Уравнения с делением многочлена на одночлен примеры. Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен. Деление многочленов

Технологическая карта урока алгебры 7 класс

	ФИО (полностью)	Горшунова Оксана Романовна
	Место работы	МАОУ Усовская СОШ
	Должность	учитель математики
	Предмет	Алгебра
	Класс
	Тема и номер урока в теме	Деление многочлена на одночлен (2 урок в теме)
	Базовый учебник	Алгебра 7 класс. А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Москва 2014 год.
	Тип урока	Обобщение и систематизация знаний
	Цель урока (для учителя)	закрепление навыков в умении выполнять деление многочлена на одночлен.
	Задачи:	обучающие: развивающие: воспитательные:
	Формы работы с учащимися	Фронтальный опрос, самостоятельная работа
	Необходимое техническое оборудование	Персональный компьютер, мультимедийный проектор Презентация «Деление многочлена на одночлен» Раздаточный материал - листы для самостоятельной работы учащихся
	Использование образовательных технологий	Здоровьесберегающие: создание благоприятного психологического климата в классе; создание благоприятных условий для снижения утомляемости при выполнении упражнений; соблюдение организационно-педагогических условий проведения урока - чередование видов учебной деятельности, плотности проведения урока.
	Планируемые результаты	Предметные: умение выполнять деление многочлена на одночлен. Метапредметные: умение самостоятельно определять цели своего обучения; умение оценивать правильность выполнения учебной задачи; умение преобразовывать выражения при решении учебных задач. Личностные : формирование ответственного отношения к учебе; формирование уважительного отношения к другому человеку и его мнению.

Структура урока

Организационный момент.(2 минуты)

Актуализация знаний.(7 минут)

Закрепление.(12 минут)

Физминутка. (2 минуты)

Самостоятельная работа учащихся.(11 минут)

Домашнее задание.(1 минута)

Рефлексия (3 минуты)

