Окружность вписанная в четырехугольник свойства и формулы. Частные критерии вписанности четырехугольника. Варианты формулы Брахмагупты

Четырехугольник является вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Такая окружность является описанной около четырехугольника.

Как не каждый четырехугольник можно описать около окружности, также не каждый можно вписать в окружность.

Выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность, обладает свойством: его противоположные углы в сумме составляют 180° . Так, если дан четырехугольник ABCD, у которого угол A противоположен углу C, а угол B противоположен углу D, то ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

Вообще, если одна пара противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то и другая пара в сумме будет составлять столько же. Это следует из того, что у выпуклого четырехугольника сумма углов всегда равна 360°. В свою очередь данный факт следует из того, что у выпуклых многоугольников сумма углов определяется по формуле 180° * (n – 2), где n - количество углов (или сторон).

Доказать свойство вписанного четырехугольника можно следующим образом. Пусть в окружность O вписан четырехугольник ABCD. Требуется доказать, что ∠B + ∠D = 180°.

Угол B является вписанным в окружность. Как известно, такой угол равен половине дуги, на которую опирается. В данном случае угол B опирается на дугу ADC, значит, ∠B = ½◡ADC. (Поскольку дуга равна углу между образующими ее радиусами, то можно записать, что ∠B = ½∠AOC, внутренняя область которого содержит точку D.)

С другой стороны угол D четырехугольника опирается на дугу ABC, то есть ∠D = ½◡ABC.

Так как стороны углов B и D пересекают окружность в одних и тех же точках (A и C), то они разделяют окружность только на две дуги - ◡ADC и ◡ABC. Так как полная окружность в сумме составляет 360°, то ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Таким образом получились следующие равенства:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Выразим сумму углов:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Вынесем ½ за скобку:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

Заменим сумму дуг их числовым значением:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Мы получили, что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Это и требовалось доказать.

То, что вписанный четырехугольник обладает таким свойством (сумма противоположных углов равна 180°), еще не означает, что любой четырехугольник, у которого сумма противоположных углов равна 180° можно вписать в окружность. Хотя на самом деле это так. Данный факт называется признаком вписанного четырехугольника и формулируется так: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность (или вписать его в окружность) .

Доказать признак вписанного четырехугольника можно методом от противного. Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого противоположные углы B и D в сумме составляют 180°. При этом угол D не лежит на окружности. Тогда возьмем на прямой, содержащей отрезок CD, такую точку E, чтобы она лежала на окружности. Получится вписанный четырехугольник ABCE. У этого четырехугольника противоположны углы B и E, а, значит, они составляют в сумме 180°. Это следует из свойства вписанного четырехугольника.

Получается, что ∠B + ∠D = 180° и ∠B + ∠E = 180°. Однако угол D четырехугольника ABCD по отношению к треугольнику AED является внешним, а значит больше угла E этого треугольника. Таким образом, мы пришли к противоречию. Значит, если сумма противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то он всегда может быть вписан в окружность.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Вписанный четырехугольник - четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник - такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке - вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Пусть угол А равен 82°. Тогда напротив него лежит угол в 98 градусов. Если угол В равен 58°, то угол D равен 180° - 58° = 122°.

Ответ: 122.

2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Пусть сторона АВ равна х, AD равна 2х, а DС - 3х. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
х + 3х = ВС + 2х.
Получается, что ВС равна 2х. Тогда периметр четырехугольника равен 8х. Мы получаем, что х = 4, а большая сторона равна 12.

3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и c, а боковые стороны - b и d. По свойству описанного четырехугольника,
a + c = b + d, и значит, периметр равен 2(a + c).
Получаем, что а + с = 20, а средняя линия равна 10.

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны180° .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны .

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели.

Образовательная. Создание условий для успешного усвоения понятия описанного четырёхугольника, его свойства, признака и овладения умениями применять их на практике.

Развивающая. Развитие математических способностей, создание условий для умения обобщать и применять прямой и обратный ход мыслей.

Воспитательная. Воспитание чувства красоты эстетикой чертежей, удивления необычным

решением, формирование организованности, ответственность за результаты своего труда.

