Сложение дробей с целым числом примеры. Что делать, если есть буквы и действия сложения и вычитания

Итак, мы уже знаем, что числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и тоже число, дробь от этого не изменится. Рассмотрим три подхода:

Подход первый.

Для сокращения делят числитель и знаменатель на общий делитель. Рассмотрим примеры:

Сократим:

В приведенных примерах мы сразу видим какие взять делители для сокращения. Процесс несложен – мы перебираем 2,3.4,5 и так далее. В большинстве примеров школьного курса этого вполне достаточно. А вот если будет дробь:

Тут процесс с подбором делителей может затянуться надолго;). Конечно, такие примеры лежат вне школьного курса, но справляться с ними нужно уметь. Чуть ниже рассмотрим как это делается. А пока вернёмся к процессу сокращения.

Как рассмотрено выше, для того чтобы сократить дробь, мы осуществляли деление на определённый нами общий делитель(ли). Всё правильно! Стоит лишь добавить признаки делимости чисел:

— если число чётное то оно делится на 2.

— если число из последних двух цифр делится на 4, то и само число делится на 4.

— если сумма цифр из которых состоит число делится на 3, то и само число делится на 3. Например 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Двенадцать делится на 3, значит и 123031 делится на 3.

— если в конце числа стоит 5 или 0, то число делится на 5.

— если сумма цифр из которых состоит число делится на 9, то и само число делится на 9. Например 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Восемнадцать делится на 9, значит и 623032 делится на 9.

Второй подход.

Если кратко суть, то на самом деле всё действо сводится к разложению числителя и знаменателя на множители и далее к сокращению равных множителей в числителе и знаменателе (данный подход – это следствие из первого подхода):

Визуально, чтобы не запутаться и не ошибиться равные множители просто перечёркивают. Вопрос – а как разложить число на множители? Нужно определить перебором все делители. Это тема отдельная, она несложная, посмотрите информацию в учебнике или интернете. Никаких великих проблем с разложением на множители чисел, которые присутствуют в дробях школьного курса, вы не встретите.

Формально принцип сокращения можно записать так:

Подход третий.

Тут самое интересное для продвинутых и тех, кто хочет им стать. Сократим дробь 143/273. Попробуйте сами! Ну и как, быстро получилось? А теперь смотрите!

Переворачиваем её (числитель и знаменатель меняем местами). Делим уголком полученную дробь переводим в смешанное число, то есть выделяем целую часть:

Уже проще. Мы видим, что числитель и знаменатель можно сократить на 13:

А теперь не забываем снова перевернуть дробь обратно, давайте запишем всю цепочку:

Проверено – времени уходит меньше, чем на перебор и проверку делителей. Вернёмся к нашим двум примерам:

Первый. Делим уголком (не на калькуляторе), получим:

Эта дробь попроще конечно, но с сокращением опять проблема. Теперь отдельно разбираем дробь 1273/1463, переворачиваем её:

Тут уже проще. Можем рассмотреть такой делитель как 19. Остальные не подходят, это видно: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ура! Запишем:

Следующий пример. Сократим 88179/2717.

Делим, получим:

Отдельно разбираем дробь 1235/2717, переворачиваем её:

Можем рассмотреть такой делитель как 13 (до 13 не подходят):

Числитель 247:13=19 Знаменатель 1235:13=95

*В процессе увидели ещё один делитель равный 19. Получается, что:

Теперь записываем исходное число:

И не важно, что будет больше в дроби – числитель или знаменатель, если знаменатель, то переворачиваем и действуем как описано. Таким образом мы можем сократить любую дробь, третий подход можно назвать универсальным.

Конечно, два примера рассмотренные выше это непростые примеры. Давайте попробуем эту технологию на уже рассмотренных нами «несложных» дробях:

Две четвёртых.

Семьдесят две шестидесятых. Числитель больше знаменателя, переворачивать не нужно:

Разумеется, третий подход применили к таким простым примерам просто как альтернативу. Способ, как уже сказано, универсальный, но не для всех дробей удобный и корректный, особенно это относится к простым.

Многообразие дробей велико. Важно, чтобы вы усвоили именно принципы. Строгого правила по работе с дробями просто нет. Посмотрели, прикинули каким образом удобнее действовать и вперёд. С практикой придёт навык и будете щёлкать их как семечки.

