Основы теоретической механики: Учеб. для студентов вузов, обучающихся по направлениям ''Механика'' и ''Математика''

Ю.Ф. Голубев Основы теоретической механики 2-е издание, переработанное и дополненное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, об- обучающихся по направлениям "Механика" и аМа темати ка ". ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2000 УДК 531.1 ББК 22.21 Г62 Рецензент: кафедра теоретической механики Московского энергетического института (технического университета) Федеральная программа книгоиздания России Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту № 00-01-14049 Голубев Ю.Ф. Г62 Основы теоретической механики: Учебник. 2-е изд., перераб. и дополн.- М.: Изд-во МГУ, 2000. - 719 с. ISBN 5-211-04244-1 Учебник написан на основе лекций, читаемых на механико- математическом факультете МГУ. Он поможет самостоятельно- самостоятельному изучению предмета и активному усвоению методов теоретиче- теоретической механики, наиболее часто используемых в практических при- приложениях и фундаментальных исследованиях. Изложение опира- опирается на методы дифференциальной геометрии и геометрической теории дифференциальных уравнений. Основные теоретические положения иллюстрируются примерами. Для студентов и аспирантов высших учебных заведений, об- обучающихся по направлениям "Механика" и "Математика". УДК 531.1 ББК 22.21 ISBN 5-211-04244-1 © Издательство Московского университета, 2000 © Ю.Ф.Голубев, 2000 Оглавление Предисловие ко второму изданию 7 Предисловие к первому изданию 9 1. Векторные свойства евклидова пространства 14 1.1. Точки и векторы 14 1.2. Свободные и скользящие векторы 25 1.3. Системы скользящих векторов 29 1.4. Пара скользящих векторов 31 1.5. Упрощение системы скользящих векторов 37 1.6. Параллельные скользящие векторы 40 1.7. Центр масс множества точек 42 1.8. Геометрия масс 45 1.9. Главные оси инерции 49 1.10. Преобразование эллипсоида инерции 50 1.11. Тензорное умножение векторов 57 1.12. Критерий тензора инерции 59 1.13. Свойства моментов инерции 61 1.14. Примеры вычисления тензора инерции 64 Контрольные вопросы к главе 1 73 2. Кинематика 76 2.1. Скорость точки 76 2.2. Ускорение точки 78 2.3. Закон движения твердого тела 81 2.4. Движение вокруг неподвижной точки 84 2.5. Угловые координаты твердого тела 88 2.6. Параметры Эйлера 96 2.7. Параметры Кэли-Клёйна 102 2.8. Кватернионы 110 2.9. Произвольное движение твердого тела ИЗ 2.10. Дифференциал вращения 115 2.11. Сложное движение точки 118 2.12. Поле скоростей твердого тела 120 2.13. Система угловых скоростей 125 2.14. Поле скоростей плоскопараллельного движения.... 131 2.15. Поле скоростей тела с одной неподвижной точкой. . . 133 2.16. Ускорение точки в сложном движении 139 4 Оглавление 2.17. Поле ускорений в твердом теле 145 Контрольные вопросы к главе 2 150 3. Динамика поступательного движения 154 3.1. Пространственно-временная структура 154 3.2. Первый закон Ньютона. Принцип относительности. . 156 3.3. Принцип детерминированности 159 3.4. Работа силы на перемещении 162 3.5. Основные задачи динамики 169 3.6. Скалярные формы уравнений движения 176 3.7. Основные теоремы динамики материальной точки... 190 3.8. Влияние связей на движение материальной точки. . . 197 3.9. Одномерные осцилляторы 211 3.10. Резонансные явления 232 3.11. Движение под действием сил всемирного тяготения. . 254 3.12. Сферический маятник 269 3.13. Относительное движение 274 3.14. Силы инерции из-за вращения Земли 281 3.15. Элементы теории удара 289 Контрольные вопросы к главе 3 297 4. Аналитическая статика системы материальных точек 304 4.1. Равновесие системы 304 4.2. Классификация связей 305 4.3. Интегрирующие механизмы 307 4.4. Критерии голономности системы связей 311 4.5. Выявление голономных связей 324 4.6. Идеальные связи. Виртуальные перемещения 332 4.7. Принцип виртуальных перемещений 343 4.8. Уравнения равновесия абсолютно твердого тела. Гео- Геометрическая статика 352 4.9. Статически неопределимые системы 357 4.10. Равновесие систем с трением 360 4.11. Уравнение равновесия нити 364 Контрольные вопросы к главе 4 373 5. Динамика системы материальных точек 376 5.1. Общее уравнение динамики системы материальных то- точек. Основные теоремы 378 5.2. Теоремы Кёнига 397 5.3. Движение систем переменного состава 404 5.4. Принцип Гаусса наименьшего принуждения 417 5.5. Квазикоординаты 421 Оглавление 5 5.6. Уравнения Аппёля 426 5.7. Общее уравнение теории удара 432 Контрольные вопросы к главе 5 438 6. Динамика твердого тела 443 6.1. Динамические характеристики твердого тела 443 6.2. Уравнения движения твердого тела 448 6.3. Движение твердого тела вокруг неподвижной оси. . . 453 6.4. Физический маятник 457 6.5. Задача о центре удара 462 6.Q. Движение твердого тела около неподвижной точки. . 464 6.7. Случай Эйлера 466 6.8. Случай Лагранжа-Пуассона 478 6.9. Случай Ковалевской 489 6.10. Частные первые интегралы 491 6.11. Симметричный гироскоп 494 6.12. Волчок на гладкой горизонтальной плоскости 501 6.13. Относительное равновесие спутника 504 6.14. Качение диска по горизонтальной плоскости 508 6.15. Качение шара по горизонтальной плоскости 514 Контрольные вопросы к главе 6 520 7. Уравнения движения в лагранжевых координатах 523 7.1. Координатная форма принципа Даламбера-Лагранжа 523 7.2. Уравнения движения 526 7.3. Системы Чаплыгина 531 Контрольные вопросы к главе 7 537 8. Динамика голономных систем 539 8.1. Уравнения Л агранжа второго рода 539 8.2. Энергетические соотношения 544 8.3. Обобщенная силовая функция 549 8.4. Функция Лагранжа. Циклические координаты 555 8.5. Метод Рауса исключения циклических координат. . . 564 8.6. Устойчивость движения 567 8.7. Движение вблизи равновесия 569 8.8. Главные координаты 573 8.9. Экстремальные свойства собственных значений.... 583 8.10. Влияние дополнительных сил 590 8.11. Экстремумы функционалов 598 8.12. Интегральные вариационные принципы 612 Контрольные вопросы к главе 8 622 Оглавление 9. Метод Гамильтона-Якоби 626 9.1. Преобразование Лежандра 626 9.2. Канонические уравнения Гамильтона 630 9.3. Скобка Пуассона 636 9.4. Метод Гамильтона-Якоби 641 9.5. Интегральные инварианты 658 9.6. Множители Якоби 672 9.7. Канонические преобразования 680 9.8. Элементы теории возмущений 695 Контрольные вопросы к главе 9 700 Именной указатель 704 Предметный указатель 706 Литература 714 Предисловие ко второму изданию В настоящее время изданный в 1992 г. учебник "Основы теорети- теоретической механики" является библиографической редкостью . При подготовке к его повторному изданию автор доработал представлен- представленный в учебнике материал на основе опыта преподавания общего кур- курса теоретической механики с учетом новых программ по механике . В предлагаемой редакции учебника исправлены имевшиеся опечатки и более глубоко представлены фундаменталь- фундаментальные теоретические разделы такие, как кинематика движения твердо- твердого тела , связи и виртуальные перемещения системы материаль- материальных точек , необходимые условия экстремумов функционалов и элементы теории управления , резонансные явления линей- линейных систем , устойчивость консервативных систем в окрестности положения равновесия . Расширены разделы по геометрии масс, статике и аналитической динамике . Добавлено ре- решение новых задач, демонстрирующих влияние сил инерции, влия- влияние сухого и вязкого трения на движение тел , явление удара при наличии освобождающей связи . Подчеркнута связь современ- современных методов вариационного исчисления и оптимального управления с интегральными вариационными принципами механики. Соответству- Соответствующий материал иллюстрируется задачей о брахистохроне и задачей о быстродействии в начало координат фазовой плоскости . В конце каждой главы предложены контрольные вопросы для самопроверки усвоения материала. Указанные дополнения не изменили структуры учебника. Автор старался найти экономные и простые пути изложения материала, представляющие самостоятельную методическую ценность и могу- могущие оказаться полезными для преподавателей. Автор надеется, что материал, содержащийся в учебнике, даст хорошее представление о теоретической механике как о науке, лежащей в основе современно- современного естествознания, и, благодаря доступности изложения и богатству представленного теоретического и практического материала, будет способствовать привлечению молодежи к естественно-научным дис- дисциплинам. Автор благодарен сотрудникам кафедры теоретической механи- механики механико-математического факультета МГУ Д.Е.Охоцимскому, В.В. Румянцеву, В.В. Белецкому, И.Л. Антонову, А.В. Карапетяну, Предисловие к 2 изданию С.В.Болотину, Я.В.Татаринову и другим сотрудникам за полезные обсуждения и рекомендации по улучшению содержания книги. Осо- Особую признательность автор выражает Е.В.Мелкумовой, внесшей зна- значительный вклад в подготовку контрольных вопросов и именного указателя. Предисловие к первому изданию Теоретическая механика как наука начала развиваться в глубо- глубокой древности . Изучая такие фундаментальные свойства, как законы движения и равновесия материальных тел, она имеет огром- огромное практическое значение и лежит в основе современного естество- естествознания. Отвечая потребностям научно-технического прогресса, она постоянно развивается, совершенствуя существующие и разрабаты- разрабатывая новые методы исследований. Будучи тесно связанной со многими естественными науками (математика, теория относительности, кван- квантовая механика, механика сплошной среды, электротехника, теория машин и механизмов и др.), теоретическая механика не только при- привносит в них свои результаты, но и заимствует от них новые знания, постановки задач, подходы к решению проблем. Изложение основ теоретической механики возможно как с точки зрения пользователя, которому достаточно узнать некоторый фикси- фиксированный набор сведений (возможно, без обоснований) для практиче- практического их применения, так и с точки зрения исследователя, которому важен не только (и не столько) набор знаний, но и методы и техника получения результатов для дальнейшего развития теории и с целью проникновения в еще не изученные сферы ее приложения. Тот и дру- другой подходы имеют право на существование. Первый часто использу- используется в технических вузах, где курс теоретической механики служит лишь основой для специальности. Второй подход больше практи- практикуется для подготовки специалистов широкого профиля в области физики, математики, механики. Настоящая книга ориентирована на подготовку специалистов ши- широкого профиля. Она основана на лекциях автора для студентов- механиков механико-математического факультета МГУ. Тем самым излагаемый материал адресован в первую очередь читателю, решив- решившему профессионально заняться механикой и, следовательно, решив- решившему глубоко разобраться в понятиях, идеях и методах этой науки. Теоретическая механика, развиваясь, достигла большой глубины и мастерства в исследовании многих весьма сложных проблем. Суще- Существует также значительное число математических дисциплин (теория оптимальных процессов, симплектическая геометрия, теория потен- потенциала, теория линейчатых поверхностей, теория возмущений, теория устойчивости, теория дифференциальных уравнений и др.), проис- 10 Предисловие к 1 изданию хождение или развитие которых обязано теоретической механике и результаты которых вносят существенный вклад, в частности, в по- понимание ее задач. Ограниченные рамки университетского курса A54 часа) не позволяют включить весь этот материал и заставляют огра- ограничивать содержание курса наиболее фундаментальными знаниями с учетом, конечно, передовых направлений научных исследований. При этом полезно