Параметры расположение корней квадратного трехчлена. Исследовательская работа: Расположение корней квадратного трехчлена
Квадратный трехчлен - основная функция школьной математики - между прочим, не самая примитивная. Умение использовать предоставляемые им ресурсы для решения задач в большой степени характеризует уровень математического мышления изучающего школьную алгебру. В данной работе дается обоснование этого тезиса и приведены примеры конкретного применения свойств квадратичной функции. Стимулирующим фактором является то обстоятельство, что при решении какой бы то ни было задачи с параметрами рано или поздно приходится (и удается) задачу переформулировать в терминах квадратного трехчлена и решить ее с привлечением свойств этой универсальной функции.
Исследование квадратного трехчлена
Определение . Квадратным трехчленом относительно переменной x называется выражение вида f(x) = ax 2 + bx + c (1), где a, b, cR, a0.
Квадратный трехчлен - обычный многочлен степени 2. Спектр вопросов, формулируемых в терминах квадратного трехчлена, неожиданно оказывается чрезвычайно широким. Поскольку задачи, связанные с исследованием квадратного трехчлена, занимают традиционно почетное и видное место в письменных выпускных школьных и вступительных вузовских экзаменах, очень важно научить школьника (будущего абитуриента) неформальному (то есть творческому) владению разнообразными приемами и методами такого исследования. В данной методической разработке фиксируются основные утверждения о квадратном трехчлене (теорема Виета, расположение корней относительно заданных точек числовой оси, техника обращения с дискриминантом), решаются задачи различных типов и разных уровней сложности. Главный идеологический вывод заключается в том, что в школьной математике существуют насыщенные глубоким содержанием фрагменты, доступные учащемуся и не требующие привлечения средств математического анализа и иных разделов так называемой “высшей математики”.
Графиком трехчлена (1) является парабола; при a 0 - вверх. Расположение параболы относительно оси Ox зависит от значения дискриминанта D = b 2 - 4ac: при D>0 имеются две точки пересечения параболы с осью Ox (два различных действительных корня трехчлена); при D=0 - одна точка (двукратный действительный корень); при D 0 - выше оси Ox). Стандартным приемом является следующее представление трехчлена (с помощью выделения полного квадрата):
f(x) = ax 2
+ bx + c =
=
.
Это представление позволяет легко
строить график посредством линейных
преобразований графика функции y=x 2 ;
координаты вершины параболы:
.
Это же преобразование позволяет
сразу решить простейшую задачу на
экстремум: найти наибольшее (при a 0) значение функции
(1); экстремальное значение достигается
в точке
и равно
.
Одно из основных суждений о квадратном трехчлене –
Теорема 1 (Виета) . Если x 1 , x 2 - корни трехчлена (1), то
(формулы Виета).
С помощью теоремы Виета можно решать многие задачи, в частности, те, в которых требуется сформулировать условия, определяющие знаки корней. Две следующие теоремы являются непосредственными следствиями теоремы Виета.
Теорема 2 . Для того, чтобы корни квадратного трехчлена (1) были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
D = b 2 - 4ac 0, x 1 x 2 = > 0,
при этом оба корня положительны при x 1 + x 2 = > 0,
и оба корня отрицательны при x 1 + x 2 =
Теорема 3 . Для того, чтобы корни квадратного трехчлена (1) были действительны и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
D=b 2 - 4ac > 0, x 1 x 2 =
при этом положительный корень имеет больший модуль при x 1 + x 2 = > 0,
и отрицательный корень имеет больший модуль при x 1 + x 2 =
Доказываемые ниже теоремы и следствия эффективно могут (и значит, должны) применяться при решении задач с параметрами.
Теорема 4 . Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена (1) были меньше, чем число M, то есть на числовой прямой корни лежат левее точки M, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
,
или, объединяя условия,
(рис. 1,а и 1,б).
Доказательство .
Необходимость
.
Если трехчлен (1) имеет действительные
корни x 1 и
x 2 (может
быть, совпадающие), x 1
x 2 и x 1
,
(x 1 - M) (x 2
- M) > 0, x 1 +
x 2 0, M >
(x 1 + x 2)/2.
По формулам Виета
,
поэтому
,
или
,
ч.т.д.
