Делимость произведения суммы и разности чисел. Теорема о делимости суммы, разности и произведения. Свойство деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел
Оборудование: доска, таблица, учебная литература, компьютер, проектор, экран.
Ход урока
1. Организационный момент
2. Актуализация опорных знаний
Математический диктант
| 1 вариант | 2 вариант |
а) если число а делится на 6, то оно делится на 12*; б) если число а не делится на 6, то оно не делится на 12 |
1. Какие из высказываний верные: а) если число а делится на 12, то оно делится на 6; б) если число а не делится на 12, то оно не делится на 6 |
а) любое число, кратное 90 |
2. Пусть F – множество чисел,
кратных 33. Принадлежит ли множеству F: а) любое число, кратное 11 |
| 3. Найдите пересечения: а) множества четных чисел и множества чисел, кратных 4 |
3. Найдите пересечения: а) множества чисел, кратных 3, и множества чисел, кратных 7 |
3. Усвоение новых знаний
Учащиеся делятся на 4 группы. Каждая группа изучает одно из свойств, доказательство этого свойства.
Рассмотрим некоторые свойства делимости суммы и произведения.
1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Доказательство проведем для трех слагаемых. Если числа a, b , и c делятся на p, то a=pk, b=pm, c=pn, где k,m и n – целые числа. Тогда
a+b+c=pk+pm+pn=p(k+m+n),
и так как k +m+n – целое число, то a+b+c делится на p.
В случае произвольного числа слагаемых прием доказательства остается тем же. Очевидно, что обратное утверждение неверно.
2. Если два целых числа делятся на некоторое число, то их разность делится на это число.
Это свойство следует из предыдущего, так как разность a-b всегда можно представить в виде суммы a+(-b) .
3. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.
Пусть числа a и b делятся на p, а число c не делится на p. Докажем, что сумма a+b+c не делится p. Предположим противное: пусть a+b+c делится на p. Тогда в разности (a+b+c)-(a+b) уменьшаемое делится на p по предположению, а вычитаемое делится на p по свойству 1, и поэтому по свойству 2 разность делится на p. Однако эта разность равна c и на p по условию не делится. Мы пришли к противоречию. Следовательно, сделанное нами предположение неверно и сумма a+b+c делится на р, что и требовалось доказать.
Заметим, что так как разность a-b можно рассматривать как сумму a+(-b), то доказанные свойства суммы относятся к любой алгебраической сумме чисел.
4. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то произведение делится на это число.
Если а делится на с, то a=ck, где k –целое число. Тогда ab=(ck)b т.е ab=c(kb), причем kb – целое число, так как произведение целых чисел является целым числом. Значит ab делится на с.
При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел. Например:
Одно из п последовательных целых чисел делится на п;
Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;
Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6;
Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.
Решение задач с применением свойств делимости суммы и произведения.
Пример 1
Докажите, что сумма 333 555 + 555 333 делится на 37.
333 555 + 555 333 = (3*111) 555 +(5*111) 333 = 111*(3 555 *111 554 + 5 333 *111 332). Так как 111 делится на 37, то данное выражение делится на 37.
Пример 2
Выясним, принадлежит ли графику уравнения 15х + 25 y= 114 хотя бы одна точка, координатами которой являются целые числа.
Допустим, что график проходит через точку М (а; в), где а и в целые числа. Тогда верным является равенство 15а + 25в =114. В левой части этого равенства записана сумма, которая делится на 5, так как каждое слагаемое 15а и 25в делятся на 5. ТО число 114 на 5 не делится. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и на графике уравнения 15х + 25y = 114 нет ни одной точки с целочисленными координатами.
Пример 3
Выясним, может ли целое число а, не равное нулю и не являющееся делителем 240, быть корнем уравнения 17х 3 –10х 2 -6х + 240 =0.
Допустим, что а – целый корень уравнения. Тогда верно равенство
17а 3 – 10а 2 – 6а + 240 =0.
Левая часть представляет собой сумму, в которой каждое слагаемое, кроме одного, делится на а, и поэтому эта сумма не делится на а. Правая часть этого равенства делится на а, так как 0 делится на любое число, отличное от нуля. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и число а не может быть корнем данного уравнения.
Пример 4
Докажем, что если n - простое число, большее чем 3, то разность n 2 - 1 делится на 24.
