Способ подстановки в решении систем уравнений. Калькулятор онлайн. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Метод подстановки и сложения
Решение систем уравнений методом подстановки
Вспомним, что такое система уравнений.
Система двух уравнений с двумя переменными - это записанные друг под другом два уравнения, объединённые фигурной скобкой. Решить систему - это значит найти такую пару чисел, которая будет являться решением и первого, и второго уравнения одновременно.
В этом уроке познакомимся с таким способом решения систем, как способподстановки.
Давайте рассмотрим систему уравнений:
Можно решить эту систему графически. Для этого нам надо будет построить в одной системе координат графики каждого из уравнений, преобразовав их к виду:
Затем найти координаты точки пересечения графиков, которые и будут являться решением системы. Но графический способ далеко не всегда удобен, т.к. отличается малой точностью, а то и вовсе недоступностью. Попробуем рассмотреть нашу систему повнимательнее. Теперь она имеет вид:
Можно заметить, что левые части уравнений равны, а значит, должны быть равны и правые. Тогда мы получим уравнение:
Это знакомое нам уравнение с одной переменной, которое мы решать умеем. Перенесём неизвестные слагаемые в левую часть, а известные - в правую, не забыв поменять знаки +,- при переносе. Получим:
Теперь подставим найденное значение х в любое уравнение системы и найдём значение у. В нашей системе удобнее использовать второе уравнение у = 3 - х, после подстановки получим у = 2. А теперь проанализируем выполненную работу. Сначала мы в первом уравнении выразили переменную у через переменную х. Затем полученное выражение - 2х + 4 подставили во второе уравнение вместо переменной у. Потом решили полученное уравнение с одной переменной х и нашли ее значение. И в заключении использовали найденное значение х для нахождения другой переменной у. Тут возникает вопрос: а обязательно ли было выражать переменную у из обоих уравнений сразу? Конечно нет. Мы могли выразить одну переменную через другую только в одном уравнении системы и использовать его вместо соответствующей переменной во втором. Причём выразить можно любую переменную из любого уравнения. Здесь выбор зависит исключительно из удобства счёта. Подобный порядок действий математики назвали алгоритмом решения систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.Вот как он выглядит.
1.Выразить одну из переменных через другую в одном из уравнений системы.
2.Подставить полученное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение системы.
3.Решить полученное уравнение с одной переменной.
4.Найденное значение переменной подставить в выражение, полученное в пункте первом, и найти значение другой переменной.
5.Записать ответ в виде пары чисел, которые были найдены на третьем и четвертом шаге.
Давайте рассмотрим ещё один пример. Решить систему уравнений:
Здесь удобнее выразить переменную у из первого уравнения. Получим у = 8 - 2х. Полученное выражение надо подставить вместо у во второе уравнение. Получим:
Выпишем это уравнение отдельно и решим его. Сначала раскроем скобки. Получим уравнение 3х - 16 + 4х = 5. Соберём неизвестные слагаемые в левой части уравнения, а известные - в правой и приведём подобные слагаемые. Получим уравнение 7х = 21, отсюда х = 3.
Теперь, используя найденное значение х, можно найти:
Ответ: пара чисел (3; 2).
Таким образом, на этом уроке мы научились решать системы уравнений с двумя неизвестными аналитическим, точным способом, не прибегая к сомнительному графическому.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008.
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011.
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010.
Цель урока: Решение систем уравнений с двумя неизвестными.
I этап. Вопросы по домашнему заданию и Упражнения на вычисления. (15 мин)
1. Проверка домашнего задания (диктуем точки пересечения)
2. В домашних тетрадях решаем:
План решения: решить все уравнения и отсортировать для ответа
3. После: Собрать тетради на проверку.
II этап. Алгебраические способы решения систем уравнений. СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ (15 мин)
При выполнении заданий некоторые столкнулись с проблемой, что чертеж бывает неточным и из-за этого результат решения системы уравнений графическим способом будет приближенным.
