Гармоническая функция равная нулю в окрестности. Гармонические функции

Часть 1. Полная функция управления в толпо-“элитаризме” и в реальном народовластии 1.1. Полная функция управления и первобытная практика её реализации в жизни общества В достаточно общей теории управления (ДОТУ) есть понятие «полная функция управления». Полная функция

Связь с аналитическими функциями. Аналитические функции тесно связаны с гармоническими функциями от двух переменных, т. е. с решениями двумерного уравнения Лапласа

В самом деле, дифференцируя первое из условий аналитичности

Мы найдем, что функция и- действительная часть аналитической функции - является гармонической функцией. Точно так же доказывается, что и мнимая часть аналитической функции является функцией гармонической.

будет аналитической в D. В самом деле, в силу уравнения (1)

в односвязной области вляется точным дифференциалом некоторой функции v, которая и является искомой. Таким образом, сопряженные гармонические функции находятся простым интегрированием.

Из свойств аналитических функций можно выводить соответствующие свойства функций гармонических (при желании можно поступать и наоборот). Так, мы можем утверждать, что каждая гармоническая функция бесконечно дифференцируема. Из формулы (19) предыдущего параграфа отделением действительных частей мы получаем теорему о среднем для гармонических функций:

принадлежит области гармоничности и.

Эта теорема является одним из основополагающих фактов теории гармонических функций. Из нее, в частности, получается важный принцип экстремума: непостоянная гармоническая в области D функция не может достигать внутри D ни максимума, ни минимума.

должна достигать и мак-

всюду в D.

Возникает естественная задача восстановления гармонической в области функции по ее граничным значениям. Эта задача является основной в теории гармонических функций и ее приложениях и называется задачей Дирихле. Вот как она формулируется:

Приведенное выше рассуждение показывает, что задача Дирихле не может иметь двух различных решений, т. е. доказывает единственность решения этой задачи. Более тонким и сложно доказываемым фактом является существование решения задачи Дирихле. Впрочем, для ряда простейших областей существование решения можно доказать прямой конструкцией.

применить интегральную формулу Коши:

и, следовательно,воспользуемся теоремой

Теперь мы вычтем это равенство из предыдущего, предварительно подсчитав, что

1 мы имеем

мы получим

теперь стоит действительный множитель. Отделяя в последней формуле действительные части, мы получим так называемый интеграл Пуассона

определяет гармоническую в круге функцию u(z) с заданными граничными значениями.

Преобразованием формулы Коши (4), похожим на описанное, можно получить также интеграл Шварца, который восстанавливает аналитическую в единичном круге функцию f(z) по граничным значениям ее действительной части:

эта задача, очевидно, решается с точностью до мнимой постоянной.

обозначают, соответственно, значения действительной части f на нижней и верхней границах полосы.

гармонична в А. Теорема доказывается прямым подсчетом, по которому оператор Лапласа

В частности, гармоничность сохраняется при конформных отображениях, которые представляют собой взаимно однозначные аналитические преобразования.

Связь теории гармонических функций с теорией конформных отображений проявляется также в связи соответствующих граничных задач. Основной граничной задачей теории конформных отображений служит следующая задача Римана:

Реализующую конформное отображение одной из этих областей на другую.

Остается вернуться к переменной г и воспользоваться сохранением гармоничности при конформных отображениях; мы получим искомое решение:

Которую искомое

отображение f переводит в центр круга w = 0 (рис. 19).

В ней функция f должна иметь нуль, и притом первого порядка, ибо в окрестности нулей высшего порядка аналитическая функция не взаимно однозначна (она имеет там характер степени). Поэтому в окрестности z0 функция f должна иметь тейлоровское разложение вида

Но тогда логарифм этой

функции аналитичен в D, а значит, его действительная часть, т. е. функция

должна быть гармонической в D.