Имеем n 2 - 1 =(n-1)(n+1) . Из трех последовательных чисел n-1, n , n+1 хотя бы одно делится на 3. Однако число n на 3 не делится, значит, на 3 делится одно из чисел n-1 и n+1и, следовательно, их произведение (n-1)(n+1). Из условия ясно, что число n нечетное. Значит, n-1 и n+1 – два последовательных четных числа. Одно из таких чисел делится на 2, а другое - на 4, и поэтому их произведение делится на 8.
Итак, разность n 2 -1, где n – простое число и n>3, делится на 3 и на 8. А так как 3 и 8 взаимно простые, то эта разность делится на 24.
Решение №108, 110, 111(а),116(а), 119, 123.
4. Подведение итогов
5. Домашнее задание
§ 63. Содержание главы.
Мы изучили сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел. Сложение и умножение всегда выполнимы независимо от того, над какими числами они выполняются,
Иначе обстоит дело с обратными действиями, т. е. с вычитанием и делением. Относительно вычитания мы говорили, что оно возможно в тех случаях, когда вычитаемое не больше уменьшаемого.
Гораздо больше затруднений связано с делением. Прежде всего возникает затруднение в том случае, когда делимое меньше делителя (14: 20), но это специальный вопрос, которым мы будем заниматься в следующей части нашей книги. Обратимся к другому случаю. Вы знаете, что деление иногда выполняется без остатка или, как говорят, «нацело», а иногда с остатком. Возникают вопросы: какими должны быть данные числа, чтобы они могли разделиться без остатка одно на другое? Можно ли по каким-нибудь признакам данных чисел установить, что деление в данном случае выполнимо?
§ 64. Кратное и делитель.
Определение. Если одно число делится без остатка на другое, то первое называется кратным второго, а второе - делителем первого.
Значит, число 6 будет кратно 3 (трём), а само число 3 будет делителем 6 (шести). Число 15 кратно 5, а само 5 будет делителем 15.
Число может быть кратно нескольким числам.
Например число 36 кратно числам: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36.
Числа, делящиеся на 2, называются чётными. Число нуль тоже относится к чётным числам. Все же остальные числа называются нечётными. Следовательно:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12... - чётные, 1, 3, 5, 7, 9, 11... - нечётные.
§ 65. Делимость суммы и разности.
1. Рассмотрим следующее важное свойство суммы .
Если каждое слагаемое делится без остатка на какое-нибудь число, то и сумма разделится на это число.
П р им е р:
14 делится на 7, 21 делится на 7, их сумма 14 + 21, т. е. 35, тоже делится на 7.
Ещё пример: 39 делится на 13, 65 делится на 13, их сумма 39 + 65 = 104 тоже делится на 13.
Мы можем взять сумму более чем двух слагаемых, например трёх, и высказанное утверждение окажется справедливым:
25 делится на 5,
35 делится на 5,
50 делится на 5.
Сумма 25 + 35 +50 = 110 тоже разделится на 5.
Этим свойством суммы мы можем воспользоваться, если хотим узнать, делится ли какое-нибудь число на другое. Например, я хочу узнать, не выполняя деления, разделится ли 756 на 7. Можно поступить так: 756 представить как сумму двух слагаемых 700 + 56. Теперь нужно подумать, делится ли каждое из этих слагаемых на 7. Здесь уже легко сообразить, что 700 делится на 7 и 56 делится на 7, значит и сумма, т. е. 756, разделится на 7.
Возникает вопрос: если слагаемые не делятся на какое-нибудь число, то разделится ли на это число сумма или нет?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть различные возможные здесь случаи:
а) Слагаемые 21 и 22 не делятся на 5; их сумма 43 тоже не делится на 5.
б) Слагаемые 22 и 23 не делятся на 5; но их сумма 45 делится на 5.
Значит, если отдельные слагаемые не делятся на данное число, то их сумма в некоторых случаях может разделиться на это число.
Теперь подумаем, будет ли сумма двух слагаемых делиться на некоторое число, если одно из слагаемых не делится на это число, а другое делится.
Пусть одно из слагаемых будет 33, а другое 17, их сумма 50. Первое слагаемое (33) делится на 11, а второе 17 не делится, сумма 50 тоже не делится на 11.
