Главная » Дизайн дома » Свойство вронского для фундаментальной системы решений. Определитель Вронского. Общие теоремы

Свойство вронского для фундаментальной системы решений. Определитель Вронского. Общие теоремы

Определитель Вронского для функций вводится как определитель, столбцами которого являются производные этих функций от нулевого (сами функции) до n-1 го порядка.

Теорема . Если функции линейно зависимы, то

Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,

Тождество можно дифференцировать, поэтому

Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы, поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.

Достаточность. Зафиксируем некоторую точку . Так как , то столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.

, что выполнены соотношения

Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида

Линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

Заметим, что при это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,

поэтому решения линейно зависимы.

Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.

Доказательство. Если , то решения линейно зависимы, следовательно, .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно (или ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .

Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.

Пусть решения линейно независимы. Если , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть . Если решения линейно зависимы, то , следовательно, , противоречие. Поэтому решения линейно независимы.

Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в одной точке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения.

Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n-ого порядка равна n.

Доказательство.

a) Покажем, что существуют n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения , удовлетворяющие следующим начальным условиям:

...........................................................

Такие решения существуют. В самом деле, по теореме Коши через точку проходит единственная интегральная кривая – решение. Через точку проходит решение , через точку

- решение , через точку - решение .

Эти решения линейно независимы, так как .

b) Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейной комбинацией).

Рассмотрим два решения. Одно - произвольное решение с начальными условиями . Справедливо соотношение

Определитель Вронского

Определитель Вронского системы функций, дифференцируемых на промежутке (n-1)-раз -- функция на I, задаваемая определителем следующей матрицы:

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций с n компонентами. Тогда определитель будет выглядеть так (обозначу его через):

Вектор-функция -- функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

1. Одна скалярная переменная -- тогда значения вектор-функции определяют в некоторую кривую;
2. m скалярных переменных -- тогда значения вектор-функции образуют в, вообще говоря, m-мерную поверхность;
3. Векторная переменная -- в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на.

Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми.

Свойства определителя Вронского

1. Если линейно зависимы на интервале, то
2. Если определитель Вронского на интервале отличается от нуля хотя бы в одной точке, то функции являются линейно независимыми. Обратное вообще говоря неверно.
3. Если - решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка, то называется вронскианом этого уравнения. Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке, что означает линейную независимость функций.
4. Если - решения линейной однородной системы, то либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке, что означает линейную не зависимость функций.

1. Убедимся, что вронскиан линейно-зависимых функций, равен нулю:

2. Проверим теперь линейную независимость функций, :

Есть точки, где вронскиан отличен от нуля (в нашем случае это любая точка, кроме x=0). Поэтому на любом промежутке эти функции будут линейно независимыми.

3. Приведём теперь пример, когда вронскиан всюду равен нулю, но функции всё равно линейно независимы. Зададим две функции:

Обе функции всюду дифференцируемы (в том числе в нуле, где производные обеих функций обращаются в ноль). Убедимся, что вронскиан всюду равен нулю:

Однако эти функции, очевидно, являются линейно-независимыми. Видим, что равенство вронскиана нулю не влечёт за собой линейной зависимости в случае произвольного выбора функций.

Системы линейных дифференциальных уравнений

Определение. Система Дифференциальных Уравнений называется линейной , если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

Общий вид системы дифференциальных уравнений

Если задано начальное условие: , (3)

то решение будет единственным при условии, что вектор-функция непрерывна на и коэффициенты матрицы: тоже непрерывные функции.

Введем линейный оператор, тогда (6) можно переписать в виде:

если, то операторное уравнение (4) называется однородным и имеет вид:

в ином случае оно называется неоднородным .

Так как оператор линейный, то для него выполняются следующие свойства:

1. Если решение однородной системы (5), то будет тоже решением уравнения (5).
2. Если являются решением (5), то тоже решение (5).

Пусть имеем совокупность функций: ,,...,и необходимо установить, зависима или нет эта совокупность. Оказывается, использование определителя Вронского позволяет решить вопрос о линейной зависимости (и независимости) совокупности функций.

Теорема :

Если функции ,,..., линейно зависимы на интервале
, и имеют производные до
- го порядка, то определитель (Вронского):

тождественно равен нулю для всех
.

Доказательство теоремы:

Запишем функцию: =. Так как по условию функции ,,...,линейно зависимы на
, то существуют такие числа
, не все равные нулю, что выполняются тождество: 0 для всех
. Дифференцируя
раз функцию , получим тождества 0,
0,...,
0, которые также выполняются для всех
. Полученные тождества эквивалентны системе линейных однородных уравнений:

. . . . . . . . . . . . . , (13)

В соответствии с определением линейной зависимости функций ,,..., система уравнений (13) должна иметь ненулевое решение
для любого
. Но это возможно только в случае, если определитель этой системы равен нулю (вспомним теорему Кронекера-Капелли!), причём для всех
. Нетрудно заметить, что определитель системы (13) есть определитель Вронского
. Это значит, что теорема доказана! ◄

Следствие : Если
хотя бы в одной точке
, то функции ,,..., – линейно независимы на интервале
.

Итак, определитель Вронского позволяет установить свойство
для совокупности функций,,...,, которые являютсяфункциями-решениями некоторого линейного однородного дифференциального уравнения- го порядка.

Более того, используя результаты теории линейных векторных пространств (вспомним курс Линейная алгебра!), можем установить, что совокупность функций-векторов ,,...,естьбазис в пространстве решений линейного дифференциального уравнения- го порядка. Но, тогдалюбое решение такого уравнения может быть записано в виде линейной комбинации:=. Это значит, что свойство
мы также доказали.

Остаётся доказать свойство
ФСР, но, прежде познакомимся поближе с определителем Вронского, рассмотрев несколько Примеров.

Пример 8 –02
,
,
.

Решение :

1). Для исследования линейной зависимости совокупности функций ,, составим линейную комбинацию заданных функций: .

2). Так как
, то при любом значении
указанное равенство выполняется. Это значит, что совокупность функций зависима.

Ответ

Замечание : В рассмотренном примере не потребовалось вычислять определитель Вронского, но мы знаем, что в этом случае он равен нулю, так как установлена линейная зависимость совокупности функций.

Пример 8 –03 : Исследовать на линейную зависимость систему функций:
,
.

Решение :

1). Нетрудно заметить, что
. Но, тогда
. Согласно второму определению линейной зависимости совокупности функций, можем утверждать, что совокупность функций , зависима.

2). И в этом примере определитель Вронского равен нулю, хотя вычислять его не пришлось.

Ответ : совокупность функций зависима.

Замечание : В рассмотренных примерах не потребовалось вычислять определитель Вронского, но мы знаем, что в этом случае он равен нулю, так как установлена линейная зависимость совокупности функций.

Пример 8 –04
,
,

Решение :

=
=
= 3
.

2). Видим: определитель Вронского не равен (тождественно) нулю. Это значит, что заданная совокупность функций линейно независима.

Ответ : совокупность функций независима.

В Теореме 8.4 рассмотрена произвольная совокупность функций. А что, если совокупность функций ,,...,составлена из решений линейного однородного уравнения? Оказывается верна следующая Теорема.

Теорема :

Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения:

с непрерывными коэффициентами
,
были линейно независимы на интервале
, необходимо и достаточно, чтобы определитель
для всех
.

Доказательство теоремы:

1). Пусть
для всех
. В таком случае функции ,,..., линейно независимы на интервале
, в любом случае: будут эти функции решениями уравнения (14), или нет.

2). Пусть теперь имеем решения ,,..., уравнения (14), причем известно, что они линейно независимы на
. Допустим, что все-таки нашлось значение = такое, что
=0. Составим систему уравнений (формально ):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (15)

Система (15) есть система линейных однородных уравнений. По предположению
=0, следовательно, для точки = она имеет ненулевое решение.

Обозначим строки системы уравнений (15) через:
=0,
=0, ... ,
=0. Теперь учтем, что линейная комбинация = есть тоже решение уравнения (14): в соответствии с доказанными Теоремами 8.2 и 8.3. Примем для функции в качестве начальных условий:
=0,
=0, ... ,
=0.

Но для уравнения (14) решением будет и такая функция : 0 (очевидно !), причем с начальными условиями: y (x 0)=0, y ′ (x 0)=0, ... , y (n –1) (x 0)=0. Так как для уравнения (14) выполняются условия Теоремы о существовании и единственности решений (для нас сейчас важно второе!), то функции = и y ≡ 0 должны совпадать для всех
. Но это значит, что решения ,,..., – линейно зависимы. Противоречие! ..

Итак, если решения уравнения (14) линейно независимы, то определитель не может быть равным нулю ни в одной точке области определения:
. ◄

Пример 8 –05 : Задана совокупность функций:
,
,
. Исследовать линейную зависимость этой совокупности.

Решение :

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского:

=
=
.

2). Видим: определитель Вронского не равен нулю. Это значит, что заданная совокупность функций линейно независима для любых значений .

Ответ : совокупность функций независима для любых значений .

Лекции 13. Линейные дифференциальные уравнения n -ого порядка с переменными коэффициентами.