Теперь уже нетрудно понять замысел проведенных построений: ведь если f отображает D на единичный круг, то должен равняться 1 на границе D, а значит, еще не зная самого конформного отображения, мы знаем граничные значения функции (9), они равны

и определяются геометрической формой границы области и выбранной точкой z0 (рис. 19). Чтобы найти искомое конформное отображение, нужно, следовательно, выполнить следующие операции: 1) по известным граничным значениям (1СН построить гармоническую в D

функцию и(z) (задача Дирихле), 2) найти функцию v(z), гармонически сопряженную с и (интегрирование). Теперь мы знаем функцию

откуда искомое отображение находится по формуле

Хочется обратить внимание на некоторые тонкости, связанные с построенным решением. Из конструкции видно, что функция f аналитична в D и что на границе D ее модуль равен 1. Однако остается еще доказать, что эта функция взаимно однозначно отображает D на единичный круг. Это можно сделать прямой (но отнюдь не простой) проверкой. Если же у нас есть уверенность, что наша задача разрешима (т. е. мы умеем доказывать теорему существования конформного отображения D на круг), то такая проверка излишня - проведенные выше рассуждения показывают, что если искомое отображение есть, то оно непременно восстанавливается по формуле (11).

будет искомым конформным отображением.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ И БИГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

КУРСОВАЯ РАБОТА

Введение…………………………………………………………………………3

Глава 1.Гармонические функции.

1.1. Свойства гармонических функций.

Глава 2. Бигармоническая функция.

Единственность решения.

Представление бигармонических функций через гармонические функции.

Решение бигармонического уравнения для круга.

Введение

Теория гармонических функций представляет собой один из наиболее изящных и стройных разделов классического анализа. Будучи во многих отношениях естественным обобщением линейных функций одной переменной, гармонические функции являются в определенном смысле простейшими функциями нескольких переменных. Вместе с тем запас таких функций весьма богат и разнообразен. Они занимают важное место не только во многих математических исследованиях, но также и в приложениях анализа к физике и механике, где ими часто описываются различные стационарные процессы.

Однако этим не исчерпывается значение гармонических функций в анализе. Ряд свойств гармонических и бигармонических функций, методы исследования и аппарат теории, рассмотренные в данной работе, служат образцом для постановки задач и получения тех или иных результатов, относящихся к другим разделам анализа, и прежде всего к общей теории дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического вида.

В традиционном университетском курсе математического анализа по различным причинам не находится места для систематического изложения основных факторов теории гармонических и бигармонических функций. Содержащиеся там сведения о гармонических и бигармонических функциях, как правило, являются весьма скудными, носят эпизодический характер и разбросаны в различных местах, где они приводятся обычно на втором плане. Поэтому, при написании работы был взят материал из книг, посвященных дифференциальным уравнениям математической физики, векторному анализу, теории аналитических функций и другие.

Место, которое занимает теория гармонических функций в анализе, ее непрекращающееся развитие в различных направлениях и расширение области применений оправдывают стремление к ознакомлению с этой теорией в её классическом варианте, где уже достаточно четко намечены некоторые возможные точки зрения и сформулированы типичные методы, во многом определяющие направление ряда современных исследований. Именно с этой целью и написана данная работа.

Глава 1. Гармонические функции.

Гармонической в области D функцией называется действительная функция двух действительных переменных, обладающая в этой области непрерывными вторыми частными производными и удовлетворяющая дифференциальному уравнению

(–символ дифференциального оператора). Это уравнение обычно называют уравнением Лапласа. Однако Лаплас рассмотрел его в 1782г., а задолго до него это уравнение использовал Л. Эйлер в своих работах по гидродинамике и другим разделам математической физики. Заметим сразу, что в силу линейности уравнения Лапласа любая линейная комбинация

гармонических функций с действительными постоянными коэффициентами снова является гармонической функцией.

Свойства гармонических функций.

Выясним прежде всего связь между понятиями аналитических и гармонических функций. Эта связь выражается в следующих двух простых теоремах:

Теорема 1 . Действительная и мнимая части произвольной функции,однозначной и аналитической в области D, являются в этой области гармоническими функциями.

Доказательство непосредственно вытекает из условий Коши-Римана

В самом деле, так как аналитические функции обладают производными всех порядков, то уравнения можно дифференцировать по и. Дифференцируя первое из них по, а второе по и пользуясь теоремой о равенстве смешанных производных находим:

Для функции доказательство аналогично.

Две гармонические в области D функции и, связанные условиями Коши – Римана, называются сопряженными.

Теорема 2 . Для всякой функции, гармонической в односвязной области D, можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию.

В самом деле, рассмотрим интеграл

где - фиксированная, а - переменная точка области D. В силу уравнения Лапласа, этот интеграл не зависит от пути интегрирования и является функцией только точки; мы и обозначаем эту функцию. Имеем, пользуясь свойствами криволинейных интегралов,

(мы можем брать интеграл от до по горизонтальному отрезку, на котором; аналогично, . Следовательно, и является искомой функцией, сопряженной с функцией. Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций, сопряженных с, дает формула

где С – произвольная (действительная) постоянная.