использовать факт взаимопроникновения методов и понятий теоретической механики и смежных наук, что будет способ- способствовать не только пониманию их единства, но и позволит включить новые результаты. В частности, в книге с целью экономии места опущена теория устойчивости движения, традиционно включаемая в курсы теоретической механики . В настоящее время эта тео- теория переросла в самостоятельную математическую дисциплину , основы которой читаются в курсе дифференциальных уравнений . Компактности изложения может способствовать выделение матема- математически родственных понятий механики. Например, алгебраическая теория скользящих векторов полностью обслуживает как раздел ки- кинематики, изучающий свойства угловых скоростей, так и все разделы геометрической статики. Сравнительный анализ свойств углов Эйле- Эйлера, параметров Кэли-Клейна и кватернионов позволяет существен- существенно дополнить кинематику твердого тела, экономно распорядившись объемом соответствующего раздела . Лаконичности способству- способствует также сочетание алгебраического и геометрического стиля аналогично тому, как это применяется в дифференциальной геоме- геометрии . Принятая в книге логическая схема изложения материала доста- достаточно традиционна и соответствует установившейся за много лет последовательности проведения прак- практических занятий. Курс начинается с раскрытия понятия аффинного точечно-век- точечно-векторного пространства как формальной аксиоматической основы по- построений теоретической механики. Строится теория преобразований системы скользящих векторов к простейшему виду. Вводится поня- понятие центра масс и тензора инерции и развивается геометрия масс. Весь этот аппарат, помимо теоретической механики, может быть эф- эффективно применен и в некоторых разделах математики . Что- Чтобы подчеркнуть это, ему придана векторно-алгебраическая форма. Кинематика традиционно включает вопросы, связанные с изуче- изучением геометрических аспектов движения в трехмерном аффинном пространстве. Структура поля скоростей и поля ускорений твердых тел анализируется с помощью аппарата дифференциальной геоме- геометрии и теории ортогональных операторов. Создается теоретическая основа для введения и расчета основных динамических характери- Предисловие к 1 изданию 11 стик (кинетической энергии, кинетического момента, энергии уско- ускорений), а также анализа структуры виртуальных перемещений. С целью облегчения практических приложений особое внимание уде- уделено сопоставлению различных типов координат углового положения твердого тела . Для изучения поступательного движения твердого тела вводится понятие материальной точки . Это позволяет сделать динамику материальной точки физически ощутимой, облегчает анализ упраж- упражнений и сопоставление с опытными данными аксиоматически вводи- вводимых принципа относительности Галилея, принципа детерминирован- детерминированности и законов Ньютона. Анализируются ограничения на форму законов механики и физики, следующие из принципов относительно- относительности и детерминированности . Ставятся основные задачи меха- механики. Выявляются преимущества различных систем криволинейных координат для описания движения точки. Доказываются основные теоремы механики и сообщаются основные приемы, применяемые для исследования движения. Как основа качественного анализа поведе- поведения механических объектов подробно изучаются фазовые портреты осцилляторов. На их примере демонстрируется влияние потенциаль- потенциальных и диссипативных сил, а также резонансные явления различных типов . Изучается динамика материальной точки, стесненной свя- связями . Столь подробное изучение движения материальной точки вызва- вызвано двумя обстоятельствами. Во-первых, построенная теория имеет большое самостоятельное значение, как теория широко распростра- распространенного на практике поступательного движения реальных тел. Во- вторых, методически она создает достаточно удобный каркас для по- построения статики и динамики системы материальных точек, а также доставляет ряд стандартов исследования задач механики. Аналитическая статика и динамика опираются на учение о свя- связях. Вопрос о голономности связей имеет принципиальное значение для выбора того или иного математического аппарата исследования свойств движения и равновесия системы материальных точек. В кни- книгу включены элементы теории пфаффовых форм в объеме, достаточ- достаточном для получения критериев голономности системы связей . Для большей доступности это дополнение осуществлено обычными средствами математического анализа. В итоге сформулирован про- простой конечный алгоритм, позволяющий выделить максимальное чи- число голономных из заданной совокупности дифференциальных свя- связей. За основу учения о равновесии принят, как наиболее общий, ме- метод аналитической статики . С его помощью выводятся другие известные методы. В частности, как следствие получена и сведена 12 Предисловие к 1 изданию к теории скользящих векторов геометрическая статика. Показана возможность ее применения для получения условий равновесия про- произвольных механических систем . Динамика системы материальных точек сначала излагается для случая, когда движение стеснено произвольными дифференциальны- дифференциальными связями. Из принципа Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) с использованием свойств структуры виртуальных пере- перемещений выводятся общие теоремы динамики об изменении ки- кинетической энергии (живой силы), кинетического момента (момента количеств движения), количества движения. Изучается динамика системы переменного состава . На основе принципа Гаусса наи- наименьшего принуждения выводятся уравнения Аппеля в квазикоор- квазикоординатах. Получены также уравнения Воронца и, как их следствие, уравнения Чаплыгина. Установлено, что воздействие неголономных связей включает реакции, имеющие гироскопическую природу . Динамика твердого тела изучается на основе общих теорем об из- изменении кинетической энергии, кинетического момента и количества движения, а также с помощью основных понятий геометрии масс. Показывается, что аппарат динамики системы материальных точек применим для описания движения твердого тела и систем твердых тел. Проясняется вычислительная экономность использования урав- уравнений Эйлера. Традиционно анализируются случаи Эйлера-Пуансо, Лагранжа-Пуассона, Ковалевской . В качестве примера методи- методики получения частных случаев интегрируемости приводятся случаи Гесса и Бобылева-Стек лова . С целью демонстрации приложения развитых методов к практике даются основы элементарной теории гироскопов , достаточные для качественного анализа действия гироскопических приборов. Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона . Дается понятие о лагран- жевом формализме . Изучается поведение полной энергии си- системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат . Устанавли- Устанавливается, что для голономных систем интегралы количества движе- движения, кинетического момента и обобщенный интеграл энергии Яко- би всегда могут быть представлены как следствие существова- существования соответствующих циклических координат. Указывается на воз- возможность использования аппарата теории групп для поиска инте- интегралов движения . Изложение вариационных принципов Гамиль- Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби выполнено в соот- соответствии с современной теорией оптимальных процессов . Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- Предисловие к 1 изданию 13 ний . Содержащиеся в книге методы анализа систем канонических урав- уравнений Гамильтона включают метод Якоби-Гамильтона, теорию по- последнего множителя Якоби , интегральные инварианты, перемен- переменные действие-угол . Для иллюстрации эффективности при- приложений всего этого арсенала методов в книге даются элементы те- теории возмущений. Дополнительные подробности о содержании книги читатель смо- сможет узнать из оглавления, где перечислены все важнейшие ее разде- разделы. Теоретический материал поясняется решением большого числа задач и примеров различного уровня сложности . Существующая библиография по теоретической механике огром- огромна. Приведенный в книге список литературы не претендует на пол- полноту. В нем содержатся только работы на русском языке, близкие к настоящему изданию по назначению. К ним при необходимости читатель сможет обратиться за дополнениями. В этом случае преди- предисловие сыграет роль предметного указателя. Большое значение имеет возможность самостоятельной оценки читателем качества усвоения материала. С этой целью на базе IBM PC разработано приложение к книге в виде компьютерного учебно- учебного пособия, содержащее справочный теоретический материал, образ- образцы решения задач различного уровня сложности, контрольные во- вопросы и задачи, элементы практикума по теоретической механике. Балльная система оценки знаний, элементы анимации изображения на экране дисплея, дружественный интерфейс делают компьютер- компьютерное пособие привлекательным средством интенсификации процесса обучения как для преподавателя, так и для человека, решившего са- самостоятельно закрепить свои знания. По вопросам, связанным с приобретением компьютерного учебно- учебного пособия, следует обращаться на кафедру теоретической механи- механики МГУ (тел. 9393681) или в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, тел. 2507877 (Голубев Ю.Ф.), 2507925 (Павловский В.Е.). В работе над книгой автор мог неограниченно пользоваться по- помощью и советами своих коллег по кафедре теоретической механики МГУ, за что приносит им глубокую благодарность. Автор признате- признателен Н. Н. Колесникову, В. В. Козлову, А. П. Маркееву, Д. В. Зенкову, И. А. Серегину, Р. Г. Мухарлямову, А. С. Галиуллину, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд существенных замечаний по уточнению отдельных разделов книги. Глава 1 Векторные свойства евклидова пространства § 1.1. Точки и векторы Предмет теоретической механики состоит в изучении и предсказа- предсказании движений материальных систем. С этой целью формулируются законы механики, создаются и анализируются соответствующие ма- математические модели. Понятие аффинного точечно-векторного про- пространства представляет собой математическую модель простейших геометрических объектов и их отношений, на которых базируется те- теория движения. Аффинное точечно-векторное п-мерное пространство Ап есть множество, состоящее из элементов двух типов: точек и векторов пространства. При этом предполагаются выполненными следующие четыре аксиомы: I. Множество всех векторов пространства Ап образует п-мерное линейное пространство Rn. И. Каждые две точки А и В, взятые в определенном порядке, задают единственный вектор г = АВ. III. Если даны произвольный вектор г и произвольная точка А, то существует единственная точка В такая, что г = АВ. Пара "точка А и вектор г" называется "вектором г, приложенным к точке А". При этом точка А называется начальной точкой приложенного к ней вектора г, а точка В - концом вектора г (приложенного к точке А). IV. Если ri = АВ и г2 = ВС, то ri + г2 = АС. Вещественное п-мерное линейное пространство Rn есть множество элементов (векторов), обладающих следующими свойствами: I. Для любых двух элементов ri,i*2 Е Rn однозначно определен элемент а Е Яп, называемый их суммой и обозначаемый ri 4 г2, причем должно быть выполнено: 1. ri -f гг = гг 4- ri (коммутативность); 2. ri 4 (гг 4 гз) = (ri 4 г2) 4 гз (ассоциативность); 3. Существует элемент О Е Rn: r40 = r для любого гЕйп; 4. Для любого г Е Rn существует элемент - г Е Rn: г 4 (-г) = 0. 