1 построить сумму двух данных углов. Виды углов. Измерение углов. Построение треугольника по трем сторонам

Простейшие задачи на построение
Треугольники

Данный видеоурок создан специально для самостоятельного изучения темы «Простейшие задачи на построение». В ходе него учащиеся узнают о том, как решать простейшие задачи на построение, используя циркуль и линейку. Учитель объяснит материал на примере конкретных задач, а также напомнит несколько изученных ранее аксиом.

Определим, какие действия мы можем выполнять при помощи циркуля и линейки. Во-первых, с помощью линейки можно провести произвольную прямую, а также прямую, проходящую через две точки. Через две точки можно провести прямую, и при том только одну.

С помощью циркуля можно построить окружность заданного радиуса.

Рис. 1. Окружность и прямая

Пример 1 : На заданном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Отрезок АВ и луч ОС даны по условию:

Рис. 2.1. Условие к примеру 1

Построение:

Рис. 2.2. Решение к примеру 1

Построение выполняем следующим образом: строим окружность с центром в точке О и радиусом АВ. Точка D является точкой пересечения окружности и луча. Отрезок OD - искомый, так как он равен АВ.

Построение выполнено.

Пример 2 : Отложить от данного луча угол, равный данному. Заданы угол А и луч ОМ. Построить .

Построение :

Рис. 3.1. Условие к примеру 2

1. Построить окружность Окр(А, r = AB). Точки В и С - являются точками пересечения со сторонами угла А.

Рис. 3.2. Решение к примеру 2

2. На луче ОМ построить окружность с центром в точке О радиуса r = АВ. Получаем точку D на пересечении луча ОМ и окружности

3. Строим третью окружность с центром в точке D радиуса r = BC (где В и С точки пересечения угла А и первой окружности) и получаем точку Е на пересечении двух окружностей

Рис. 3.3. Решение к примеру 2

4. Получаем искомый угол МОЕ = углу А

5. Угол МОЕ - искомый, так как .

Построение выполнено.

Пример 3 : Построить биссектрису данного угла. Дан угол А, необходимо выполнить построение биссектрисы АЕ.

Рис. 4.1. Условие к примеру 3

Построение :

1. Построим окружность Окр(А, r = АB). Точки В и С - точки пресечения окружности со сторонами угла.

2. Выполним построение окружности Окр(В, r = CB) и окружности Окр(С, r = CB). Данные окружности пересекаются в точке Е.

3. Луч АЕ - биссектриса - искомый, так как . Из этого следует, что .

Рис. 4.2. Решение к примеру 3

Построение выполнено.

Пример 4 : Из точки, лежащей на данной прямой, требуется провести перпендикуляр к данной прямой.

Построение:

1. МА = МВ. Мы зафиксировали определенные равные отрезки по обе стороны от заданной точки.

2. Построим окружности Окр(А, r = АB) и Окр(В, r = АB). Эти окружности пересекаются в точках P и Q.

3. PМ - искомая прямая. Медиана РМ есть и высота в равнобедренном треугольнике РАВ. .

Рис. 5. Решение к примеру 4

Построение выполнено.

Пример 5 : Построить середину данного отрезка. АВ - отрезок. Найти точку О, такую, что АО = ОВ.

Рис. 6.1. Условие к примеру 5

Построение:

1. Построим окружности Окр(А, r = АB) и Окр(В, r = АB). Эти окружности пересекаются в точках P и Q.

2. PQ пересекает АВ в точке О, точка О - искомая, так как , поэтому PQ - биссектриса в равнобедренном треугольнике РАВ. Следовательно, PQ - медиана.

Рис. 6.2. Решение к примеру 5

1. Первый признак равенства треугольников ().
2. Справочный портал calc.ru ().

1. № 99. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.

2. Увеличьте произвольный угол на 25%.

3. Постройте угол, который равен сумме (разности) двух углов, изображенных на рисунках.

4. Докажите, что если две стороны и угол, который лежит против большей из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, который лежит против большей стороны второго треугольника, то эти треугольники равны.

С помощью основных построений решаются некоторые задачи, достаточно простые и часто встречающиеся при решении других, бо­лее сложных. Такие задачи считаются элементарными и описания их решения, если они встречаются при решении более сложных, не дается. Выбор элементарных задач является условным.

Задача на построение считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения ука­занных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Рассмотрим некоторые элементарные задачи на построение.