Этапы урока	Дидактическая задача каждого этапа урока	Содержание этапа		Планируемые результаты этапа урока	ЦОР
		Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Мотивирование к учебной деятельности. (2 минуты)	Выработка на личностно-значимом уровне внутренней готовности выполнения нормативных требований учебной деятельности.	Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку. Здравствуйте! Я сегодня у вас буду вести урок алгебры. Зовут меня Оксана Романовна. Прозвенел звонок для нас! Встали все у парт красиво, Поздоровались учтиво. Тихо сели, спинки прямо. Все легонечко вздохнем. Урок алгебры начнем. Посмотрите друг на друга, улыбнитесь. Пожелайте друг другу успехов и хорошего настроения. Математика - самая удивительная наука, полезная и очень интересная. Я вам предлагаю сегодня необычный урок. За каждое верно выполненное задание я вам буду дарить интересные высказывания про математику. А начнем мы наш урок с интересного высказывания: «Незнающие пусть научатся, а знающие - вспомнят еще раз» (Античный афоризм)	Приветствуют учителя, слушают, проверяют правильность выполнения домашней работы.	Личностные: формирование мотивации учения. Познавательные: Регулятивные : организация своей учебной деятельности. Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.	Слайд 1
			Читают информацию со слайда		Слайд 2
		А теперь начинаем работать. Работу на уроке будите оценивать самостоятельно по оценочным листам они у вас лежат на партах. На каждом этапе урока вы будите ставить себе определённый балл и в итоге получите свою оценку.	Настраиваются на работу, слушают учителя, отвечают на вопросы.		Слайд 3
Актуализация знаний (5 минут)	Актуализация знаний через пробное учебное действие.	На доске Ребята, скажите, пожалуйста, как называются данные выражения? (многочлены) Правильно. С многочленами мы также умеем выполнять и различные операции. Скажите, пожалуйста, какие действия с данными многочленами здесь выполняются. (сложение, вычитание, умножение) Какого действия нет среди данных заданий? (деление) А точнее? Кто скажет полный ответ. Правильно, таким образом, мы подошли к теме урока. Кто ее может назвать? Итак, тема нашего сегодняшнего урока: «Деление многочлена на одночлен». Как вы думаете, какова будет цель этого урока? На доске вам предложены опорные слова, с помощью которых каждый из вас сможет сформулировать цель урока для себя. Спросить по количеству высказываний Всё верно. Цель нашего сегодняшнего урока вы сформулировали правильно. Молодцы! Вы изучили правило деления многочлена на одночлен. А кто попробует рассказать правило очень быстро? А кто попробует рассказать правило очень медленно? И все вместе!	Отвечают на поставленные учителем вопросы. Формулируют тему и цель урока и записывают ее в тетрадь. (Данные выражения называются многочленами) (Сложение и вычитание многочленов, умножение многочлена на одночлен) (Деления). (Деление многочлена на одночлен).	Познавательные: построение речевого высказывания в устной и письменной форме. Регулятивные: планирование своих действий в соответствии с поставленной задачей. Коммуникативные: формулирование собственного мнения.	Слайд 4
			(Закрепить умения и навыки при делении многочлена на одночлен).		Слайд 5
					Слайд 6
			(Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить).		Слайд 7
Закрепление (10 минут)	Применение знаний и навыков в решении математических задач.	Вы к сегодняшнему уроку изучили уже очень много. А давайте теперь проверим ваши знания. На слайде вам предложены суждения. Если суждение верное, то ставите плюс у себя в оценочном листе, если суждение не верное, то ставите минус! Кто быстрее всех справится, поднимает руку. Верно ли утверждение, определение, свойство? 1. Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей. (-) 2. Одночлены, которые отличаются друг от друга только коэффициентами, называются подобными членами. 3. В результате умножения одночлена на одночлен получается одночлен. 4. В результате умножения многочлена на одночлен получается одночлен. (-) 5. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом. 6. В результате деления многочлена на одночлен получается многочлен. 7. Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные результаты сложить. (-) 8. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. 9. Буквенный множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. (-) 10. Многочленом называется сумма одночленов. Так ребята посчитайте, сколько баллов у вас получилось, и запишите в оценочный лист! Вот вам и первый полезный подарок! «Математика - гимнастика ума» (А.В. Суворов) Потому что вам сейчас предстоит работа в парах.	Выполняют действия со слайда, слушают учителя	Личностные: формирование мотивов достижения целей. Коммуникативные: использование речи для регуляции своего действия, умение задавать вопросы. Познавательные: построение речевого высказывания в устной и письменной форме, Регулятивные: осуществление контроля и оценки собственной деятельности.	Слайд 8 Слайд 9