1.1. Точки и векторы 15 II. Для любого числа а и любого элемента г G Rn определен эле- элемент от G Rn (произведение элемента г на число а), причем должно быть выполнено: 1. а(/?г) = (а/?)г; 2. 1г = г; 3. (а + /?)г 4. a(ri + г2) = Пусть каждой точке аффинного пространства по какому-нибудь правилу поставлен в соответствие единственный вектор из Rn . Такое множество пар точек и векторов называется векторным полем. Суммой векторных полей называется векторное поле, каждой точ- точке которого поставлен в соответствие вектор, равный сумме векторов, приложенных к этой точке от составляющих полей. Евклидова структура в линейном пространстве Rn задается ска- скалярным произведением двух векторов. Конкретно скалярное произ- произведение можно задать с помощью какой-нибудь положительно опре- определенной билинейной симметрической формы, устанавливающей со- соответствие между парой векторов и некоторым числом. Другими сло- словами, скалярное произведение ri r2; ri,r2 G Д" - это операция, имеющая свойства: 1. г г > 0 для любого г G Rn , причем г г = 0, только если г = 0; 2. ri г2 = г2 -п; 3. (<*ri) -r2 = <*(Г1 -г2); 4. (п 4- г2) г3 = ri г3 4- г2 г3. Скалярное произведение позволяет определить расстояние (ев- клидову метрику) р(А, В) = |АВ| = \/АВ АВ между точками А и В соответствующего аффинного пространства Ап. Аффинное пространство с введенной в нем евклидовой метрикой называется евклидовым пространством Еп. В силу сформулированных выше свойств операция скалярного умножения вполне определена, если указано, во что эта операция переводит пары базисных векторов ei,... ,еп пространства Rn. Обо- Обозначим gij = et- -ej, gij = gji. Пусть разложения x E Rn и у G Rn по базисным векторам имеют вид ж»е,-, у = 16 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Следовательно Естественно потребовать, чтобы скалярное произведение не менялось при переходе к другим базисным векторам. Тогда коэффициенты скалярного произведения должны подчиняться специальному закону преобразования. Укажем этот закон. Пусть базис е^,... ,е^ связан с базисом ei,..., еп посредством формул В базисе е^,... ,е"п коэффициенты скалярного произведения примут вид k,P=i Совокупность G коэффициентов д^ скалярного произведения, подчи- подчиняющаяся указанному закону при преобразованиях координат, обра- образует тензор второго ранга, который называется метрическим. Покажем, что если G - тензор, то скалярное произведение в са- самом деле инвариантно относительно линейных преобразований коор- координат. Пусть в базисе е^,..., е^ векторы х, у выражаются формула- формулами При этом справедливы формулы преобразования координат Имеем n n n n x У = Yl gijx"iyj = Л Л gkpanapjx"iy"j = ]Г gkpXkVp-П i,j = l tJ = lJb,p=l k,p=l Векторы x,y G Дп, для которых х у - 0, называются ортого- ортогональными, а векторы х G йп, для которых х х = 1, называются нормированными (единичными). В линейной алгебре доказывается, что всякую положительно определенную квадратичную форму можно привести к диагонально- диагональному виду. Простейший способ задать скалярное произведение - это 1.1. Точки и векторы 17 указать, какие п векторов пространства Rn должны быть единичны- единичными и взаимно ортогональными. Линейным оператором А: Rn -> Rn называется правило, ставя- ставящее в соответствие вектору хЕйп вектор Ах Е Rn и удовлетворяю- удовлетворяющее условиям: 1. А(Лх) = ААх, XeR; 2. А(х + у) = Ах + Ay, yeRn. Пусть ei,..., еп - базисные векторы и i = l Используя свойства линейного оператора, найдем п i = l Следовательно, линейный оператор вполне определен указанием об- образов базисных векторов. Результаты действия оператора над базис- базисными векторами разложим по самим этим векторам: п Матрица А = (аг^), г, j = 1,..., п, называется матрицей линейного оператора в базисе еь... ,еп. Коэффициенты разложений векторов у = Ах и х по базису запишем в виде матриц-столбцов размерностью (п х 1). Тогда действие линейного оператора можно представить в матричном виде У\ \ / «и. «in Уп } \ «ril Clnn и интерпретировать как линейное преобразование координат. Если det А ф 0, то существует обратное преобразование XI = Si(y),...,Sn = Sn(y), вычисляемое по правилу)-i / / У\ \ Уп 2 - 150" 18 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства которому отвечает обратный линейный оператор х = А"}", так что х = А^Ах. Линейное преобразование координат называется движением ме- метрики, если оно невырождено (det А ф 0) и преобразование метриче- метрического тензора выражается равенствами 9ij(Vi, » Уп) ~ 9ij(*i(y), , »n(y)). Другими словами, движение метрики точно сохраняет вид скалярно- скалярного произведения. При движении метрики компоненты метрического тензора удовле- удовлетворяют равенствам Представим это в матричной форме ATGA = G, АТ - матрица, транспонированная по отношению к A, G = (9ij) - матрица метрического тензора. В частности, для евклидова про- пространства Еп существует базис, в котором G превращается в еди- единичную матрицу Еу и потому АТА = Е. Матрица А называется ортогональной, если АТ = А. По- Поскольку det Ат = det Л, то для ортогональной матрицы А получим deti4 = ±l. Линейный оператор, обладающий ортогональной матрицей в ка- каком-либо ортонормированном базисе пространства Еп, называется ортогональным линейным оператором. Теорема 1.1.1. Матрица ортогонального линейного оператора будет ортогональной в любом ортонормированном базисе простран- пространства Еп. Доказательство. Пусть задан ортогональный линейный опе- оператор А. Это значит, что существует ортонормированный базис ei,..., еп пространства Еп, для которого матрица ain A- " 1.1. Точки и векторы 19 ортогональна: АтА = Е. Зададим базис е^,...,^ с помощью ра- равенств t = Потребуем, чтобы этот базис был ортонормированным. Тогда матри- матрица; Сп ортогональна (почему?). Применяя оператор А к векторам е(«, най- найдем п п п п п п Следовательно, матрица Л оператора А в базисе е^,...,^ может быть найдена по формуле А = СтАС. Проверим ее ортогональность: АТА = СТАТССТАС = СТАТАС = СТС = Е. Это и требовалось доказать.О Теорема 1.1.2. Для ортогональности линейного оператора не- необходимо и достаточно, чтобы он переводил ортонормированный базис в ортонормированную совокупность векторов, число которых равно числу векторов базиса. Доказательство. Необходимость. Пусть А - ортогональный оператор. Тогда в ортонормированном базисе ei,..., еп его матрица А ортогональна: АТА = Е. Применяя оператор к базисным векто- векторам, получим apjep = J>2 akiaPJek " eP = Следовательно, в результате получаем п ортонормированных векто- векторов. Достаточность. Пусть базисные векторы ei,...,еп переходят в попарно ортонормированные. Тогда, очевидно, j ^ j, i, j = 1,..., n. а значит, AT A = E.O 20 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Следствие 1.1.1. Ортогональный линейный оператор сохраня- сохраняет расстояния между соответствующими точками евклидова про- пространства. Доказательство. Поскольку указанный линейный оператор пе- переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то длина вектора в полученном базисе будет такой же, как и длина соответ- соответствующего вектора в исходном: Пусть заданы два линейных оператора А и В. Композицией ли- линейных операторов называется линейный оператор С = А о В, дей- действие которого равно результату применения оператора А к вектору, полученному вследствие применения оператора В. Другими слова- словами, пусть хЕйп - произвольный вектор. Тогда Сх = (АоВ)х = А(Вх). Назначим базис ei,..., еп. Зададим матрицы операторов А и В: Аег- = ^Г ajiBj, Вег- = Применим последовательно линейные операторы: j=i Jb=ii=i Видим, что матрица С оператора А о В получается с помощью умно- умножения матриц: С = АВ. Произведение матриц некоммутативно. Не- Некоммутативна и композиция линейных операторов. Совокупность Г некоторых элементов называется группой, если каждой паре а и Ь элементов из Г ставится в соответствие их произ- произведение а о b G Г, обладающее следующими свойствами: 1. (а о 6) о с = а о F о с) - ассоциативность; 2. Существует элемент 1 Е Г такой, что loa = aol = а; 3. Для любого а Е Г существует элемент а" Е Г такой, что а о а = 1. Пример 1.1.1. Множество квадратных невырожденных матриц образует группу относительно операции умножения. Роль единичного элемента здесь играет единичная матрица, роль обратного - обратная 1.1. Точки и векторы 21 матрица. В соответствии с этим совокупность линейных операторов с невырожденными матрицами образует группу относительно их компо- композиции. Теорема 1.1.3. Множество ортогональных операторов (орто- (ортогональных матриц) образует группу относительно композиции опе- операторов (операции умножения матриц). Доказательство. Рассмотрим множество ортогональных ма- матриц. Роль единичного элемента для него играет единичная матрица ЕЛ роль обратного - транспонированная матрица. Докажем, что произведение ортогональных матриц дает ортогональную матрицу. Пусть А и В ортогональны: АТА - Е, ВТВ = Е. Для их произве- произведения С = АВ найдем СТС = (АВ)Т(АВ) = ВТАТАВ = Вт В = Е. Таким образом, ортогональные матрицы образуют группу относи- относительно их умножения, а ортогональные операторы - группу отно- относительно их композиции.D Группа ортогональных операторов над пространством Еп называ- называется группой О(п). Подгруппа с det А > 0 называется SO(n). Рассмотрим реальное физическое пространство. Геометрически оно представляет собой трехмерное аффинное пространство А3 . На- Направленные отрезки прямых назначим ортогональными, если они перпендикулярны. Выберем произвольно некоторую опорную точку О Е А3 и приложим к ней три взаимно перпендикулярных вектора, которые будем считать единичными. Тем самым определены соотно- соотношения О, если г ф j\ ij = 1,2,3, которые позволяют ввести скалярное произведение и превратить ис- исследуемое пространство А3 в евклидово пространство Е3. Названная система векторов образует базис линейного пространства Е3. Взятая вместе с точкой О, она называется декартовым репером пространства Е3. Коэффициенты разложения векторов с началом в точке О по указанному базису называются декартовыми координатами элемен- элементов пространства. Прямые, проходящие через точку О параллель- параллельно базисным векторам, называются декартовыми осями координат с началом в точке О. Базисные векторы будем обозначать ех,е2,ез. Разложения векторов х, у Е Е3 примут вид X = Х\Ъ\ + Х2&2 + #3^3, У - 2/1^1 + 2/2^2 + 22 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Скалярное произведение определено формулой х у = xiyi + Х2У2 + Модуль (длина) вектора есть X = |х| = \/Х X = Vr = \/xf + х\ + X3, что служит выражением теоремы Пифагора. Из курса аналитической геометрии известно, что: 1. х-у = |х|- |y|cos(x7y) = xycos(x7y). Можно также сказать, что скалярное произведение есть произведение модуля одного из векторов и проекции другого вектора на направле- направление первого. Если один из перемножаемых векторов, например вто- второй, оказался единичным, то скалярное произведение даст проекцию первого вектора на направление второго: х у = ху, если |у| = 1. 2. Выражение для косинуса угла между векторами принимает вид (Э) ху 3. В случае перпендикулярности векторов х и у имеем Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве Ег билинейную ко- сосимметричную операцию, ставящую в соответствие паре векторов х, у 6 Е3 третий вектор z = xxyE.El3H обладающую свойствами: 1. х х у = -(у х х) (кососимметричность); 2. Fх) х у = 8(х х у) (умножение на число 8); 3. (xi + х2) х у = xi х у + х2 х у (дистрибутивность). В соответствии с принятыми свойствами будем иметь ззз х х У = ]С х*е* х Yl mei = Yl Xiyi е* х еУ t=l ; = 1 t,; = l Следовательно, как и в случае скалярного произведения, для полного определения операции достаточно указать, во что она переводит пары базисных векторов. Пусть базисные векторы ориентированы так, что из конца третье- третьего вектора е3 кратчайший поворот от первого ei ко второму е2 виден происходящим против хода часовой стрелки. Система координат с таким базисом называется правоориентированной (правой). 