Заметим, что в многосвязной области D интеграл определяет, вообще говоря, многозначную функцию. Он может принимать различные значения вдоль двух путей L и, соединяющих точки и, если эти пути нельзя деформировать друг в друга, оставаясь в области D (т.е. если внутри области, ограниченной L и имеются точки не принадлежащие к D). Можно утверждать, что в многосвязной области общая формула для значений функции определяемой интегралом имеет вид:

где произвольные целые числа и интегралы вдоль замкнутых контуров, каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы D:

Постоянные называются периодами интеграла

или циклическими постоянными.

Если в некоторой области D’, лежащей в D, можно выделить однозначную и непрерывную ветвь функции, определяемой формулой

То эта ветвь, очевидно, является гармонической функцией, сопряженной с поэтому функцию считают многозначной гармонической функцией. Заметим, что частные производные этой функции однозначны: ; это вытекает из формулы.

Теорему2 можно, очевидно, сформулировать так:

Теорема 2’ . Любую гармоническую в области D функцию можно рассматривать как действительную или мнимую часть некоторой аналитической функции; эта последняя определяется с точностью до постоянного слагаемого, соответственно мнимого или действительного.

Теорема 3. Любая гармоническая функция является аналитической функцией своих аргументов и, т.е. в окрестности каждой точки области D она представляется в виде суммы абсолютно сходящегося ряда

В самом деле, по теореме 2’ можно рассматривать как действительную часть функции, однозначной и аналитической в некоторой окрестности точки. Пусть в этой окрестности

где. Действительная часть общего члена ряда, по абсолютной величине не превосходит, а так как по теореме Абеля ряд абсолютно сходится в любом круге, т.е. ряд сходится при, то и ряд с общим членом будет абсолютно сходиться при. Этот ряд и представляет собой ряд для. После перегруппировки его членов (что законно в силу доказанной абсолютной сходимости), мы получаем требуемый ряд

Теорема доказана.

Теорема 4(о среднем). Если функция непрерывна в замкнутом круге радиуса с центром в точке и гармонична внутри этого круга, то

Доказательство вытекает непосредственно из формулы

отделением действительных частей.

Теорема 5 . Отличная от постоянной гармоническая функция не может достигать экстремума во внутренней точке области определения.

Теорему достаточно доказать для случая максимума, ибо точка минимума гармонической функции является точкой максимума функции - ,также гармонической. Предполагая противное, предположим, что гармоническая функция достигает максимума во внутренней точке области.

В окрестности точки построим однозначную аналитическую функцию такую, что. Функция аналитична и непостоянна, а ее модуль, по нашему предположению, достигает максимума во внутренней точке области. это противоречит принципу максимума. Теорема доказана.

Теорема 6 . Если гармоническая во всей открытой плоскости функция ограничена хотя бы сверху или снизу, то она постоянна.

В самом деле, пусть ограничена сверху: Построим аналитическую во всей открытой плоскости функцию такую, что. По условию теоремы все значения функции лежат в полуплоскости, следовательно, постоянна, а значит, постоянна и.

Следующие две теоремы устанавливают характер линий уровня гармонических функций т.е. совокупностей точек, для которых.

Теорема 7. Если отличная от постоянной гармоническая функция имеет замкнутую линию уровня то внутри линии находится хотя бы одна особая точка этой функции.

В самом деле, в противном случае функция, непрерывная в замкнутой области, ограниченной линией уровня, должна достигать своего наибольшего значения и наименьшего значения. По теореме 5 точки и должны лежать на границе области, т.е. на линии уровня; следовательно, и функция постоянна.

Теорема 8 . Любая достаточно малая окрестность точки линии уровня разбивается этой линией на четное число секторов, в которых попеременно принимает значения, большие и меньшие.

Функция равна нулю в точке; подобрав к ней сопряженную функцию так, чтобы, получим аналитическую функцию, также равную нулю в точке. Обозначим через n порядок этого нуля, тогда в окрестности точки имеем и, следовательно, где положено и В- некоторые постоянные и означает малую порядка выше при. Отсюда видно, что для достаточно малых при изменении от 0 до 2 разность обращается в нуль 2 n раз, меняя при этом знак. Теорема доказана.