		У вас на партах лежат в конвертиках задания. Вам необходимо соотнести выражение с ответом. Распределите между собой кто, какие задания будет выполнять. Чья пара справится быстрее, поднимает руки. (4х+12у-16):(4)=х+3у-4 (3 x 2 y -4ху 2 ):(5 xy )=0,6х-0,8у (2ав+6а 2 в 2 -4в 2 ):(-2в)=-а-3а 2 в+2в (14m 3 n 3 -21m 3 n 6 ):(-7mn)=-2m 2 n 2 +3m 2 n 5 Молодцы все справились. Проверяем ответы, в листы самооценки проставляем количество баллов которые выполнены верно, то есть от 0 до 4. Вот вам еще один подарочек: Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое. (М.В. Остроградский) Если бы вы не вспомнили, то что знаете, то не смогли выполнить предложенное задание, но у вас все получилось.	Выполняют действия на листочках.		Слайд 10 Слайд 11
Физминутка (1 минута)		А сейчас немного отдохнем Физминутка Дружно с вами мы считали и о многочленах рассуждали, А теперь мы дружно встали, свои косточки размяли. На счет раз кулак сожмем, на счет два в локтях сожмем. На счет три — прижмем к плечам, на 4 — к небесам Хорошо прогнулись, и друг другу улыбнулись Про пятерку не забудем — добрыми всегда мы будем. На счет шесть прошу всех сесть. Числа, я, и вы - друзья, вместе дружная семья.			Слайд 12
Разноуровневая самостоятельная работа	Формирование учебной деятельности на основе системы знаний об окружающей действительности.	А теперь настало время самостоятельной работы, выполняем ее в тетрадях, а потом проверяем правильность решения. Кто выполнит, поднимает руку. оценка задание Набранные баллы ) (3х 3 + 4х 2 у) : х 2 - (10ху + 15у 2 ) : (5у) (5,5х 3 у - 2ху 2 ) - (0,5х 3 у - 2ху 2 ) (4 ху - 3 х 2 ) - (- ху + 5 х 2 ) 12a 2 (a 5 - a 4 - 2a 3 ) (70 m 2 - 20 mn - 10 m ) : (10 m ) Итак ребята все справились с заданием? Делаем проверку. Выполнено одно задание 3 балла, два задания - 4 балла, три задания - 5 баллов. Проставляем баллы себе в оценочный листок. Молодцы! Держите еще один подарочек Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым. (А.П. Конфорович) Вы при выполнении данных заданий показали себя сильными, смелыми, выбрав тот или иной уровень. А сейчас мы с вами немножко поиграем. На доске вам предложены задания. Работать будем по командам. Одна команда это ряд. Вам необходимо по очереди выходить к доске и заполнять предложенные пробелы вариантами ответов, которые лежат у меня на столе. Задания выполняем на скорость. ЗАДАНИЯ Проверяем! Молодцы! В оценочный лист ставит себе столько баллов, сколько правильных ответов у вашего ряда. Еще один подарочек. Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. (М.В. Ломоносов)	Выполняют тест. Проверяют ответы учащегося с правильными ответами. Выставляют оценку.	Личностные: формирование границ «знания» и «незнаний». Познавательные: структурирование знаний. Регулятивные: внесение необходимых корректив в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок.	Слайд 13
					Слайд 14 Слайд 15 Слайд 16 ав
Домашнее задание		Чтобы навести порядок в вашей голове, вам такое домашнее задание: 1. Составить тематический словарь по теме «Многочлены и одночлены». 2. Составить систему карточек-заданий по теме «Многочлены и действия с ними». 3. Составить кроссворд по теме «Многочлены и одночлены» (10 слов). 4. Написать сочинение-интервью «Интервью с многочленом (или одночленом)» или сказку на эту же тему.
Рефлексия учебной деятельности	Самооценка результатов своей деятельности на уроке и соотнесение самооценки с оценкой учителя.	Подводит учащихся к самооценке результатов своей деятельности Ребята сейчас мы с вами поставим себе оценки. В вашем оценочном листе напротив каждого задания у вас стоят баллы, теперь переведите их в оценку. Кто получил «5» - 25 - 27 баллов «4» - 21 - 24 балла «3» - 16 - 20 баллов Наш урок подходит к концу! Я бы хотела, чтобы каждый из вас на обратной стороне опроного листка дописал предложения: 1. На уроке я работал _________________ 2. Своей работой на уроке я ____________ 3. Урок для меня показался ____________ 4. За урок я _________________________ 5. Мое настроение ___________________ 6. Материал урока мне был ___________ 7. Домашнее задание мне кажется ______ Ребята, а кто может озвучить свои выводы. (несколько человек) т	Выражают мнение об уроке в письменной форме. Оценивают свою деятельность на уроке.	Личностные: формирование адекватной позитивной самооценки. Регулятивные: оценивание собственной деятельности на уроке. Познавательные: построение речевого высказывания в письменной форме.
Итог урока		«Числа управляют миром», - говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней. (А. Дородницын) Тема на этом не заканчивается, вы будите продолжать ее изучать на следующих уроках. Желаю вам удачи! И успешной учебы! Спасибо за урок!	Отвечают на вопрос