1.1. Точки и векторы 23 Потребуем, чтобы для правоориентированной ортонормированной системы координат были выполнены равенства1 ех х ei = ег х ег = е3 х е3 = 0, е2 х е3 = -е3 х е2 = ei, е3 х ei = -ei х е3 = е2, ei х ег = -е2 х ei = е3. Тогда, очевидно, х х у = (х2у3 - или символически с помощью определителя si, е2, е3 - x2yi)e3 х х у = Уь 2/2, УЗ Построенная таким образом операция носит название векторного произведения (векторного умножения). Для векторного произведения z = х х у справедливо следующее: z х х = 0, z х у = 0, |z| = |х| |у| sin(xTy), вектор z перпендикулярен плоскости, натянутой на векторы х и у, причем из конца вектора z поворот от х к у в кратчайшую сторону виден происходящим против хода часовой стрелки. Перейдем к произведениям трех векторов x,y,zG^3 . Их суще- существует два типа. Смешанное произведение дается формулой х (у х z) = 31, #2, #3 Уь У2, Уз Для него справедлива циклическая перестановка х (у х z) = у (z х х) = z (х х у). Если в смешанном произведении какие-либо два сомножителя кол- линеарны, то произведение равно нулю. Двойное векторное произведение представляется формулой х х (у х z) = y(x z) - z(x у). Пусть в некотором репере Oeie2e3 вектор а а = + а2е2 + а3е3 1 Для левоориентированного репера результаты должны иметь противополож- противоположные знаки, что связано с требованием инвариантности операции при преобразо- преобразованиях координат 24 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства имеет координаты, представляющие собой функции скалярного ар- аргумента t (например, времени): a2 = a2(t), a3 = В этом случае вектор а называется вектор-функцией аргумента t в репере Ое^ез. Выберем два значения аргумента: t и t + At. Значения вектор- функции для них обозначим а и a -f Aa соответственно. Вектор Аа назовем приращением вектор-функции вследствие приращения аргу- аргумента. Рассмотрим отношение Аа/Д<. Предел этого отношения, если он существует при At -* 0, есть вектор da Aa - = hm --. dt Д*-+о А* Он называется производной вектора а по аргументу t, взятой от- относительно репера Ое^ез. Таким образом, da da\ da 2 da^ = е + е+е Пусть компоненты метрического тензора (gij) не зависят от t (см. определение метрического тензора). Тогда справедливы формулы d , _ ч da _ db d . _ ч da db _(a.b)=-.b + a.-, _(axb) = -xb + aX-, где b - другая вектор-функция аргумента t. Продифференцируем равенство а а = а2: da da , а« -= а-, или а da = a da, at at Другими словами, скалярное произведение вектора на его дифферен- дифференциал равно произведению модуля вектора на дифференциал модуля. Если модуль вектора постоянен, то вектор и его дифференциал вза- взаимно перпендикулярны: а da = 0. В частности, если |ае| = 1, то ае (dsie/dt) = 0. Вектор-функция а = а(^) может изменяться и по модулю, и по направлению. Вектор а представим как произведение модуля на еди- единичный вектор: а = аае. Взяв производную от обеих частей равен- равенства, найдем da da dae а + а 1.2. Свободные и скользящие векторы 25 Первое слагаемое правой части, очевидно, коллинеарно вектору а и носит название продольной составляющей. Оно характеризует бы- быстроту изменения модуля вектора. Второе слагаемое направлено пер- перпендикулярно вектору а и называется поперечной, или трансверсаль- иой, составляющей. Оно характеризует быстроту поворота вектора. Отметим, что, вообще говоря, da § 1.2. Свободные и скользящие векторы Согласно аксиомам аффинного пространства каждой точке из Е3 соответствует линейное пространство векторов, имеющих начало в этой точке. Вместе с тем часто возникает необходимость по той или иной причине считать одинаковыми некоторые векторы с различны- различными начальными точками. Будем говорить, что множество эквива- эквивалентных (тождественных) в каком-нибудь смысле векторов образует конкретный класс эквивалентности. Векторные операции над пред- представителями одного и того же класса эквивалентности будем счи- считать лишенными смысла. Векторные операции над классами экви- эквивалентности будем понимать как операции, одинаково выполненные над отдельными любыми представителями классов, участвующих в операции. Сначала введем понятие свободного вектора. Напомним, что аф- аффинное пространство А3 объединяет множество точек и пространство векторов R3. Выберем вектор el ? R3 и будем откладывать его от про- произвольной точки А € А3. Часто принимают, что все векторы, постро- построенные таким образом, эквивалентны. Этот класс эквивалентности называется свободным вектором а. Особую роль в теоретической механике играет понятие скользя- скользящего вектора. В пространстве А3 выберем опорную точку О, некото- некоторую точку А и вектор и с началом в точке А. Зададим действитель- действительное число (параметр) А и сопоставим ему точки Лд, В\, определенные векторами (рис. 1.2.1) ОАА = ОА + Аи, ОВА = ОА + (А + 1)и. Когда А принимает произвольные действительные значения, полу- получим множество векторов АдВа, каждый из которых имеет начало в точке А\ и конец в точке В\. Все векторы, принадлежащие это- этому множеству, отнесем к одному и тому же классу эквивалентности, который назовем скользящим вектором и обозначим (ОА, и). 26 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Прямая, определенная параметрически уравнением ОАЛ = ОА + Аи, называется основанием скользящего вектора. Из сказанного следует, что в пространстве Е13, снабженном декар- декартовыми осями координат с началом в точке О, скользящий вектор можно однозначно задать шестью параметрами (числами): тремя ко- координатами точки А и тремя проекциями вектора и на координатные оси. Пусть г = О А есть радиус-вектор точки А. Два вектора г и и называются векторными координатами скользящего вектора, кото- который в связи с этим будем обозначать (г, и). Два скользящих вектора (г,и) и (г,-и) называются противоположными. Суммарное число координат векторов г и и на единицу превышает число независимых параметров скользящего вектора, равное пяти. В самом деле, пусть в Е3 заданы две точки А\ и Ач и пусть точке А\ соответствует радиус-вектор ri, а точке А 2 - радиус-вектор Г2. Вы- Выражения (ri,u) и (r2,u) определяют один и тот же скользящий век- вектор тогда и только тогда, когда вектор А1А2 коллинеарен вектору и. Другими словами, для задания скользящего вектора можно вос- воспользоваться координатами любой точки его основания (параметр, задающий смещение и вдоль основания, несуществен). Моментом М° скользящего вектора (г, и) относительно опорной точки или (что одно и то же) полюса О называется векторное произ- произведение М° = г х и. Начало вектора М° совпадает с точкой О. Модуль момента М° чи- численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах г и и. Можно также сказать, что модуль момента равен произведению |и| на плечо ft. Плечом скользящего вектора относительно полюса называется длина ft перпендикуляра, опущенного из полюса на осно- основание скользящего вектора (рис. 1.2.1). Очевидно, что М° не зависит О Геометрически понятие скользящего вектора означает следующее. Через заданную точку А проведена прямая / с направляющим вектором и. Все векторы и, отложенные от произволь- произвольных точек прямой /, считаются экви- эквивалентными. Рис. 1.2.1. Скользящий вектор 1.2. Свободные и скользящие векторы 27 от того, какая точка на основании взята для задания скользящего вектора. Действительно, пусть точки А\,Аъ принадлежат основа- основанию и ri,r2 - соответственно радиусы-векторы этих точек. Тогда г2 - ri = Аи. Обозначим = ri х и, = г2 х и. Вычитая из второго равенства первое, найдем Mi - М2 = (ri - Г2) х u = Аи х и = 0. Пусть нам известен момент М° относительно полюса О, а мы хо- хотим найти момент Мс того же скользящего вектора относительно точки С. Обозначим гс - радиус-вектор точки А относительно по- полюса С, а ОС - радиус-вектор точки С относительно О (рис. 1.2.2): г = гс - ОС. Имеем Mc=rcxu = (r- ОС) х и = М° - ОС х и. Тем самым найдена формула пересчета момента при переходе к но- новому полюсу. и При изменении полюса момент сколь- скользящего вектора изменяется. Доба- Добавляется момент, учитывающий поло- положение нового полюса относительно исходного. Однако, проекция момен- момента на основание скользящего вектора остается постоянной. Рис. 1.2.2. Изменение полюса Теорема 1.2.1. Скользящий вектор (г, и) можно однозначно оп- определить, задав векторы Ы° и и, удовлетворяющие условию что геометрически означает перпендикулярность вектора и момен- моменту М°. Доказательство. Пусть заданы векторы М° и и. Найдем радиус-вектор г, начало которого совпадает с точкой О, а конец принадлежит искомому основанию скользящего вектора. Потребу- Потребуем, чтобы вектор г был перпендикулярен вектору и: и х М° = и х (г х и) = ги2. 28 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Следовательно, r = (uxM°)u"\ Тем самым скользящий вектор однозначно определен.? Координаты векторов и и М° составляют шесть параметров, за- задающих единственный скользящий вектор. Они не являются неза- независимыми, так как связаны условием перпендикулярности векторов М° и и, и называются плюккеровыми координатами. Удобство их в том, что они одинаковы для любой точки основания скользящего вектора. Пусть е - единичный вектор оси /, проходящей через полюс О. Рассмотрим скалярное произведение е М° = е (г х и). Представим (рис. 1.2.3) векторы г и и в виде таким образом, чтобы векторы г*- и и* были перпендикулярны век- вектору е, а ге и ие - параллельны ему: r^-e = 0, u^-e = 0, re||e, ue||e. Тогда е-М° = e-[(r7r-fre)x(u7r-fue)] = e-(r^ xu^-f re xii^-fr* xue+rexue). С учетом способа представления векторов г и и будем иметь Полученное равенство означает, что проекция момента М° на ось / есть момент проекции скользящего вектора на плоскость, перпенди- перпендикулярную е. и Момент скользящего вектора относи- относительно оси вычисляется как момент его проекции на плоскость перпенди- перпендикулярную оси, взятый относительно точки пересечения оси с плоскостью. Указанный момент не меняется при смещении плоскости вдоль оси. Рис. 1.2.3. Момент скользящего вектора относительно оси 1.3. Системы скользящих векторов 29 Одновременно доказано, что если на оси / взять другой полюс, например С, и рассмотреть момент Мс, то е М° = е Мс. Сказанное дает возможность корректно ввести следующее опре- определение. Моментом скользящего вектора относительно некоторой оси называется проекция на эту ось момента скользящего вектора, вычисленного относительно любой точки оси. § 1.3. Системы скользящих векторов Множество скользящих векторов, для которого заданы операции преобразования к другому множеству, назовем системой скользящих векторов. Прежде чем указать набор таких операций, введем следу- следующие понятия. Множество скользящих векторов называется сходящимся в точ- точке, если основания всех векторов множества пересекаются в этой точ- точке. Пусть имеется множество из п скользящих векторов, сходящееся в некоторой точке D с радиусом-вектором rp. Очевидно, что эти векторы можно задать в виде (yd, ui), (гд, u2),..., (r#, un), причем вектор yd будет одинаковым для всех скользящих векторов множества. Результирующим вектором этого множества называет- называется скользящий вектор \ 1=1 / Теорема 1.3.1. (Вариньон). Пусть задано сходящееся в точ- точке D множество скользящих векторов. Момент результирующе- результирующего вектора относительно полюса О равен сумме моментов относи- относительно того же полюса скользящих векторов, составляющих данное множество. Доказательство. Пусть основания всех п скользящих векторов множества пересекаются в точке D. Представим скользящие векторы в виде где yd - радиус-вектор точки D относительно полюса О. Момент М° результирующего вектора выражается формулой 30 Глава J. Векторные свойства евклидова пространства С учетом свойств векторного произведения найдем 1=1 Но каждое слагаемое в правой части последнего равенства есть мо- момент соответствующего скользящего вектора относительно полюса O.D Перечислим теперь операции над элементами системы скользя- скользящих векторов, которые будем считать допустимыми. 