1. Построить на данной прямой отрезок СD, равный данному от­резку АВ

Возможность такого построения вытекает из аксиомы откладыва­ния отрезка. С помощью циркуля и линейки оно осуществляется сле­дую щим образом. Пусть даны прямая а и отрезок АВ. Отмечаем на прямой точку С и строим с центром в точке С окружность радиусом, равным отрезку АВ. Точку пересечения окружности с прямой а обо­значаем D . Получаем отрезок СD, равный АВ.

2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.

Пусть даны угол А и по­лупрямая с начальной точ­кой О. Проведем окружность произвольного радиуса с цент­ром в вершине А данного угла (рис. а). Точки пересече­ния окружности со сторонами угла обозначим В и С. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О (рис. б). Точку пере­сечения этой окружности с данной полупрямой обозначим В". Опи­шем окружность с центром В" и радиусом ВС. Точка С" пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.

Построенный угол В"ОС" равен углу ВАС, так как это соответст­вующие углы равных треугольников АВС и В"ОС.

3. Найти середину отрезка.

Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности одного радиуса с центрами А и В (рис.). Они пересекаются в точках С и С", лежащих в разных полуплоскостях относитель­но прямой АВ. Проведем прямую СС". Она пе­ресечет прямую АВ в точке О. Эта точка и есть середина отрезка АВ.

Действительно, треугольники САС" и СВС" равны по трем сторонам. Отсюда следует равен­ство углов А СО и ОСВ. Значит, отрезок СО - биссектриса равнобедренного треугольника АСВ и, следовательно, его медиана, т.е. точка О - се­редина отрезка АВ.

4. Построить биссектрису данного угла.

Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис.). Пусть В и С- точки ее пересечения

со сторонами угла. Из точек В и С описываем окружности одного радиуса. Пусть В - точка их пересечения, отличная от А. Тогда по­лупрямая АО и есть биссектриса угла А. Докажем это. Для этого рассмотрим треугольники АВD и АСВ. Они равны по трем сторо­нам. Отсюда следует равенство соответствующих углов DАВ и ВАС, т.е. луч АD делит угол ВАС пополам и, следовательно, является бис­сектрисой.

5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную дан­ной прямой.

Пусть даны точка О и прямая а . Возможны два случая:

1) точка О лежит на прямой а ;

2) точка О не лежит на прямой а.

В первом случае построение выполняется так же, как и в задаче 4, потому что перпенди­куляр из точки О, лежащей на прямой, - это биссектриса развернутого угла (рис.).

Во втором случае из точки О как из центра проводим окружность, пересекающую прямую а (рис.), а затем из точек А и В тем же ра­диусом проводим еще две окружности. Пусть О" - точка их пересечения, лежащая в полу­плоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Прямая 00" и есть перпендикуляр к данной прямой а. Докажем это.

Обозначим через С точку пересечения пря­мых АВ и 00". Треугольники АОВ и АО"В равны по трем сторонам. Поэтому угол ОАС равен углу О"АС и, значит, треугольники ОАС и О"АС равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда их углы АСО и АСО" равны. А так как углы смежные, то они прямые. Таким образом, ОС есть пер­пендикуляр к прямой а.

6. Через данную точку провести прямую, параллельную данной. Пусть даны прямая а и точка А вне этой прямой (рис.). Возь­мем на прямой а какую-нибудь точку В и соединим ее с точкой А. Через точку А проведем прямую с, образующую с АВ такой же угол, какой АВ образует с дан­ной прямой а, но на противоположной стороне от АВ. Построенная прямая будет параллельна прямой а, что следует из равенства накрест ле­жащих углов, образованных при пересечении прямых а и с секущей АВ.

Упражнения

1. Постройте с помощью циркуля и линейки сумму и разность двух данных: а) отрезков; б) углов.

2. Разделите данный угол на 4 равных части.

3. Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему, треуголь­ник АВD .

4. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

На каждом из рисунков 82, a − г изображены два луча. На каком из рисунков пара лучей образует угол, сторонами которого являются эти лучи?

Поскольку на рисунках 82, а − в начала лучей не совпадают, то они не могут служить сторонами угла. Лучи на рисунке 82, г образуют прямую. При этом начала лучей совпадают, а следовательно, они образуют угол. Такой угол называт развернутым .

Угол, стороны которого образуют прямую, нахывают развернутым.