Оценочный лист

ФИ ______________________________

Дата проведения: 01.03.2018

1 задание

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

max 10) _________________

2 задание

Итоговое количество баллов по заданию (max 4) ______________________

3 задание

Итоговое количество баллов по заданию (max 5) ____________________

4 задание

Итоговое количество баллов по заданию (max 8) ____________________

Набрано баллов ________________________

Оценка за урок ________________________

Рефлексия

1. На уроке я работал ________________________________________

2. Своей работой на уроке я ___________________________________

3. Урок для меня показался ___________________________________

4. За урок я ________________________________________________

5. Мое настроение __________________________________________

6. Материал урока мне был ___________________________________

7. Домашнее задание мне кажется ____________________________

Самоанализ урока.

Самоанализ урока алгебры в 7 классе,

проведенного учителем математики,

Горшуновой Оксаной Романовной.

Урок «Деление многочлена на одночлен» является вторым из двух отведенных на изучение данной темы по плану занятий. Это урок обобщения и систематизации знаний по теме. Он опирается на ранее полученные знания о многочленах и одночленах

Данный урок проводился в 7 классе, класс общеобразовательный.

Уровень Учебник «Алгебра» под редакцией А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, авторской программы основного общего образования по информатике под редакцией А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова.

Цель урока:

1. закрепление навыков в умении выполнять деление многочлена на одночлен.

Задачи урока:

обучающие:

обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме;

применить сформированные знания и умения при выполнении конкретных задач;

закрепить навыки и умения при выполнении самостоятельного задания.

развивающие:

развивать познавательный интерес, навыки коллективной и самостоятельной работы;

способствовать формированию приемов логического и алгоритмического мышления;

формировать навыки взаимоконтроля и самоконтроля.

воспитательные:

воспитывать трудолюбие и самостоятельность, внимательность и усидчивость;

прививать желание иметь качественные знания, доводить дело до конца;

воспитывать умение объективно оценивать результаты своей и коллективной работы.

Для учителя:

· организовать деятельность учащихся для развития теоретического, творческого мышления, а также формирование операционного мышления;

· продолжить формирование умений и навыков, носящих в современных условиях общенаучный и общеинтеллектуальный характер;

· способствовать формированию регулятивных универсальных учебных действий: учить планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей, осуществлять действия самооценки и самоконтроля;

· создать условия для развития познавательного интереса, воспитания информационной культуры.

Для учащихся:

· грамотно планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей;

· осуществлять действия самооценки и самоконтроля.

На уроке присутствовало 16 человек.

Отобранное содержание урока, оборудование урока, организация активной мыслительной деятельности учащихся на всех этапах урока способствовали достижению образовательных целей урока, стимулировали познавательные интересы учащихся.

Данный урок иллюстрирует реализацию системы работы по формированию ключевых компетенций обучающихся в действии. Основываясь на психологических особенностях детей, уровне их развития, урок был построен так, чтобы все дети чувствовали себя комфортно и удалось достичь поставленной цели.

Урок проводится в рамках КТП, рабочей программы по предмету и направлен на повышение информационной культуры учащихся, а значит, на развитие личности каждого ребенка.

Рассмотрим этапы урока.

Организационный момент реализовывал цель учителя: психологический настрой учеников на урок, знакомство с планом урока. Цель учащихся: позитивный настрой на работу, организация рабочего места. Учитель в сотрудничестве с детьми осуществляет формулировку личных целей учащихся, конкретизируя сформулированные ранее задачи.

На этапе «Постановка целей урока» учитель подводит учащихся к постановке цели, путем опорных слов

Цель учеников: повторить и закрепить изученные ранее знания о многочленах и одночленах.

На данном этапе формировались познавательные универсальные учебные действия, такие как осуществление выбора наиболее эффективных способов решения информационной задачи, структурирование информации.

Регулятивные универсальные учебные действия: определяют роль учебной деятельности, осуществляют поиск ее достижения, работа по составленному плану в соответствии с поставленной задачей.

Личностные универсальные учебные действия: внутренняя позиция на уровне положительного отношения к школе, мотивационная основа учебной деятельности.

Коммуникативные универсальные учебные действия: адекватное использование речевых средств, для решения коммуникативных задач, формулирование собственного мнения в позицию, умение договориться с людьми иного мнения, изменять свою точку зрения.

На этапе закрепления ребятам была предложена работа в парах, где они выбирали из предложенных вариантов ответа верные и зарабатывали баллы. Цель учителя на данном этапе урока - проверить уровень сформированности понятий многочлена и одночлена с опорой на уже изученный материал.

Цель учащихся: показать полученные знания и умения по данной теме.

Регулятивные универсальные учебные действия: планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей, учитывать установленные правила.

Познавательные универсальные учебные действия: установление аналогии с изученными правилами, сопоставление и отбор нужной информации.

Коммуникативные универсальные учебные действия: уметь оформлять свои мысли в устной и письменной речи с учетом различных ситуаций, отстаивать свою точку зрения, обосновывая ее, подтверждая фактами.

Физкультминутка

Цель учителя на данном этапе урока - использование здоровьесберегающих элементов для снятия напряжения с учащихся и более продуктивной работы на следующем этапе урока.