1. Замена множества сходящихся скользящих векторов соответ- соответствующим результирующим скользящим вектором. 2. Присоединение или исключение множества из двух скользящих векторов с общим основанием и результирующим нулевым скользя- скользящим вектором. Системы скользящих векторов, которые можно преобразовать друг в друга с помощью указанных элементарных операций, назы- называются эквивалентными. Теорема 1.3.2. Пусть задана система двух скользящих векто- векторов с параллельными основаниями: (rbiiie), (r2,u2e), причем и\ Ч- у>2 Ф 0. Тогда эта система эквивалентна одному сколь- скользящему вектору (гс, [щ + г/2]е), где __ Доказательство. Добавим к заданной в условии теоремы систе- системе два эквивалентных нулю скользящих вектора (pi , A), (r2, A). Эти два вектора имеют общее основание и их результирующий вектор равен нулю. Вся полученная система эквивалентна двум скользящим векторам (pi , ще + A), (r2, u2e + A. Очевидно, что h u = 0, и поскольку i/ - единичный вектор, то h - |h| есть плечо пары. Конец вектора ri + h принадлежит основанию скользящего вектора (r2, -uv). Следовательно, момент пары равен М = ri х uv+ г2 х (-uv) = ri x ш/ + (ri -f h) x (-ш/) = = ri xuiy-ri x uv - h x uv = - u(h x i/). Отсюда видно, что изменение положения точки О в пространстве Е3 не влияет на результат вычисления вектора М. Меняется лишь на- начало этого вектора. Из-за перпендикулярности векторов h и v имеем |h х v\ = h. Поэтому |М| = \u\h.U Заметим, что если задан момент пары, то скользящие векторы, ее образующие, определяются неоднозначно. В самом деле, тогда для определения указанных скользящих векторов будем иметь уравнение в котором неизвестными служат и, и, h. В соответствии с определени- определением векторного произведения заключаем, что и и М перпендикуляр- перпендикулярны: и- М = 0. Зададим какой-нибудь вектор и, перпендикулярный к М, и найдем уравнение, связывающее вектор h и скаляр и: и х М = ии х (у х h) = и\и(у h) - hi/2]. Но i/ h = 0 и поэтому uh - М х и. Если теперь произвольным образом задать и, то вектор h может быть найден однозначно. Теперь ясно, как получить конкретную пару с заданным момен- моментом М ф 0. Выберем произвольно радиус-вектор ri и скаляр и ф 0, назначим i/, чтобы было М i/ = 0, и определим М х и r2 = ri + . и Пара скользящих векторов (г1,ш/),(г2,-ш/) будет обладать задан- заданным моментом М. Действительно, в соответствии с теоремой 1.4.1 получим -u(h х i/) = i/ х (М х 1/) = М. Таким образом, все пары скользящих векторов с одинаковым момен- моментом образуют пятипараметрическое семейство. Докажем, что все эти пары эквивалентны. 1.4. Пара скользящих векторов 33 Теорема 1.4.2. При помощи элементарных операций пару мож- можно, не изменяя ее момента, а) повернуть в ее плоскости, б) перенести параллельно самой себе в любую точку простран- пространства, при желании изменив плечо. Доказательство. Пусть задана исходная пара скользящих век- векторов (г i,iii/), (г2,-ш/). Добавим к ней эквивалентную нулю систему (r"2,-tiV), (r"2,tiV). Потребуем, чтобы i/ был единичным вектором, sign г*" = sign u и ti"(r"2 - г^) х i/ = ti(r2 - х i/. Из последнего равенства, в частности, следует, что разность (г"2 -г[) и вектор \J параллельны плоскости исходной пары. Для доказатель- uuiv ^uiS yt-uu В плоскости исходной пары произ- произвольно выбираются две параллель- параллельные прямые, составляющие некото- некоторый угол с ее основаниями и отстоя- отстоящие друг от друга на расстояние, рав- равное плечу исходной пары. После эле- элементарных преобразований эти пря- прямые станут основаниями новой пары, эквивалентной исходной. Рис. 1.4.2. Поворот пары в ее плоскости ства пункта а) (рис. 1.4.2) выберем вектор г^ так, чтобы его конец лежал в плоскости пары, зададим iS ф и и и" = и. Тогда конец век- вектора г2 тоже принадлежит плоскости пары. Основания скользящих векторов (pbtii/), (ri,-tiV) непараллельны, принадлежат одной плоскости и, следовательно, пе- пересекаются в точке, радиус-вектор которой обозначим г^. Его можно найти из условия гА =ri + Ai/=r/1+AV, 3 - 1503 34 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства где А и А" - скалярные параметры. Чтобы определить А, умножим это равенство векторно на гУ. Тогда получим A(i/xi/) = (ri -rx) xi/. Скользящие векторы (ri,ui/), (г^, - ш/) заменим одним скользя- скользящим вектором {vA,u х (i/- i/) = = (г2 - ri) х v - (гг - ri) х i/ + A(i/ xi/)- /i(i/ x гУ) = = (^2 - Pi) X I/ - (P2 - Pi) X |У + (p2 - Pi) X l/ - (P;2 - ri) X l/ = 0 в связи с выбором параметров дополнительной системы скользящих векторов. Вектор и - гУфО. Следовательно, либо вектор г в - Гд = 0, либо этот вектор параллелен v - i/. Ив том, и в другом случаях система скользящих векторов (гЛ,и[|/-|/]) (ГВ,-«[!/-I/]) эквивалентна нулю и ее можно исключить. Осталась система представляющая собой пару скользящих векторов, смещенную и по- повернутую относительно исходной, но обладающую тем же моментом, что и исходная. 1.4. Пара скользящих векторов 35 - UU В плоскости, параллельной плоско- плоскости исходной пары, добавляются че- четыре одинаковых по величине сколь- скользящих вектора, попарно взаимно уни- уничтожающихся и расположенных на двух основаниях, параллельных век- векторам исходной пары. После пре- преобразований остается пара с тем же моментом, что исходная, но располо- расположенная в выбранной плоскости. Рис. 1.4.3. Смещение плоскости пары Перейдем к доказательству пункта б) теоремы (рис. 1.4.3). В до- дополнительной системе скользящих векторов положим i/ = i/, а вектор г[ выберем произвольно. Рассмотрим скользящие векторы Они эквивалентны одному скользящему вектору где, Аналогично скользящие векторы можно заменить одним где ГВ= В соответствии с правилом выбора параметров дополнительной си- системы скользящих векторов найдем Отсюда либо г в = гд, либо (г в-гд) параллельно и. В обоих случаях система (рЛ, [и + ti», (гв, -[и + и"]и) 36 Глава I. Векторные свойства евклидова пространства эквивалентна нулю и ее можно исключить. Осталась система представляющая собой пару с основаниями, параллельными основа- основаниям исходной пары, с тем же моментом, но произвольно смещенную в пространстве. Плечо hf полученной пары выбирается в соответ- соответствии с равенством и"Л" = иЛ, где h - плечо исходной пары.П Следствие 1.4.1. Любые две пары эквивалентны, если их мо- моменты равны. Безразлично также, к какой точке пространства приложен момент пары. Теорема 1.4.3. (О сложении пар). Система, состоящая из двух произвольно заданных пар скользящих векторов, эквивалент- эквивалентна одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов заданных пар. Доказательство. Пусть заданные пары имеют моменты Mi и М2- Выберем в пространстве Е3 произвольную точку А с радиусом- вектором ri и точку В с радиусом-вектором Г2 так, чтобы вектор АВ был перпендикулярен как вектору Mi, так и вектору Мг- Согласно теореме 1.4.2 найдем такие единичные векторы ki и кг и скаляры щ и 1/2, чтобы было выполнено Mi = АВ х ki^i, M2 = АВ х Эти векторы и скаляры порождают две пары скользящих векторов (n,ti2k2), (r2, Но скользящие векторы (ri, uiki), (n, u2\i2) эквивалентны резуль- результирующему вектору а скользящие векторы (г2, -uiki), (Г2, - ъ^кг) эквивалентны (p2,-[«iki + ti2k2]). В итоге получаем пару скользящих векторов (pi, wiki + w2k2), (p2, 1.5. Упрощение системы скользящих векторов 37 с моментом М = АВ х (tiiki + u2k2) = ABx kitii + ABx k2u2 = Mi + M2.D Доказанные выше свойства пары скользящих векторов кратко формулируются в виде утверждения: момент пары есть свободный вектор (см. стр. 25). § 1.5. Упрощение системы скользящих векторов Пусть задана система скользящих векторов (r»,ut-), г = 1,...,п, причем все векторы г,- имеют начало в полюсе О. Назовем суммар- суммарным (главным) вектором величину а суммарным (главным) моментом вектор М° = ^гг- х иг. 1=1 Ответ на вопрос о том, к какому наиболее простому виду, исполь- используя элементарные операции, можно привести произвольную систему скользящих векторов, дают следующие теоремы. Теорема 1.5.1. Всякая система скользящих векторов эквива- эквивалентна системе, состоящей из одного скользящего суммарного век- вектора и одного суммарного момента (суммарной пары). Доказательство. Назначим полюс О. Рассмотрим произволь- произвольную систему скользящих векторов (г,-, и,-), г = 1,..., п. Зафиксируем некоторый номер г. В точке О приложим эквивалентную нулю си- систему скользящих векторов (рис. 1.5.1) (О, u*), @,-Ue). Система @, -и,), (г,-, и,-) образует пару с моментом Мг- = гг- х щ. Вы- Выполнив такие же преобразования для каждого скользящего вектора системы, получим эквивалентную исходной систему сходящихся в точке О скользящих векторов @,ui),..., @,un) и пар с моментами Mi,..., Мп. Систему сходящихся скользящих векторов заменим од- одним результирующим скользящим вектором (О, R), а систему пар - одной парой с моментом М, причем 38 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Таким образом, две системы скользящих векторов эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их суммарные скользящие векторы и суммарные моменты. Найдем инварианты системы скользящих векторов по отноше- отношению к выбору полюса О. Лемма 1.5.1. При изменении полюса суммарный вектор не из- изменяется. Остается также постоянной проекция суммарного мо- момента на направление суммарного вектора. Доказательство. Пусть система скользящих векторов приве- приведена к одному скользящему вектору @,R) с основанием, проходя- проходящим через точку О, и одному моменту М. Возьмем точку О\ и добавим к системе два скользящих вектора (OOi, - R),(OOi,R). Скользящие векторы (OOi, -R),@,R) образуют пару с моментом Мд = - OOi х R. Новая система скользящих векторов эквивалентна исходной и состоит из скользящего вектора (OOi,R) с основанием, проходящим через точку Oi, и суммарным моментом Мх = М + MR = М - OOi х R. Видим, что при изменении полюса суммарный вектор не меняется. Для расчета проекции суммарного момента на направление вектора R вычислим скалярное произведение Mi R = (М - OOi х R) R = М R.D Лемму 1.5.1 можно переформулировать следующим образом. Следствие 1.5.1. Суммарный вектор, а также проекция сум- суммарного момента на направление суммарного вектора инвариантны по отношению к изменению положения полюса. Основание скользящего вектора мож- можно сместить так, чтобы оно проходи- проходило через произвольно выбранную точ- точку О. Такое преобразование будет эквивалентным, если добавить пару с q \ л моментом, равным моменту исходно- исходного скользящего вектора относительно и\ точки О. Рис. 1.5.1. Сдвиг основания скользящего вектора 1.5. Упрощение системы скользящих векторов 39 Винтом называется такая система скользящих векторов, для ко- которой суммарный вектор и суммарный момент коллинеарны. Соот- Соответствующее основание с направлением суммарного вектора называ- называется осью винта. Теорема 1.5.2. Всякая система скользящих векторов с отлич- отличным от нуля суммарным вектором эквивалентна винту. Доказательство. Найдем полюс 0\, для которого Mi||R. Ради- Радиус-вектор OOi удовлетворяет уравнению R х Mi = 0 или R х М - R х (OOi x R) = 0. Потребуем, чтобы вектор OOi был перпендикулярен к R. Тогда оо, = *?