Возьмём сумму трёх слагаемых: 15, 20 и 23, т. е. 58. Каждое из первых двух слагаемых (15 и 20) делится на 5, но третье слагаемое 23 на 5 не делится, сумма 58 тоже не делится на 5.
Из рассмотрения этих примеров можно сделать вывод:
Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на некоторое число, а это одно на него яе делится, то сумма всех этих слагаемых на него не разделится.
Используем этот вывод для решения вопроса о том, разделится ли число 150 на 14. Представим 150 следующим образом:
Первое слагаемое этой суммы (140) делится на 14, но так как второе слагаемое, т. е. 10, на 14 не делится, то и150 на 14 не разделится.
2. Теперь рассмотрим важное свойство разности.
Если уменьшаемое и вычитаемое делятся нацело на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.
45 делится на 9, 18 делится на 9, их разность 45-18, т. е. 27, тоже делится на 9.
Ещё пример:
88 делится на 11, 33 делится на 11, их разность 88-33 = 55 тоже делится на 11.
Этим свойством разности мы можем иногда воспользоваться для выяснения вопросов о делимости одного числа на другое. Пусть требуется ответить на вопрос, делится ли на 7 число 693. Прибавим к нему 7, получим 700. Тогда мы можем написать такое равенство: 700 - 7 = 693. В нём уменьшаемое 700 делится на 7, вычитаемое 7 делится на 7, значит и разность 693 тоже делится на 7.
§ 66. О признаках делимости чисел.
Во многих случаях очень важно бывает определить, не выполняя деления, разделится ли нацело одно число на другое. Пусть требуется, например, ответить на вопрос, будет ли 156 делиться на 4. Такие вопросы в будущем, например при изучении дробей, придётся ставить очень часто. Чтобы ответить на поставленный вопрос, можно, конечно, разделить первое число на второе, но такой приём является невыгодным. Поэтому в арифметике пытаются, не производя деления, узнать, разделится ли одно число на другое нацело или нет. В силу этого мы теперь займёмся изучением таких особенностей или свойств чисел, которые позволяют судить о делимости одного числа на другое. Сейчас мы выведем некоторые из этих «признаков» делимости.
§ 67. Признак делимости на 2.
Какие числа делятся на 2? Чем отличаются числа, делящиеся на 2, от чисел, не делящихся на 2? Возьмём два числа: 35 и 32. Первое из них, т. е. 35, не делится на 2, а 32 делится на 2. В чём же между ними разница? Мы уже знаем из предыдущего, что если каждое из двух чисел делится на третье, то сумма их разделится на это число. Представим данные числа в виде суммы десятков и единиц:
35 составляется из трёх десятков и пяти единиц. Каждый десяток делится на 2, значит и 3 десятка, т. е. 30, разделится на 2, но второе слагаемое, т. е. 5, не делится на 2; именно поэтому и всё число 35 не делится на 2.
Если же мы рассмотрим число 32, то увидим, что оно есть сумма 30 и 2, т. е. таких чисел, из которых каждое делится на 2. Значит, число 32 разделится на 2.
Рассмотрим ещё одно число, причём выберем большее число, чем 32, например 876. Это число мы можем представить так:
Первое слагаемое 870 делится на 2, так как состоит из 87 десятков, второе слагаемое 6 тоже делится на 2, значит и всё число 876 разделится на 2.
Эти примеры показывают, что делимость чисел на 2 зависит исключительно от делимости второго слагаемого (единиц). Ведь число 35 не разделилось на 2 потому, что у него не делилось на 2 второе слагаемое. Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то оно разделится на 2, в противном случае - не разделится.
На основе изложенного признак делимости на 2 мы можем высказать так: на 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются чётной цифрой. (Нуль относится к чётным числам.)
§ 68. Признак делимости на 4.
Прежде всего установим такой факт; на 4 делится число 100 и, следовательно, всякое число, представляющее собой сумму сотен (200, 300, ..., 1 400, 1 500, ..., 2 000, ...). Но всякое число, являющееся суммой сотен, оканчивается двумя нулями. Значит, на 4 делится всякое число, оканчивающееся двумя нулями.
Возьмём теперь число, которое оканчивается не нулями, а какими-нибудь другими цифрами, например 123 456.
Представим его как сумму двух слагаемых следующим образом:
Первое слагаемое этой суммы (123 400) разделится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Если второе слагаемое (56) разделится на 4, то и сумма (123 456) разделится на 4. Второе слагаемое 56 делится на 4. Значит, и число 123 456 разделится на 4.
