Примеры с целыми и десятые сотые. Десятичные дроби: определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями. Что такое десятичная запись дробных чисел
Инструкция
Научитесь переводить десятичные дроби в обыкновенные. Посчитайте, сколько знаков отделено запятой. Одна цифра справа от запятой означает, что знаменатель - 10, две - 100, три - 1000 и так далее. Например, десятичная дробь 6,8 как «шесть целых, восемь ». При преобразовании ее напишите сначала количество целых единиц - 6. В знаменателе напишите 10. В числителе будет стоять число 8. Получится, что 6,8 = 6 8/10. Вспомните правила сокращения. Если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, то дробь можно сократить на общий делитель. В данном случае это число 2. 6 8/10 = 6 2/5.
Попробуйте сложить десятичные дроби . Если вы делаете это в столбик, то будьте внимательны. Разряды всех чисел должны находиться строго друг под другом, - под запятой. Правила сложения точно такие же, как и при действии с . Прибавьте к тому же числу 6,8 другую десятичную дробь - например, 7,3. Запишите тройку под восьмеркой, запятую - под запятой, а семерку - под шестеркой. Складывать начните с последнего разряда. 3+8=11, то есть 1 запишите, 1 запомните. Далее сложите 6+7, получите 13. Прибавьте то, что оставалось в уме и запишите результат - 14,1.
Вычитание выполняется по тому же принципу. Разряды запишите друг под другом, запятую - под запятой. Ориентируйтесь всегда по ней, особенно если количество цифр после нее в уменьшаемом меньше, чем в вычитаемом. Отнимите от заданного числа, например, 2,139. Двойку запишите под шестеркой, единицу - под восьмеркой, остальные две цифры - под следующими разрядами, которые можно обозначить нулями. Получится, что уменьшаемое не 6,8, а 6,800. Выполнив данное действие, вы получите в итоге 4,661.
Действия с отрицательными выполняются точно так же, как и с числами. При сложении минус выносится за скобку, а в скобках заданные числа, и между ними ставится плюс. В итоге получается . То есть при сложении -6,8 и -7,3 вы получите тот же самый результат 14,1, но со знаком "-" перед ним. Если вычитаемое больше уменьшаемого, то минус тоже выносится за скобку, из большего числа вычитается меньшее. Вычтите из 6,8 число -7,3. Преобразуйте выражение следующим образом. 6,8 - 7,3= -(7,3 - 6,8) = -0,5.
Для того чтобы умножить десятичные дроби , на время забудьте о запятой. Перемножьте их так, перед вами целые числа. После этого сосчитайте количество знаков, стоящих справа после запятой в обоих сомножителях. Отделите столько же знаков и в произведении. Перемножив 6,8 и 7,3, в итоге вы получите 49,64. То есть справа от запятой у вас окажутся 2 знака, в то время как в множимом и множителе их было по одному.
Разделите заданную дробь на какое-нибудь целое число. Это действие выполняется точно так же, как и с целыми числами. Главное - не забыть про запятую и в начале поставить 0, если количество целых единиц не делится на делитель. Например, попробуйте разделить те же самые 6,8 на 26. В начале поставьте 0, поскольку 6 меньше, чем 26. Отделите его запятой, дальше уже пойдут десятые и сотые. В итоге получится приблизительно 0,26. На самом деле в данном случае получается бесконечная непериодическая дробь, которую можно округлить до нужной степени точности.
При делении двух десятичных дробей воспользуйтесь свойством, что при умножении делимого и делителя на одно и то же число частное не меняется. То есть преобразуйте обе дроби в целые числа, в зависимости от того, сколько знаков стоит после запятой. Если вы хотите разделить 6,8 на 7,3, достаточно умножить оба числа на 10. Получится, что делить нужно 68 на 73. Если же в одном из чисел разрядов после запятой больше, преобразуйте в целое число сначала его, а затем уже и второе число. Умножьте его на то же число. То есть при делении 6,8 на 4,136 увеличьте делимое и делитель не в 10, а в 1000 раз. Разделив 6800 на 1436, получите в результате 4,735.