Чтобы получить точный ответ, используют алгебраические способы решения.
Сегодня мы познакомимся с одним из них.
Пусть x – количество индуков, y – количество жеребят
30 ног всего, значит: и 11 хвостов:
X и y одинаковые для обоих уравнений, поэтому можем составить систему:
СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ.
В одном из уравнений выразить одно неизвестное через другоеПОДСТАВИТЬ (заменит неизвестное выражением) в другом уравнениии. Получаем уравнение с одним неизвестным, которое мы умеем решать.
Решаем уравнение с одним неизвестным
И снова ПОДСТАВЛЯЕМ полученные данные вместо буквы в другое уравнение.
Решением является пара чисел: x и y
Записываем ответ.
II I этап. Решение систем уравнений (15 мин)
Первые две решаем вместе, далее - самостоятельно
Домашнее задание: дорешать №1034
ОТВЕТЫ: №1034 1) (2;5), 2) (-20;-6), 3) (48;8) 4)(4;2)
5) (7;3) 6) (38;-6) 7) (9;3) 8) (2;3,8)
Урок на тему: "Метод подстановки при решении систем линейных уравнений"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное пособие "Пятёрка за год. Экспресс-курс по геометрии. 7-9 классы"
1С: "Интерактивные задания на построение для 7-10 классов"
Что такое система уравнений?
Система уравнений - это два линейных уравнения, для которых существуют пара чисел, удовлетворяющая обоим уравнениям. Система уравнений записываются следующим образом:$\begin{cases}a_1x + b_1y +c = 0\\a_2x +b_2y +c = 0\end{cases}$
Решить систему уравнений - значит найти такие числа х и у, при которой оба уравнения превращаются в верное равенство или установить, что решения для данной системы уравнений нет.
Установить эту пару чисел можно графически, если построить для каждого уравнения системы график. Решением системы будет точка пересечения этих графиков.
Этот метод не очень удобен, т.к. требует построение графиков.
Метод подстановки
Еще один способ решения системы линейных уравнений - метода подстановки.Пример.
Найдите два числа, разность которых равна 12, а сумма - 36.
Решение.
Обозначим через х и у числа, которые необходимо найти и составим систему линейных уравнений.
$\begin{cases}x - y = 12\\x + y = 36\end{cases}$
Представим первое уравнение, как y = x - 12, а второе уравнение представим, как y = 36 - x.
Тогда систему уравнений можно записать, как $\begin{cases}y = x - 12\\y = 36 - x\end{cases}$
Соединим оба уравнения.
x - 12 = 36 - х
2x = 48
x = 24
Тогда, у = 12.
Ответ: x = 24, у = 12.
Мы получили пару чисел, которая является решением системы уравнения, без построения графика.
Запишем алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными, используя метод подстановки
:
1. В первом уравнении системы выразим у через х.
2. Во второе уравнение вместо у подставим выражение, которое мы получили на первом шаге.
3. Решаем второе уравнение и находим х.
4. Найденное значение х подставим в первое уравнение системы.
5. Записываем ответ в виде пары чисел (х, у).
Девиз урока
“Деятельность – единственный путь к знанию” (слайд№1)
Дж. Бернард Шоу
Цели урока: Научить учащихся решать системы уравнений методом подстановки; составить алгоритм решения системы уравнений; формировать личностный подход к изучаемой теме.
Формирование компетентности в сфере изучения данной темы; навыка самостоятельной обработки информации; формирования математической грамотности, интереса к предмету; воспитание ответственности за начатое дело; чувство коллективизма.
Ход урока
Орг. момент(слайд №2)
Друзья всегда тебе помогут,
Они с тобой, ты не один.
Поверь в себя –
И ты все сможешь,
Иди вперед и победишь!
Вводная беседа. Актуализация знаний:
Новые знания нам будет очень трудно осваивать без умения быстро и верно решать простейшие уравнения с одной переменной и умения выражать одну переменную через другую.
Устная работа:
1. Является ли пара чисел (3; 1) решением уравнения: (слайд №3)
а) 3х + у = 10;
б) х 2 – 2у =1;
в) х/у + 2 = - 5у.
(слайд №4)
2. Является ли решением системы пара чисел:
(- 1; 1), (2; - 1), (6; 2,5)?
3. Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?
а) парабола
б) кубическая парабола
в) прямая
(слайд №5)
4. Приведите пример уравнения с переменными х и у, равносильного линейному уравнению:
а) х – у = 3;
б) 2х + у = о.
Мотивация: (слайд №6)
Ребята, давайте с вами решим систему:
а) Что значит решить систему?
б) Каким способом можно решить систему? (графическим)
в) Графики каких уравнений необходимо построить? (3х – у = 5; 2х + у = 7)
г) Что собой представляет график уравнения:
3х – у = 5? (прямая)
2х + у = 7? (прямая)
д) Для построения прямой сколько необходимо взять точек?
е) Что будет являться решением системы? (координаты точки пересечения графиков). В чем заключается трудность этого метода?
ж) Как вы думаете, а можно ли решить эту систему без построения графика, используя наши умения выражать одну переменную через другую? (да)
з) Каким образом?(выразить переменную х из первого и подставить во второе уравнение. Затем решить уравнение относительно у и найти потом х)
и) Как вы думаете- как мы будем называть этот способ? (подстановки)
к)Запишите тему урока: “Способ подстановки ” (слайд №7)
л) Что вы знаете о способе подстановки? Что вы хотите узнать? (подставить; узнать и научиться как решать систему уравнений способом подстановки)
Это и будет нашими целями на урок. (слайд №8)
Изучение нового материала:
Попробуем составить алгоритм решения системы способом подстановки
Алгоритм: (слайд №9)
Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую. х = 3+у
Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение:
Решить полученное уравнение с одной переменной:
Найти соответствующее значение второй переменной:
Ответ: (1; -2).
МИКС – ФРИЗ – ГРУПП (слайд №10)
1. Сколько координат имеет точка на плоскости? (две)
2.Сколько уравнений входит в систему с двумя переменными? (два)
3. Сколько шагов входит в алгоритм решения системы способом подстановки? (четыре)
4. Какой по счету идет сейчас месяц? (четвертый)
5. Сколько решений имеет система, если к 1 =к 2 и в 1 =в 2 ? (множество)
Закрепление изученного материала: (слайд № 11)
Решить систему уравнений способом подстановки:
СИМАЛТИНИУС РАУНД ТЭЙБЛ (слайд№12)
(самостоятельная работа по вариантам по кругу)
Домашнее задание:(слайд №13)
П.42 №№ 1134, 1136.
Рефлексия(слайд №14)
Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал вопрос каждому. У первого спросил: “А что ты делал целый день?”. И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: “А что ты делал целый день?” и тот ответил: “А я добросовестно выполнил свою работу.” А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: “А я принимал участие в строительстве храма!”
Ребята! Давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.
Кто работал как первый человек?
Кто работал добросовестно?
Кто принимал участие в строительстве храма?
(Слайд№15)
Порой задача не решается,
Но это в общем, не беда,
Ведь солнце все же улыбается,
Не унывайте никогда.
Спасибо за урок! (слайд №16).
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Правила ввода уравнений
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
При вводе уравнений можно использовать скобки
. При этом уравнения сначала упрощаются.
Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0
с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2
В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)
Решить систему уравнений
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end{array} \right. $$
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\{ \begin{array}{l} y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end{array} \right. $$
Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только
одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Пара (1;4) - решение системы
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными . Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
Решение систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений - способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали
противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$
В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений,
получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x=33 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$
Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \(x-3y=38 \) получим уравнение с
переменной y: \(11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \(x=11; y=-9 \) или \((11; -9) \)
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач
