определенной), т. е.
Тогда точка х* есть точка локального минимума (максимума) функции на множестве .
Для определения знака матрицы Гессе используется критерий Сильвестра.
Задание 1.1
Найти минимум функции классическим методом
, используя необходимые и достаточные условия.
Данную задачу будем решать для функции f(x 1 ,x 2).
Начальная точка x 0
; x 0 =(1.5,1.5)
Найдем частные производные первого порядка функции f(x):
; ; ;
Найдем производные второго порядка функции f(x):
Составим матрицу Гессе
Классифицируем матрицу Гессе, используя критерий Сильвестра:
Следовательно, матрица является положительно определенной.
Используя критерии проверки достаточных условий экстремума, можно сделать вывод: точка - является точкой локального минимума.
Значение функции в точке минимума:
;
Задание 1.2
Найти минимум данной функции методом градиентного спуска с дроблением шага.
Метод градиентного спуска с дроблением шага
Метод градиентного спуска является одним из самых распространенных и самых простых методов решения задачи безусловной оптимизации. Он основан на свойстве градиента функции, согласно которому направление градиента совпадает с направлением наискорейшего возрастания функции, а направление антиградиента – с направлением наискорейшего убывания функции. При решении задачи безусловной минимизации за направление спуска из точки x(m) выбирается
p(m) = –g(x(m)) = –f "(x(m)).
Таким образом, итерационная процедура для этого метода имеет вид
x(m+1) = x(m) – a(m)g(x(m)) (*)
Для выбора шага a(m) можно использовать процедуру дробления шага, которая состоит в следующем. Произвольно фиксируют начальное значение шага a(m) = a(m – 1) = a. Если в точке x(m+1), вычисленной в соответствии с (2.24), выполняется неравенство
f(x(m+1)) > f(x(m)),
то шаг дробится, например, пополам, т.е. полагается a(m +1) = 0.5a(m).
Применим метод градиентного спуска с дроблением шага для минимизации квадратичной функции
В результате решения данной задачи был найден минимум
x* = (-0.182; -0.091),
значение функции f(x*) = -0.091,
количество итераций n = 17.
Задачи оптимизации (поиска наилучшего решения) не самые популярные в среде 1С-негов. Действительно, одно дело - учет выполнения каких-либо решений, и совершенно другое дело - принятие этих самых решений. В последнее время, однако, мне кажется 1С бросилась догонять конкурентов в данном вопросе. Действительно захватывающе объединить под одной крышей все, что может потребоваться современному менеджеру, догоняя в этом вопросе SAP и заменяя MS Project и другие системы планирования.
Впрочем, разговор о дальнейших путях развития 1С - это тема отдельной публикации и дискуссии, а пока я задумал цикл статей, объясняющих и демонстрирующих современные математические и алгоритмические подходы к многомерной нелинейной оптимизации, или, если хотите - механизмов поиска решений. Все статьи будут сопровождаться демо обработками с универсальными процедурами и функциями многомерной оптимизации - Ваше дело найти при желании им применение или принять на баланс полезного знания и инструментария (только тем, естественно, кто осилит данную статью до конца). Честно обещаю высшую математику излагать наиболее доступным языком и с примерами того, как эти жуткие формулы можно превратить в программно решаемые задачи:) Поехали...
Итак, первая тема - метод градиентного спуска .
Сфера применения метода - любые задачи на нахождения массива из n переменных, обеспечивающих минимальное (максимальное) значение целевой функции. Целевая функция при этом - функция от этих самых n переменных самого произвольного вида - единственное условие, накладываемое методом на целевую функцию - ее непрерывность по крайней мере на отрезке поиска решения. Непрерывность на практике обозначает, что для любого сочетания значений переменных можно найти действительное значение целевой функции.
Давайте введем обозначения:
Множество переменных Х, от которых зависит значение целевой функции
И сама целевая функция Z, вычисляемая самым произвольным образом из множества Х
Теперь поясним, что же такое градиент. Градиент это вектор многомерного пространства, указывающий направление наибольшего возрастания некоторой функции. Компонентами градиента являются дифференциалы всех переменных функции Z .
Вот отсюда и вытекает главное ограничение применимости метода градиентного спуска - дифференцируемость (непрерывность) функции на всем протяжении области поиска решения. Если данное условие соблюдается, то поиск оптимального решения вопрос чисто технический.