Теорема 9 . Если функция непрерывна в области D и в любой точке для достаточно малых

то функция гармонична в D.

Наше доказательство основано на теореме существования гармонической функции, принимающей на границе односвязной области заданные значения. Пусть - произвольная точка D и - замкнутая односвязная область, принадлежащая D и содержащая точку внутри. Построим гармоническую функцию, принимающую на границе области те же значения, что и функция и обозначим.

По построению и условиям доказываемой теоремы функция непрерывна в и равна нулю на границе этой области. Кроме того, значение в центре любого круга, принадлежащего, равно среднему арифметическому ее значений на окружности этого круга, ибо этим свойством обладают обе функции и: первая по условию, а вторая по теореме о среднем.

Отсюда вытекает, что функция не может достигать экстремума во внутренних точках.но так как непрерывная в замкнутой области функция должна достигать своих экстремальных значений, то она достигает их на границе. А так как на границе всюду максимальное и минимальное значения равны нулю, а следовательно, всюду в. Это означает, что всюду в функция совпадает с гармонической функцией и, в частности, гармонична в точке. Так как произвольная точка D , то теорема доказана.

Теорема 10. Пусть задана последовательность функций, гармонических в области D и непрерывных в. Если ряд равномерно сходится на границе D, то он равномерно сходится и внутри D, причем его сумма является гармонической в D функцией.

Из принципа экстремума вытекает равномерная сходимость ряда внутри D. В самом деле, по известному признаку признаку сходимости Коши из равномерной сходимости ряда на границе области D следует, что для любого найдется целое число N такое, что для любого и любого целого положительного р и всех точек границы

Так как сумма, стоящая под знаком модуля, гармонична, то по принципу экстремума и для всех точек области

Но по тому же принципу Коши отсюда вытекает равномерная сходимость ряда. Остается показать, что сумма этого ряда - гармоническая функция. Для этого воспользуемся теоремами 9 и 4. Для любого достаточно малого имеем:

(почленное интегрирование ряда законно в силу его равномерной сходимости). По теореме 4 интегралы справа равны, следовательно,

и по теореме 9 функция гармонична в точке. Теорема доказана, так как произвольная точка области D.

Теорема 11. Если функция гармонична в области D и аналитическая в некоторой области функция, значения которой лежат в D, то сложная функция гармонична в.

В самом деле, построим (может быть, многозначную) аналитическую функцию, для которой. Функция, очевидно, аналитическая в области и, следовательно, гармонична в этой области.

Теорема 12. Если функция гармонична в односвязной области D и непрерывна вместе со своими частными производными в, то

где C – граница области D и обозначает производную в направлении нормали к C, a – дифференциал дуги.

Построим в сопряженную к гармоническую функцию; она однозначна в силу односвязности D. Условия Коши – Римана можно записать в виде

где обозначает производную в направлении касательной к некоторой кривой, а - производную в направлении нормали к ней (так, что вращение от вектора к происходит против часовой стрелки). В силу непрерывности частных производных, а следовательно, и их комбинаций и, равенство имеет место и на границе C области D. поэтому вдоль замкнутого контура С

в силу однозначности функции.

Глава 2. Бигармоническая функция.

Уравнение называется бигармоническим, а его решения, имеющие производные до 4-го порядка включительно, называются бигармоническими функциями.

Основная краевая задача для бигармонического уравнения ставится следующим образом:

Найти функцию, непрерывную вместе с первой производной в замкнутой области S+C, имеющую производные до 4-го порядка в S, удовлетворяющую уравнению внутри S и граничным условиям на С

где и - непрерывные функции дуги s.

При решение задачи (с граничными условиями и на границе, кроме того, функция должна удовлетворять начальным условиям) с начальными условиями методом разделения переменных полагают, как обычно,

Подставляя это выражение в уравнение и разделяя переменные, мы приходим к задаче об отыскании собственных значений уравнения

При граничных условиях

1.1Единственность решения.

Докажем, что бигармоническое уравнение

при граничных условиях

имеет единственное решение.

Пусть существует два решения и. Рассмотрим их разность

Функция удовлетворяет бигармоническому уравнению и однородным граничным условиям

Применяя формулу Грина

к функциям, получаем:

Принимая во внимание, что, получаем и. Следовательно, бигармоническая функция однозначно определяется граничными условиями

Представление бигармонических функций через гармонические функции.