Вывод:

Если видите общий(ие) делитель(и) для числителя и знаменателя, то используйте их для сокращения.

Если умеете быстро раскладывать на множители число, то разложите числитель и знаменатель, далее сокращайте.

Если никак не можете определить общий делитель, то воспользуйтесь третьим подходом.

*Для сокращения дробей важно усвоить принципы сокращения, понимать основное свойство дроби, знать подходы к решению, быть крайне внимательным при вычислениях.

И запомните! Дробь принято сокращать до упора, то есть сокращать её пока есть общий делитель.

C уважением, Александр Крутицких.

Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю », поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

1. Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
2. Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
3. Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь ». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

1. Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
2. Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
3. Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
4. Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

Дети в школе учат правила сокращения дробей в 6 классе. В этой статье мы сначала расскажем вам о том, что же означает это действие, затем разъясним, как сократимую дробь перевести в несократимую. Следующим пунктом будут правила сокращения дробей, а затем уже постепенно подберемся к примерам.

Что значит "сократить дробь "?

Итак, все мы знаем, что обычные дроби делятся на две группы: сократимые и несократимые. Уже по названиям можно понять, что те, что сократимые - сокращаются, а те, которые несократимые - не сокращаются.

• Сократить дробь - это значит разделить ее знаменатель и числитель на их (отличный от единицы) положительный делитель. В результате, конечно, выходит новая дробь с меньшим знаменателем и числителем. Полученная дробь будет равна исходной дроби.

Стоит отметить, что в книгах по математике с заданием "сократите дробь " это значит, что нужно исходную дробь привести именно к этому несократимому виду. Если говорить простыми словами, то деление знаменателя и числителя на их наибольший общий делитель и есть сокращение.

Как сократить дробь. Правила сокращения дробей (6 класс)

Итак, здесь всего два правила.

1. Первое правило сокращения дробей: сначала нужно будет найти наибольший общий делитель знаменателя и числителя вашей дроби.
2. Второе правило: делить знаменатель и числитель на наибольший общий делитель, в конечном итоге получить несократимую дробь.

Как сократить неправильную дробь?

Правила сокращения дробей идентичны правилам сокращения неправильных дробей.

Для того чтобы сократить неправильную дробь, для начала нужно будет расписать на простые множители знаменатель и числитель, а уже потом общие множители сокращать.

Сокращение смешанных дробей

Правила сокращения дробей также распространяется на сокращение смешанных дробей. Есть лишь небольшая разница: целую часть мы можем не трогать, а дробную сократить или смешанную дробь перевести в неправильную, затем сократить и опять перевести в правильную дробь.

Сократить смешанные дроби можно двумя способами.

Первый: расписать дробную часть на простые множители и целую часть тогда не трогать.

Второй способ: перевести сначала в неправильную дробь, расписать на обычные множители, потом сократить дробь. Уже полученную неправильную дробь перевести в правильную.

Примеры можно увидеть на фото выше.

Мы очень надеемся, что смогли помочь вам и вашим детям. Ведь на уроках они очень часто бывают невнимательными, поэтому приходится заниматься интенсивнее на дому самостоятельно.

Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики . Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.

Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:

Задача. Морская свинья ест 150 грамм корма в день. Но она выросла и стала есть на 20% больше. Сколько грамм корма теперь ест свинья?

Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:

Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:

Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.

Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.

Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:

Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя!

Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.

Работа с пропорциями

Еще одно проблемное место — пропорции . Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:

Задача. Решите уравнение:

Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :

Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.

А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение . Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:

Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:

Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля .

Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля . В частности, можно делить на переменную m , только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:

Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.

Выводы: собираем все вместе

Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:

1. Сокращать можно только множители. Слагаемые — нельзя. Поэтому учитесь раскладывать числитель и знаменатель на множители;
2. Основное свойство пропорции: произведение крайних элементов равно произведению средних;
3. Уравнения можно умножать и делить только на числа k , отличные от нуля. Случай k = 0 надо проверять отдельно.

Помните эти правила и не допускайте ошибок.

Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.

Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.

К этому же ответу можем прийти другим путем.

И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.

И еще один вариант решения.

В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.