Возьмём число 1 634 и представим его как сумму двух слагаемых так:
Первое слагаемое этой суммы 1 600 делится на 4, но второе (34) не делится. Значит, сумма, т. е. число 1 634, на 4 не разделится.
Таким образом, на 4 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.
Например делятся на 4: 4 600, 1 264; не делятся на 4: 110, 4 562.
§ 69. Признак делимости на 5.
Прежде всего отметим, что на 5 делится число 10 и, значит, всякое число, состоящее из десятков (20, 30, ..., 140, 150, ..., 2 160, 2 170, ...).
С другой стороны, всякое многозначное число можно рассматривать как сумму десятков и единиц.
Первое слагаемое, как состоящее из одних десятков, всегда разделится на 5. Значит, делимость всякого многозначного числа на 5 будет зависеть исключительно от делимости на 5 второго слагаемого, т. е. единиц числа.
Но среди единиц есть единственное число, делящееся на 5, - это самое число 5. Следовательно, у чисел, делящихся на 5, вторым слагаемым может быть только число 5.
Если же мы возьмём, например, число 2 347, у которого на месте единиц стоит не 5, а 7, то это число не разделится на 5, так как в сумме 2 340 + 7 первое слагаемое делится, а второе слагаемое (7) не делится на 5.
В силу этого признак делимости на 5 можно высказать так: на 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулём или цифрой 5.
Например, на 5 делятся: 1 320; 4 065; на 5 не делятся: 21; 432; 6 543.
§ 70. Признак делимости на 25.
Число 100 делится на 25. Следовательно, и всякое число, составленное из сотен, должно делиться на 25 (200, 300, ..., 1 400, 1 500, ..., 5 600, ...). Но так как число, состоящее из сотен, оканчивается двумя нулями, то на 25 должны делиться все числа, оканчивающиеся двумя нулями.
Теперь возьмём два числа, оканчивающиеся не нулями, а какими-нибудь другими цифрами: 23 456 и 34 875.
Каждое из них можно представить в виде двух слагаемых так:
23 400 + 56 и 34 800 + 75.
В первом случае второе слагаемое (56) не делится на 25, поэтому и всё число (сумма) не делится на 25. Во втором случае второе слагаемое (75) делится на 25,поэтому всё число разделится на 25. Значит, делимость числа на 25 зависит от деления на 25 числа, составленного двумя последними цифрами. Но в пределах сотни есть только три таких числа: 25, 50 и 75.
На этом основании мы можем сказать, что на 25 делятся те и только те числа, которые оканчиваются на 00; 25; 50 и 75.
§ 71. Признаки делимости на 9 и на 3.
Какие числа делятся на 9? Прежде всего на 9 делятся все числа, которые написаны посредством цифры 9, т. е. 9; 99; 999; 9 999 и т. д.
Далее, запомним, что числа изображаемые единицей с нулями, при делении на 9 дают в остатке 1. В самом деле: 10: 9 = 1 и 1 в остатке; 100: 9 = 11 и 1 в остатке; 1 000: 9 = 111 и 1 в остатке; 10 000: 9 = 1 111 и 1 в остатке.
Приняв это во внимание, разделим на 9 число 567. Представим его в виде суммы разрядных единиц:
567 = 500 + 60 + 7.
Число 500 при делении на 9 даёт в остатке пять (5) единиц, потому что каждая сотня при делении на 9 даёт в остатке 1.
Число 60 при делении на 9 даёт в остатке шесть (6) единиц, потому что каждый десяток при делении на 9 даёт в остатке 1.
Число семь (7) не делится на 9 и тоже является остатком.
Таким образом, у нас получились следующие остатки: 5, 6 и 7.
Если сумма этих остатков, т. е. 5 + 6 + 7 = 18, разделится на 9, то и число 567 разделится на 9. В данном случае сумма остатков на 9 делится.
Если же мы возьмём другое число, например 476, у которого сумма остатков, как легко сообразить на основании предыдущего, будет:
то здесь сумма остатков на 9 не делится; значит, и всё число (476) на 9 не разделится.
Но что представляет собой эта сумма остатков? Это есть сумма чисел, соответствующих цифрам данного числа (ради краткости говорят, что это есть сумма цифр числа).