Докажем следующую теорему:

Если и - две гармонические в некоторой области G функции, то функция бигармонична в области G.

Для доказательства воспользуемся тождеством

Полагая, найдем

Применяя еще раз оператор, учитывая, что, получим:

Если область G такова, что каждая прямая параллельная оси, пересекает её границу не более чем в двух точках, то имеет место обратная теорема:

для каждой заданной в области G бигармонической функции найдутся такие гармонические функции и, что

Для доказательства этого утверждения, очевидно, достаточно установить возможность выбора функции, удовлетворяющей двум условиям:

Из условия и формулы следует:

Этому уравнению удовлетворяет функция

Так как =, то зависит только от:.

Определим функцию так, чтобы, и положим. Эта функция очевидно будет удовлетворять условиям.

Рассмотрим другой вид представления гармонических функций. Допустим, что начало координат выбрано внутри области G, в одной точке. Тогда любая бигармоническая в G функция может быть представлена с помощью двух гармонических функций и в виде. Здесь

А - заданная постоянная. Это доказывается Аналогично с помощью тождества

и соотношений.

Решение бигармонического уравнения для круга.

Рассмотрим круг радиуса с центром в начале координат и будем искать бигармоническую функцию, удовлетворяющую при граничным условиям

Как было указано выше искомую функцию можно представить в виде суммы,

где и - гармонические функции. Из граничных условий находим:

Отсюда видно, что есть решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа и может быть представлено с помощью интеграла Пуассона

Из второго граничного условия получаем:

Нетрудно убедиться непосредственным дифференцированием, что функция

Удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому может быть выражена интегралом Пуассона

Продифференцировав по и подставляя значение в формулу, найдем

Заменяя в формуле и их выражениями, получим:

Заключение.

Список используемой литературы

Владимиров B.C., Уравнения математической физики, М., 1967;

Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953;

Лаврентьев М. А., Ша6ат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.

Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики Новосибирск. 1962;

Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968;

Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;

Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л. 1950;

Соломенцев Е. Д., Гармонические и субгармонические функции и их обобщения;

Тиман А. Ф., Трофимов В. Н., Введение в теорию гармонических функций, М., 1968;

Закону. В устройствах-потребителях... гармоническое развитие личностиРеферат >> Музыка

Естественными и общественными условиями. Важнейшей задачей гармонического развития личности и массового эстетического воспитания... отношение к жизни и искусству характеризуют целостную, гармонически развитую личность, нравственное совершенствование которой...

Функция а(t) называется гармонической, если она изменяется по синусои-дальному или косинусоидальному закону:

а(t) = А m Cos(ωt + φ) = А m sin(ωt + ψ).

Здесь аргумент υ(t) = ωt + ψ называется фазой. Величина ψ = φ + π/2, равная значению фазы при t = 0 , называется начальной фазой. Наибольшее значение функции – амплитуда А m , наименьшее значение – (–А m).

Фаза гармонической функции линейно увеличивается во времени. Скорость ω её изменения называется угловой частотой и измеряется в
рад/с. Гармоническая функция – простейший вид периодической функции. Величина f, обратная периоду функции Т, называется линейной частотой и измеряется в герцах, обозначается Гц.

Установившимся режимом схемы называется такой, при котором закон изменения напряжения и тока не изменяется в течение всего исследуемого ин-

тервала времени. В противном случае режим является переходным.

Рассмотрим установившиеся процессы.

Построим график гармонической функции:

1. Выберем масштаб. По оси абсцисс – фазу ωt, чтобы определить период функции 2π. По оси ординат – амперы (если это функция тока) или вольты (если это функция напряжения). Отложим амплитуду функции А m (рис. 2.2):

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на величину начальной фазы ψ. Если ψ > 0, то сдвигаем её влево, то есть функция а(ωt) опережает начало отсчета по оси абсцисс на величину ψ. Если ψ < 0, то сдвигаем вправо, то есть

функция а(ωt) отстает от начала отсчета на величину ψ.

Например, при , получим (рис. 2.4):

Пример 9 . Построить график функции тока i(t) = 2 Sin(ωt + ) А.

1. Выбираем масштаб по осям ординат (рис. 2.5).

2. Строим функцию i´(t) = 2 Sin(ωt +0) А (рис. 2.6).

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на влево, так как

Ψ = > 0 (рис. 2.7):

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на вправо, так как

Ψ = – < 0 (рис. 2.10).