Углы, как и отрезки, можно измерять. Напомним, что для измерения отрезков мы использовали единичный отрезок (1 мм, 1 см и т.п.).

Однако для измерения углов мы пока не имеем такого единичного угла .

Создать его можно, например, так. Разделим развернутый угол на 180 равных углов (рис. 83 ). Угол, образованный двумя соседними лучами, выбирают за единицу измерения. Его величину называют градусом (от лат. gradus − " шаг", "ступенька") и записывают 1 °.

Тогда величина или, как еще принято говорить, градусная мера развернутого угла равна 180 °.

Для измерения углов используют специальный прибор − транспортир (рис. 84 ). Он состоит, как правило, из полукольца, соединенного с линейкой. Его шкала содержит 180 делений.

Чтобы измерить угол, совместим его вершину с центром транспортира таким образом, чтобы одна из сторон угла прошла по линейке (рис. 85 ).

Тогда штрих на шкале, через который пройдет вторая сторона, укажет градусная (величину) этого угла.

Так, на рисунке 85 градусная мера угла AOB равна 55 °. Пишут: ∠AOB = 55 °. На рисунке 86 имеем: ∠MON = 134 °.

Равные углы имеют равные градусные меры . Из двух неравных углов бОльшим будем считать тот, градусная мера которого больше. Например, из трех углов, изображенных на рисунке 87, ∠MON − наибольший. В этом легко убедиться, измерив углы транспортиром.

Величина угла обладает следующим свойством.

Если между сторонами угла ABC провести луч BD, то градусная мера угла ABC равна сумме градусных мер углов ABD и DBC (рис. 88 ), т.е.

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.

Угол, градусная мера которого меньше 90 °, называют острым (рис. 89, a).

Угол, градусная мера которого равна 90 °, называют прямым (рис. 89, б).

На рисунке прямой угол обозначает так: ∟.

Угол, градусная мера которого больше 90 °, но меньше 180 ° называют тупым (рис. 89, в).

Отметим, что биссектриса развернутого угла делит его на два угла, градусная мера каждого из которых равна 90 °. Следовательно, биссектриса развернутого угла делит его на два прямых угла (рис. 90 ).

Пример 1 . Дан луч OA. Постройте угол BOA, равный 72 °.

Совместим центр транспортира с точкой O так, чтобы луч OA прошел по линейке. Выберем на кольце транспортира штрих, который соответствует 72 °. Возле этого штриха отметим точку B (рис. 91 ). Проведем луч OB. Угол BOA − искомый.

Если дан луч OA и построен угол BOA, то говорят, что от луча OA отложен угол BOA.

Пример 2 . Из вершины угла ABC проведены два луча BK и BM так, что ∠ABK = 48 °, ∠CBM = 72 ° (рис. 92 ).

Вычислите величину угла ABC, если ∠MBK = 16 °.

Имеем: ∠ABM = ∠ABK − ∠MBK, ∠ABM = 48 ° − 16 ° = 32 °;

∠ABC = ∠ABM + ∠ СBM, ∠ABC = 32 ° + 72 ° = 104 °.

Ответ: 104 °.

Их суть заключается в том, чтобы построить какой-либо геометрический объект по какому-либо достаточному набору начальных условий имея под рукой только циркуль и линейку. Рассмотрим общую схему для выполнения таких задач:

Анализ задачи.

В эту часть входит установление связи между элементами, которые необходимо построить и начальными условиями задачи. После выполнения этого пункта у нас должен появиться план по решению нашей задачи.

Построение.

Здесь мы выполняем построения по плану, который был нами составлен выше.

Доказательство.

Здесь мы доказываем то, что построенная нами фигура действительно удовлетворяет начальным условиям задачи.

Исследование.

Здесь мы выясняем, при каких данных задача имеет одно решение, при каких несколько, а при каких ни одного.

Далее будем рассматривать задачи на построение треугольников по различным трем элементам. Здесь мы не будем рассматривать элементарные построения, таких как отрезок , угол и т.д. К этому моменту эти навыки уже у Вас должны иметься.

Построение треугольника по двум сторонами и углу между ними

Пример 1

Постройте треугольник, если нам даны две стороны и угол, который находится между этими сторонами.

Анализ.

Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и угол $α$. Нам нужно построить треугольник $ABC$ с углом $C$ равным $α$.