Поэтому признак делимости на 9 можно высказать так: на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
Всякое число, делящееся на 9, будет делиться и на 3 (но не наоборот). Мы могли бы провести подобные рассуждения, применительно к числу 3. Тогда признак делимости на 3 был бы высказан так: на 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, на 3 делятся: 51; 231; 8 112; 12 345.
Свойство делимости. «Делимость суммы и произведения на данное число. Задачи повышенной трудности».
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Технологии: здоровьесбережения, развитие исследовательских умений, развивающего обучения, проблемного обучения, самодиагностики и самокоррекции результатов.
Элементы содержания: Верные рассуждения, справедливое утверждение, признак делимости произведения, признак делимости суммы.
Виды деятельности: математический диктант, работа у доски и в тетрадях, фронтальная работа с классом.
Планируемые результаты (УУД):
Уметь: – доказать и применять при решении, что если хотя бы один из множителей не делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число;
– доказать и применять при решении, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число;
– вступать в речевое общение, участвовать в диалоге;
– правильно оформлять работу, отражать в письменной форме свои решения, выступать с решением проблемы.
Ход урока.
Проверочный диктант.
Записать формулу чисел кратных: а) 17; б) 41.
Записать формулу чисел, которые при делении на 17 дают остаток 3; при делении на 41 – остаток 3.
Указать два разных признака, характеризующих данное множество 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96.
Найти общие кратные чисел 5 и 4.
По какому признаку составлены формулы
а) 15n + 13; б) 4n +3; в)17k + 8?
Комментарий учителя. Тетради собираются на проверку, а решения комментируются.
Выполнение упражнений на делимость суммы и произведения
(Устно). Делится ли сумма на 3:
а) 450 + 160;
б) 150 +225;
в) 28422 + 22050;
Формулируется вывод:
Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.
Если каждое слагаемое, кроме одного делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.
2. Истинно ли утверждение: если сумма делится на 3, то и каждое слагаемое делится на 3?
3. Делится ли на 3 произведение:
а) 6
·23
·75;
б) 6
·23
·14;
в) 37
·121
·19?
Формулируется вывод: Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.
3. Используя свойства делимости и данные о делимости на число к каждого слагаемого, определите, делится ли на к сумма или произведение.
1 число
2 число
3 число
Сумма
Произведение
Решение.
1 число
2 число
3 число
Сумма
Произведение
д
д
д
д
д
н
д
д
н
д
д
н
д
н
д
д
д
н
н
д
н
н
д
Может делиться,
K°может не делиться
д
н
д
н
Может делиться,
может не делиться
д
д
н
н
Может делиться,
может не делиться
д
н
н
н
Может делиться,
может не делиться
н
Практикум
Все упражнения решаются с записью на доске.
Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения: а) 132 + 360 + 536; б) 540 – 332; в) 2512·127.
Решение.
а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма 132 + 360 + 536 делится на 4;
б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 – 332 делится на 4;
в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.
Составьте формулу чисел, при которых выражение:
а) 25 + х делится на 25;
б) 78 + х делится на 78.
3. При каких значениях переменной произведение:
а) 7
· а делится на 7,
б) 17
· b делится на b.
4. В кафе завезли 4 коробки мороженного. Может ли быть так, что мы должны заплатить за это 224 руб.?
Творческие задания
Доказать, что при всех натуральных значениях переменной выражение:
а) 56
· (а+b) делится на 14;
б) 144 а + 12b делится на 12;
в) 100 а – 40а делится на 30.
2. Укажите какие-нибудь пять делителей числа, равного произведению: 32 ·24 ·21.
3. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.
а) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.
б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.
в) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.
г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.
Решение.
а) Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.
б) Ложное. Пример: 6 (10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.
в) Ложное. Пример: 6 (10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.
г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.
5. Подведение итогов
Повторение свойств делимости произведения, суммы и разности чисел. Постановка домашнего задания. Комментирование оценок.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115
kђЗаголовок 115
Приложенные файлы
- Если каждое из натуральных чисел a1, a2, ... , an b , то их сумма a1 + a 2 + ... + an делится на это число.
- Если в сумме одно слагаемое не делится на число b , а все остальные слагаемые делятся на число b , то вся сумма на число b не делится.
- Если числа a1 и a2 делятся на b и a1 ≥ a2 , то их разность a1 – a 2 делится на b .