Урок: Де-ся-тич-ная за-пись дроб-ных чисел
Дробные числа
Зна-ме-на-тель дроби может быть вы-ра-жен любым на-ту-раль-ным чис-лом. Дроб-ные числа, в ко-то-рых зна-ме-на-тель вы-ра-жен чис-лом 10; 100; 1000;… усло-ви-лись за-пи-сы-вать без зна-ме-на-те-ля. Любое дроб-ное число, в зна-ме-на-те-ле ко-то-ро-го 10; 100; 1000 и т.д. (то есть еди-ни-ца с несколь-ки-ми ну-ля-ми), можно пред-ста-вить в виде де-ся-тич-ной за-пи-си (в виде де-ся-тич-ной дроби). Сна-ча-ла пишут целую часть, затем чис-ли-тель дроб-ной части, и целую часть от дроб-ной от-де-ля-ют за-пя-той.
На-при-мер,
Если целая часть от-сут-ству-ет, т.е. дробь пра-виль-ная, тогда целую часть за-пи-сы-ва-ют в виде 0.
Запись десятичной дроби
Чтобы пра-виль-но за-пи-сать де-ся-тич-ную дробь, чис-ли-тель дроб-ной части дол-жен иметь столь-ко же зна-ков, сколь-ко нулей в дроб-ной части.
1. За-пи-ши-те в виде де-ся-тич-ной дроби.
2. Пред-ста-вить де-ся-тич-ную дробь в виде дроби или сме-шан-но-го числа.
3. Про-чи-тай-те де-ся-тич-ные дроби.
12,4 - 12 целых 4 де-ся-тых;
0,3 - 0 целых 3 де-ся-тых;
1,14 - 1 целая 14 сотых;
2,07 - 2 целых 7 сотых;
0,06 - 0 целых 6 сотых;
0,25 - 0 целых 25 сотых;
1,234 - 1 целая 234 ты-сяч-ных;
1,230 - 1 целая 230 ты-сяч-ных;
1,034 - 1 целая 34 ты-сяч-ных;
1,004 - 1 целая 4 ты-сяч-ных;
1,030 - 1 целая 30 ты-сяч-ных;
0,010101 - 0 целых 10101 мил-ли-он-ных.
4. Пе-ре-не-си-те за-пя-тую в каж-дой цифре на 1 раз-ряд влево и про-чи-тай-те числа.
34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.
5. Пе-ре-не-си-те за-пя-тую в каж-дом из чисел на 1 раз-ряд впра-во и про-чи-тай-те по-лу-чив-ше-е-ся число.
1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.
6. Вы-ра-зи-те в мет-рах и сан-ти-мет-рах.
3,28 м = 3 м + .
7. Вы-ра-зи-те в тон-нах и ки-ло-грам-мах.
24,030 т = 24 т .
8. За-пи-ши-те в виде де-ся-тич-ной дроби част-ное.
1710: 100 = 
;
64: 10000 = 
803: 100 = 
407: 10 = 
В виде:
± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …
где ± — знак дроби: или +, или -,
, — десятичная запятая, которая служит разделителем меж целой и дробной частями числа,
d k — десятичные цифры.
При этом порядок следования цифр до запятой (слева от неё) имеет конец (как min 1-на цифра), а после запятой (справа) — может быть и конечной (как вариант, цифр после запятой может вообще не быть), и бесконечной.
Значением десятичной дроби ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … есть действительное число:
которое равно сумме конечного либо бесконечного количества слагаемых.
Представление действительных чисел при помощи десятичных дробей есть обобщение записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа десятичной дробью нет цифр после запятой, и т.о., это представление выглядит так:
± d m … d 1 d 0 ,
И это совпадает с записью нашего числа в десятичной системе счисления.
Десятичная дробь - это итог деления 1-цы на 10, 100, 1000 и так далее частей. Эти дроби довольно удобны для вычислений, т.к. они основываются на такой же позиционной системе , на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями практически такие же, как и для целых чисел.