Классический метод градиентного спуска реализовывается для минимизации целевой функции через антиградиент (то есть вектор противоположный градиенту), который получается из градиента самым простым образом - умножением на -1 всех компонентов градиента. Или в обозначениях:
Теперь самый главный вопрос: а как нам найти эти самые d Z и dX1 , dX2 и т.д.? Очень просто! dXn - это бесконечно малое приращение переменной Xn , скажем 0,0001 от ее текущей величины. Или 0,0000000001 - главное, чтобы оно (приращение) было действительно малым:)
А как же вычисляется dZ ? Тоже элементарно! Вычисляем Z для набора переменных X , а затем изменяем в этом наборе переменную Xn на величину dXn . Снова вычисляем значение целевой функции Z для этого слегка модифицированного набора (Zn ) и находим разницу - это и будет dZ = Zn - Z . Ну а теперь коль нам известны dXn и dZ найти dZ/dXn проще пареной репы.
Найдя последовательно все компоненты градиента и антиградиента мы получаем направление изменения переменных, которое наискорейшим образом позволит достичь минимума функции.
На следующем (k+1) этапе, нужно вычислить новые значения массива переменных X . Очевидно, что для приближения к минимуму целевой функции Z мы должны корректировать значения X предыдущего (k-го) этапа в направлении антиградиента по такой формуле:
Остается разобраться с этой самой альфой в формуле. Зачем она нужна и откуда она берется.
α - это коэффициент на который домножается антиградиент для обеспечения достижения возможного минимума функции в заданном направлении. Сам по себе градиент или антиградиент не являются мерой сдвига переменной, а указывают лишь направление движения. Геометрический смысл градиента - это тангенс угла наклона касательной к функции Z в точке Xn (отношение противолежащего катета dZ к прилежащему dXn ), но двигаясь по касательной мы неизбежно отклонимся от линии функции до достижения ее минимума. Смысл касательной в том, что она дает отображение в виде прямой произвольной криволинейной функции в очень узком промежутке - окрестностях точки Xn .
Поиск значения параметра α выполняется одним из методов одномерной оптимизации. Значения переменных {X} нам известны, известны и их градиенты - остается минимизировать целевую функцию в окрестностях текущего решения по одному единственному параметру: α .
Останавливаться на одномерной оптимизации я здесь на буду - методы достаточно просты для понимания и реализации, скажу лишь, что я использовал в своем решении метод "золотого сечения". ОДЗ для α находится в промежутке от 0 до 1.
Итак, резюмируя написанное, сформулируем последовательность шагов для поиска решения методом градиентного спуска:
- Формируем начальное опорное решение, присваивая искомым переменным случайные значения из ОДЗ.
- Находим градиенты и антиградиенты для каждой переменной как отношения прироста целевой функции при относительно малом увеличении значения переменной к значению приращения этой самой переменной.
- Находим коэффициент α , на который нужно умножать антиградиенты перед добавлением к исходным значениям опорного решения методом одномерной оптимизации. Критерий оптимизации - наименьшее из возможных значение целевой функции для скорректированных таким образом значений {X} .
- Пересчитываем {X} в соответствии с наденными значениями антиградиентов и коэффициента сдвига α .
- Проверяем достигнута ли необходимая точность (ε ) вычисления минимума целевой функции:
6. Если условие выполнено и от этапа к этапу значение целевой функции изменилось ниже установленного нами же критерия это значит, что необходимая точность достигнута и текущее множество {X} является решением задачи, иначе - переход к шагу 2.
Теперь давайте перейдем к практической задаче, которая решена в обработке.
По условию задачи необходимо установить цену на некий товар таким образом, чтобы прибыль от его реализации в планируемом периоде была максимальной. При этом нужно учитывать, что объем реализации зависит от установленной нами цены, а закупочная цена товара (влияющая на валовую прибыль) также зависит от объема закупки товара: поставщик готов предоставлять скидки тем больше, чем больше будет объем нашей закупки. То есть нам нужно одновременно с установлением цены понимать, сколько товара мы сможем реализовать и по какой цене и, следовательно, сколько товара нам нужно для этого закупить, и тогда мы будем знать, какова будет закупочная цена. В общем, такая немного рекурсивная логика поиска решения:)
Самое главное, что мы имеем - это непрерывность переменных (цены и объема закупки / реализации) и целевой функции (прибыль есть всегда и может принимать любое значение, даже если она с минусом, то называется убыток), а значит, метод градиентного спуска - самое оно.
Для решения задачи данный метод применяется дважды: на первом этапе мы находим параметры уравнения спроса на продукцию по данным продаж предыдущих периодов. То есть, предполагая некий вид зависимости спроса от цены, вычисляем значения параметров этой зависимости, минимизируя сумму квадратов отклонений между расчетными и фактическими данными о продажах. На втором этапе, пользуясь найденными параметрами зависимости между объемом продаж и ценой реализации, мы оптимизируем прибыль и тоже методом градиентного спуска, хотя бы применяемым всего для одной переменной. Так как метод градиентного спуска минимизирует целевую функцию, а прибыль как ничто другое нуждается в максимизации, мы используем не твиальную целевую функцию с названием "МинусПрибыль", которая всего-то и делает, что вычисляет прибыль по полученному значению цены, а перед возвратом умножает ее на -1:) И ведь работает! Теперь чем меньше становится "МинусПрибыль", тем больше на самом деле самая что ни на есть реальная прибыль от продаж.