- Если в произведении a·b множитель a делится на натуральное число m , а множитель b делится на натуральное число n , то a·b делится на m·n .
- Если произведение a·c делится на произведение b·c , причем c – натуральное число, то и a делится на b .
Задача 19. Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения: а) 132 + 360 + 536; б) 540 - 332; в) 2512·127.
Решение . а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма 132 + 360 + 536 делится на 4; б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 - 332 делится на 4; в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.
Задача 20. Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел n и n + 1 делится на 2.
Решение. n·(n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:
1) n делится на 2, т.е. n = 2k . Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: 2 k·(2k + 1) . Это произведение делится на 2, так как первый множитель в нем делится на 2;
2) n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1 . Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: (2 k + 1)·(2k + 2) . Это произведение делится на 2, так как второй множитель делится на 2.
Задача 21. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2 делится на 3.
Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:
1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: 3 k·(3k + 1)·(3k + 2) . Это произведение делится на 3, так как первый множитель в нем делится на 3;
2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1 . Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3 k + 1)·(3k + 2)·(3k + 3) . Это произведение делится на 3, т.к. третий множитель делится на 3;
3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3 k + 2)·(3k + 3)·(3k + 4) . Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель в нем делится на 3.
На основании задач 20 и 21 можно сформулировать утверждение, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.
Задача 22. Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3 делится на 4.
Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) делится на 4 надо рассмотреть четыре возможности:
1) n делится на 4, т.е. n = 4k . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: 4k·(4k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3) . Это произведение делится на 4, так как первый множитель в нем делится на 4;
2) n при делении на 4 дает в остатке 1, т.е. n = 4k + 1 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3)·(4k + 4) . Это произведение делится на 4, так как последний множитель делится на 4;
3) n при делении на 4 дает в остатке 2, т.е. n = 4k + 2 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 2)·(4k + 3)·(4 k+ 4)·(4k + 5) . Это произведение делится на 4, так как третий множитель делится на 4;
4) n при делении на 4 дает в остатке 3, т.е. n= 4k + 3 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 3)·(4k + 4)·(4k + 5)·(4k + 6) . Это произведение делится на 4, так как второй множитель делится на 4.
Поскольку произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) содержит произведение двух, трех последовательных натуральных чисел, то оно делится на 2 и на 3.
Задача 23. Доказать, что при любом натуральном значении n .
Решение . Преобразуем данное выражение: (2 n - 1)3 - (2n - 1)= = (2n - 1)·(4n2 - 4n + 1 - 1) = 4n·(n - 1)·(2n - 1) . Это произведение делится на 4. Кроме того, произведение двух последовательных натуральных чисел n·(n - 1) делится на 2. Таким образом, произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) делится на 8. Осталось показать, что это произведение делится на 3. Для этого рассмотрим три возможности:
1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) будет иметь вид: 4 ·3 k·(3k - 1)·(6k - 1)
2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1 . Тогда произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) будет иметь вид: 4 ·(3 k + 1)·3k·(6k + 1) . Это произведение делится на 3;
3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2 . Тогда произведение 4 n·(n - 1) ·(2 n - 1) будет иметь вид: 4 ·(3 k + 2)·(3k + 2 -1) · (6 k + 4 - 1)= 4 ·(3 k + 2) ·(3 k +1) ·(6 k+3). Это произведение делится на 3, т.к. последний множитель в нем делится на 3.
Так как 8 и 3 - взаимно , то , т.е. на 24, что и требовалось доказать.
Задача 24. Доказать, что разность любого трехзначного числа и трехзначного, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке делится на 9.
Решение.
Представим любое трехзначное число в виде . Нам надо доказать, что 
. Преобразуем выражение
Упражнения для самостоятельной работы
1. Доказать, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.
2. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 + 5n делится на 6.
3. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 - n делится на 24.
4. Доказать, что разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.
5. Доказать, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.
Делимость - способность одного числа делиться на другое.
Пусть a и b – натуральные числа и a больше или равно b. Говорят, что a нацело делится на b, если существует натуральное число c, при умножении которого на b получается a
I. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ.
1) ДЕЛИМОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
ЗАДАЧА. Делится ли произведение 369 * 555 на 37?
Число 555 делится на 37, т.к. 37 * 15 = 555, ТОГДА 369 * 555 = 369 (15 * 37) = (369 * 15) 37, т.е. число 369 * 555 делится на 37.