Записывая десятичные дроби не нужно отмечать знаменатель, он определяется местом, занимаемым соответствующей цифрой. Вначале пишем целую часть числа, далее справа ставим десятичную точку. Первая цифра после десятичной точки обозначает число десятых, вторая - число сотых, третья - число тысячных и так далее. Цифры, которые расположены после десятичной точки, являются десятичными знаками .
Например: 
Одно из преимуществ десятичных дробей таково, что их очень просто можно привести к виду обыкновенных: число после десятичной точки (у нас это 5047) - это числитель ; знаменатель равен n -ой степени 10, где n - число десятичных знаков (у нас это n = 4 ):
Когда в десятичной дроби нет целой части, значит, перед десятичной точкой ставим нуль:
Свойства десятичных дробей.
1. Десятичная дробь не изменяется, когда справа добавляются нули:
13.6 =13.6000.
2. Десятичная дробь не изменяется, когда удаляются нули, которые расположены в конце десятичной дроби:
0.00123000 = 0.00123.
Внимание! Нельзя удалять нули, которые расположенные НЕ в конце десятичной дроби!
3. Десятичная дробь увеличивается в 10, 100, 1000 и так далее раз, когда переносим десятичную точку на соответственно 1-ну, 2, 2 и так далее позиций правее:
3.675 → 367.5 (дробь увеличилась в сто раз).
4. Десятичная дробь становится меньше в десять, сто, тысячу и так далее раз, когда переносим десятичную точку на соответственно 1-ну, 2, 3 и так далее позиций левее:
1536.78 → 1.53678 (дробь стала меньше в тысячу раз).
Виды десятичных дробей.
Десятичные дроби делятся на конечные , бесконечные и периодические десятичные дроби .
Конечная десятичная дробь - это дробь, содержащая конечное количество цифр после запятой (или их там нет совсем), т.е. выглядит так:
Действительное число можно представить как конечную десятичную дробь лишь в том случае, если это число есть рациональным и при записи его несократимой дробью p/q знаменатель q не имеет простых делителей, которые отличны от 2 и 5.
Бесконечная десятичная дробь .
Содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, которая называется периодом . Период записывается в скобках. Например, 0.12345123451234512345… = 0.(12345) .
Периодическая десятичная дробь - это такая бесконечная десятичная дробь, в которой последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, является периодически повторяющейся группой цифр. Иными словами, периодическая дробь — десятичная дробь, выглядящая так:
Подобную дробь обычно кратко записывают так:
Группа цифр b 1 … b l , которая повторяется, является периодом дроби , число цифр в этой группе является длиной периода .
Когда в периодической дроби период идет сразу после запятой, значит, дробь является чистой периодической . Когда между запятой и 1-ым периодом есть цифры, то дробь является смешанной периодической , а группа цифр после запятой до 1-го знака периода — предпериодом дроби .
Например , дробь 1,(23) = 1,2323… есть чистой периодической, а дробь 0,1(23)=0,12323… — смешанной периодической.
Основное свойство периодических дробей , благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и лишь они представляют рациональные числа . Точнее, имеет место следующее:
Любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, когда рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, значит, эта дробь будет периодической.
Десятичная дробь используется, когда нужно выполнять действия с нецелыми числами. Это может показаться нерациональным. Но такой вид чисел существенно облегчает математические операции, которые с ними необходимо выполнять. Это понимание приходит со временем, когда их запись становится привычной, а прочтение не вызывает трудностей, и освоены правила десятичных дробей. Тем более что все действия повторяют уже известные, которые усвоены с натуральными числами. Только нужно запомнить некоторые особенности.
Определение десятичной дроби
Десятичная дробь — это особое представление нецелого числа со знаменателем, который делится на 10, а ответ получается в виде единицы и, возможно, нулей. Другими словами, если в знаменателе 10, 100, 1000 и так далее, то удобнее переписать число с использованием запятой. Тогда до нее будет расположена целая часть, а потом - дробная. Причем запись второй половины числа будет зависеть от знаменателя. Количество цифр, которые находятся в дробной части, должно быть равно разряду знаменателя.