Среднее и действующее значения гармонических токов и

Напряжений

Среднее значение периодической функции i(t) , u(t), за период Т определяется выражением:

Среднее значение не зависит от момента времени t 0 .

Среднее значение за период гармонической функции (а таковыми являются ток и напряжение (э.д.с.)) равно нулю.

Действующим значением периодической функции i(t) , u(t), называется среднее квадратическое значение этой функции за период Т:

.

По физическому смыслу действующее значение периодического тока за период – это такой постоянный ток, который, проходя черех неизменное сопротивление, выделяет то же количество тепла, что и данный ток.

Действующее значение I, U, E гармонической функции i(t) , u(t), в

Раз меньше амплитуды

) - 1 , ) - 1 , ) - 1 .

Следовательно,

Пример 11 . Ток i(t) = 5Sin(ωt + ). Определить среднее, действующее и
амплитудное его значения.

Среднее значение I СР = 0, так как i(t) – гармоническая функция. Амплитудное значение I m = 5 А, а действующее ) - 1 = 0,707·5 = =3,535 А.

Операции с комплексными числами

В математике и электротехнике находит достаточно широкое применение мнимая единица , лежащая в основе комплексных чисел.

В общем случае комплексные величины, за исключением тока и напряжения, обозначаются как символ и жирная черта под ним: А . Комплексные числа имеют пять форм представления.

Алгебраическая

А = а + jb; а = Rе [A ]; b = Im[А ] .

здесь а и b – соответственно действительная и мнимая составляющие числа А .

Показательная

А = А·е j ψ ,

где А = − модуль числа А , − аргумент числа А .

Полярная

Тригонометрическая

А = АCosψ + jАSinψ,

где АCosψ = а; АSinψ = b.

Геометрическая – число в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 2.11).

Два комплексных числа называют сопряженными, если их вещественные составляющие совпадают, а мнимые различаются только знаками, Сопряженное числу А комплексное число обозначается. Если А = а + jb, то = а – jb.

Сложение и вычитание комплексных чисел можно делать в алгебраической и геометрической формах, однако в расчетах – только в алгебраической:

А 1 + А 2 = (а 1 + jb 1) ± (а 2 + jb 2) = (а 1 ± а 2) + j(b 1 ± b 2)

Умножение и деление лучше делать в показательной форме

А 1 ·А 2 = А 1 · А 2 · = А 1 ·А 2 · ,

=

Пример 12. Дано А 1 = 2 + j3; А 2 = 5 – j10. Определить сумму и разность
чисел А 1 и А 2 .

А 1 + А 2 = 2 + j3 + (5 – j10) = 7 – j7;

А 1 – А 2 = 2 + j3 – (5 – j10) = – 3 + j13.

Пример 13. Дано А 1 = 10·е j 30° ; А 2 = 20 е –j6 0° . Определить произведение
и частное чисел А 1 и А 2 .

Ā 3 = А 1 ·А 2 = 10·е j 30° · 20 е –j6 0° = 200·е –j3 0° .

Ā 4 = А 1 · = 10·е j 30º · (20 е –j6 0°) –1 = 0,5·е j 90º = 0,5j.

Очень часто в расчетах возникает необходимость перехода от показательной формы комплексного числа к алгебраической или наоборот. Предлагаются алгоритмы перехода.

Алгоритм перехода от показательной А·е jψ формы к алгебраической а + jb.

1. Определяем Cosψ.

2. Определяем А·Cosψ = а (сброс).

3. Определяем Sin ψ.

4. Определяем А·Sin ψ = b.

Алгоритм перехода от алгебраической а + jb формы к показательной А·е jψ .

1. Определяем – рассчитанный аргумент ψ.

2. Истинный аргумент ψ определяется по ψ РАСЧ в зависимости от квадранта в соответствии со схемой (рис. 2.12):

3. Определяем Sin ψ РАСЧ .

4. Определяем .

Пример 14 . Перевести А = 10· в алгебраическую форму.

А = 10· ; .

10·0,865 + j10·0,5 =8,65 + j5.

Перевести А =3 + j6 в показательную форму.

; ψ РАСЧ = arctg 2 = 63°; А = 6,7;

А = 6,7е j63° .

2.4. Представление гармонической функции на комплексной
плоскости

Установившиеся значения токов и напряжений линейных схем при воздействии гармонических сигналов в принципе могут быть найдены путем составления и решения соответствующих этим процессам дифференциальных уравнений. Однако это достаточно сложный путь.