*. Найденная точка О\ и определяет искомое основание винта.О Уравнение оси винта можно записать в параметрическом виде: RxM На оси винта главный вектор перпендикулярен плоскости пары. Ис- Исключив А, найдем векторное уравнение оси винта Rxr= -- R-M, эквивалентное двум линейно независимым скалярным уравнениям пересекающихся плоскостей. При упрощении системы скользящих векторов могут представить- представиться следующие случаи. I.R^O, R М = 0. Для точек винтовой оси суммарный мо- момент будет равен нулю. Система приведется к одному скользящему вектору. Его называют результирующим вектором системы. II. R = 0, М^О. Система приводится к паре скользящих век- векторов, которая называется результирующей парой. III. R ф 0, R М ф 0. Система приводится к винту. При при- приведении к винтовой оси модуль суммарного момента принимает наи- наименьшее значение. IV. R = 0, М = 0. Система эквивалентна нулю. Теорема 1.5.3. Система скользящих векторов, принадлежащих одной плоскости, приводится либо к случаю I, либо к случаю II, либо к случаю IV. 40 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Доказательство. Пусть П - плоскость, содержащая все сколь- скользящие векторы системы, и точка О - полюс. В плоскости П выберем произвольную точку А с радиусом-вектором гд. Радиусы-векторы rt можно представить в виде г* = гд + г(-, где г"; принадлежат плоскости П. Пусть R - суммарный вектор системы. Вычислим момент п М = ]П г, х и, = ]Г)(гЛ + г ) х иг = гд х R + 53г х и*. 1=1 «=1 1=1 Вектор R параллелен плоскости П. Поэтому R М = 0. Следова- Следовательно, случай III представиться не может. ? Таким образом, всякая плоская система скользящих векторов, для которой R ф 0, эквивалентна одному результирующему вектору. § 1.6. Параллельные скользящие векторы Система скользящих векторов, все основания которых взаимно параллельны, называется системой параллельных скользящих век- векторов. Обозначим эту систему S. Пусть число скользящих векторов системы равно n, a e - направляющий единичный вектор оснований. Тогда S = {(r,-,eti.-), г = 1,...,п}, где гi - радиусы-векторы с началом в полюсе О. Обозначим считая R ф 0. Вектор гс определяет в пространстве Е3 точку, назы- называемую центром системы S. Теорема 1.6.1. Система S параллельных скользящих векторов, для которой ЯфО, эквивалентна скользящему вектору (rc, Re). Доказательство. Для рассматриваемой системы п R = Re ф 0, М = J2 ГШ х е> М R = 0. t=i Следовательно, эта система эквивалентна результирующему вектору (ООьДе), где ДехМ 1.6. Параллельные скользящие векторы 41 Второе слагаемое последнего выражения направлено вдоль основа- основания результирующего вектора. Значит, конец вектора гс принадле- принадлежит этому основанию.О Следует отметить, что если менять направление вектора е, оста- оставляя неизменными концы векторов г», i = l,...,n, то вектор гс не изменится. Другими словами, центр системы параллельных сколь- скользящих векторов инвариантен относительно ориентации их оснований. Рассмотрим примеры. Пример 1.6.1. Даны два скользящих вектора (ri,tiie), (г2,^2е), и «1 г*2 > 0. Концы векторов ri и Г2 обозначим С\ и Сч соответственно. Определить, в каком отношении отрезок C\C 0, u\+U2 > 0. Формулы, примененные для решения примера 1.6.1, остаются справедливыми, но теперь Г2 _ Гс - Ы Следовательно, точка С принадлежит продолжению отрезка С1С2 со стороны наибольшего по модулю вектора. Имеем правило рычага вто- второго рода.О Для подъема различных грузов часто используются приспособле- приспособления, называемые рычагами. Они имеют вид стержня, одна точка 42 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства которого служит опорной, а к другой приложен поднимаемый груз. Примеры 1.6.1 и 1.6.2 показывают (см. § 4.8), как выполнить соответ- соответствующие расчеты. § 1.7. Центр Масс множества точек Центр масс - одно из важнейших понятий, которое часто будет встречаться в дальнейшем. Применение этого понятия оказывается эффективным не только в механике, но и в других разделах физи- физики, а также для решения многих геометрических задач и получения алгебраических неравенств. Пусть в Е3 задано множество Q, состоящее из п точек. Положение точек в пространстве зададим радиусами-векторами г,- и каждой точ- точке сопоставим массу шг > 0, г = 1,..., п. Такие точки в дальнейшем будем называть точечными массами. Физическая целесообразность понятия массы будет обсуждена в § 3.3. Здесь используется лишь свойство массы быть строго положительной скалярной величиной. Обозначим 1=1 суммарную массу всех точек множества. Определение 1.7.1. Точка с радиусом-вектором 1 называется центром масс множества Q. Пример 1.7.1. Предположим, что к точкам приложены парал- параллельные скользящие векторы силы тяжести u, = m,^kt где g - ускоре- ускорение свободного падения, к - единичный вектор вертикали. Тогда центр масс дает точку приложения результирующего вектора таких сил. Вслед- Вследствие того, что центр масс не зависит от ориентации вектора к, суще- существует простой способ экспериментального определения расположения центра масс в твердом теле, рассматриваемом как множество точечных масс. Подвесим такое тело на нити, закрепив ее в какой-либо точке те- тела. После того как тело перестанет качаться, отметим в нем прямую, служащую продолжением нити. Центр сил тяжести (см. § 1.6) совпадает с центром масс, и поэтому центр масс обязан принадлежать полученной прямой. Закрепим теперь нить в другой точке тела и повторим опера- операцию. Тогда центр масс будет точкой пересечения этих прямых.<> Теорема 1.7.1. Центр масс принадлежит минимальной выпу- выпуклой области, содержащей ограниченное в пространстве множе- множество точечных масс. 1.7. Центр масс множества точек 43 Доказательство. В самом деле, пусть число точечных масс ко- конечно. Выберем плоскость П, разделяющую пространство Е3 на два полупространства так, чтобы одно из полупространств, обозначим его ft, содержало все рассматриваемое множество точек. Для ко- конечного множества это всегда можно сделать. Выберем полюс О в плоскости П. Тогда все векторы г, а вместе с ними и вектор будут ориентированы в сторону полупространства п. Ориентацию плоскости П можно выбирать произвольно, а саму плоскость распо- располагать сколь угодно близко к множеству точек. Аналогичное постро- построение можно применить и к бесконечному ограниченному в простран- пространстве множеству точечных масс.П Лемма 1.7.1. Пусть система S = {(rt-,u;e), i = l,...,n} па- параллельных скользящих векторов разделена на две непересекающиеся подсистемы 51 - {(г,-,т1,-е), j = t"i,...,ij, 52 - {(rp,upe), p= /Ь...Л}, причем j v Тогда радиус-вектор rc центра системы S можно вычислить по правилу Гс" Ъ+Ъ " где rci и гсо - радиусы-векторы центров систем S\ и S2 соответ- соответственно. Доказательство. Радиусы-векторы rci и гс2 имеют вид 1 Гс1 = д^ Щ Теперь достаточно подставить указанные выражения в доказывае- доказываемую формулу. D Следствие 1.7.1. Центр масс некоторого множества точеч- точечных масс можно определить путем замены отдельных непересека- непересекающихся его подмножеств точками с массами, равными суммарным массам подмножеств, расположенными в центрах масс этих под- подмножеств. 44 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Поиск центра масс облегчается, если множество Q точечных масс обладает симметрией. Пусть Q, например, симметрично относитель- относительно плоскости П так, что симметричным точкам соответствуют оди- одинаковые массы. Разбив Q на два подмножества, симметричных отно- относительно плоскости П, найдем их центры масс. Центры масс подмно- подмножеств расположатся симметрично относительно плоскости П. Зна- Значит, центр масс всей системы принадлежит плоскости П. В том слу- случае, когда множество Q обладает осевой симметрией, можно, группи- группируя попарно симметричные точки, убедиться в том, что центр масс должен принадлежать оси симметрии. Подчеркнем, что сказанное справедливо лишь тогда, когда симметрично не только геометриче- геометрическое расположение точек, но и распределение масс. Рассмотрим примеры решения задач с помощью доказанных выше свойств центра масс. Пример 1.7.2. Доказать, что средние линии любого выпуклого четырехугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, проходят через общую точку и делятся ею пополам. Решение. Поместим в вершинах четырехугольника одинаковые массы. Центр масс такой системы должен быть в пересечении средних линий четырехугольника. Этот же центр масс должен делить пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей.О Пример 1.7.3. Рассмотрим фигуру Г, ограниченную графиком функции у = \пх, х > 0 и лучом оси абсцисс х > 1. Эта фигура выпу- выпуклая. Выберем на оси абсцисс точки 1 < х\ < ... < хп и найдем соответствующие им точки на графике функции у = 1пх: Поместим в эти точки положительные массы mi,...,mn соответствен- соответственно. Вычислим координаты центра масс полученной системы точек, обо- обозначив М = mi + -h mn: 1 " 1 хс = -rj{™>\X\ + + mn#n), ус = тт(ш1 lno?i + + тпп In xn). М М В связи с тем, что фигура Г - выпуклая, центр масс должен быть расположен строго внутри фигуры и, в частности, (mi InX\ + ¦ + win 1п#п) f тп\Х1-\г *"-\г тпхпУ М \ М Отсюда, когда mi = m^ - = mnt получаем, например, неравенство Коти: ^ si + + ж„ Л Хп < .О 1.8. Геометрия масс 45 § 1.8. Геометрия масс В предшествующем параграфе было изучено понятие центра масс, дающее представление "в целом" о заданном множестве точечных масс. Здесь рассмотрим другие подобные характеристики. Пусть точки, принадлежащие некоторому множеству Q С Е3, заданы ради- радиусами-векторами г*, г - 1,...,п, с началом в полюсе О. Каждой точке припишем массу mt- > 0. В пространстве Я3, соответствующем полюсу О, образуем положительно определенную билинейную сим- симметрическую форму, которая любой паре векторов х,у Ей3 ставит в соответствие скаляр п Т(х,у) = ]Tmt(ri х х) (г,- х у). »=i Векторы х и у не обязательно должны быть разными. В частности, если х = е и у = е, где е - единичный вектор, то получим скалярную величину п Л = Т(е,е) = которая называется моментом инерции относительно оси (осевым моментом инерции), коллинеарной вектору е и проходящей через точ- точку О. Момент инерции Je равен сумме произведений масс на квадра- квадраты их расстояний до указанной оси. Выберем в точке О ортонор- мированный базис е^ег^ез. Чтобы определить результат действия формы Т(х,у) в Я3, достаточно указать значение формы на парах базисных векторов. Обозначим Jpg=T(ep,eg), p, я =1,2,3. Тогда Из определения формы Т(х, у) следует, что ее значение не меняется при преобразованиях базисных векторов. В этом смысле набор J ее коэффициентов Jpq, p,q = 1,2,3, представляет собой тензор второ- второго ранга. Он называется связанным с точкой О тензором инерции множества Q точечных масс. Найдем компоненты тензора J: Т(ер,ед) = ]Tmt(rt- х ер) (г,- х eq) = ^тгед [г* х (ер х г,-)] 46 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства или п T(ep,eq) = Пусть р = q. Тогда Jpp = Т(ер,ер) = *=1 Величина Jpp представляет собой момент инерции относительно оси, направляющий орт которой имеет номер р. Как уже отмечалось вы- выше, осевой момент инерции Jpp равен сумме произведений масс точек на квадраты их расстояний до соответствующей оси. Предположим, что р ф q. Величина 1 = 1 называется центробежным моментом инерции относительно плос- плоскости Оер, eq. Вернемся к определению формы Т(х, у) и преобразуем смешанное произведение: п Т(х, У) = У X md*i х (х х г*)]« *=i Изменяя порядок суммирования в выражении той же формы через тензор инерции, можно получить з з q=l p=l Определим вектор z = z\e\ + ^2e2 + ^зез с помощью соотношения п z = ^mi. i=i Сопоставив два выражения для Т(х, у), получим з з zq = ^2 Jpixp = S ^рхр> 9 = 1> 2,3. p=i p=i Таким образом, тензор инерции порождает в пространстве Я3 линей- линейный оператор инерции J, переводящий вектор х в вектор z. Форма Т(х,у) может быть представлена в виде Т(х,у) = у -z = y -Jx. 1.8. Геометрия масс 47 Пусть теперь е - произвольный единичный вектор. Напишем момент инерции Je, соответствующий направлению е: Выберем вектор х = е/у/7^. Для него Т(х,х) = 1. Другими словами, конец вектора х принадлежит поверхности второго порядка. Если для любого направления е справедливо Je ф О, то эта поверхность ограничена в пространстве. В этом случае она предста- представляет собой эллипсоид, который называется эллипсоидом инерции. Теорема 1.8.1. Je = 0 тогда и только тогда, когда все точечные массы рассматриваемого множества принадлежат оси с направля- направляющим вектором е. Доказательство. Если все точки принадлежат оси с направля- направляющим вектором е, то их расстояния до этой оси равны нулю. Значит, Je = 0. Обратно, пусть Je = 0. Но Je по определению есть сумма произведений положительных масс точек на квадраты их расстоя- расстояний до рассматриваемой оси. Равенство нулю такой суммы может быть только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.