Приращение аргумента и функции. Записи с меткой "приращение функции"

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x) . Зафиксируем точку М(х 0 ; f (x 0)) . Придадим абсциссе х 0 приращение Δх . Мы получим новую абсциссу х 0 +Δх . Это абсцисса точки N , а ордината будет равна f (х 0 +Δх ). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy .

Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Через точки M и N проведем секущую MN , которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох . Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN .

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ , а угол φ станет углом α . Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ :

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох :

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое -4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) - f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f "(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)" = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

Пусть x – произвольная точка, ледащая в некоторой окрестности фиксированной точки x 0 . разность x – x 0 принято называть приращение независимой переменной(или приращением аргумента) в точке x 0 и обозначается Δx. Таким образом,

Δx = x –x 0 ,

откуда следует, что

Приращение функции – разность между двумя значениями функции.

Пусть задана функция у = f(x) , определœенная при значении аргумента͵ равном х 0 . Дадим аргументу приращение Dх , ᴛ.ᴇ. рассмотрим значение аргумента͵ равное x 0 + Dх . Предположим, что это значение аргумента также входит в область определœения данной функции. Тогда разность Dy = f(x 0 + Dх) – f(x 0) принято называть приращением функции. Приращение функцииf (x ) в точке x - функция обычно обозначаемая Δ x f от новой переменной Δx определяемая как

Δ x f (Δx ) = f (x + Δx ) − f (x ).

Найти приращение аргумента и приращение функции в точке х 0 , если

Пример 2. Найти приращение функции f(x) = x 2 , если х = 1, ∆х = 0,1

Решение: f(х) = х 2 , f(х+∆х) = (х+∆х) 2

Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /

Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21

Найти приращение аргумента и приращение функции в точки х 0

2.f(x) = 2x 3. x 0 =3 x=2,4

3. f(x) = 2x 2 +2 x 0 =1 x=0,8

4. f(x) = 3x+4 x 0 =4 x=3,8

Определœение : Производной функции в точке принято называть предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Наиболее употребительны следующие обозначения производной:

Таким образом,

Нахождение производной принято называть дифференцированием . Вводится определœение дифференцируемой функции : Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, принято называть дифференцируемой на данном промежутке.

Пусть в некоторой окрестноститочкиопределœена функцияПроизводной функции принято называть такое число , что функцию в окрестности U (x 0) можно представить в виде

f (x 0 + h ) = f (x 0) + Ah + o (h )

если существует.

Определœение производной функции в точке .

Пусть функция f(x) определœена на промежутке (a; b) , и - точки этого промежутка.

Определœение . Производной функции f(x) в точке принято называть предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке . В случае если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке . В случае если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует .

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.

В случае если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b) , то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b) .

Операция нахождения производной принято называть дифференцированием.

1. приращение аргумента и приращение функции.

Пусть дана функция . Возьмём два значения аргумента: начальное и изменённое, которое принято обозначать
, где - величина на которую изменяется аргумент при переходе от первого значения ко второму, оно называется приращением аргумента.

Значения аргумента и соответствуют определённым значениям функции: начальное и изменённое
, величину , на которую изменяется значение функции при изменении аргумента на величину , называется приращением функции.

2. понятие предела функции в точке.

Число называется пределом функции
при, стремящемся к , если для любого числа
найдётся такое число
, что при всех
, удовлетворяющих неравенству
, будет выполняться неравенство
.

Второе определение: Число называется пределом функции при, стремящемся к , если для любого числа существует такая окрестность точки , что для любого из этой окрестности . Обозначается
.

3. бесконечно большие и бесконечно малые функции в точке. Бесконечно малая функция в точке – функция, предел которой, когда она стремится к данной точке равен нулю. Бесконечно большая функция в точке – функция предел которой когда она стремится к к данной точке равен бесконечности.

4. основные теоремы о пределах и следствия из них (без доказательства).

следствие: постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Если последовательности и сходятся и предел последовательности отличен от нуля, то

следствие: постоянный множитель можно вынести за знак предела.

11. если при существуют пределы функций
и
и предел функции отличен от нуля,

то существуют также и предел их отношения, равный отношению пределов функций и :

.

12. если
, то
, справедлива и обратная.

13. теорема о пределе промежуточной последовательности. Если последовательности
сходящиеся, и
и
то

5. предел функции на бесконечности.

Число а называется пределом функции на бесконечности, (при х стремящемся к бесконечности) если для любой последовательности стремящемся к бесконечности
соответствует последовательность значений стремящихся к числу а .

6. gределы числовой последовательности.

Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа найдётся натуральное число N, такое, что при всех n > N выполняется неравенство
.

Символически это определяется так:
справедливо .

Тот факт, что число а является пределом последовательности , обозначается следующим образом:

.

7.число « е ». натуральные логарифмы.

Число « е » представляет собой предел числовой последовательности, n - й член которой
, т. е.

.

Натуральный логарифм – логарифм с основанием е. натуральные логарифмы обозначаются
без указания основания.

Число
позволяет переходить от десятичного логарифма к натуральному и обратно.

, его называют модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным.

8. замечательные пределы
,

.

Первый замечательный предел:

таким образом при

по теореме о пределе промежуточной последовательности

второй замечательный предел:

.

Для доказательства существования предела
используют лемму: для любого действительного числа
и
справедливо неравенство
(2) (при
или
неравенство обращается в равенство.)

Последовательность (1) можно записать так:

.

Теперь рассмотрим вспомогательную последовательность с общим членом
убедимся, что она убывает и ограничена снизу:
если
, то последовательность убывает. Если
, то последовательность ограничена снизу. Покажем это:

в силу равенства (2)

т. е.
или
. Т. е. последовательность убывает, а т. к. то последовательность ограничена снизу. Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она имеет предел. Тогда

имеет предел и последовательность (1), т. к.

и
.

Л. Эйлер назвал этот предел .

9. односторонние пределы, разрыв функции.

число А левый предел, если для любой последовательности выполняется следующее: .

число А правый предел, если для любой последовательности выполняется следующее: .

Если в точке а принадлежащей области определения функции или её границе, нарушается условие непрерывности функции, то точка а называется точкой разрыва или разрывом функции.если при стремлении точки

12. сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия – последовательность, в которой отношение между последующим и предыдущим членами остаётся неизменным, это отношение называется знаменателем прогрессии. Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается формулой
данную формулу удобно использовать для убывающей геометрической прогрессии – прогрессии у которой абсолютная величина её знаменателя меньше нуля.- первый член; - знаменатель прогрессии; - номер взятого члена последовательности. Сумма бесконечной убывающей прогрессии – число, к которому неограничено приближается сумма первых членов убывающей прогрессиии при неограниченном возростании числа .
т. о. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна .