то говорят, что случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятности f(x) .

Определение. Пусть . Для непрерывной функции распределения F теоретической α-квантилью называется решение уравнения .

Такое решение может быть не единственным.

Квантиль уровня ½ называется теоретической медианой , квантили уровней ¼ и ¾ - нижней и верхней квартилями соответственно.

В актуарных приложениях важную роль играет неравенство Чебышева:

при любом

Символ математического ожидания.

Читается так: вероятность того, что модуль больше меньше или равняется математическому ожиданию величины модуль , деленному на .

Время жизни как случайная величина

Неопределенность момента смерти является основным фактором риска при страховании жизни.

Относительно момента смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного. Однако если мы имеем дело с большой однородной группой людей и не интересуемся судьбой отдельных людей из этой группы, то мы находимся в рамках теории вероятностей как науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости частот.

Соответственно, мы можем говорить о продолжительности жизни как о случайной величине Т.

Функция выживания

В теории вероятностей описывают стохастическую природу любой случайной величины Т функцией распределения F (x), которая определяется как вероятность того, что случайная величина Т меньше, чем число x :

.

В актуарной математике приятно работать не с функцией распределения, а с дополнительной функцией распределения . Применительно к продолжительной жизни - это вероятность того, что человек доживет до возраста x лет.

называется функцией выживания (survival function ):

Функция выживания обладает следующими свойствами:

В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный возраст (limiting age ) (как правило, лет) и соответственно при x >.

При описании смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была пренебрежимо мала.

Функция выживания имеет простой статистический смысл.

Допустим, что мы наблюдаем за группой из новорожденных (как правило, ), которых мы наблюдаем и можем фиксировать моменты их смерти.

Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте через . Тогда:

.

Символ E здесь и ниже используется для обозначения математического ожидания.

Итак, функция выживания равна средней доле доживших до возраста из некоторой фиксированной группы новорожденных.

В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с только что введенной величиной (зафиксировав начальный размер группы ).

Функция выживания может быть восстановлена по плотности:

Характеристики продолжительности жизни

С практической точки зрения важны следующие характеристики:

1 . Среднее время жизни

,
2 . Дисперсия времени жизни

,
где
,

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовём вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Первым по времени определением вероятности следует считать классическое, которое возникло из анализа азартных игр и применялось вначале интуитивно.

Классический способ определения вероятности основан на понятии равновозможных и несовместных событий, которые являются исходами данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.

Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинаковых по размеру, весу и другим осязаемым признакам шаров, отличающихся лишь цветом, тщательно перемешанных перед выниманием.

Поэтому об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн, или схеме случаев , или укладывается в классическую схему.

Равновозможные и несовместные события, составляющие полную группу, будем называть просто случаями или шансами. При этом в каждом опыте наряду со случаями могут происходить и более сложные события.

Пример : При подбрасывании игральной кости наряду со случаями А i - выпадение i- очков на верхней грани можно рассматривать такие события, как В - выпадение чётного числа очков, С - выпадение числа очков, кратных трём …

По отношению к каждому событию, которое может произойти при осуществлении эксперимента, случаи делятся на благоприятствующие , при которых это событие происходит, и неблагоприятствующие, при которых событие не происходит. В предыдущем примере, событию В благоприятствуют случаи А 2 , А 4 , А 6 ; событию С - случаи А 3 , А 6 .

Классической вероятностью появления некоторого события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:

где Р(А) - вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев.

Примеры:

1) (смотри пример выше) Р(В) = , Р(С) = .

2) В урне находятся 9 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутые наугад один, два шара окажутся красными.

А - вынутый наугад шар красный:

m = 9, n = 9 + 6 = 15, P(A) =

B - вынутые наугад два шара красные:

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):

1) Вероятность невозможного события равна 0;

2) Вероятность достоверного события равна 1;

3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;

4) Вероятность события, противоположного событию А,

Классическое определение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Кроме того, слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. Однако такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности пользуются и другими определениями вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где - вероятность появления события А;

Относительная частота появления события А;

Число испытаний, в которых появилось событие А;

Общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример : Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

.

Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Классическое и статистическое определение вероятности

Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера.

Количественной мерой возможности наступления события является вероятность . Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами , или случаями . При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн », т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.

Исход называется благоприятствующим событию А , если появление этого случая влечет за собой появление события А .

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов , т.е.

где Р(А) – вероятность события А ; m – число случаев благоприятствующих событию А ; n – общее число случаев.

Пример 1.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение. Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А – «появление четного числа очков» – благоприятствуют 3 исхода (случая) – выпадение 2, 4 или 6 очков. По классической формуле вероятности события получаем

Р(А) = = . ◄

Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

0 ≤ Р (А ) ≤ 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.

Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.

Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определениевероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

,

(1.2)

где Р * (А) – статистическая вероятность события А ; w(A) – относительная частота события А ; m – число испытаний, в которых появилось событие А ; n – общее число испытаний.

В отличие от математической вероятности Р(А) , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р * (А) является характеристикой опытной , экспериментальной . Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(А) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива , т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.

Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1 ), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G , ни от формы g , найдем

В экономике, так же как и в других областях человеческой деятельности или в природе, постоянно приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать. Так, объем продаж товара зависит от спроса, который может существенно изменяться, и от ряда других факторов, которые учесть практически нереально. Поэтому при организации производства и осуществлении продаж приходится прогнозировать исход такой деятельности на основе либо собственного предыдущего опыта, либо аналогичного опыта других людей, либо интуиции, которая в значительной степени тоже опирается на опытные данные.

Чтобы каким-то образом оценить рассматриваемое событие, необходимо учитывать или специально организовывать условия, в которых фиксируется это событие.

Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента .

Событие называется случайным , если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным , если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным , если оно не может появиться в этом опыте.

Например, выпадение снега в Москве 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.

Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.

Алгебра событий

События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опыте. Так, наличие двух и трех автомашин в одном магазине для продажи в одно и то же время — это два несовместных события.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий

В качестве примера суммы событий можно назвать наличие в магазине хотя бы одного из двух товаров.

Произведением событий называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий

Событие, состоящее в появлении одновременно в магазине двух товаров является произведением событий: -появление одного товара, — появление другого товара.

События образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в опыте.

Пример. В порту имеется два причала для приема судов. Можно рассмотреть три события: — отсутствие судов у причалов, — присутствие одного судна у одного из причалов, — присутствие двух судов у двух причалов. Эти три события образуют полную группу событий.

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.

Если одно из событий, являющихся противоположными, обозначить через , то противоположное событие обычно обозначают через .

Классическое и статистическое определения вероятности события

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Их обычно обозначают буквами . Например, бросается игральная кость. Элементарных исходов всего может быть шесть по числу очков на гранях.

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Так, событие выпадения четного числа очков определяется тремя исходами: 2, 4, 6.

Количественной мерой возможности появления рассматриваемого события является вероятность.

Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое .

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

В приведенном примере рассматриваемое событие — четное число очков на выпавшей грани, имеет три благоприятствующих исхода. В данном случае известно и общее
количество возможных исходов. Значит, здесь можно использовать классическое определение вероятности события.

Классическое определение равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

где — вероятность события , — число благоприятствующих событию исходов, — общее число возможных исходов.

В рассмотренном примере

Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события в опытах.

Относительная частота появления события вычисляется по формуле

где - число появления события в серии из опытов (испытаний).

Статистическое определение . Вероятностью события называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.

Из данных определений вероятности события видно, что всегда выполняется неравенство

Для определения вероятности события на основе формулы (1.1) часто используются формулы комбинаторики, по которым находится число благоприятствующих исходов и общее число возможных исходов.

• Вероя́тность - степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае - маловероятным или невероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей либо меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.

  Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину - теорию вероятностей. В теории вероятностей и математической статистике понятие вероятности формализуется как числовая характеристика события - вероятностная мера (или её значение) - мера на множестве событий (подмножеств множества элементарных событий), принимающая значения от

  {\displaystyle 0}

  {\displaystyle 1}

  Значение

  {\displaystyle 1}

  Соответствует достоверному событию. Невозможное событие имеет вероятность 0 (обратное вообще говоря не всегда верно). Если вероятность наступления события равна

  {\displaystyle p}

  То вероятность его ненаступления равна

  {\displaystyle 1-p}

  В частности, вероятность

  {\displaystyle 1/2}

  Означает равную вероятность наступления и ненаступления события.

  Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место и они являются равновозможными. Данное классическое «определение» вероятности можно обобщить на случай бесконечного количества возможных значений - например, если некоторое событие может произойти с равной вероятностью в любой точке (количество точек бесконечно) некоторой ограниченной области пространства (плоскости), то вероятность того, что оно произойдет в некоторой части этой допустимой области равна отношению объёма (площади) этой части к объёму (площади) области всех возможных точек.

  Эмпирическое «определение» вероятности связано с частотой наступления события исходя из того, что при достаточно большом числе испытаний частота должна стремиться к объективной степени возможности этого события. В современном изложении теории вероятностей вероятность определяется аксиоматически, как частный случай абстрактной теории меры множества. Тем не менее, связующим звеном между абстрактной мерой и вероятностью, выражающей степень возможности наступления события, является именно частота его наблюдения.

  Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, статистической физике макроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.