П Теорема 1.8.2. Если все точечные массы принадлежат оси с единичным направляющим вектором к: г,- = г,-к и не все г,- рае- ны нулю, то поверхность, определенная уравнением Т(х,х) = 1, представляет собой круговой цилиндр с осью к. Доказательство. С учетом равенства г» = rt-k получим п Т(х,х) = ?т<(г»к х хJ = (к х х 1=1 *=i По условию теоремы имеем t=i Но |к х х| есть расстояние от конца вектора х до оси с направляющим вектором к. Следовательно, это расстояние постоянно для любого вектора х, принадлежащего поверхности Т(х,х) = 1.D 48 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства В дальнейшем будем предполагать, что заданные точечные массы не принадлежат одной прямой, так что уравнение Т(х, х) = 1 опре- определяет в пространстве Е3 эллипсоид инерции. Теорема 1.8.3. Если не все точечные массы принадлежат одной прямой, то матрица J = (JPq), Р,«= 1,2,3, соответствующая тензору инерции, невырождена. Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений Пусть матрица J вырождена. Тогда существует ненулевое решение х этой системы и для него х z = x2Jx = О, где Jx - момент инерции множества точечных масс относительно оси, параллельной х. Но х2 ф 0. Значит, Зх = 0. Следовательно, все точечные массы принадлежат оси х, что противоречит условию. ? Теорема 1.8.4. Пусть множеству точечных масс соответст- соответствует эллипсоид инерции и пусть х определяет фиксированную точку эллипсоида. Тогда вектор z = Jx есть нормаль к плоскости, касаю- касающейся эллипсоида в точке х. Доказательство. Уравнение эллипсоида инерции представим в виде х Jx = 1. Зададим плоскость П уравнением у Jx = 1, где х - постоянный вектор, а конец вектора у выделяет точку плоско- плоскости. Допустим, что плоскость П сечет эллипсоид. Тогда существует вектор у, конец которого одновременно принадлежит плоскости П и эллипсоиду, причем у ф х. Для такого вектора у должны быть выполнены равенства у Jx = х-Jy = 1, y.Jy = l, x-Jx = l. Поэтому (у - х) Jx = 0, (у - х) . Jy = 0 или (у - х) J(y - х) = 0. Отсюда получаем, что все точечные массы принадлежат оси, параллельной ненулевому вектору (у - х). То- Тогда уравнение Т(х, х) = 1 определяет цилиндр, что противоречит 1.9. Главные оси инерции 49 условию. Таким образом, плоскость П, кроме точки, определяемой вектором х, не имеет общих точек с эллипсоидом и, значит, касает- касается эллипсоида в точке х. Вектор (у - х) принадлежит плоскости П. Равенство (у - х) Jx = О свидетельствует, что вектор Jx перпендикулярен плоскости П. ? § 1.9. Главные оси инерции Пусть для полюса О построен эллипсоид инерции. Главной осью инерции для него называется ось, которая проходит через точку О и коллинеарна нормали к эллипсоиду, взятой в точке пересечения оси с ним. Обозначим х радиус-вектор точки пересечения главной оси с эл- эллипсоидом инерции. Тогда, согласно определению главной оси и в соответствии с теоремой 1.8.4, будем иметь z = Jx = Ах или (J - АЕ)х = О, где J - оператор инерции, Е - тождественный оператор. Получен- Полученная однородная линейная система должна иметь ненулевое решение. Поэтому ее определитель обязан обращаться в нуль: | J - АЕ| = «7ц - A J12 J13 «721 «722 - A J23 - А = 0. Это уравнение называется характеристическим уравнением элли- эллипсоида инерции. Левой частью этого уравнения служит характери- характеристический многочлен третьей степени. Из теории поверхностей второго порядка известны следующие свойства решений характеристического уравнения и главных осей. 1. Все решения характеристического уравнения действительны. 2. Простому корню характеристического уравнения соответствует единственная главная ось. 3. Главные оси, соответствующие двум различным корням харак- характеристического уравнения, взаимно перпендикулярны. 4. Если все три корня характеристического уравнения различны между собой, то имеется три и только три главные оси и они взаимно перпендикулярны. 4- 1503 50 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 5. Если из трех корней Ai, A2, A3 два равны между собой и отлич- отличны от третьего, например Ai = A2 Ф Аз, то все оси, перпендикулярные к единственной оси, соответствующей корню Аз, суть главные оси, отвечающие кратному корню Ai = A2. Таким образом, имеется бесконечно много троек взаимно перпенди- перпендикулярных главных осей. Каждая из них содержит единственную главную ось с единичным вектором е3, соответствующую простому корню Аз, тогда как две другие определены произвольными единич- единичными векторами ei и в2, перпендикулярными между собой и вектору ез- 6. Если все три корня характеристического уравнения равны ме- между собой, то каждая ось - главная. Таким образом, три взаимно перпендикулярные главные оси су- существуют всегда. Выберем единичные векторы ei, ег, ез, им соответ- соответствующие, в качестве базисных. Ясно, что тогда J\2 = J21 = «Лз = J31 = Лз = «^32 = 0, и уравнение эллипсоида инерции принимает канонический вид J\\x\ + J22X2 + Матрица J оператора инерции оказывается диагональной. Компо- Компоненты Jn, J22, отнесенные к главным осям, называются главны- главными моментами инерции. Отметим, что равенства Ji2 = J13 = 0 служат необходимыми и достаточными условиями того, чтобы ось с направлением ei была главной. Аналогичное утверждение справедливо и для других осей. § 1.10. Преобразование эллипсоида инерции Пусть в Е3 задано множество точечных масс Q. Значение введен- введенной в § 1.8 билинейной формы Т(х,у), взятое для одной и той же пары векторов х, у, зависит от того, какая точка пространства при- принята за начало векторов г,. Выясним эту зависимость. Центр масс множества Q обозначим С. Радиусы-векторы точек из Q, имеющие начало в С, обозначим rj, i = 1,..., п, так что t=i 1.10. Преобразование эллипсоида инерции 51 С помощью радиуса-вектора г, имеющего начало в точке С, зада- зададим произвольную точку О. Радиусы-векторы точек из Q, имеющие начало в точке О, обозначим г*. Тогда будем иметь г,- = г(- г. Для точки С значение билинейной формы дается выражением,-(г{ х х) (р{ х у), а для точки О по-прежнему будем иметь п Т(х,у) = ^m»(r» х х) (г,- х у). i=i Зададим 7д#(х, у) = М(г х х) (г х у) билинейную форму в точке О, возникающую, если в центре масс рас- рассматриваемого множества Q поместить его суммарную массу п *=1 Лемма 1.10.1. Действие формы Т(х,у) выражается суммой Доказательство. Подставив в правую часть формулы, опреде- определяющей Т(х,у), выражение г, = г(- - г, получим Т(х, у) = Е mf[(r< - г) х х] [(г< - г) х у] = = ? m,(r< х х) (г< х у) - (г х х) f f ? пцгЛ х у] - i=1 Г/- А 1 " I (Е "»<г<) х х| (г х у) + М(г х х) (г х у). Учитывая, что убеждаемся в справедливости леммы.П Форма Тс(х,у) порождает в точке С тензор инерции Jc, называе- называемый центральным тензором инерции, а форма Тд/(х,у) - в точке О тензор инерции 3м. Лемму 1.10.1 можно переформулировать сле- следующим образом. 52 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Теорема 1.10.1. Тензор инерции 3 множества Q, взятый в точке О, равен покомпонентной сумме центрального тензора инер- инерции 3е того же множества Q и тензора 3м точки С, когда в ней помещена суммарная масса М. Подробнее, если заданы ортонорми- рованные базисные векторы ei, в2, ез, то 4* = % + #" Р,*= 1,2,3. Доказательство. По определению тензора инерции найдем Jpq = T(ep,ef) = Тс(ер,е?) + Тм(ер,е,) = Jcpq + jfi.n Форма Тм(х,у) и, следовательно, тензор 3м не зависят от распо- расположения точек множества Q относительно центра масс. Они харак- характеризуют расположение множества Q "в целом" относительно точки О. Формулы для расчета 3м достаточно просты: 3™ = М(г х ерJ = М[г2 - (г ерJ], р = 1,2,3, J™ = М(г х ер) (г х ер), p^q, р, q = 1, 2, 3. В частности, J^ есть произведение суммарной массы на квадрат рас- расстояния от центра масс до оси с направлением ер, проходящей через точку О. Особенности "внутренней" структуры множества Q отра- отражаются формой Тс(х,у) и связанным с ней тензором Jc. Теорема 1.10.1 дает возможность, определив однажды этот тензор, эффектив- эффективно пересчитать его для любой интересующей нас точки пространства. Перейдем к характеристикам эллипсоида инерции. Взятый от- относительно центра масс множества Q он называется центральным эллипсоидом инерции, его главные оси - главными центральными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей - глав- главными центральными моментами инерции. Согласно определению, эллипсоид инерции с центром в точке О есть геометрическое место таких точек Р, расстояние от которых до точки О обратно пропорционально квадратному корню из момента инерции относительно оси, проходящей через точки О и Р. Рассмо- Рассмотрим, как преобразуются осевые моменты инерции при переходе от полюса к полюсу. Теорема 1.10.2. (Гюйгенса-Штёйнера). Момент инерции Je относительно оси с произвольным направлением е, проходящей через точку О, равен сумме момента инерции J\ относительно па- параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения сум- суммарной массы на квадрат расстояния d между осями: Je = Jce + Md2 = Jce + M(r x eJ = Jce + M. 1.10. Преобразование эллипсоида инерции 53 Доказательство. Пусть направление оси задано единичным век- вектором е. Применяя лемму 1.10.1, найдем Но |г х е| есть произведение модуля г радиуса-вектора на синус угла между г и е, что представляет собой расстояние d между осями.? Как следствие отметим, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, меньше момента инерции относительно любой другой параллельной оси. Пример 1.10.1. Из теоремы Гюйгенса-Штейнера следует нера- неравенство Je > Md2. Выберем произвольно на числовой оси п точек с координатами х\, а?2,---,#п и сопоставим им массы mi, Ш2,...,тп. Взяв момент инер- инерции относительно перпендикуляра к числовой оси, проходящего через нулевую точку, получим I>*,2> n 7 . i=i причем равенство достигается тогда и только тогда, когда х\ - ... = хп Выберем какие-нибудь не равные нулю числа 6i, 62,.. .,6П и положим _ 2 _ °* _ Подставив эти выражения в полученное неравенство, найдем Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Лег- Легко показать, что оно справедливо также, когда некоторые из чисел &i,..., bn обращаются в нуль.