Линейное однородное

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n –ого порядка с переменными коэффициентами может быть записано в виде

Если коэффициенты и правая часть – непрерывные функции и , то условия теоремы Коши выполнены, решения однородного и неоднородного уравнений существуют и единственны.

Введем линейный дифференциальный оператор

Здесь обозначает оператор дифференцирования .

Тогда линейное однородное уравнение можно записать в виде , а линейное неоднородное – в виде .

Так как линеен, то

Пользуясь линейностью оператора, легко доказать теоремы о свойствах решений однородного и неоднородного уравнений (ниже обозначено - решение однородного уравнения, - решение неоднородного уравнения).

Теоремы о свойствах решений .

1) сумма или разность решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения,

2) разность решений неоднородного уравнения есть решение однородного уравнения,

3) сумма решений однородного и неоднородного уравнений есть решение неоднородного уравнения.

Докажем эти теоремы.

Теорема. Решения линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами образуют линейное пространство.

Доказательство. Так как сумма любых двух решений однородного уравнения и произведение любого решения на число вновь есть решения однородного уравнения, то операции сложения и умножения на число на множестве решений определены корректно (не выводят за множество решений).

Решения образуют аддитивную группу по сложению (абелев модуль). В самом деле, ассоциативность по сложению очевидна, (тривиальное решение) является решением однородного уравнения, для каждого решения противоположное решение тоже является решением. Следовательно, решения однородного уравнения – группа по сложению. Аддитивность решений очевидна, поэтому эта группа аддитивна. Справедливость четырех аксиом из восьми показана. Существует число «1», такое что - решение, справедлива ассоциативность по умножению на число . Это – две аксиомы относительно операции умножения на число. Наконец, справедливы две аксиомы дистрибутивности, связывающие операции сложения и умножения на число .

Итак, налицо полный набор из восьми аксиом. Продумайте их еще раз подробнее дома.

Линейная зависимость и независимость.

Функции называются линейно независимыми, если

(допустима только тривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие от линейной независимости векторов здесь тождество линейной комбинации нулю, а не равенство. Это и понятно, так как равенство линейной комбинации нулю должно быть выполнено при любом значении аргумента.

Функции называются линейно зависимыми, если существует не нулевой набор констант (не все константы равны нулю) , такой что (существует нетривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю).

Теорема. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы какая-либо из них линейно выражалась через остальные (представлялась в виде их линейной комбинации).

Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается так же, как аналогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.

Определитель Вронского.

Теорема . Если функции линейно зависимы, то

Тождество можно дифференцировать, поэтому

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.

, что выполнены соотношения

Линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

поэтому решения линейно зависимы.

Доказательство. Если , то решения линейно зависимы, следовательно, .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно (или ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .

Пусть решения линейно независимы. Если , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть . Если решения линейно зависимы, то , следовательно, , противоречие. Поэтому решения линейно независимы.

Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n -ого порядка равна n .

Доказательство.

1. Покажем, что существуют n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения , удовлетворяющие следующим начальным условиям:

...........................................................

- решение , через точку - решение .

Эти решения линейно независимы, так как .

2. Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейной комбинацией).

Рассмотрим два решения. Одно - произвольное решение с начальными условиями . Справедливо соотношение

..........................................................................

Второе решение – это линейная комбинация решений с теми же коэффициентами .

Вычисляя начальные условия в точке для решения , убеждаемся, что они совпадают с начальными условиями для решения . Следовательно, по теореме Коши, произвольное решение представляется в виде линейной комбинации линейно независимых решений .

Таким, образом, существует n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка, и произвольное решение линейно выражается через эти решения. Поэтому размерность пространства решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка равна n. .

Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка представляют собой базис пространства решений или фундаментальную систему решений.

Теорема о структуре общего решения однородного уравнения.

Общее решение линейного однородного уравнения есть линейная комбинация решений фундаментальной системы.

Доказательство. Покажем, что линейная комбинация

Является общим решениям (удовлетворяет пунктам определения общего решения)

1. - решение линейного однородного уравнения как линейная комбинация решений.

2. Зададим произвольные начальные условия , покажем, что можно подобрать константы такие, что удовлетворяет этим начальным условиям.

.........................................................................

Это – система линейных алгебраических уравнений относительно констант . Определитель этой системы – определитель Вронского. Он не равен нулю, так как решения линейно независимы. Поэтому константы определяются из этой системы по начальным условиям – правым частям системы единственным образом.

Следовательно, - общее решение.

Замечание. Определитель Вронского (как всякий определитель) представляет собой ориентированный n – мерный объем, натянутый на векторы решений фундаментальной системы решений.

Формула Остроградского – Лиувилля.

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Определитель Вронского можно вычислить по формуле Остроградского – Лиувилля