Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Приближенное решение дифференциальных уравнений
Рассмотрим задачу Коши (5.2), (5.6) для дифференциального уравнения первого порядка: найти решение уравнения y"=f(x,y), удовлетворяющее условию y(x 0)=y 0 . Пусть y(x)- решение поставленной задачи Коши. Подставив это решение в уравнение (5.2), получим тождество y"(x) ≡ f(x,y(x)). Интегрируя это тождество по x, получаем
или, что тоже самое,
. (5.15)
Таким образом, мы показали, что всякое решение задачи Коши (5.2), (5.6) есть решение интегрального уравнения (5.15). С другой стороны, если y(x)- решение интегрального уравнения (5.15), то дифференцируя (5.15) по x, получаем, что y(x)- решение задачи Коши (5.2), (5.6).
Решение интегрального уравнения (5.15) будем искать с помощью метода последовательных приближений. Положим
y 0 (x)=y 0 , . (5.16)
Если оператор
- (5.17)
сжимающий , то последовательные приближения (5.16) сходятся к решению интегрального уравнения (5.15), а, следовательно и дифференциального уравнения y" = f(x,y), удовлетворяющего условию y(x 0) = y 0 . Желающие могут познакомиться с доказательством сжимаемости оператора (5.17) в .
Пример №1 . Найдём с помощью метода последовательных приближений решение уравнения y" = y, удовлетворяющее условию y(0)=1. Подставляя y(0)=1 в (5.16), получаем
y 0 =1, …,
С другой стороны, решая исходную задачу Коши, имеем y = e x .
Таким образом, нами получено разложение функции e x в ряд Тейлора в нуле (ряд Маклорена).
Перейдём теперь к изложению численного метода Эйлера решения задачи Коши (5.2), (5.6). Разобьём отрезок , на котором мы ищем решение, на части точками x 0 = a
y i +1 = y i + h·f(x i , y i), (5.17)
Соотношение (5.17) является расчётной формулой метода Эйлера численного решения задачи Коши (5.2), (5.6). Вычислив y i , i = 0,1,..,n получим таблицу значений решения в точках x i , i = 0,1,..,n Для оценки погрешности на одном шаге сетки в методе Эйлера разложим точное решение y(x) по формуле Тейлора в окрестности точки xi до членов второго порядка малости
y(x i +1)=y(x i +h)=y(x i)+y"(x i)h+o(h 2)=y i +hf(x i ,y i)+o(h 2).
Сравнивая с (5.17) видим, что погрешность формулы (5.17) равна o(h 2). К сожалению, метод Эйлера накапливает ошибку от шага к шагу. Поэтому на практике пользуются либо модификациями метода Эйлера, например методом прогноза и коррекции , либо другими методами, в частности методом Рунге-Кутта .
Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y(x)
F(x,y,y 1 ,…,y (n)) = 0, где x-независимая переменная.
Решением дифференциального уравнения называется функция , которая после её подстановки в уравнение превращает его в торжество.
Некоторые методы решения известны по курсу дифференциальных уравнений. Для ряда уравнений первого порядка (с разделяющимися переменных однородных, линейных и др) удается получить решение в виде формул путем аналитических преобразований.
В большинстве случаев для решения дифференциальных уравнений используются приближенные методы, которые можно разделить на две группы:
1)аналитические методы, дающие решение в виде аналитического выражения;
2)численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.
Рассмотрим перечисленные методы в виде следующих примеров.
8.1 Метод последовательного дифференцирования.
Рассмотрим уравнение:
с начальными условиями , где – заданные числа.
Предположим, что искомое решение y=f(x) может быть решено в ряд Тейлора по степеням разности (x-x 0):
2 n +….
Начальные условия (8.2) дают нам значения y (k) (x 0) при k=0,1,2,...,(n-1). Значения y (n) (x 0) найдем из уравнения (8.1), подставляя (x-x 0) и используя начальные условия (8.2):
y (n) (x 0) = f(x 0 ,y 0 ,y " 0 ,...,y 0 (n-1))
Значения y (n+1) (x 0), y (n+2) (x 0)... последовательно определяются дифференцированием уравнение (8.1) и подстановкой x=x 0 , y (k) (x 0)=y 0k (k – 0,1,2).
ПРИМЕР: Найти первые семь членов разложения в степенной ряд решения y=y(x) уравнения y "" +0,1(y ") 2 +(1+0,1x)y=0 с начальными условиями y(0)=1; y " (0)=2.
РЕШЕНИЕ: Решение уравнения ищем в виде ряда:
y(x)=y(0)+y"(0)x/1!+y""(0)x 2 /2!+...+y (n) (0)x n /n!...
Из начальных условий имеем y(0)=1, y " (0)=2. Для определения y "" (0) разрешим данное уравнение относительно y"":
y""(0)= – 0,1(y ") 2 – (1+0,1x)y (8.3)
Используя начальные условия, получим
y""(0)= –0,1*4 – 1*1= –1,4
Дифференцируя по x левую и правую части уравнения (8.3)
y"""= – 0,2y"y"" – 0,1(xy"+y) – y",
y (4) = – 0,2(y"y"""+y"" 2) – 0,1(xy""+2y") – y"",
y (5) = – 0,2(y"y (4) +3y""y""") – 0,1(xy"""+3y"") – y""",
y (6) = – 0,2(y"y (5) +4y""y (4) +3y""" 2) – 0,1(xy (4) +4y""" – y (4))
Подставляя начальные условия и значение y""(0), находим y"""(0)= – 1,54;
y (4) (0)= – 1,224; y (5) (0)=0,1768; y (6) (0)= – 0,7308. Таким образом, искомое приближенное решение запишется в виде: y(x) ≈ 1 + 2x – 0,7x 2 – 0,2567x 3 + 0,051x 4 + 0,00147x 5 – 0,00101x 6 .