Пример решения в обработке, как и универсальная функция поиска решения методом градиентного спуска. Суть универсальности в том, что переменные {X} передаются в нее в виде массива, а целевая функция передается как параметр строкой. Целевую же функцию, которая принимает массив переменных и возвращает значение, пишите сами какого угодно вида - главное, чтобы она возвращала число. И такое число, что чем меньше оно будет, тем ближе поданный массив аргументов к оптимальному решению.
Почему не привел здесь готовую процедуру, а выкладываю обработку? Во-первых, процедура и без того длинновата, а во-вторых, без целевых функций она не работает, так что нужно затаскивать все, да и еще во взаимосвязи. Я надеюсь, что изложенной в статье теории вполне достаточно для того, чтобы Вы смогли реализовать свое решение, возможно, даже лучшим, чем у меня, образом. Ну если уж совсем не будет получаться - качайте готовую обработку и пользуйтесь:)
Вот, собственно, и все. Вопросы, пожелания и замечания жду в комментах. Спасибо за внимание.
Аннотация: Данная лекция рассматривает основные методы решения задач многомерной оптимизации, в частности, такие как метод Хука – Дживса, метод Нелдера – Мида, метод полного перебора (метод сеток), метод покоординатного спуска, метод градиентного спуска.
До сих пор мы обсуждали одномерные задачи оптимизации, в которых целевая функция зависела только от одного аргумента. Однако подавляющее число реальных задач оптимизации, представляющих практический интерес, являются многомерными: в них целевая функция зависит от нескольких аргументов, причем иногда их число может быть весьма большим.
Математическая постановка таких задач аналогична их постановке в одномерном случае: ищется наименьшее (наибольшее) значение целевой функции, заданной на некотором множестве G возможных значений ее аргументов.
Как и в одномерном случае, характер задачи и соответственно возможные методы решения существенно зависят от той информации о целевой функции, которая нам доступна в процессе ее исследования. В одних случаях целевая функция задается аналитической формулой, являясь при этом дифференцируемой функцией. Тогда можно вычислить ее частные производные , получить явное выражение для градиента, определяющего в каждой точке направления возрастания и убывания функции, и использовать эту информацию для решения задачи. В других случаях никакой формулы для целевой функции нет, а имеется лишь возможность определить ее значение в любой точке рассматриваемой области (с помощью расчетов, в результате эксперимента и т.д.). В таких задачах в процессе решения мы фактически можем найти значения целевой функции лишь в конечном числе точек, и по этой информации требуется приближенно установить ее наименьшее значение для всей области.
1. Метод Хука – Дживса
Этот метод был разработан в 1961 году, но до сих пор является весьма эффективным и оригинальным. Поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки, за которой в случае успеха следует поиск по образцу.
Описание этой процедуры представлено ниже:
А . Выбрать начальную базисную точку b 1 и шаг длиной h j для каждой переменной x j , j = 1, 2, ..., n . В приведенной ниже программе для каждой переменной используется шаг h , однако указанная выше модификация тоже может оказаться полезной.
Б . Вычислить f(x) в базисной точке b 1 с целью получения сведений о локальном поведении функции f(x) . Эти сведения будут использоваться для нахождения подходящего направления поиска по образцу, с помощью которого можно надеяться достичь большего убывания значения функции. Функция f(x) в базисной точке b 1 находится следующим образом:
1. Вычисляется значение функции f(b 1) в базисной точке b 1 .
2. Каждая переменная по очереди изменяется прибавлением длины шага.
Таким образом, мы вычисляем значение функции f(b 1 + h 1 e 1) , где e 1 - единичный вектор в направлении оси х 1 . Если это приводит к уменьшению значения функции, то b 1 заменяется на b 1 + h 1 e 1 . В противном случае вычисляется значение функции f(b 1 – h 1 e 1) , и если ее значение уменьшилось, то b 1 заменяем на b 1 -h 1 e 1 . Если ни один из проделанных шагов не приводит к уменьшению значения функции, то точка b 1 остается неизменной и рассматриваются изменения в направлении оси х 2 , т.е. находится значение функции f(b 1 + h 2 e 2) и т.д. Когда будут рассмотрены все n переменные, мы будем иметь новую базисную точку b 2 .