Цель учащихся: дать отдых для некоторых групп мышц, задействованных во время работы за компьютером и снятие умственного напряжения.

Самостоятельная работа.

На данном этапе учащимся была предложена разноуровневая самостоятельная работа. Ребята должны были в соответствии с цветом выбрать себе задания по силе. В результате по таблице ответов должны были самостоятельно выставить себе оценку.

В рамках закрепления изучаемой темы обучающимся было предложено сравнить исследования в различных программных средах. Они сделали вывод о преимуществах визуальной среды программирования при исследовании моделей различных процессов.

Домашнее задание.

Цель учителя: концентрация внимания учащихся на изученном материале, постановка задач для продолжения работы дома.

Целеполагание учащихся: выделение главного в изученном материале, позитивный психологический настрой на работу дома.

РефлЕксия урока.

На данном этапе обучающимся был предложен перевод баллов в оценку. Ребята самостоятельно выставляли себе оценки за свою работу на уроке.

На протяжении всего урока учащимся предлагались высказывания различных ученых про математику и фотография данного ученого. Это исторический аспект.

В качестве результата урока можно рассматривать следующее. Обучающиеся в течение всего занятия демонстрировали активность, высокую мотивацию, организованность. Высокий темп урока позволил рационально расходовать учебное время, сделать урок плотным, содержательным, мобильным, интересным. Парная и самостоятельная работа, выполненная обучающимися, явилась показателем хорошего качества усвоения учебного материала.

Таким образом, на уроке были реализованы ключевые принципы ФГОС и образовательной программы школы:

принцип психологической комфортности;

принцип целостности содержания (прослеживалась связь с ранее изученным материалом);

принцип ориентированной функции (дети осознали значимость приобретенных знаний).

На протяжении всего урока осуществлялось формирование метапредметных, предметных, личностных компетенций учащихся. Также на протяжении всего занятия осуществлялся контроль и самоконтроль, развивающая и воспитательная задачи урока решались в единстве с образовательной. Считаю, что урок цели достиг.

Соотнеси правильный вариант

Задание	Ответ
(4х+12у-16):4
(3 x 2 y -4ху 2 ):(5 xy )
(2ав+6а 2 в 2 -4в 2 0,6х - 0,8у
-а - 3а 2 в + 2в	-а - 3а 2 в + 2в
-2m 2 n 2 + 3m 2 n 5	-2m 2 n 2 + 3m 2 n 5
15х 3 у 2 - 20х 2 у 3	15х 3 у 2 - 20х 2 у 3
х + 3у + 4	х + 3у + 4
а - 3а 2 в + 2в	а - 3а 2 в + 2в
2m 2 n 2 + 3m 2 n 5	2m 2 n 2 + 3m 2 n 5

многочлена на одночлен лежит свойство деления суммы чисел на какое-либо число, отличное от 0.Указанное правило заключается в том что для того чтобы произвести деление суммы нескольких чисел на число можно каждое слагаемое суммы разделить на него, и полученные результаты сложить

Допустимые значения

Значит для того, чтобы сумму чисел разделить на какое-либо число необходимым условием является то, что это число должно быть не равно $0$.

Переход к многочленам

Вспомним, многочлен - это сумма одночленов. Значит, когда мы говорим о том, что нам надо разделить многочлен на одночлен, это значит, что всю эту сумму одночленов нужно разделить на некоторый одночлен. Вспомним, на чем основано деление одночленов/

• Деление степеней $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

Пример 1

Найти частное одночленов: $x^3y^5:x^2y$

Решение: $x^3y^5:x^2y=x^{3-2}y^{5-1}=xy^4$

• Возведение дроби в степень ${(\frac{a^n}{b^m})}^x=\frac{a^{nx}}{b^{mx}}$

Пример 2

Упростить дробь ${{\rm (\ }\frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2$

Решение: $\ {{\rm (\ }\frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2=\frac{144x^{12}c^{14}}{36x^4c^4}=144x^{12}c^{14}:36x^4c^4=4x^{12-4}c^{14-4}=4x^8c^{10}$

1) возведением дроби в степень${{\rm (\ }\frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2=\frac{144x^{12}c^{14}}{36x^4c^4}$

2) тем, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае $144:36=4$

3) правилом, что при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются $x^{12}:x^4{=x}^{12-4}=x^8$,

Замечание 1

Для того чтобы сформулировать условия, необходимые для деления многочлена на одночлен, необходимо вспомнить условия, при которых возможно деление одночленов. Такими условиями будут следующие:

Условием для выполнения деления одночлена на одночлен является то, что коэффициент делителя должен быть отличен от $0$ и то, что в одночлене, который является делителем не должно быть переменных, которых нет в делимом. Например, при делении ${4x}^3:2xy=\frac{{2x}^2}{y}$ не получится одночлен, т. е деление без остатка не возможно.