Достаточность
- противоречие с условием. Если же
,
то (x 1 - M)(x 2
- M)0,
x 1 x 2
- (x 1 + x 2)M
+ M 2
0, откуда
,
af(M)
0
- вновь противоречие с условием; остается
только возможность x 1
Теорема 5 . Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена (1) был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M, то есть точка M лежала бы в интервале между корнями, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
,
или, объединяя условия, af(M)
(рис. 2,а и 2,б).
Доказательство .
Необходимость
.
Если трехчлен (1) имеет действительные
корни x 1 и
x 2 , x 1 M , то (x 1
- M)(x 2 -
M),
поэтому
,
или af(M)
Достаточность . Пусть af(M) , или , , тогда (x 1 - M)(x 2 - M)0,
x 1 x 2
- (x 1 +
x 2)M + M 2
0, откуда
,
af(M)0
- противоречие с условием; остается
только возможность
,
что и требуется доказать. Теорема
доказана.
Теорема 6 . Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена (1) были больше, чем число M, то есть на числовой прямой корни лежат правее точки M, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
,
или, объединяя условия,
(рис. 3,а и 3,б).
Доказательство . Необходимость . Если трехчлен (1) имеет действительные корни x 1 и x 2 (может быть, совпадающие), x 1 x 2 и x 1 > M, x 2 > M , то , (x 1 -M)(x 2 -M)>0, x 1 + x 2 > 2M; иначе x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 > 0, M , поэтому , или , ч.т.д.
Достаточность
.
Пусть
.
Рассуждаем от противного. Предположим,
что
,
,
тогда
- противоречие с условием. Если же
,
то (x 1 - M)(x 2
- M)0,
x 1 x 2
- (x 1 + x 2)M
+ M 2
0, откуда
,
af(M)
0
- вновь противоречие с условием; остается
только возможность x 1 >
M, x 2 > M, что
и требуется доказать. Теорема доказана.
Следствие 1 . Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена (1) были больше, чем число M, но меньше, чем число N (M
,
или, объединяя условия,
(рис. 4,а и 4,б).
Следствие 2 . Для того, чтобы только больший корень квадратного трехчлена (1) принадлежал интервалу (M,N), где M
,
или, объединяя условия,
меньший корень при этом лежит вне отрезка
(рис. 5,а и 5,б).
Следствие 3 . Для того, чтобы только меньший корень квадратного трехчлена (1) принадлежал интервалу (M,N), где M
,
или, объединяя условия,
;
больший корень при этом лежит вне отрезка
(рис. 6,а и 6,б).
Следствие 4 . Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена (1) был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M
,
или, объединяя условия,
(рис. 7,а и 7,б).
Разумеется, аналитическая и геометрическая интерпретации результатов теорем 4-6 и следствий 1-4 эквивалентны, и стратегической целью является выработка навыков точного перевода с одного языка на другой. Особенно важно продемонстрировать, как “визуализация” (“графический взгляд”) помогает безошибочно записать формальные условия, необходимые и достаточные для выполнения требований задачи.
Укажем типичные задачи, решаемые с помощью доказанных теорем (более общо - решаемые на основании свойств квадратного трехчлена).
Задача 1 . Найдите все значения a, при которых уравнения x 2 +ax+1=0 и x 2 +x+a=0 имеют хотя бы один общий корень.
Решение . Оба уравнения имеют в точности одинаковые корни в том и только том случае, если коэффициенты соответствующих квадратных трехчленов совпадают (многочлен второй степени полностью определяется двумя своими корнями и при этом соответственные коэффициенты этих многочленов равны), отсюда получаем a=1. Однако, если учитывать только действительные корни, то при a=1 таковых нет (дискриминант соответствующего трехчлена отрицателен). При a1 рассуждаем так: если x 0 - корень обоих уравнений f(x)=0 и g(x)=0, то x 0 будет корнем уравнения f(x)-g(x)=0 (это только необходимое, но не достаточное условие существования общего корня двух уравнений f(x)=0 и g(x)=0, так как уравнение f(x) - g(x)=0 является их следствием ); вычтем из первого уравнения второе, и получим
(x 2 + ax + 1) - (x 2 + x + a) = 0, x(a-1) - (a-1)=0, откуда, поскольку a1, x=1. Таким образом, если заданные уравнения имеют общий корень, то он равен 1 . Подставим x = 1 в первое уравнение: 1 + a + 1 = 0, и a = -2.
Ответ . a = -2.
Задача 2 . При каких a сумма квадратов корней уравнения x 2 - ax + a – 1 = 0 будет наименьшей?
Решение . По теореме Виета , x 1 + x 2 = a, x 1 x 2 = a - 1. Имеем:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 +x 2) 2 - 2x 1 x 2 = a 2 - 2(a-1) = a 2 - 2a + 2 = (a-1) 2 + 1 1 и =1 при a=1.
Ответ . a = 1.
Задача 3 . Существуют ли такие a, что корни многочлена f(x)=x 2 +2x+a действительны, различны и оба заключены между -1 и 1?
Решение
. Для того,
чтобы оба корня x 1
и x 2 трехчлена
f(x) были заключены между -1 и 1, необходимо,
чтобы между -1 и 1 было заключено среднее
арифметическое этих корней:
;
но, по теореме Виета
,
,
поэтому
Ответ . Нет.
Задача 4 . При каких значениях параметра a оба корня квадратного уравнения x 2 +(2a+6)x + 4a + 12 = 0 действительны и оба больше -1?
Решение . Теорема 6 дает:
,
,
,
.
Ответ . .
Задача 5 . При каких значениях параметра a оба корня квадратного уравнения x 2 +4ax+ (1-2a+4a 2) = 0 действительны и оба меньше -1?
Решение . Теорема 4 дает:
,
,
,
a>1.
Ответ . a > 1.
Задача 6 . При каких значениях параметра a один корень квадратного уравнения f(x) = (a-2)x 2 - 2(a+3)x + 4a = 0 больше 3, а другой меньше 2?
Решение . Заметим сразу, что a2 (иначе уравнение имело бы только один корень). Применим следствие 4 (здесь M=2, N=3):
,
,
,
2
.
Оба корня положительны при
(теорема 6
),
откуда
и
;
(теорема 4
) -
эта система решений не имеет; корни
имеют разные знаки при (a-1)(a+5) теорема
5), то есть -5
,
,
если 1-p+q=0. При этом второй корень равен
x 2 =1-p; значит,
если
,
то уравнение sin 2 t
+psint+q=0 (4) имеет еще, кроме указанных,
корни
(при p=2 обе серии корней совпадают).
,
если
,
то
,
а при p2 корней нет. Если p=2,
то q=1, x 2 +2x+1=0,
x=-1, t=,
а если p=-2, то x=1, t=.
.
.
.Самым мощным инструментом при решении сложных задач с параметрами является теорема Виета. Но здесь нужно быть предельно внимательным к формулировке.
Этих двух теорем (прямой и обратной)
Теорема Виета
Если уравнение имеет корни и ; то выполнены равенства .
Особенности теоремы:
Первое
.
Теорема верна только для уравнения 
и не верна для
В последнем случае нужно сначала разделить обе части уравнения на ненулевой коэффициент а при х 2 , а потом уже применять теорему Виета.
Второе. Для использования результатов теоремы необходимо иметь факт существования корней уравнений т.е. не забывать наложить условие D>0
Обратная
Теорема Виета
Если есть произвольные числа и то они являются корнями уравнения
Очень важное замечание , облегчающее решение задач: обратная теорема гарантирует существование корней в уравнении что позволяет не возится с дискриминантом. Он автоматически в этом случае неотрицателен.
| Условия на корни | Равносильное условие на коэффициенты а,в,с, и дискриминант D | |
| Корни существуют (и различны) | ||
Корни существуют и равны
Причем  |  |
|
| Корни существуют и |  |
|
| Корни существуют и |  |
|
| Корни существуют и различны |  |
|
| Корни существуют, один корень равен нулю, а другой >0 |  |
1). Установить, при каких значениях параметра уравнение
Не имеет корней.
Если уравнение не имеет корней, то необходимо и достаточно, чтобы дискриминант
имеет различные положительные корни .
Раз корни есть, то если они оба положительные, то и Воспользуемся формулой Виета, тогда для данного уравнения
⟹
Имеет различные отрицательные корни
Имеет корни разного знака
Имеет совпадающие корни
2). При каких значениях параметра а
оба корня квадратного уравнения 
будут положительными?
Решение.
Так как заданное уравнение является квадратным, то оба его корня (равные или различные) будут положительными, если дискриминант неотрицателен, а сумма и произведение корней положительны, то есть
Так как, 
а по теореме Виета,
То получим систему неравенств
3). Найти все значения параметра а
неположительны.