3. Если b 2 = b 1 , т.е. уменьшение функции не было достигнуто, то исследование повторяется вокруг той же базисной точки b 1 , но с уменьшенной длиной шага. На практике удовлетворительным является уменьшение шага (шагов) в десять раз от начальной длины.
4. Если , то производится поиск по образцу.
В . При поиске по образцу используется информация, полученная в процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в направлении, заданном образцом. Эта процедура производится следующим образом:
1. Разумно двигаться из базисной точки b 1 в направлении b 2 - b 1 , поскольку поиск в этом направлении уже привел к уменьшению значения функции. Поэтому вычислим функцию в точке образца
| (1.1) |
Размер: px
Начинать показ со страницы:
Транскрипт
1 Курс: Методы оптимизации в машинном обучении, Продвинутые методы многомерной оптимизации Рассмотрим задачу безусловной оптимизации в многомерном пространстве: f(x) min x R N. Ранее для решения этой задачи были рассмотрены методы покоординатного и градиентного спуска, метод Ньютона, а также комбинированные методы. Во всех этих подходах очередное направление оптимизации d вычисляется только с использованием информации от оракула в текущей точке x. Таким образом, траектория оптимизации никак не учитывается. В методах оптимизации, рассматриваемых ниже, очередное направление оптимизации d существенно зависит от траектории оптимизации и, в частности, зависит от предыдущих направлений d,...,d. Решение СЛАУ с помощью метода сопряжённых градиентов Рассмотрим задачу минимизации квадратичной функции с положительно-определённым гессианом: Приравнивая к нулю градиент f, получаем: f(x) = xt Ax x T b min x, A = A T. () f(x) = Ax b = Ax = b. Таким образом, задача минимизации f эквивалентна решению СЛАУ Ax = b. Назовём набор векторов {d i } сопряжённым относительно положительно-определённой матрицы A, если выполнено условие: d T i Ad j = i j. Примером сопряжённых направлений является набор собственных векторов матрицы A. Действительно, в этом случае d T i Ad j = λ i d T i d j =. Последнее условие выполнено, т.к. собственные вектора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны, а среди собственных векторов с одинаковым собственным значением всегда можно выбрать ортогональный набор. Набор сопряжённых векторов является линейно-независимым. Рассмотрим нетривиальную линейную комбинацию сопряжённых векторов: α i d i =, α i. Домножим слева это уравнение на d T j A для некоторого j. В результате получим: α i d T j Ad i = α j = α j =. Последнее условие следует из того, что матрица A является строго положительно-определённой. Из линейной независимости вытекает, что сопряжённый набор{d i } N является базисом всего пространстваrn. В частности, решение СЛАУ x можно разложить по этому базису с некоторыми коэффициентами α i: Домножая это уравнение слева на d T j A, получаем: d T j Ax = N x = N α i d T j Ad i = α j α j = dt j Ax α i d i. () = dt j b d T j Ad. () j это не совсем так при использовании адаптивной коррекции длины шага На самом деле набор сопряжённых векторов можно рассматривать как ортогональный базис относительно скалярного произведения x,y = x T Ay. Отсюда становится очевидным линейная независимость векторов, а также то, что матрица A должна быть положительно-определённой (иначе не будет скалярного произведения).
2 Последнее равенство вытекает из того, что x решение СЛАУ, т.е. Ax = b. Здесь становится очевидным преимущество сопряжённого набора векторов относительно других базисов для поиска x: для сопряжённого набора коэффициенты разложения α j вычисляются аналитически. Поиск x по формуле () с коэффициентами () можно представить в виде итерационного процесса: x =, x + = x +α d, α = dt b d T Ad, =,...,N. В результате x N+ = x. Теперь получим аналогичный итерационный процесс для поиска x, который начинается с произвольного ненулевого вектора x. Для этого разложим вектор x x по сопряжённому базису: Домножая это равенство на d T j A слева, получаем: x x = N d T j A(x x) = α j α j = dt j A(x x) α i d i. = dt j (b Ax) = dt j g = dt j g j d T j Ad. (4) j Здесь и далее через g j обозначается градиент функции f в точке x j. Для квадратичной функции g j = Ax j b. Докажем последний переход в формуле (4): (j) d T j (g j g) = d T j (Ax j b Ax +b) = d T j A j α i d i = α i d T j Ad i = d T j g j = d T j g. (5) Таким образом, получаем следующий итерационный процесс для поиска x из произвольного начального приближения x: x + = x +α d, α = dt g d T Ad, =,...,N. (6) Можно показать, что данный итерационный процесс является процессом наискорейшего спуска для функции f вдоль сопряжённых направлений {d i } N. Для этого достаточно убедиться в том, что коэффициент α j, вычисляемый по формуле (4), доставляет минимум по α функции f(x j +αd j). Действительно, α f(x j +αd j) = f(x j +α j d j) T d j = g T j+d j = (Ax j +α j Ad j b) T d j = α=αj = (Ax j b) T d j +α j = g T j d j d T