Среди тригонометрических тождеств выбери неверные. Основное тригонометрическое тождество. I группа. Основные тождества

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .

1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .

Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств

Пример 1

Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;

Показать решение

Решение

Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:

\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Это уравнение имеет 2 решения:

\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .

Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3

Пример 2

Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .

Показать решение

Решение

Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .

Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.

ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .

Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

Геодезические измерения (XVII век) … Википедия

В тригонометрии, формула тангенса половинного угла связывает тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла: Различные вариации этой формулы выглядят следующим образом … Википедия

- (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как… … Википедия

- (лат. solutio triangulorum) исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики. Треугольник может располагаться на… … Википедия

Книги

• Комплект таблиц. Алгебра и начала анализа. 10 класс. 17 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 17 листов.…
• Таблицы интегралов и другие математические формулы , Двайт Г.Б.. Десятое издание известного справочника содержит весьма подробные таблицы неопределенных и определенных интегралов, а также большое число других математических формул: разложения в ряды,…

В статье подробно рассказывается об основных тригонометрических тождествах.Эти равенства устанавливают связь между sin , cos , t g , c t g заданного угла. При известной одной функции можно через нее найти другую.

Тригонометрические тождества для рассмотрения в денной статье. Ниже покажем пример их выведения с объяснением.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Yandex.RTB R-A-339285-1

Поговорим о важном тригонометрическом тождестве, которое считается основой основ в тригонометрии.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Заданные равенства t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α выводят из основного путем деления обеих частей на sin 2 α и cos 2 α . После чего получаем t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α и t g α · c t g α = 1 - это следствие определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Равенство sin 2 α + cos 2 α = 1 является основным тригонометрическим тождеством. Для его доказательства необходимо обратиться к теме с единичной окружностью.

Пусть даны координаты точки А (1 , 0) , которая после поворота на угол α становится в точку А 1 . По определению sin и cos точка А 1 получит координаты (cos α , sin α) . Так как А 1 находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворят условию x 2 + y 2 = 1 этой окружности. Выражение cos 2 α + sin 2 α = 1 должно быть справедливым. Для этого необходимо доказать основное тригонометрическое тождество для всех углов поворота α .

В тригонометрии выражение sin 2 α + cos 2 α = 1 применяют как теорему Пифагора в тригонометрии. Для этого рассмотрим подробное доказательство.

Используя единичную окружность, поворачиваем точку А с координатами (1 , 0) вокруг центральной точки О на угол α . После поворота точка меняет координаты и становится равной А 1 (х, у) . Опускаем перпендикулярную прямую А 1 Н на О х из точки А 1 .

На рисунке отлично видно, что образовался прямоугольный треугольник О А 1 Н. По модулю катеты О А 1 Н и О Н равные, запись примет такой вид: | А 1 H | = | у | , | О Н | = | х | . Гипотенуза О А 1 имеет значение равное радиусу единичной окружности, | О А 1 | = 1 . Используя данное выражение, можем записать равенство по теореме Пифагора: | А 1 Н | 2 + | О Н | 2 = | О А 1 | 2 . Это равенство запишем как | y | 2 + | x | 2 = 1 2 , что означает y 2 + x 2 = 1 .

Используя определение sin α = y и cos α = x , подставим данные угла вместо координат точек и перейдем к неравенству sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Основная связь между sin и cos угла возможна через данное тригонометрическое тождество. Таким образом, можно считать sin угла с известным cos и наоборот. Чтобы выполнить это, необходимо разрешать sin 2 α + cos 2 = 1 относительно sin и cos , тогда получим выражения вида sin α = ± 1 - cos 2 α и cos α = ± 1 - sin 2 α соответственно. Величина угла α определяет знак перед корнем выражения. Для подробного выяснения необходимо прочитать раздел вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.

Чаще всего основную формулу применяют для преобразований или упрощений тригонометрических выражений. Имеется возможность заменять сумму квадратов синуса и косинуса на 1 . Подстановка тождества может быть как в прямом, так и обратном порядке: единицу заменяют на выражение суммы квадратов синуса и косинуса.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из определения косинуса и синуса, тангенса и котангенса видно, что они взаимосвязаны друг с другом, что позволяет отдельно преобразовывать необходимые величины.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Из определения синус является ординатой у, а косинус – абсциссой x . Тангенс – это и есть отношения ординаты и абсциссы. Таким образом имеем:

t g α = y x = sin α cos α , а выражение котангенса имеет обратное значение, то есть

c t g α = x y = cos α sin α .

Отсюда следует, что полученные тождества t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α задаются с помощью sin и cos углов. Тангенс считаются отношением синуса к косинусу угла между ними, а котангенс наоборот.

Отметим, что t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α верны для любого значение угла α , значения которого входят в диапазон. Из формулы t g α = sin α cos α значение угла α отлично от π 2 + π · z , а c t g α = cos α sin α принимает значение угла α , отличные от π · z , z принимает значение любого целого числа.

Связь между тангенсом и котангенсом

Имеется формула, которая показывает связь между углами через тангенс и котангенс. Данное тригонометрическое тождество является важным в тригонометрии и обозначается как t g α · c t g α = 1 . Оно имеет смысл при α с любым значением, кроме π 2 · z , иначе функции будут не определены.

Формула t g α · c t g α = 1 имеет свои особенности в доказательстве. Из определения мы имеем, что t g α = y x и c t g α = x y , отсюда получаем t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Преобразовав выражение и подставив t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , получим t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .

Тогда выражение тангенса и котангенса имеет смысл того, когда в итоге получаем взаимно обратные числа.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и 1 приравнивается к дроби, где в числителе имеем 1 , а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот. Благодаря тригонометрическому тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 , можно разделить соответствующие стороны на cos 2 α и получить t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , где значение cos 2 α не должно равняться нулю. При делении на sin 2 α получим тождество 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α , где значение sin 2 α не должно равняться нулю.

Из приведенных выражений получили, что тождество t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α верно при всех значениях угла α , не принадлежащих π 2 + π · z , а 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α при значениях α , не принадлежащих промежутку π · z .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения

Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Тригонометрические функции - Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

Tan

Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

Косинус - Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

Котангенс - Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

Секанс - Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

История тригонометрии - Геодезические измерения (XVII век) … Википедия

Формула тангенса половинного угла - В тригонометрии, формула тангенса половинного угла связывает тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла: Различные вариации этой формулы выглядят следующим образом … Википедия

Тригонометрия - (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как… … Википедия

Решение треугольников - (лат. solutio triangulorum) исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики. Треугольник может располагаться на… … Википедия

Книги

• Комплект таблиц. Алгебра и начала анализа. 10 класс. 17 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 17 листов.… Купить за 3944 руб
• Таблицы интегралов и другие математические формулы , Двайт Г.Б.. Десятое издание известного справочника содержит весьма подробные таблицы неопределенных и определенных интегралов, а также большое число других математических формул: разложения в ряды,…