Так как заданное уравнение является квадратным, то . Оба его корня (равные или различные) будут отрицательными или равными нулю, если дискриминант неотрицательный, сумма корней отрицательна или равна нулю, а произведение корней неотрицательно, то есть
а по теореме Виета
то получим систему неравенств.
откуда
4).При каких значениях параметра а
равна 22.5 ?
Вначале предложим “ решение “, с которым нам не раз приходилось встречаться.
поскольку 
то получаем “Ответ” Однако при найденном значении а
исходное уравнение корней не имеет.
В этом решении мы столкнулись с одной из “популярнейших” ошибок, связанной с применением теоремы Виета:
вести речь о корнях предварительно не выяснив, существуют они или нет.
Так, в данном примере, в первую очередь необходимо было установить, что лишь при исходное уравнение имеет корни. Только после этого можно обратится к выкладкам, приведенным выше.
Ответ: Таких а не существует.
5). Корни уравнения таковы, что 
Определить
Решение.
По теореме Виета 
Возведем обе части первого равенства в квадрат Учитывая, что а получаем или Проверка показывает, что значения удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ :
6).При каком значении параметра а
сумма квадратов корней уравнения 
принимает наименьшее значение:
Найдем дискриминант данного уравнения. Имеем Здесь важно не сделать ошибочный вывод о том, что уравнение имеет два корня при любом а . оно действительно имеет два корня при любом, но допустимом а , т.е. при при
Используя теорему Виета, запишем
Таким образом, для получения ответа осталось найти наименьшее значение квадратичной функции 
на множестве 
Поскольку при 
а при 
то функция на указанном множестве принимает наименьшее значение в точке
Задачи для самостоятельного решения
1). Найти все значения параметра а , при которых корни квадратного уравнения
неотрицательны
2). Вычислить значение выражения ,где -корни уравнения 
3). Найти все значения параметра а
, при которых сумма квадратов действительных корней уравнения 
больше 6.
Ответ: 
4).При каких значениях параметра а уравнение ах 2 -4х+а=0 имеет:
а) положительные корни
б) отрицательные корни
Расположение корней квадратичной функции относительно
заданных точек.
Для подобных задач характерна следующая формулировка: при каких значениях параметра корни (только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа А; корни расположены между числами А и В; корни не принадлежат промежутку с концами в точках А и В и т.п.
При решении задач, связанных с квадратным трехчленом
часто приходится иметь дело со следующими стандартными ситуациями (которые мы сформулируем в виде «вопрос – ответ».
Вопрос 1 . Пусть дано число (1) оба его корня и больше т.е. ?
Ответ . Коэффициенты квадратного трехчлена (7) должны удовлетворять условиям
где - абсцисса вершины параболы .
Справедливость сказанного вытекает из рис. 1, на котором отдельно представлены случаи и Отметим, что двух условий и еще недостаточно, чтобы корни и были больше На первом из рис. 1 штрихом изображена парабола, удовлетворяющая этим двум условиям, но ее корни меньше Однако, если к указанным двум условиям добавить, что абсцисса вершины параболы больше то и корни будут большими чем
Вопрос 2 . Пусть дано число При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) его корни и лежат на разные стороны от т.е. ?
Ответ. коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условию
Справедливость сказанного вытекает из рис. 2, на котором отдельно представлены случаи и Отметим, что указанное условие гарантирует существование двух различных корней и квадратного трехчлена (1).
Вопрос 3 . При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) его корни и различны и только один из них лежит в заданном интервале
Ответ. Коэффициенты квадратного трехчлена
(1) должны удовлетворять условию
Вопрос 4. При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) множество его корней не пусто и все его корни и лежат в заданном интервале т.е.
Ответ . Коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условиям
Для решения таких задач полезно работать с таблицей, которая приведена ниже.
Корни многочлена
.
При каком значении параметра a один корень уравнения
больше 1, а другой меньше 1?
Рассмотрим функцию -
Цель работы:
- Исследование всевозможных особенностей расположения корней квадратного трехчлена относительно заданной точки и относительно заданного отрезка на основе свойств квадратичной функции и графических интерпретаций.
- Применение изученных свойств при решении нестандартных задач с параметром.