8.2 Метод эйлера
Простейшими из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера, который основан на замене искомой функции многочленом первой степени, т.е. линейной экстраполяцией. Речь идет о нахождении значений функции в соседних точках аргумента x не между ними.
Выберем шаг h малым, чтобы для всех x между x 0 и x 1 =x 0 +h значение функции y мало отличалось от линейной функции. Тогда на указанном интервале y = y 0 + (x – x 0)y" = y 0 + (x –
Продолжая таким же способом определять значения функции, убеждаемся, что метод Эйлера представляется в виде последовательного выполнения формул:
∆y k = y" k h
y k+1 = y k + ∆y k
ПРИМЕР
Решим методом Эйлера уравнения y" = x – y с начальным условием х 0 =0, у 0 =0 на отрезке с шагом h=0,1.
Вычисления приведены в таблице.
Первая строка в столбцах 1 и 2 заполнена по начальным данным. Затем вычисляется у" по заданному уравнению (в столбце 4), затем ∆y = y"h – в столбце (4).
Столбец (5) содержит таблицу значений точного решения заданного уравнения.
|
Из таблицы видно что при х=1 относительная ошибка метода Эйлера составляет δ=0,37 - 0,35/0,37*100%≈5,4% |
УТОЧНЕННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА
При том же объеме вычислительной работы дает более высокую точность.
Ранее мы считали подынтегральную функцию постоянной, равной её значению f(x k ,y k) на левом конце участка. Более точное значение получится если полагать f(x,y(x)) равной значению в центре участка. Для этого надо брать двойной участок (x k-1 ,x k+1), заменив формулу
y k+1 =y k +∆y k на y k+1 =y k-1 +2hy" k (8.5)
Эта формула и выражает уточненный метод Эйлера. Но в этом случае надо придерживать следующей последовательности действий:
|
ПРИМЕР Для сравнения рассмотрим то же уравнение y" = x – y с начальными условиями x 0 =0, y 0 =0. Уточненный метод, как видно из таблицы дает более высокую точность относительная погрешность при х=1, у=0,370, а у точн 0,368. |
С дифференциальными уравнениями в частных производных и интегральными уравнениями приходится встречаться в самых разнообразных областях естествознания, причем получить их решение в явном виде, в виде конечной формулы, удается только в самых простейших случаях.
В связи с этим особое значение приобретают приближенные методы решения различных задач для дифференциальных уравнений в частных производных, систем дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений или, как часто говорят, задач математической физики.
В настоящей главе мы и рассмотрим некоторые, наиболее распространенные методы решения задач математической физики. При этом мы ограничимся в основном методами решения задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными и линейными интегральными уравнениями, в которых искомая функция зависит только от одного независимого переменного. Изложение методов для случая произвольного числа переменных было бы связано с очень громоздкими записями, в то время как основные идеи методов, а также возникающие при их реализации трудности хорошо усматриваются в простейших случаях.
Что касается нелинейных уравнений, то хотя отдельные задачи для нелинейных уравнений и были разрешены, однако общая теория приближенных методов для нелинейных уравнений все еще отсутствует. В последнее время численным методам решения задач для нелинейных уравнений уделяется много внимания, но их разработка еще не достигла такого состояния, при котором их можно было бы включить в учебное пособие.
Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, приближенные методы решения различных задач для
дифференциальных уравнений в частных производных можно разбить на две группы:
1) методы, в которых приближенное решение получается в аналитической форме, например в виде отрезка некоторого ряда, и
2) методы, с помощью которых можно получить таблицу приближенных значений искомого решения в некоторых точках рассматриваемой области, - численные методы.
К первой группе относится прежде всего метод Фурье решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, при применении которого точное решение получается в виде некоторого ряда, а за приближенное решение может быть принята сумма некоторого числа первых его членов. Метод Фурье решения классических задач математической физики подробно излагается в курсе математической физики, и мы на нем совсем не будем останавливаться. Из методов первой группы мы рассмотрим лишь вариационные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных и близкий к ним метод Галеркина.
Наиболее широко распространенным методом численного решения задач для дифференциальных уравнений в частных производных является метод сеток, или метод конечных разностей, а также метод характеристик решения уравнений и систем уравнений гиперболического типа, который в сущности также является конечноразностным методом, только в этом методе дифференциальное уравнение в частных производных или система таких уравнений предварительно сводится к эквивалентной ей системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая и решается разностным методом. Описанию метода сеток для решения некоторых задач математической физики в основном и посвящена эта глава.
Особое место занимает метод прямых, который в зависимости от способа его реализации может быть отнесен как к той, так и к другой группе методов. В этом методе ищется приближенно решение дифференциального уравнения в частных производных вдоль некоторого семейства прямых. При этом вместо дифференциального уравнения в частных производных получается система обыкновенных дифференциальных уравнений. Если эта система решается в конечном виде, то мы получаем приближенное решение дифференциального уравнения в частных производных в виде системы функций, приближенно представляющих искомое решение вдоль рассматриваемых прямых. Если же система обыкновенных дифференциальных уравнений решается численными методами, то и приближенное решение уравнения в частных производных получается в виде таблицы, и в этом случае этот метод можно отнести к группе численных методов.
В последнем параграфе главы изложены методы приближенного решения линейных интегральных уравнений типа Фредгольма и Вольтерра.
В силу значительных трудностей, возникающих при приближенном решении дифференциальных уравнений в частных производных мы ограничимся при изложении из педагогических соображений только простейшими уравнениями и простейшими задачами для них, причем во многих случаях не приводятся доказательства сходимости, а также оценки погрешностей, если даже они существуют. Это отнюдь не означает, что описанные методы неприменимы для решения других более сложных задач.