СВОЙСТВО I (признак делимости произведения).
Если одно из двух (или более чисел) делится на некоторое число, то и произведение этих чисел делится на это число.
СВОЙСТВО II. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то и первое число делится на третье.
УПРАЖНЕНИЕ.
Не выполняя вычислений, укажите произведения, значения которых делятся на 5:
28 *25; 73 * 50; 34 * 12; 33 * 25; 36 * 7; 94 * 18; 13 * 45 * 8; 5 * 7 * 11.
Свойство II позволяет сделать два вывода:
1) Если число a делится на число b, то число a делится на каждый делитель числа b.
2) Если число a не делится хотя бы на один делитель числа b, то число a не делится на число b.
ПРИМЕРЫ.
1) Если число 612 делится на 12, то оно делится на любой из делителей этого числа: 1; 2; 3; 4; 6; 12.
2) Если число 725 не делится на 3, то оно не будет делиться ни на одно число, кратное 3: 6; 9; 12; 15; 18; 21 и т.д.
3) Нечетное число не имеет четных делителей.
На вопрос, как разделить произведение на число, отвечает следующее правило.
ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ЧИСЛО. Чтобы разделить произведение двух или нескольких чисел на заданное число, нужно на это число разделить только один множитель, а остальные оставить без изменения и затем выполнить умножение.
НАПРИМЕР:
1) (125*450):25 = (125:25)*450 = 5*450 = 2250;
2) (24*5*17):12 = (24:12)*5*17 = 2*5*17 = 170.
УПРАЖНЕНИЕ.
Раздели на 9 произведения:
28*9*35; 18*752*8000; 76*512*360; 155*810*34; 4500*7*398; 83*63000*98.
2) ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ И РАЗНОСТИ.
ЗАДАЧА. Разделить число 7248 на 12.
Число 7200 делится на 12, потому что 7200 = 12*600; 48 тоже делится на 12, потому что 48 = 12*4. Из этого следует, что 7248 делится на 12, потому что на основании распределительного закона умножения можно записать:
7248 = 7200 + 48 = 12*600 + 12*4 = 12*(600 + 4) = 12*604.
Значит, 7248: 12 = 7200: 12 + 48: 12 = 600 + 4 = 604.
ЗАДАЧА. Разделить на 7 число 1323.
Рассуждая аналогично предыдущим рассуждениям, получаем:
1323 = 1400 – 77 = 7*200 – 7*11 = 7*(200 -11) = 7* 189.
Значит, 1323: 7 = 1400:7 – 77:7 = 200 – 11 = 189.
2) ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ НА ЧИСЛО (РАЗНОСТИ НА ЧИСЛО).
Приведенные решения позволяют сделать несколько выводов.
СВОЙСТВО I (признак делимости суммы). Если каждое слагаемое суммы делится на заданное число, то и вся сумма делится на это число.
СВОЙСТВО II (признак делимости разности). Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на заданное число, то и разность делится на это число.
ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ СУММЫ НА ЧИСЛО. Чтобы сумму двух или нескольких слагаемых разделить на заданное число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ РАЗНОСТИ НА ЧИСЛО. Чтобы разность разделить на заданное число, нужно на это число разделить и уменьшаемое, и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
ЗАМЕЧАНИЕ.Если более одного слагаемого суммы не делятся на заданное число, то сумма может делиться и не делиться на это число.
УПРАЖНЕНИЕ.
Укажите выражения, которые кратны 7:
28+35; 44+12; 25+35*2; 14+23; 7*15+42; 12*63+8*19.
Для закрепления материала решить следующие задания.
1) Объясните, почему следующие произведения делятся на 12:
12*48; 12*120; 120*51; 24*17; 11*36; 13*48.
2) Не вычисляя произведения, установите, делится ли оно на заданное число:
а) 508*12 на 3;
б) 85*3719 на 5;
в) 2510*74 на 37;
г) 45*26*36 на 15;
д) 210*29 на 3 и на 29;
е)3800*44*18 на 11, 100 и 9?
3)Подберите три значения x так, чтобы произведение: а) 3x делилось на 5;
б) 12x делилось на 7; в) 9x делилось на 6;
г) 8x делилось на 14.