Исходя из вышесказанного можно сделать вывод том, что одним из условий возможности выполнения деления многочлена на одночлен является то коэффициент одночлена должен быть отличен от $0$ и то, что в каждом члене многочлена должен выделяться множитель, равный одночлену.

Пример 3

Dыполнить деление многочлена ${8a}^3+{6a}^2b-b$ на ${2a}^2$

Произвести деление без остатка многочлена на одночлен не возможно, т.к. элемент многочлена $- b$ не содержит переменную $a$, которая есть в одночлене.

Правило деления многочлена на одночлен

Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученный результаты сложить.

Пример 4

Разделить многочлен ${6x}^2y+{12xy}^2$ на $2x.$

Решение:

Итак: (${6x}^2y+{12xy}^2):2x={6x}^2y: 2x+{12xy}^2:2x=3xy+6y^2$

В этом задании мы воспользовались

1) Правило деления многочленов, мы разделили каждое слагаемое многочлена на одночлен:$\ {6x}^2y: 2x$ , ${12xy}^2:2x$ и сложили частные

2) Тем, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае $6:2=3$, $12:2=6$

3) Правилом, что при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются $x^2:x=x^{2-1}x,\ x: x=1$,

Пример 5

Упростить дробь $\frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}$

Решение:

1) Представим данную дробь в виде суммы двух дробей. Руководствоваться в этом мы будем правилом сложения алгебраических дробей с одинаковым знаменателем: при сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателем в итоговой дроби числитель будет равен сумме числителей слагаемых, а знаменатель будет равен знаменателям дробей - слагаемых

Тогда, $\frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}+\frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}$

2) Теперь не трудно заметит, что каждая дробь будет представлять собой деление одночленов. Преобразуем сначала первую дробь:

\[{\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}=8a}^4b^9:{2ab}^2\]

Сначала вспомним, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае $8:2=4.$

Теперь воспользуемся правилом, деления степеней с одинаковым основанием: при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются, тогда:

Значит, первую дробь можно представит после тождественных преобразований следующим образом:

\[{\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}=8a}^4b^9: {2ab}^2=4a^3b^7\]

Теперь преобразуем вторую дробь аналогично: $\ \frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}={2a}^3b^3:{2ab}^2$

Коэффициент итогового одночлена будет равен частному коэффициентов одночленов, стоящих в числителе и знаменателе $2:2=1.$

Посмотрим, как преобразуются переменные: $a^3:a=a^2$ , $b^3:b^2=b$

Значит вторая дробь тождественно равна:

\[\frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}={2a}^3b^3:{2ab}^2=a^2b\]

Вернемся к исходному выражению, которое представляло собой деление многочлена на одночлен

\[\frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}+\frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=4a^3b^7+a^2b\]

§ 1 Правила деления многочлена на одночлен

На этом занятии мы познакомимся с правилом деления многочлена на одночлен. В основе наших дальнейших действий будет лежать свойство деления суммы на число, а именно:

Чтобы разделить сумму на число, надо каждое слагаемое разделить на это число и полученные частные сложить.

В буквенной записи это свойство выглядит следующим образом:

(а + b + с) : k = а: k + b: k + с: k

Так как в нашем случае переменные а, b, с и k обозначают одночлены, то можно сразу сформулировать правило деления многочлена на одночлен.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные частные сложить.

Здесь важно помнить, что деление одночлена на одночлен выполнимо не всегда. Должны выполняться следующие правила:

1) в делителе не должны содержаться переменные, которых нет в делимом;

2) показатели степени переменных в делимом должны быть не меньше показателей степени этих переменных в делителе.