j g j =. (7) Одновременно здесь было доказано, что g T j+ d j =. Покажем, что g T j+ d i = i j. Действительно, g T j+ d i = (Ax j+ b) T d i = (A(x + j α i d i) b) T d i = (Ax b) T d i +α i d T i Ad i = g T d i g T i d i =. Последнее равенство следует из (5). Условие ортогональности градиента g j+ всем предыдущим направлениям оптимизации означает, что x j+ доставляет минимум функции f в линейной оболочке L(d,...,d j). Более того, можно показать, что точка x j +αd j минимизирует функцию f в линейной оболочке L(d,...,d j) для любого α. Действительно, f(x j +αd j) T d i = (A(x j +αd j) b) T d i = (Ax j b) T d i +αd T j Ad i = g T j d i =. i < j. Таким образом, при движении вдоль очередного сопряжённого направления оптимизацию по предыдущим направлениям проводить не нужно. Это одна из отличительных особенностей метода сопряжённых направлений. Для проведения итерационного процесса (6) необходимо указать полный набор сопряжённых направлений для матрицы A. Рассмотрим следующую схему генерации d: d = g, d + = g + +β d, β = gt + Ad d T Ad, =,...,N. (8) Верна следующая последовательность рассуждений: d = g L(g), g = g +α Ad = g α Ag L(g,Ag), d = g +β d L(g,Ag), g = g +α Ad L(g,Ag,A g), d = g +β d L(g,Ag,A g),...
3 В результате набор {d,...,d i }, генерируемый по схеме (8), и набор {g,...,g i } принадлежат одному и тому же линейному пространству L(g,Ag,...,A i g). Следовательно, вектор Ad i можно представить в базисе {d,...,d }, > i, а вектор g i можно представить в базисе {d,...,d i }: Ad i = g i = a j d j, (9) j= i b j d j. () j= Покажем теперь, что схема (8) позволяет построить набор сопряжённых направлений для матрицы A. Кроме того, покажем, что при её использовании g T d i = i < и g T g i = i <. Проведём доказательство по индукции. Пусть известно, что g T d i = i <, d T Ad i = i <, g T g i = i <. Докажем, что аналогичные утверждения верны для +. Из рассуждений (7) следует, что g T + d =. Далее g T +d i = (g +α Ad) T d i = g T d i +α d T Ad i =. Последнее утверждение выполняется, исходя из предположения индукции. Покажем теперь, что d T + Ad i = i. Используя (8), получим, что d T + Ad = (g + +β d) T Ad = g T + Ad +g T + Ad =. Далее с помощью (9) заключаем, что для i < d T + Ad i = (g + +β d) T Ad i = g + Ad i = g + a j d j = Осталось показать, что g T + g i = i <. Используя (), получаем i g T + g i = g T + b j d j = j= j= i b j g T + d j =. j= a j g T + d j =. В результате получаем, что набор {d,...,d N } действительно является сопряжённым относительно матрицы A. Заметим, что в доказательстве сопряжённости существенно используется тот факт, что первое направление выбирается в соответствии с антиградиентом. При другом выборе d итерационный процесс (8) не приводит к набору сопряжённых направлений. С помощью доказанных выше свойств g T d i = i < и g T g i = i < можно несколько упростить выражения для α и β в итерационных процессах (6), (8): α = g d d T Ad β = gt + Ad d T Ad = g (g +β d) d T Ad = gt g d T Ad, = gt + (g + g) d T Ad = gt + g + α g T g. () В результате получаем итоговый алгоритм решения СЛАУ Ax = b, который получил название метода сопряжённых градиентов:. Задаём начальное приближение x и требуемую точность ε;. Инициализация d = g, = ;. x + = x +α d, где α = gt g d T Ad ; 4. Если α d < ε, то стоп; Пространства такого вида известны в линейной алгебре как пространства Крылова j=
4 5. d + = g + +β d, где β = gt + g + g T g ; 6. = + и переход к шагу. Данный алгоритм гарантированно сходится к решению за N шагов, где N размерность пространства решения. На каждом шаге итерационного процесса требуется проводить только одно умножение матрицы A на вектор d (векторax + при этом вычисляется какax +α Ad). Остальные операции в алгоритме являются векторными: скалярное произведение двух векторов и сумма двух векторов. На рис. показан пример применения этого алгоритма. Для сравнения показана также траектория метода наискорейшего спуска Рис. : Пример работы метода наискорейшего спуска (зеленая траектория) и метода сопряжённых градиентов (красная траектория) для оптимизации квадратичной функции. Основные преимущества метода сопряжённых градиентов связаны с пространствами большой размерности. При N методы решения СЛАУ, основанные на матричных разложениях, например, разложении Холецкого или QR-разложении, перестают быть применимыми в силу необходимости итерационного пересчета матриц, размер которых совпадает с размером матрицы A. Напротив, в методе сопряжённых градиентов все операции производятся только для векторов размерности N, а самая сложная операция в алгоритме это умножение матрицы A на очередной вектор d. Для ряда матриц специального вида, например, разреженных матриц или матриц, представляющих базис Фурье, такое умножение может быть проведено эффективнее общего случая. Метод сопряжённых градиентов для минимизации произвольной функции Рассмотрим теперь задачу оптимизации произвольной гладкой функции f. Тогда в схеме метода сопряжённых градиентов матрицаaзаменяется на гессианh в текущей точкеx. Практически данный подход превращается в метод Ньютона, в котором квадратичная аппроксимация функции минимизируется с помощью сопряжённых градиентов. Поэтому метод сопряжённых градиентов имеет квадратичную скорость сходимости в малой окрестности оптимального решения. Для того, чтобы застраховаться от возможной неадекватности квадратичного приближения функции f в текущей точке, в методе сопряжённых градиентов предлагается решать одномерную задачу оптимизации при движении вдоль очередного направления d: x + = x +α d, α = argmin α f(x +αd). Заметим, что в этом случае отпадает необходимость вычисления гессиана, и метод превращается в метод оптимизации первого порядка. При использовании формулы () для β соответствующий метод сопряжённых градиентов получил название Флетчера-Ривса (Fletcher-Reeves). В методе Полака-Рибье (Pola-Ribiere) предлагается использовать другую формулу для β: β = gt + g + g T + g g T g. Для случая квадратичной функции последняя формула переходит в формулу (), т.к. g T + g =. Однако, для произвольной функции она позволяет добиться более устойчивой и качественной работы метода. В методе сопряжённых градиентов направление d + зависит от d, а, значит, неявно зависит от всех предыдущих направлений d,...,d. Для повышения устойчивости работы метода для неквадратичной функции предлагается устанавливать β = после каждой N-ой итерации, т.е. периодически «очищать» предысторию, в которой могут накапливаться неудачные направления. Обнуление β соответствует выбору направления оптимизации по антиградиенту. На рис.,a показан пример применения метода сопряжённых градиентов без использования обнуления. В результате в ходе итераций метод «проскочил» оптимальную точку [,] T за счет 4
5 (a) (b) (c) Рис. : Примеры работы метода сопряжённых градиентов для функции Розенблока. Случай (a): без использования обнуления β, всего 64 итерации, случай (b): с использованием обнуления, всего 6 итераций, случай (c): использование bactracing, всего 6 итераций. сильной зависимости от предыдущих направлений. Напротив, использование обнуления (см. рис.,b) позволило успешно обнаружить минимум за меньшее число итераций. Как было отмечено выше, в методе сопряжённых градиентов очередное направление оптимизации выбирается таким образом, чтобы при движении вдоль него сохранить минимум по всем предыдущим направлениям. За счёт этого удаётся избежать ступенчатого поведения, характерного для покоординатного и градиентного спуска. Однако, такой подход неявно предполагает, что вдоль очередного направления проводится точная оптимизация, т.к. в дальнейшем возврат к этому направлению не запланирован. На рис.,c показан пример работы метода, в котором на этапе одномерной оптимизации используется bactracing. В результате метод начинает работать крайне неустойчиво, а сходимость достигается только за 6 итераций. В реальности метод сопряжённых градиентов может устойчиво сходиться и при использовании неточной одномерной оптимизации. Однако, её использование связано с определёнными рисками. Квази-ньютоновские методы В квази-ньютоновских методах оптимизации пересчёт осуществляется по формуле x + = x α S g. () Здесь S некоторая положительно-определённая матрица. Условие положительной определённости S гарантирует возможность уменьшения функции f вдоль направления d = S g. Действительно, α f(x αs g) = g T S g <. α= Если S = I, то () переходит в градиентный спуск. Если S = H, то () переходит в метод Ньютона. По аналогии с методом сопряжённых градиентов, рассмотрим сначала квази-ньютоновские методы для случая минимизации квадратичной функции (). Введем обозначения: δ = x + x = α S g, γ = g + g. Для квадратичной функции γ = g + g = Aδ. В результате [γ γ... γ N ] = A[δ δ... δ N ]. Пусть в первый момент времени задано некоторое начальное приближение x. Положим S = I 4 и будем пересчитывать S по правилу S + = S + C, где C некоторая матрица. Проведем N шагов вида () и получим набор {δ,...,δ N }, набор {γ,...,γ N } и набор матриц S,S,...,S N. Если оказывается, что S N [γ γ... γ N ] = [δ δ... δ N ], то матрица S N = A и следующий шаг по схеме () соответствует шагу Ньютона, т.е. x N+ = x. По аналогии с методом сопряжённых градиентов, в котором существуют разные формулы для β и, соответственно, разные итерационные схемы пересчета d, для квази-ньютоновских методов также предложено несколько способов выбора C. Однако, все эти способы гарантируют выполнение следующих свойств:. Метод сходится за N шагов для квадратичной функции; 4 это соответствует использованию направления антиградиента 5