О Пример 1.10.2. Найти геометрическое место точек плоскости, для которых сумма квадратов расстояний от п заданных точек той же плоскости постоянна и равна а2. Решение. Поместим в каждую из заданных точек массу, равную единице. Обозначим С центр масс образовавшегося множества точечных 54 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства масс. Пусть О - произвольная точка плоскости. По теореме Гюйгенса- Штейнера имеем Л = Зсе + пОС2, где Je - момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоско- плоскости и проходящей через точку О, Jce - момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс. По условию Je = a2. Следовательно, и длина отрезка ОС, равная расстоянию от центра масс С до точки О, принадлежащей искомому геометрическому месту, должна принимать постоянное значение. Если a > «7^, то получаем окружность с центром в С и радиусом 0C= W~fa2~ Если а2 = Jg, то искомое геометрическое место есть центр масс С Если а2 < Jg, то решение отсутствует.О Исследуем теперь деформацию эллипсоида инерции в точке О по сравнению с центральным эллипсоидом при удалении точки О от центра масс С. Зафиксируем единичное направление ег смещения точки О, так что г = гег, и будем изменять только модуль г. Пусть zc(x) - оператор нормали к центральному эллипсоиду, a z(x) - оператор нормали к эллипсоиду в точке О (см. теорему 1.8.4). Теорема 1.10.3. Нормаль z(x) к эллипсоиду инерции с центром в точке О может быть найдена по формуле z(x) = zc(x) + М[г х (х х г)] = zc(x) + Мг2[х - ег(х ег)]. Доказательство. В соответствии с определением нормали z(x) имеем Т(х,у) = у -z(x). С другой стороны, согласно лемме 1.10.1 причем Ъ(х, у) = у zc(x), Тм(х, у) = у M. Следовательно, у z(x) = у. . Доказываемое тождество справедливо, так как вектор у может быть выбран произвольно.D 1.10. Преобразование эллипсоида, инерции 55 Теорема 1.10.4. Если направление ег - главное для централь- центрального эллипсоида инерции, то оно будет главным и для любой точки О1 определенной радиусом-вектором г = гег при произвольном зна- значении г. И наоборот, если направление ег не было главным для цен- центрального эллипсоида инерции, то оно не моэюет стать главным ни при каком значении г. Доказательство. Пусть х = хег. Тогда z(x) = zc(x) + Mr2x = zc(x).D Теорема 1.10.5. Пусть направление ег произвольно. Тогда при увеличении г диаметр эллипсоида инерции в точке О, соответству- соответствующий направлению ег, не изменяется. Остальные диаметры умень- уменьшаются, так что весь эллипсоид сжимается к отрезку, направлен- направленному вдоль оси, проходящей через точки О и С. Две из трех главных осей инерции стремятся к плоскости, перпендикулярной ег, третья ось стремится стать коллинеарной вектору ег. Доказательство. По определению, диаметры эллипсоида инер- инерции обратно пропорциональны квадратным корням из соответствую- соответствующих осевых моментов инерции. Согласно теореме 1.10.2 момент инер- инерции относительно оси, проходящей через точку О параллельно век- вектору ег, остается равным соответствующему центральному моменту инерции при любом значении г. Следовательно, диаметр, параллель- параллельный ег при любом г, будет таким же, каким он был в центральном эллипсоиде. Моменты инерции относительно осей, не кол линеарных ег, растут, а соответствующие диаметры уменьшаются, стремясь к нулю при увеличении г. Весь эллипсоид стремится к отрезку, рав- равному диаметру центрального эллипсоида инерции в направлении ег. Середина отрезка совпадает с точкой О, а сам отрезок расположен на оси, проходящей через точки О и С. Если х перпендикулярен ег, то вектор нормали к эллипсоиду в точке О можно представить (см. теорему 1.10.3) в виде где вектор х принадлежит поверхности эллипсоида. Первое слагае- слагаемое в квадратной скобке стремится к нулю быстрее, чем х, и напра- направление вектораz(x) приближается к направлению векторах. Отсюда в силу непрерывности функции z(x) следует, что любое направление в плоскости, перпендикулярной вектору ег, тем меньше отличается от главного, чем больше г. Тем самым одна из плоскостей, опреде- определенная некоторыми двумя главными осями, приближается к плос- 56 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства кости, перпендикулярной ег. Третья главная ось стремится стать параллельной вектору er.D Теорема 1.10.6. Если некоторая ось оказалась главной для двух своих точек, то она проходит через центр масс и будет главной для любой своей точки. Доказательство. Пусть рассматриваемая ось проходит через точки О\ и Ог, заданные соответственно радиусами-векторами ri и г2, имеющими начало в центре масс С. Эллипсоид инерции для точ- точки О\ обозначим Э\. Эллипсоид инерции для точки О2 обозначим Э2. Сравним векторы zi(x) и z2(x) для эллипсоидов Э\ и Э2. По теореме 1.10.3 будем иметь zi(x) = zc(x) + Af , z2(x) = zc(x) + M. По условию теоремы разность векторов ri - г2 = ре определяет на- направление главной оси как для Э\, так и для Э2. Это значит, что zi(e) = Aie и z2(e) = Л2е. Кроме того, z2(e) = zc(e) + M{(ri + ре) х [е х (п + ре)]} = = гс(е) + My\ х (е х ri) + Mpe x (e x ri) = = zi(e) + Mpe х (ex ri). Учитывая результат действия операторов z\ и z2 и раскрывая двойное векторное произведение, найдем Mpri = [Мр(е Pi) + Ai - A2]e. Отсюда следует, что векторы ri и е коллинеарны, а значит, ось O\Oi проходит через центр масс С. Следовательно, zi(e) = zc(e) и ось 0102, будучи главной для эллипсоида Э\, будет главной и для цен- центрального эллипсоида инерции, а по теореме 1.10.4 она будет главной для любой своей точки.? Нахождение главных центральных осей инерции упрощается, ес- если множество точечных масс обладает той или иной симметрией. На- Например, если точки с одинаковой массой расположены симметрично относительно некоторой плоскости, то центр масс должен принадле- принадлежать этой плоскости. Ей же принадлежат две главные оси инерции, а третья перпендикулярна плоскости симметрии. Если множество то- точечных масс обладает осью симметрии, то центр масс принадлежит этой оси. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие перпендикулярны к ней. Если симметрия круговая, то любое 1.11. Тензорное умножение векторов 57 направление в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии, будет главным. Если ось симметрии получается как пересечение двух вза- взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии, то две другие глав- главные оси должны соответственно принадлежать этим плоскостям. § 1.11. Тензорное умножение векторов Рассмотрим билинейную форму относительно векторов х и у, зна- значение которой инвариантно при преобразованиях координат $(*>У) = jK* * а) (у х Ь) + (х х Ь) (у х а)], где а и b - фиксированные векторы, порождающие форму. Коэф- Коэффициенты формы образуют тензор второго ранга и получаются (см. § 1.8) как значения формы на всевозможных парах базисных век- векторов выбранного ортонормированного репера. Возьмем пару ер, eq базисных векторов. Положим х = ер, у = eq. Тогда коэффициенты формы примут вид Spq = S(ep,eq) = -[(ер х а) (в, х Ь) + (ер х Ь) (е, х а)] = Если р = 0, т2 > 0, т3 > О и разместим их соответственно в точках с радиусами-векторами г,- = W -e,-, i= 1,2,3, что, очевидно, всегда можно сделать из-за неотрицательности значе- значений Ai, A2, А3. Рассмотрим линейный оператор t=l t=l Этот оператор имеет те же собственные векторы и собственные зна- значения, что и оператор 1х. Следовательно, з Ix = ^m,(r,-x)r,-.D »=i 60 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Теорема 1.12.1. (Критерий тензора инерции.) Симметрич- Симметричная матрица (J\\ J\2 J\3 \ Ji\ «^22 «^23 I , Jij = Jji, J31 «/32 J33 / может быть матрицей тензора инерции в каком-нибудь ортонор- мированном базисе тогда и только тогда, когда матрица (+ Лз - ЛО -Л2 -Ji3 - J21 г(^33 + ^п "" ^22) -«^23 ~«/з1 -«/32 |(Jll + J22 - определена неотрицательно. Доказательство. Необходимость. Пусть задано некоторое множество точечных масс. Соответствующую ему билинейную фор- форму Т(х, у) преобразуем с использованием свойств векторного умно- умножения: п п п Т(х, У) = У J2 т"(р* х (х х Р|")) = у "х S т*г* " Yl m^r» " х)(р|" "у) 1=1 *=1 *=1 или Т(х, у) = -(Jn + J22 + 7зз)(у х) - ^(х, у), где i=i инвариантная при преобразованиях координат симметричная били- билинейная форма, причем Р(х,у) > 0. Форме Т(х>у) соответствует ли- линейный оператор x)r,- = -Jx 4- r(«/n + J22 + 0, матрица / оператора 1х неотрицательно опре- определена и, как нетрудно видеть, совпадает с матрицей, указанной в утверждении теоремы. Достаточность. Пусть матрица / неотрицательно определена. Тогда с ее помощью можно образовать линейный оператор 1х. Со- Согласно лемме 1.12.1 для оператора I существует множество точечных масс такое, что п Ix = 5>,.(r,-x)r,. 1.13. Свойства моментов инерции 61 Но операторы Jx и 1х связаны простым соотношением Jx= -Ix + xSp/, где Sp / - след матрицы 7, инвариантный относительно ортогональ- ортогональных преобразований координат. Значит, когда множество точечных масс реализует оператор 1х, то это же множество реализует и опера- оператор Jx с матрицей J, заданной в условии теоремы. ? Следствие 1.12.1. В главных осях критерий тензора инерции состоит в выполнении неравенств треугольника для главных мо- моментов инерции, § 1.13. Свойства моментов инерции Дополнительно к понятиям осевых и центробежных моментов инерции (см. § 1.8) введем понятия моментов инерции относитель- относительно плоскости и полюса. Пусть плоскость Ve имеет нормаль е и проходит через полюс О. Моментом инерции относительно плоскости Ve множества точеч- точечных масс mi с радиусами-векторами г, называется величина представляющая собой сумму произведений масс точек на квадраты их расстояний до плоскости Vt- ^(x,y) - форма, введенная при доказательстве теоремы 1.12.1. Выберем в точке О ортонормированный базис ei, е2, ез. Для мо- моментов инерции относительно координатных плоскостей будем иметь п п п Щ = ?т,(г,- eiJ, П2 = ?т,-(г,- е2J, П3 = ?т»(г« е3J. i=i i=i *=1 Моментом инерции относительно полюса называется величина В соответствии с определением, осевые моменты инерции и мо- момент инерции относительно полюса выражаются формулами (§ 1.8) Jn = /| - Щ = П2 + П3, 62 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства J22 = /i-n2 = n3-f Пь [л = Щ + П2 + П3. Теорема 1.13.1. Осевые моменты инерции удовлетворяют не- неравенствам треугольника: J\l + J22 > J33, J22 + «/ЗЗ > Ль ^33 + Jll > ^22- Доказательство. Учитывая выражение осевых моментов инер- инерции через моменты инерции относительно плоскости, найдем Ju + J22 = Щ + П2 + 2П3 = J33 + 2П3, ^22 +

В 1970 году по инициативе Д. Е. Охоцимского в ИПМ и МГУ были развёрнуты работы по созданию и изучению транспортных средств нового типа: шагающих аппаратов; Ю. Ф. Голубев активно включился в работы по данной проблематике, сложность которой состояла в наличии большого числа управляемых степеней свободы и в необходимости обеспечить рациональное поведение шагающего робота в трудных условиях окружающей среды, при движении по местности со сложным рельефом. В результате исследований были разработаны методы математического моделирования кинематики и динамики шагающих аппаратов, на основе которых удалось создать алгоритмы построения движения аппарата, обеспечивающие статическую устойчивость при преодолении препятствий, а также организацию прыжков, алгоритмы стабилизации движения и прокладки трассы на местности. При этом были созданы также сопряжённые с ЭВМ лабораторные макеты шестиногих шагающих аппаратов, снабжённые электромеханическими приводами и системами технического зрения. Материалы этих исследований легли в основу нового спецкурса Д. Е. Охоцимского и Ю. Ф. Голубева «Механика и управление движением автоматического шагающего аппарата». В настоящее время профессор Ю. Ф. Голубев возглавляет сложившуюся на кафедре теоретической механики и мехатроники научную школу «Разработка робототехнических и мехатронных систем с элементами искусственного интеллекта» под руководством профессора Ю. Ф. Голубева.