Задачи:
- Изучить различные приемы решения задач на основе исследования расположения корней квадратного трехчлена графическим методом.
- Обосновать всевозможные особенности расположения корней квадратного трехчлена, разработать теоретические рекомендации для решения нестандартных задач с параметром.
- Овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений, научится их использовать при решении задач.
Гипотеза:
Использование графического метода в нетрадиционных задачах с параметром упрощает математические выкладки и является рациональным способом решения.
тогда и только тогда:
1. Оба корня меньше числа А,
2. Корни лежат по разные стороны от числа А,
тогда и только тогда:
- тогда и только тогда:
тогда и только тогда:
3. Оба корня больше числа А, то есть
Найти все значения параметра а, для которых один корень уравнения
больше 1, а другой меньше 1.
При каких значениях параметра уравнение
имеет два различных корня одного знака?
-6
-2
3
a
1. Оба корня лежат между точками A и B , то есть
тогда и только тогда:
2. Корни лежат по разные стороны от отрезка
тогда и только тогда:
3. Один корень лежит вне отрезка, а другой на нем, то есть
тогда и только тогда:
Исследуйте уравнение
на количество корней в зависимости от параметра.
уравнение не имеет решений.
имеет одно решение.
Исследуйте уравнение
на количество корней в
зависимости от параметра.
Если один корень лежит на отрезке, а другой слева от него.
Если один корень лежит на отрезке, а другой справа от него.
первоначальное уравнение будет иметь два различных корня.
при которых
уравнение имеет три различных корня.
Ответ: при
при которых
первоначальное уравнение будет иметь два
различных корня.
уравнение имеет четыре различных корня.
Данные об автореСтукалова Надежда Васильевна
Место работы, должность:
МБОУ СОШ №15,учитель математики
Тамбовская область
Характеристики урока (занятия)
Уровень образования:
Среднее (полное) общее образование
Целевая аудитория:
Учащийся (студент)
Целевая аудитория:
Учитель (преподаватель)
Класс(ы):
Предмет(ы):
Алгебра
Предмет(ы):
Математика
Цель урока:
Тип урока:
Комбинированный урок
Учащихся в классе (аудитории):
Используемые учебники и учебные пособия:
А. Г. Мордкович, алгебра,9 класс, учебник,2011
А. Г. Мордкович, алгебра,9 класс, задачник,2011
С.А. Теляковский, алгебра 9 класс, учебник, 2009
Используемая методическая литература:
Мирошин, В.В. Решение задач с параметрами: Теория и практика / В.В. Мирошин.- М.: Экзамен, 2009.
Л. В Кузнецова Сборник заданий для экзамена
Используемое оборудование:
Компьютер, кинопроектор
Краткое описание:
План урока: 1. Организационный момент. 2. Обобщение и систематизация знаний (вспомнить необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трёхчлена на числовой прямой). 3. Решение задач с параметрами (работа в группах). 4. Самостоятельная работа с последующей проверкой. 5. Подведение итогов. 6. Домашнее задание.
Конспект урока
на тему
«Расположение корней квадратного трёхчлена
в зависимости от значений параметра»
учитель математики Стукалова Н.В. МБОУ СОШ №15
г. Мичуринск - наукоград РФ 2011г.
Цель урока:
Развивать практические умения и навыки учащихся по решению заданий с параметрами;
Подготовить учащихся к успешной сдачи ГИА по математике;
Развивать исследовательскую и познавательную деятельности учащихся;
Формировать интерес к математике;
Развивать математические способности учащихся.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Обобщение и систематизация знаний (вспомнить необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трёхчлена на числовой прямой).
3. Решение задач с параметрами (работа в группах).
4. Самостоятельная работа с последующей проверкой.
5. Подведение итогов.
6. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Учитель сообщает тему урока, ставит цели и задачи перед учащимися, сообщает план урока.
Задачи с параметрами вызывают большие затруднения. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.
Наш урок посвящен решению задач по расположению корней квадратного трёхчлена на числовой прямой.
2. Обобщение и систематизация знаний:
Вспомнить необходимые и достаточные условия для выполнения различных требований расположения корней квадратного уравнения относительно заданных точек или промежутков.
После ответа учащихся демонстрируются слайды с правильным ответом.
1. Расположение корней по обе стороны от заданной на числовой прямой
точки.