§ 2 Примеры деления многочлена на одночлен

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Выполнить деление многочлена (3аb - а3b2) на многочлен аb.

Здесь нам надо будет сначала разделить одночлен 3аb на одночлен аb, затем разделить одночлен -а3b2 на аb и, наконец, сложить полученные результаты. Решение будет записано так:

(3аb - а3b2) : (аb) = 3аb: аb - а3b2: аb = 3 - а2b

Пример 2. Многочлен 12х4у2 - 8х3у + 6х2у разделить на одночлен 2ху.

В этом примере нам надо будет выполнить деление одночлена на одночлен трижды. Решение выглядит так:

(12х4у2 - 8х3у + 6х2у) : (2ху) = (12х4у2: 2ху) - (8х3у: 2ху) + (6х2у: 2ху) = 6 х3у - 4х2 + 3х

Пример 3. Многочлен 24аb - 2а2b5 разделить на одночлен 5k.

Можно сразу заметить, что выполнить деление на такой одночлен мы не сможем, т.к. в нём содержится переменная k, которой нет в делимых 24аb и 2а2b5. Значит, это задание некорректно.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

>>Математика: Деление многочлена на одночлен

Снова, как и в начале § 15, сравним планы построения глав 3 и 4. Вы, наверное, заметили, что эти планы почти одинаковы, хотя полное совпадение нарушил предыдущий параграф (посвященный специфическим формулам сокращенного умножения), да и в главе 3 мы рассмотрели возведение одночлена в степень, а в главе 4 соответствующего разговора о возведении в степень многочлена не было, за исключением случая, когда двучлен возводится в квадрат. После умножения одночленов в главе 3 шла речь о делении одночлена на одночлен. Вот и в главе 4 мы сейчас поговорим об аналогичной операции - делении многочлена на одночлен.

В ее основе лежит следующее свойство деления суммы на число:

(a + b + c):m = (a:m) + (b:m) + (c: m).

Это позволяет сразу сформулировать правило деления многочлена на одночлен .

В § 12 мы отмечали, что не всегда можно разделить одночлен на одночлен; чтобы деление было выполнимо, необходимо соблюдение целого ряда условий - вспомните их (или посмотрите в § 12), прежде чем рассматривать пример, который приведен ниже. Если задача деления одночлена (простейшего многочлена) на одночлен не всегда была корректной, то что же говорить о делении многочлена на одночлен: такое деление выполнимо достаточно редко.

Пример 1. Разделить многочлен 2а 2 b + 4аb 2 на одночлен 2а.
Решение. Находим:

Здесь мы использовали тот способ записи, который обговорили в § 12. А вот иной способ (можно применять и тот, и другой, смотря по тому, какой из них вам больше нравится): выделим в каждом члене многочлена 2а2& + 4а&2 множитель, в точности равный делителю 2а. Получим:

2а 2 b + 4аb 2 = 2а аb + 2а 2b 2 .

Эту сумму можно записать в виде произведения 2a(ab + 2b 2). Теперь ясно, что если это произведение разделить на 2а (на один множитель), то в частном получится аb + 2Ь 2 (другой множитель).

Пример 2. Разделить многочлен 6x 3 - 24x 2 на 6x 2 .
Решение.
Первый способ. Находим:

Второй способ. Имеем:
бx 3 - 24x 2 - бx 2 х - 6х 2 4 = 6x 2 (x - 4).

Значит, частное от деления 6x 3 - 24x 2 на 6x 2 равно х - 4.

Пример 3. Разделить многочлен 8а 3 + 6а 2 b - b на 2а 2 .

Решение. Имеем:
8а 3 + 6а 2 b - b = 2а 2 4а + 2а 2 -Зb-b.

Поскольку в третьем члене заданного многочлена (речь идет о члене -b) множитель 2а 2 не выделяется, деление невозможно. Эта задача некорректна. Фактически мы снова, как и в конце § 12, пришли к алгебраической дроби - на этот раз к алгебраической дроби

Итак, деление многочлена на одночлен выполняется не всегда, а если и выполняется, то требует определенных усилий. Деление же многочлена на многочлен - еще более трудная (и еще более редко выполнимая) операция, это нам пока не по силам.

Рефераты, домашняя работа по математике скачать , учебники скачать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки