Производная chx. Обратные гиперболические функции, их графики и формулы

Ответ: Гиперболи́ческие фу́нкции - семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом. Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций. Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями Например, гиперболические синус и косинус определяются как Производные этих функций имеют вид Гиперболические функции задаются следующими формулами: 1)гиперболический синус: (в зарубежной литературе обозначается sinx); 2)гиперболический косинус: (в зарубежной литературе обозначается cosx); 3)гиперболический тангенс: (в зарубежной литературе обозначается tanx); 4)гиперболический котангенс: ; 5)гиперболические секанс и косеканс: Геометрическое определение: Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы При этом аргумент t=2S , где S - площадь криволинейного треугольника OQR , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX , и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом. Связь с тригонометрическими функциями: Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента. Аналитические свойства: Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности.

Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках , где n - целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Таблица производной.

Ответ: Таблица производных (которые в основном нам нужны):

46)Производная функции – заданной параметрически.

Ответ: Пусть задана зависимость двух переменных x и y от параметра t, изменяющегося в пределах от Пусть функция имеет обратную: Тогда мы можем, взяв композицию функций получить зависимость y от x: Зависимость величины y от величины x, заданной параметрически, можно выразить через производные функций поскольку и, по формуле производной обратной функции, где - значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение x. Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между снова выраженной в виде параметрической зависимости: второе из этих соотношений - то же, что участвовало в параметрическом задании функции y(x) . Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра t. Покажем это на следующем примере. Пример 4.22: Пусть зависимость между x и y задана параметрически следующими формулами: Найдём уравнение касательной к графику зависимости y(x) в точке Значения получаются, если взять t=1. Найдём производные x и y по параметру t: Поэтому При t=1 получаем значение производной это значение задаёт угловой коэффициент k искомой касательной. Координаты точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково: Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости мы можем отыскать вторую производную функции y по переменной x:

Справочные данные по гиперболическим функциям. Определения, графики и свойства гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Формулы сумм, разностей и произведений. Производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через тригонометрические функции.

Определения гиперболических функций, их области определений и значений

sh x - гиперболический синус

, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .

ch x - гиперболический косинус

, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y < +∞ .

th x - гиперболический тангенс

, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .

cth x - гиперболический котангенс

X ≠ 0 ; y < -1 или y > +1 .

Графики гиперболических функций

График гиперболического синуса y = sh x

График гиперболического косинуса y = ch x

График гиперболического тангенса y = th x

График гиперболического котангенса y = cth x

Формулы с гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Здесь i - мнимая единица, i 2 = -1 .

Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.

Четность

sh(-x) = - sh x ; ch(-x) = ch x .
th(-x) = - th x ; cth(-x) = - cth x .

Функция ch(x) - четная. Функции sh(x) , th(x) , cth(x) - нечетные.

Разность квадратов

ch 2 x - sh 2 x = 1 .

Формулы суммы и разности аргументов

sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y ,
ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y ,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x ,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x ,
.

Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса

,
,
,

,
,
.

Формулы суммы и разности гиперболических функций

,
,
,
,
.

Связь гиперболического синуса и косинуса с тангенсом и котангенсом

, ,
, .

Производные

,

Интегралы от sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Разложения в ряды

sh x

ch x

th x

cth x

Обратные функции

Ареасинус

При - ∞ < x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Ареакосинус

При 1 ≤ x < ∞ и 0 ≤ y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Вторая ветвь ареакосинуса расположена при 1 ≤ x < ∞ и - ∞ < y ≤ 0 :
.

Ареатангенс

При - 1 < x < 1 и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Ареакотангенс

При - ∞ < x < - 1 или 1 < x < ∞ и y ≠ 0 имеют место формулы:
,
.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Даны определения обратных гиперболических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные гиперболические функции - формулы сумм и разностей. Выражения через тригонометрические функции. Производные, интегралы, разложения в ряды.