В конце ХIХ века американскими инженерами А. Кеннели и И. Штейнметцем был предложен более простой путь, основанный на представлении гармонических функций времени в виде комплексных чисел, то есть на переводе исходных функций из временной области в частотную.

Введем понятие комплексных амплитудных значений гармонических функций тока (напряжения , э.д.с. ). Представим для этого каждую из этих функций в виде вектора на комплексной плоскости, длина которого равна амплитуде А m . При этом он вращается с круговой частотой ω против часовой стрелки (рис. 2.13).

Если остановить вектор в произвольный момент времени t, то его проекция а(t) на мнимую ось определится:

а(t) = А m ·Sin (ωt + ψ) .

При t = 0 а(0) = А m ·Sinψ.

Таким образом, гармонической функции а(t) = А m ·Sin (ωt + ψ) соответствует комплексное число А m = А m е jψ .

Аналогично гармоническим воздействиям

i(t) = I m ·Sin (ωt + ψ i), u(t) = U m ·Sin (ωt + ψ u) и е(t) = Е m ·Sin (ωt + ψ е) значение тока или напряжения гармонической функции – это комплексное число, модуль которого равен действующему значению тока или напряжения, а аргумент равен начальной фазе гармонической функции. = 10 ()‾ 1 · = 7,07· В.

Справедливо и обратное преобразование.

Известно комплексное действующее значение тока = 0,2е j 70° А на частоте ω = 100 рад/с. Найти гармоническую функцию тока.

i(t) = I m ·Sin (ωt+ψ i) = I · ·Sin (ωt+ψ i) = 0,2· ·Sin (100t+70°) =

Гармони́ческая фу́нкция - вещественная функция $U$, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $D$ (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа :

$\backslash Delta\; U\; =\; 0,\backslash$

где $\backslash Delta=\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x\_i^2\}$ - оператор Лапласа , то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам x i (n = dim D - размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд .

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области $D$, достигает своего максимума и минимума только на границе $\backslash partial\; D$. Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума , за исключением тривиального случая постоянной в $D$ функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на $\backslash Bbb\{R\}^n$ и ограниченная сверху или снизу, постоянна .

Свойство среднего

Если функция $u$ гармонична в некотором шаре $B(x\_0)$ с центром в точке $x\_0$, то её значение в точке $x\_0$ равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

$u(x\_0)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu(\backslash partial\; B)\}\; \backslash int\backslash limits\_\{\backslash partial\; B\}\; u\; dS\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\; (B)\}\; \backslash int\backslash limits\_\{B\}\; u\; dV$

где $\backslash mu\; (B)$ - объём шара $B(x\_0)$ и $\backslash mu(\backslash partial\; B)$ - площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака

Если функция $U(M)=U(x\_1,...x\_k)$, гармоническая в к-мерном шаре $Q\_r$ радиуса $R$ с центром в некоторой точке $M\_0$, неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках $M$ внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: $\{\{R^\{k-2\}\}\{\backslash frac\{R-r\}\{(R+r)^\{k-1\}\}\}U(M\_0)\}\backslash le\{U(M)\}\backslash le\{R^\{k-2\}\backslash frac\{R+r\}\{(R-r)^\{k-1\}\}U(M\_0)\}$, где

Теорема Гарнака

Пусть $v\_n(z)$ - положительные гармонические функции в некоторой области $D$. Если ряд $\backslash sum\_\{1\}^\backslash infty\; v\_\{n\}(z)$ сходится хотя бы в одной точке области $D$, то он равномерно сходится внутри $D$.

См. также

Напишите отзыв о статье "Гармоническая функция"

Примечания

Литература

• Владимиров В. С. , Жаринов В. В. Уравнения математической физики. - Физматлит, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .

Отрывок, характеризующий Гармоническая функция

Долго Ростовы не имели известий о Николушке; только в середине зимы графу было передано письмо, на адресе которого он узнал руку сына. Получив письмо, граф испуганно и поспешно, стараясь не быть замеченным, на цыпочках пробежал в свой кабинет, заперся и стал читать. Анна Михайловна, узнав (как она и всё знала, что делалось в доме) о получении письма, тихим шагом вошла к графу и застала его с письмом в руках рыдающим и вместе смеющимся. Анна Михайловна, несмотря на поправившиеся дела, продолжала жить у Ростовых.