4)Представляя число в виде суммы, докажите, что:
а) 123123 делится на 123;
б)111333 делится на 111.
2.Задания для самостоятельного решения.
Задание 1.
Используя свойства делимости и данные о делимости на число к
каждого слагаемого, определите, делится ли на к
сумма или произведение.
| 1 число | 2 число | 3 число | Сумма | Произведение |
| д | д | д | ||
| н | д | д | ||
| д | н | д | ||
| д | д | н | ||
| н | н | д | ||
| н | д | н | ||
| д | н | н | ||
| н | н | н |
Решение.
| 1 число | 2 число | 3 число | Сумма | Произведение |
| д | д | д | д | д |
| н | д | д | н | д |
| д | н | д | н | д |
| д | д | н | н | д |
| н | н | д | Может делиться, может не делиться | д |
| н | д | н | Может делиться, может не делиться | д |
| д | н | н | Может делиться, может не делиться | д |
| н | н | н | Может делиться, может не делиться | н |
Задание 2.
Придумайте по два примера на каждое свойство делимости.
Задание 3.
Укажите, какие из следующих утверждений ложные.
А) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.
Б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.
В) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.
Г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.
Решение.
А) Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.
Б) Ложное. Пример: 6 10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.
В) Ложное. Пример: 6 10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.
Г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.
Простые и составные числа (7ч.)
6 = 2 3, 9 = 3 3, 30 = 2 15 = 3 10,
в то время как другие, например,
не могут быть разложены на множители подобным образом. Давайте вспомним, что вообще, когда число
c = a b (1.1)
является произведением двух чисел a и b , то мы называем а и b множителями или делителями числа с . Каждое число имеет тривиальное разложение на множители
с = 1 с = с 1. (1.2)
Соответственно мы называем числа 1 и с тривиальными делителями числа с .
Любое число с > 1, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным . Если число с имеет только тривиальное разложение на множители (1.2), то оно называется простым . Среди первых 100 чисел простыми являются следующие 25 чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Все остальные числа, кроме 1, являются составными. Мы можем сформулировать следующее утверждение:
Теорема 1.1. Любое целое число с> 1 является, либо простым, либо имеет простой множитель.
Доказательство. Если с не является простым, числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель р . Тогда р – простое число, так как если бы р – было составным, то число с имело бы ещё меньший множитель.
Теперь мы подошли к нашей первой важной задаче в теории чисел: как определить, является ли произвольное число простым или нет, и в случае, если оно составное, то как найти какойлибо его нетривиальный делитель?
Первое, что может прийти в голову, – это попытаться разделить данное число с на все числа, меньшие его. Но надо признать, что этот способ мало удовлетворителен. Согласно теореме 2.1.1 достаточно делить на все простые числа, меньшие √с . Но мы можем значительно упростить задачу, заметив, что при разложении на множители (1.1) оба множителя а и b не могут быть больше, чем c , так как в противном случае мы получили бы
ab > √с √с ,
что невозможно. Таким образом, чтобы узнать, имеет ли число с делитель, достаточно проверить, делится ли число с на простые числа, не превосходящие – √с.
Пример 1. Если с = 91, то √с = 9….; проверив простые числа 2, 3, 5, 7, находим, что 91 =7 13.
Пример 2. Если с =1973, то находим, что √с = 44…. Так как ни одно из простых чисел до 43 не делит с , то это число является простым.
Очевидно, что для больших чисел этот метод может быть очень трудоемким. Однако здесь, как и при многих других вычислениях в теории чисел, можно использовать современные методы. Довольно просто запрограммировать на ЭВМ деление данного числа с на все целые числа до √с и печатание тех из них, которые не имеют остатка, т. е. тех, которые делят с .
Другим очень простым методом является применение таблиц простых чисел, т. е. использование простых чисел уже найденных другими. За последние 200 лет было составлено и издано много таблиц простых чисел. Наиболее обширной из них является таблица Д. X. Лемера, содержащая все простые числа до 10 000 000.
Система задач 3.1.
1. Какие из следующих чисел являются простыми: а) год вашего рождения; б) текущий год; в) номер вашего дома.
2. Найдите простое число, следующее за простым числом 1973.
3. Заметим, что числа от 90 до 96 включительно являются семью последовательными составными числами; найдите девять последовательных составных чисел.
4. Биографическая миниатюра. Д. X. Лемер.