Составим план построения:

1. Принимая $AB$ за одну из сторон угла, отложим от нее угол $BAM$, равный углу $α$.
2. На прямой $AM$ отложим отрезок $AC$.
3. Соединим точки $B$ и $C$.

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 1).

Доказательство.

Исследование.

Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$. Значит, если угол α будет больше или равен $180^\circ$, то задача решений иметь не будет.

В другом случае решение есть. Так как прямая $a$ - произвольная прямая, то таких треугольников будет бесконечное количество. Но, так как они все равны между собой по первому признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.

Построение треугольника по трем сторонам

Пример 2

Постройте треугольник, если нам даны три его стороны.

Анализ.

Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и $BC$. Нам нужно построить треугольник $ABC$.

Составим план построения:

1. Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $AB$.
2. Построим $2$ окружности: первую с центром $A$ и радиусом $AC$, и вторую с центром $B$ и радиусом $BC$.
3. Соединим одну из точек пересечения окружностей (которая будет точкой $C$) с точками $A$ и $B$.

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 2).

Доказательство.

Из построения видно, что все начальные условия выполнены.

Исследование.

Из неравенства треугольника мы знаем, что любая сторона должна быть меньше суммы двух других. Следовательно, когда такое неравенство не выполняется для исходных трех отрезков, задача решения иметь не будет.

Так как окружности из построения имеют две точки пересечения, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по третьему признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Пример 3

Постройте треугольник, если нам дана одна стороны и углы $α$ и $β$, прилегающие к ней.

Анализ.

Пусть нам дан отрезок $BC$ и углы $α$ и $β$. Нам нужно построить треугольник $ABC$, где $∠B=α$, а $∠C=β$.

Составим план построения:

1. Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $BC$.
2. Построим в вершине $B$ к стороне $BC$ угол $∠ K=α$.
3. Построим в вершине $C$ к стороне $BC$ угол $∠ M=β$.
4. Соединим точку пересечения (это и будет точка $A$) лучей $∠ K$ и $∠ M$ с точками $C$ и $B$,

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 3).

Доказательство.

Из построения видно, что все начальные условия выполнены.

Исследование.

Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$, то, если $α+β≥180^\circ$ задача решений иметь не будет.

В другом случае решение есть. Так как углы можем строить с двух сторон, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по второму признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.

В задачах на построение будем рассматривать построение геометрической фигуры, которое можно выполнить с помощью линейки и циркуля.

С помощью линейки можно провести:

произвольную прямую;

произвольную прямую, проходящую через данную точку;

прямую, проходящую через две данные точки.

С помощью циркуля можно описать из данного центра окружность данного радиуса.

Циркулем можно отложить отрезок на данной прямой от данной точки.

Рассмотрим основные задачи на построение.

Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b, с (рис.1).

Решение. С помощью линейки проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку В. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С - точка ее пересечения с прямой. Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным b - окружность из центра С. Пусть А - точка пересечения этих окружностей. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c.

Замечание. Чтобы три отрезка прямой могли служить сторонами треугольника, необходимо, чтобы больший из них был меньше суммы двух остальных (а < b + с).

Задача 2.

Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 2.

Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С - точки пересечения окружности со сторонами угла (рис.3, а). Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О - начальной точке данного луча (рис.3, б). Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим С 1 . Опишем окружность с центром С 1 и радиусом ВС. Точка В 1 пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства Δ ABC = Δ ОВ 1 С 1 (третий признак равенства треугольников).

Задача 3. Построить биссектрису данного угла (рис.4).

Решение. Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С - точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D - точка их пересечения, отличная от А. Луч AD делит угол А пополам. Это следует из равенства Δ ABD = Δ ACD (третий признак равенства треугольников).

Задача 4. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку (рис.5).

Решение. Произвольным, но одинаковым раствором циркуля (большим 1/2 АВ) описываем две дуги с центрами в точках А и В, которые пересекутся между собой в некоторых точках С и D. Прямая CD будет искомым перпендикуляром. Действительно, как видно из построения, каждая из точек С и D одинаково удалена от А и В; следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

Задача 5. Разделить данный отрезок пополам. Решается так же, как и задача 4 (см. рис.5).

Задача 6. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

Решение. Возможны два случая:

1) данная точка О лежит на данной прямой а (рис. 6).

Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересекающую прямую а в точках А и В. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О 1 - точка их пересечения, отличная от О. Получаем ОО 1 ⊥ AB. В самом деле, точки О и О 1 равноудалены от концов отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.