условию х 1 < m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.
2. Расположение корней по обе стороны от заданного отрезка.
Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 удовлетворяли
условию х 1 < m, х 2 < n, где m системы неравенств 3.
Расположение корней с одной стороны от заданной на числовой прямой
Точки.
Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 удовлетворяли условию m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств Если левее точки х = m, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств 4. Принадлежность корней заданному интервалу.
интервалу (m;n), необходимо и достаточно выполнения системы неравенств 5.Принадлежность корней заданному отрезку.
Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 принадлежали интервалу , необходимо и достаточно выполнения системы неравенств 3. Решение задач с параметрами.
Учащиеся разделены на 4 группы. В каждой группе есть дети более успешные в алгебре. Каждая группа начинает решение задачи, совпадающей с номером своей группы. После обсуждения хода решения задачи, от каждой группы по одному представителю выходят к доске и оформляют решение задачи своей группы, и объясняет её решение (на откидных досках). В это время ребята должны решить задачи другой группы (можно получать консультацию у учителя). Задача №1.
При каких значениях параметра а
один корень уравнения (12а + 7)х 2 + (9а - 42)х + +11 - 3а = =0 больше 1, другой корень меньше 1? Решение.
Графиком функции у = f(х), где f(х) = (12а + 7)х 2 + (9а - 42)х + +11 - 3а, при а ≠ - 7/12 является параболой, ветви которой при а > - 7/12 направлены вверх, при а < - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра а
удовлетворяют неравенству (12а +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3). Задача № 2
. Найдите значения параметра а, при которых корни уравнения (1+а)х 2 - 3ах +4а = 0 больше 1. Решение.
При а≠-1 заданное уравнение является квадратным и D= -а(7а+16). Получим систему , откуда -16/7≤а≤ -1. Значения параметра, при которых корни данного уравнения при а ≠ - 1 больше 1, принадлежат промежутку [-16/7; -1). При а = -1 заданное уравнение имеет вид3х - 4 = 0 и единственный корень Ответ: [-16/7; -1] Задача № 3
. При каких значениях параметра kкорни уравнения (k-2)х 2 -2kх+2k-3=0 принадлежат интервалу (0;1)? Решение.
При k≠2 искомые значения параметра должны удовлетворять системе неравенств ГдеD= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F(1) = k-5, x в = k/(k-2). Данная система не имеет решений. При k = 2 заданное уравнение имеет вид -4х+1 = 0, его единственный корень х = ¼, который принадлежит интервалу (0;1). Задача №4
. При каких значениях а оба корня уравнения х 2 -2ах+а 2 -а = 0 расположены на отрезке? Искомые значения должны удовлетворять системе неравенств где D= 4а 2 -4(а 2 -а) = 4а, f(2) = a 2 -5a+4, f(6) = a 2 -13a+36, х в = а. Единственным решением системы является значение, а = 4. 4.
Самостоятельная работа (контрольно - обучающая).
Учащиеся работают в группах, выполняют один и тот же вариант, так как материал очень сложный и не всем может быть по силам. №1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х 2 -2ах+а 2 - 1 =0 принадлежит интервалу (-2;4)? №2. Найдите все значения k, при которых один корень уравнения (k-5)x 2 -2kx+k-4=0 меньше1, а другой корень больше 2. №3. При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трехчлена х 2 + (а+1)х - а 2 ? По окончании времени демонстрируются ответы. Осуществляется самопроверка самостоятельной работы. 5.
Итог урока. Закончить предложение.
«Сегодня на уроке…». «Мне запомнилось …». «Хотелось бы отметить …». Учитель анализирует весь ход урока и его основные моменты, оценивает деятельность каждого ученика на уроке. 6. Домашнее задание
(из сборника заданий для подготовки к ГИА в 9 классе авт. Л. В. Кузнецова)
Муниципальное казённое учреждение
Ермоловская СОШ
Расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметрами
Выполнил Галкин Сергей Андреевич,
Ученик 9-го класса
Руководитель:
Малей Н.И.,
Учитель математики
2013
Введение……………………………………………………..
3
Основная часть. Расположение корней квадратного уравнения и примеры………………………………………..4-15
Проверка качества применимости изложенного материала..16
Заключение…………………………………………………….17
Литература …………………………………………………….18
Приложение ……………………………………………….......19
Цель:
Сформулировать и обосновать утверждения о расположении корней квадратного уравнения и показать применение полученных утверждений для решения задач с параметрами.
Задачи:
1. Изучить литературу по данной теме.
2. Сформулировать утверждения и дать геометрическую интерпретацию
Введение
В последнее время в материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ в задачах повышенной сложности предлагаются задания по теме «Уравнения с параметрами»
Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения.
Рассмотрим два наиболее распространённых типа таких задач
1-ый тип задачи в которых изучается расположение корней относительно заданной точки.
2-ой тип задачи в которых исследуется расположение корней относительно числового промежутка
Утверждения о расположении корней квадратного уравнения
Пусть f(x)=ax
2
+bx+c имеет действительные корни x
1
и x
2
, а M – какое-нибудь действительное число, D=b
2
– 4ac.
Утверждение 1.
Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или
Пример 1:
Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²+4ax+(1-2a+4a²)=0 меньше -1.
Решение:
Рассмотрим функцию y=x²+4ax+1(1-2a+4a²)
Ответ: (1; +∞).
Утверждение 2
.
Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M (т.е. точка M лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:
Пример 2:
Найти все значения параметра m
, при каждом из которых один корень уравнения 2mx²-2x-3m-2=0 больше 1,а другой меньше 1.
Решение:
2mf(1)
2m(2m-2-3m-2)
2m²-8
2m(m+4)
m(m+4)>0
Ответ: (-∞; -4)U(0; + ∞).
Утверждение 3.
Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были больше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси правее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение условий:
или
Пример 3:
Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²-6ax+(2-2a+9a²)=0 больше 3
Решение: f(x)=x²-6ax+(2-2a+9a²)
Ответ: а>11/9
Утверждение 4.
Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были больше, чем число M, но меньше, чем число N
(M )
, т.е. лежали в интервале между M и N, необходимо и достаточно:
или
Пример 4:
При каких значениях m корни уравнения 4x²-(3m+1)x-m-2=0 лежат в промежутке между -1 и 2?
Решение:
Ответ:(-
;
).
Утверждение 5
.
Для того чтобы только больший корень квадратного уравнения лежал в интервале
[
M
,
N
](M
N
)
, необходимо и достаточно:
(при этом меньший корень лежит вне отрезка ).
5.Найти все значения а, для которых при каждом x из промежутка (-3; -1] значение выражения
Решение:
1.Значения указанных выражений не равны друг другу тогда и только тогда,когда выполнено условие:
Обозначим t=x², тогда t²-8t-2
at.
t²-8t-at-2=t²-(a+8)t-2
0
f(t)=t²-(a+8)t-2
0
Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение f(t)=0 не имело корней на промежутке
, необходимо и достаточно:
(при этом больший корень лежит вне отрезка
[
M
,
N
])
.
Утверждение 7
.
Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M [
M
,
N
]
целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:
Пример 6:
Найти все значения параметра а, при которых меньший корень уравнения x²+(a+1)x+3=0 лежал в интервале (-1; 3)
Решение:
Ответ: (-∞; -5)
Пример 7:
При каких значениях параметра а один корень уравнения x²-(3a+2)x+2a-1=0 меньше -1, а другой больше 2.
Решение:
Ответ: решений нет.
Проверка качества применимости изложенного материала
Проверочную работу выполняли четыре человека: три ученика 11 класса и один ученик 10 класс (задания см. в Приложении)
В результате анализа проверочной работы была выявлена необходимость совершенствования навыков решения задач на расположение корней квадратного уравнения
Заключение:
В процессе исследования были рассмотрены основные случаи расположения корней квадратного уравнения, приведены утверждения, к которым даны иллюстрации, помогающие понять, как выводятся эти утверждения. Данный материал облегчит понимание решений заданий, содержащих параметры о расположении корней квадратного уравнения. Он может быть использован для индивидуального обучения, а также на внеклассных и факультативных занятий по математике.
Литература:
1. Задачи с параметрами П.И. Горнштейн, .Б. Полонский, М.С. Якир
3. Рабочая тетрадь для подготовки к итоговой аттестации по математике в новой форме (Негосударственное образовательное учреждение «Интернациональные коммуникации»)
4. Школа решения задач с параметрами, авторы Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н.
Приложение
Задания:
Скачать:
Предварительный просмотр:
(задача С3 из ЕГЭ).