1. Изучить определение описанного четырёхугольника.

2. Доказать свойство сторон описанного четырёхугольника.

3. Познакомить с двойственностью свойств сумм противоположных сторон и противоположных углов вписанного и описанного четырёхугольников.

4. Дать опыт практического применения рассмотренных теорем при решении задач.

5. Провести первичный контроль уровня усвоения нового материала.

Оборудование:

• компьютер, проектор;
• учебник “Геометрия. 10-11 классы” для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни авт. А.В. Погорелов.

Программные средства: Microsoft Word, Microsoft Power Point.

Использование компьютера при подготовке учителя к уроку.

С помощью стандартной программы операционной системы Windows созданы к уроку:

1. Презентация.
2. Таблицы.
3. Чертежи.
4. Раздаточный материал.

План урока

Организационный момент. (2 мин.)

Проверка домашнего задания. (5 мин.)

Изучение нового материала. (28 мин.)

Самостоятельная работа. (7 мин.)

Домашнее задание.(1 мин.)

Итог урока. (2 мин.)

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие. Сообщение темы и цели урока. Запись в тетради даты и темы урока.

2. Проверка домашнего задания.

3. Изучение нового материала.

Работа над понятием описанного многоугольника.

Определение. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Вопрос. Какие из предложенных многоугольников являются описанными, а какие не являются и почему?

<Презентация. Слайд №2>

Доказательство свойств описанного четырёхугольника.

<Презентация. Слайд №3>

Теорема. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Учащиеся работают с учебником, записывают формулировку теоремы в тетрадь.

1. Представить формулировку теоремы в форме условного предложения.

2. Каково условие теоремы?

3. Каково заключение теоремы?

Ответ. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны.

Проводится доказательство, учащиеся делают записи в тетради.

<Презентация. Слайд №4>

Учитель. Отметим двойственность ситуаций для сторон и углов описанного и вписанного четырёхугольников.

Закрепление полученных знаний.

Задачи.

Противоположные стороны описанного четырёхугольника 8 м и 12 м. Можно ли найти периметр?

Задачи по готовым чертежам. <Презентация. Слайд №5>

Ответ. 1. 10 м. 2. 20 м. 3. 21 м

Доказательство признака описанного четырёхугольника.

Сформулировать обратную теорему.

Ответ. Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность. (Вернуться к слайду 2, рис.7) <Презентация. Слайд №2>

Учитель. Уточните формулировку теоремы.

Теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Работа с учебником. Познакомиться с доказательством признака описанного четырёхугольника по учебнику.

Применение полученных знаний.

3. Задачи по готовым чертежам.

1. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник с противоположными сторонами 9 м и 4 м, 10 м и 3 м?

2. Можно ли вписать окружность в равнобокую трапецию с основаниями 1 м и 9 м, высотой 3 м?

<Презентация. Слайд №6>

Письменная работа в тетрадях

.

Задача. Найти радиус окружности, вписанной в ромб с диагоналями 6 м и 8 м.

<Презентация. Слайд № 7>

4. Самостоятельная работа.

1 вариант

1. Можно ли вписать окружность

1) в прямоугольник со сторонами 7 м и 10 м,

2. Противоположные стороны четырёхугольника, описанного около окружности, равны 7 м и 10 м.

Найти периметр четырёхугольника.

3. Равнобокая трапеция с основаниями 4 м и 16 м описана около окружности.

1) радиус вписанной окружности,

2 вариант

1. Можно ли вписать окружность:

1) в параллелограмм со сторонами 6 м и 13 м,

2) в квадрат?

2. Противоположные стороны четырёхугольника, описанного около окружности, равны 9 м и 11 м. Найти периметр четырёхугольника.

3. Равнобокая трапеция с боковой стороной 5 м описана около окружности с радиусом 2 м.

1) основание трапеции,

2) радиус описанной окружности.

5. Домашнее задание. П.86, № 28, 29, 30.

6. Итог урока. Проверяется самостоятельная работа, выставляются оценки.

<Презентация. Слайд № 8>