Определения обратных гиперболических функций, их области определений и значений

arsh x - обратный гиперболический синус

Обратный гиперболический синус (ареасинус) , - это функция, обратная к гиперболическому синусу (x = sh y ) , имеющая область определения -∞ < x < +∞ и множество значений -∞ < y < +∞ .

Ареасинус строго возрастает на всей числовой оси.

arch x - обратный гиперболический косинус

Обратный гиперболический косинус (ареакосинус) , - это функция, обратная к гиперболическому косинусу (x = сh y ) , имеющая область определения 1 ≤ x < +∞ и множество значений 0 ≤ y < +∞ .

Ареакосинус строго возрастает на своей области определения.

Вторая ветвь ареакосинуса также определена при x ≥ 1 и расположена симметрично относительно оси абсцисс, - ∞ < y ≤ 0 :
. Она строго убывает на области определения.

arth x - обратный гиперболический тангенс

Обратный гиперболический тангенс (ареатангенс) , - это функция, обратная к гиперболическому тангенсу (x = th y ) , имеющая область определения - 1 < x < 1 и множество значений -∞ < y < +∞ .

Ареатангенс строго возрастает на своей области определения.

arcth x - обратный гиперболический котангенс

Обратный гиперболический котангенс (ареакотангенс) , - это функция, обратная к гиперболическому котангенсу (x = cth y ) , имеющая область определения |x| > 1 и множество значений y ≠ 0 .

Ареакотангенс строго убывает на своей области определения.

График обратного гиперболического синуса (ареасинуса) y = arsh x

График обратного гиперболического косинуса (ареакосинуса) y = arch x , x ≥ 1
Пунктиром показана вторая ветвь ареккосинуса.

График обратного гиперболического тангенса (ареатангенса) y = arth x , |x| < 1

График обратного гиперболического котангенса (ареакотангенса) y = arcth x , |x| > 1

Формулы с обратными гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

Arsh iz = i Arcsin z ; Arch z = i Arccos z ;
Arcsin iz = i Arsh z ; Arccos z = - i Arch z ;
Arth iz = i Arctg z ; Arcth iz = - i Arcctg z ;
Arctg iz = i Arth z ; Arcctg iz = - i Arcth z ;
Здесь i - мнимая единица, i 2 = -1 .

Четность

arsh(-x) = - arsh x ; arch(-x) ≠ ± arch x ;
arth(-x) = - arth x ; arcth(-x) = - arcth x .

Функции arsh(x) , arth(x) , arcth(x) - нечетные. Функция arch(x) - не является четной или нечетной.

Формулы связи обратных гиперболических синусов через тангенсы и косинусов через котангенсы

;
;
;
.

Формулы суммы и разности

;
;
;
.

Производные обратных гиперболических функций

;
.

Интегралы от arsh x, arch x, arth x, arcth x

arsh x

Для вычисления интеграла от гиперболического арксинуса, делаем подстановку x = sh t и интегрируем по частям :
.

arch x

Аналогично, для гиперболического арккосинуса. Делаем подстановку x = ch t и интегрируем по частям учитывая, что t ≥ 0 :
.

arth x

Делаем подстановку x = th t и интегрируем по частям :
;
;
;
.

arcth x

Аналогично получаем:
.

Разложения в ряды

arsh x

При |x| < 1

arth x

При |x| < 1 имеет место следующее разложение:

arcth x

При |x| > 1 имеет место следующее разложение:

Обратные функции

Гиперболический синус

При - ∞ < y < ∞ и - ∞ < x < ∞ имеют место формулы:
,
.

Гиперболический косинус

При 1 ≤ y < ∞ и 0 ≤ x < ∞ имеют место формулы:
,
.

Гиперболический тангенс

При - 1 < y < 1 и - ∞ < x < ∞ имеют место формулы:
,
.

Гиперболический котангенс

При - ∞ < y < - 1 или 1 < y < ∞ и x ≠ 0 имеют место формулы:
,
.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.