6 (a) (b) Рис. : Примеры работы метода L-BFGS для функции Розенблока. Случай (a): точная одномерная оптимизация, случай (b): использование метода Флетчера.. Для квадратичной функции набор векторов {δ,...,δ N } образует сопряжённый базис относительно матрицы A;. Матрица S всегда остаётся положительно-определённой. Последнее свойство важно для принципиальной возможности уменьшения f на каждой итерации. Рассмотрим несколько схем выбора C: Схема DFP (Davidon-Fletcher-Powell). Схема BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno). S + = S + δ δ T δ T γ S γ γ T S γ T S. γ (S + = S + + γt S) γ δ δ T γ T δ γ T δ δ γ T S +S γ δ T γ T δ. Схема L-BGFS (Limited Memory BFGS). Формула пересчета аналогична BFGS, но для S = I: Подставляя эту формулу в (), получаем: (S + = I + + γt γ) δ δ T γ T δ γ T δ δ γ T +γ δ T γ T δ. d + = S + g + = g + +A δ +B γ, A = gt + δ (γ T δ + γt γ) γ T δ + gt + γ γ T δ, B = gt + δ γ T δ. Заметим, что все квази-ньютоновские методы являются методами первого порядка. В случае квадратичной функции направления δ,...,δ N являются сопряжёнными относительно A. Поэтому в этом случае все квази-ньютоновские методы эквивалентны методу сопряжённых градиентов. При этом существенным моментом является использование направления антиградиента в первый момент времени (S = I). При использовании другой матрицы S генерируемые направления оптимизации δ,...,δ N теряют свойства сопряжённости, а сам метод свойство гарантированной сходимости за N итераций. На рис.,а показан пример работы метода L-BFGS для функции Розенблока. Заметим, что в отличие от метода сопряжённых градиентов, в квази-ньютоновских методах нет необходимости «очищать» предысторию и периодически приравнивать S = I. Кроме того, квази-ньютоновские методы являются более толерантными к использованию неточной одномерной оптимизации (см. рис.,b). 6
Лекция 4 МЕТОДЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Постановка задачи Пусть дана функция f (), ограниченная снизу на множестве R n и имеющая непрерывные частные производные во всех его точках. Требуется найти локальный минимум
ЛЕКЦИЯ 6 1. Метод покоординатного спуска 2. Градиентный метод 3. Метод Ньютона Методы решения конечномерных задач оптимизации (Задачи безусловной оптимизации) -1- Численные методы НЛП Задача поиска безусловного
Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 2017 Практическое задание 2: Продвинутые методы безусловной оптимизации. Срок сдачи: 9 марта 2017 (23:59). Язык программирования: Python 3. 1 Алгоритмы В этом задании
Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 2017 Семинар 7: Квазиньютоновские методы 21 февраля 2017 г 1 Квазиньютоновские методы 11 Мотивация Рассмотрим стандартную задачу гладкой безусловной оптимизации: min f(x),
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ, Ю. В. ОЛЕМСКОЙ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МИНИМИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ Методические
ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ На прошлой лекции были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений Были рассмотрены двухточечные методы, которые используют локализацию корня,
УДК 59.8 О. А. Юдин, аспирант ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Проанализированы возможные варианты решения задачи поиска минимума функции, которая имеет разрыв частной
ЛЕКЦИЯ 14 Численные методы нелинейного программирования 1. Градиентный метод 2. Теоремы сходимости 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный метод) -1- Численные методы НЛП Задача поиска безусловного минимума:
ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик [email protected] 10 ноября 2016 г. Аннотация. В докладе обсуждается в некотором смысле оптимальный градиентный метод
Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами
К. В. Григорьева Методические указания Тема. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 7 г. ОГЛАВЛЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.... МЕТОДЫ СПУСКА
Семинары по линейным классификаторам Евгений Соколов 27 октября 2013 г. Пусть X R d пространство объектов, Y = { 1,+1} множество допустимых ответов, X l = (x i,y i) l i=1 обучающая выборка. Каждый объект
ЛЕКЦИЯ 15 1. Метод Ньютона (метод второго порядка) 2. Метод внешних штрафов 3. Метод внутренних штрафов 4. Метод покоординатного спуска -1- МЕТОД НЬЮТОНА Пусть f дважды непрерывно дифференцируемая функция
Лекция 5 Постановка и возможные пути решения задачи обучения нейронных сетей Частичная задача обучения Пусть у нас есть некоторая нейросеть N. В процессе функционирования эта нейронная сеть формирует выходной
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Факультет технической кибернетики Кафедра распределённых вычислений и компьютерных сетей Реферат Тема: «Методы оптимизации без ограничений,
ЛЕКЦИЯ 6 СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. Методы спуска На прошлой лекции были рассмотрены итерационные методы вариационного типа. Для системы Au = f, для которой выполняется A = A, был введен функционал Φ(u, u)
Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия
Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.
ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
Методы оптимизации в машинном обучении, ВМК+Физтех, осень 2017 Практическое задание 3: Метод барьеров. 1 Метод барьеров Срок сдачи: 15 ноября 2017 (среда), 23:59 для ВМК 17 ноября 2017 (пятница), 23:59
Перечень методов,включенных в задачи к экзаменационным билетам. Билет 20 (метка) Метод Ньютона Билет 12 (метка) калькулятор http://math.semestr.ru/simplex/simplex_manual.php Построить двойственную задачу
Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)
Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................
Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ
А.П.Попов Методы оптимальных решений Пособие для студентов экономических специальностей вузов Ростов-на-Дону 01 1 Введение В прикладной математике имеется несколько направления, нацеленных в первую очередь
1 Материалы к установочной лекции Вопрос 37. Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона. 1. Решение скалярных уравнений. Метод Чебышева Рассмотрим уравнение f(x) =0,x , и пусть на указанном
Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания
Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает:) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря
Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то
Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НЬЮТОНА В СИММЕТРИЧНОЙ ПРОБЛЕМЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ О.О. Хамисов Иркутский госуниверситет Существует множество различных проблем, таких как устойчивость системы линейных уравнений или
УДК 519.615.7 Физико-математические науки Предлагается квазиньютоновский численный метод безусловной минимизации, показываются его преимущества перед методом Бройдена Флетчера Гольдфарба Шанно. Ключевые
Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f(в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f(= f(+ f "((-. (5 Вместо уравнения (решим
Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,
Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (
Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА Механико математический факультет Кафедра вычислительной математики И. О. Арушанян Практикум на ЭВМ Безусловная минимизация функций многих переменных
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В разделе «Численные методы линейной алгебры» рассматриваются численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и численные методы решения задач
41 Симметрические операторы Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают дополнительными свойствами по сравнению с линейными операторами в векторных пространствах без скалярного
Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются
4 Итерационные методы решения СЛАУ Метод простых итераций При большом числе уравнений прямые методы решения СЛАУ (за исключением метода прогонки) становятся труднореализуемыми на ЭВМ прежде всего из-за
ЛЕКЦИЯ 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ Вспомним основные результаты, полученные на предыдущей лекции 1 Норма вектора = u Были введены следующие нормы вектора: =1 1 Октаэдрическая норма: 1 = max u, где p = 2 Кубическая
Лекция 11. Оптимальное управление 11.1 Постановка задачи Задана динамическая система с управлением, описываемая системой дифференциальных уравнений в форме Коши { ẋi = f i (x, u(t)), (11.1) (i = 1,...,
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления М. Э. АББАСОВ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Учебное пособие Санкт-Петербург 014 УДК 519.85 ББК.18 А 13 Р е ц е
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y) векторов X = (x 1, x 2,..., x n), Y =
Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых и начально-краевых задач математической физики получаются СЛАУ матрицы которых обладают следующими
Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского
6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать
Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)
12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение) Единственность жордановой нормальной формы F алгебраически замкнутое поле Теорема 9. τ Пусть A M n (F), A J и A J где J, J жордановы матрицы.
1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.
79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число (x)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические указания к выполнению лабораторных работ ПЕНЗА 7 Приведена методика и
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический
Митюков В.В. Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации институт, программист ОВТИ, [email protected] Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями КЛЮЧЕВЫЕ
Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов Вопрос: 4. Симплекс-метод для канонической задачи линейного программирования:
345 4 Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пусть ((x - ортогональная система функций в L [ ; ] Выражение c (x + c1 (x + 1 c (x + + (c (x = c (x (41 = называется обобщенным рядом Фурье по
Численная оптимизация Функции многих переменных: условная оптимизация 26 ноября 2012 г. Численная оптимизация 26 ноября 2012 г. 1 / 27 x (l) i f(x) min, g j (x) 0, h k (x) = 0, x R n j = 1,..., J k = 1,...,