Проиллюстрировать вышесказанное можно этими числами:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Причины, по которым понадобилось применение десятичных дробей
Математикам потребовались десятичные дроби по нескольким основаниям:
Упрощение записи. Такая дробь расположена вдоль одной линии без черточки между знаменателем и числителем, при этом наглядность не страдает.
Простота в сравнении. Достаточно просто соотнести цифры, находящиеся в одинаковых позициях, в то время как с обыкновенными дробями пришлось бы приводить их к общему знаменателю.
Упрощение вычислений.
Калькуляторы не рассчитаны на введение обыкновенных дробей, они для всех операций используют десятичную запись чисел.
Как правильно прочитать такие числа?
Ответ прост: так же, как обыкновенное смешанное число со знаменателем, кратным 10. Исключение составляют только дроби без целого значения, тогда при чтении нужно произносить «ноль целых».
Например, 45/1000 нужно произнести как сорок пять тысячных , в то же время 0,045 будет звучать как ноль целых сорок пять тысячных .
Смешанное число с целой частью равной 7 и дробью 17/100, что запишется как 7,17, в обоих случаях будет прочитано как семь целых семнадцать сотых .
Роль разрядов в записи дробей
Верно отметить разряд - это то, что требует математика. Десятичные дроби и их значение могут существенно измениться, если записать цифру не в том месте. Впрочем, это было справедливо и раньше.
Для прочтения разрядов целой части десятичной дроби нужно просто воспользоваться правилами, известными для натуральных чисел. А в правой части они зеркально отражаются и по-другому читаются. Если в целой части звучало "десятки", то после запятой это будут уже "десятые".
Наглядно это можно увидеть в этой таблице.
| класс | тысячи | единицы | , | дробная часть | |||||||
| разряд | сот. | дес. | ед. | сот. | дес. | ед. | десятая | сотая | тысячная | десятитысячная | |
Как правильно записать смешанное число десятичной дробью?
Если в знаменателе стоит число, равное 10 или 100, и прочие, то вопрос о том, как дробь перевести в десятичную, несложен. Для этого достаточно по-другому переписать все ее составные части. В этом помогут такие пункты:
немного в стороне написать числитель дроби, в этот момент десятичная запятая располагается справа, после последней цифры;
переместить запятую влево, здесь самое главное - правильно сосчитать цифры — передвинуть ее нужно на столько позиций, сколько нолей в знаменателе;
если их не хватает, то на пустых позициях должны оказаться нули;
нули, которые были в конце числителя, теперь не нужны, и их можно зачеркнуть;
перед запятой приписать целую часть, если ее не было, то здесь тоже окажется нуль.
Внимание. Нельзя зачеркивать нули, которые оказались окружены другими цифрами.
О том, как быть в ситуации, когда в знаменателе число не только из единицы и нулей, как дробь переводить в десятичную, можно прочитать чуть ниже. Это важная информация, с которой обязательно стоит ознакомиться.
Как дробь перевести в десятичную, если знаменатель - произвольное число?
Здесь возможны два варианта:
Когда знаменатель можно представить в виде числа, которое равно десяти в любой степени.
Если такую операцию проделать нельзя.
Как это проверить? Нужно разложить знаменатель на множители. Если в произведении присутствуют только 2 и 5, то все хорошо, и дробь легко преобразуется в конечную десятичную. В противном случае, если появляются 3, 7 и другие простые числа, то результат будет бесконечным. Такую десятичную дробь для удобства использования в математических операциях принято округлять. Об этом будет речь немного ниже.
Изучает, как получаются такие десятичные дроби, 5 класс. Примеры здесь будут очень кстати.
Пусть в знаменателях находятся числа: 40, 24 и 75. Разложение на простые множители для них будет такое:
- 40=2·2·2·5;
- 24=2·2·2·3;
- 75=5·5·3.
В этих примерах только первая дробь может быть представлена в виде конечной.
Алгоритм перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную
Проверить разложение знаменателя на простые множители и убедиться в том, что оно будет состоять из 2 и 5.
Добавить к этим числам столько 2 и 5, чтобы их стало равное количество. Они дадут значение дополнительного множителя.
Произвести умножение знаменателя и числителя на это число. В результате получится обыкновенная дробь, под чертой у которой стоит 10 в некоторой степени.
Если в задаче эти действия выполняются со смешанным числом, то его сначала нужно представить в виде неправильной дроби. А уже потом действовать по описанному сценарию.
Представление обыкновенной дроби в виде округленной десятичной
Этот способ того, как дробь переводить в десятичную, кому-то покажется даже проще. Потому что в нем нет большого количества действий. Нужно только разделить значение числителя на знаменатель.
К любому числу с десятичной частью справа от запятой можно приписать бесконечное количество нулей. Этим свойством и нужно воспользоваться.
Сначала записать целую часть и поставить после нее запятую. Если дробь правильная, то написать ноль.
Потом полагается выполнить деление числителя на знаменатель. Так, чтобы количество цифр у них было одинаковым. То есть приписать справа у числителя нужное количество нолей.
Выполнять деление в столбик до тех пор, пока не будет набрано нужное количество цифр. Например, если округлить нужно будет до сотых, то в ответе их должно быть 3. В общем, цифр должно быть на одну больше, чем нужно получить в итоге.
Записать промежуточный ответ после запятой и округлить по правилам. Если последняя цифра - от 0 до 4, то ее нужно просто отбросить. А когда она равна 5-9, то стоящую перед ней нужно увеличить на единицу, отбросив последнюю.
Возврат от десятичной дроби к обыкновенной
В математике встречаются задачи, когда десятичные дроби удобнее представить в виде обыкновенных, в которых есть числитель со знаменателем. Можно вздохнуть с облегчением: эта операция возможна всегда.
Для этой процедуры нужно сделать следующее:
записать целую часть, если она равна нулю, то ничего писать не надо;
провести дробную черту;
над ней записать цифры из правой части, если первыми идут нули, то их нужно зачеркнуть;
под чертой написать единицу с таким количеством нолей, сколько цифр стоит после запятой в первоначальной дроби.
Это все, что нужно сделать, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную.
Что можно делать с десятичными дробями?
В математике это будут определенные действия с десятичными дробями, которые ранее выполнялись для других чисел.
Ими являются:
сравнение;
сложение и вычитание;
умножение и деление.
Первое действие, сравнение, похоже на то, как это делалось для натуральных чисел. Чтобы определить, какое больше, нужно сравнивать разряды целой части. Если они окажутся равными, то переходят к дробной и так же по разрядам сравнивают их. То число, где окажется большая цифра в старшем разряде, и будет ответом.
Сложение и вычитание десятичных дробей
Это, пожалуй, самые простые действия. Потому что выполняются по правилам для натуральных чисел.
Так, чтобы выполнить сложение десятичных дробей, их нужно записать друг под другом, разместив запятые в столбик. При такой записи слева от запятых оказываются целые части, а справа — дробные. И теперь нужно сложить цифры поразрядно, как это делается с натуральными числами, снеся вниз запятую. Начинать сложение нужно с самого маленького разряда дробной части числа. Если в правой половине не хватает цифр, то дописывают нули.
При вычитании действуют так же. И здесь действует правило, которое описывает возможность занять единицу у старшего разряда. Если в уменьшаемой дроби после запятой меньше цифр, чем у вычитаемого, то в ней просто приписывают нули.
Немного сложнее обстоит дело с заданиями, где нужно выполнить умножение и деление десятичных дробей.
Как умножить десятичную дробь в разных примерах?
Правило, по которому производится умножение десятичных дробей на натуральное число, такое:
записать их в столбик, не обращая внимания на запятую;
перемножить, как если бы они были натуральными;
отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробной части исходного числа.
Частным случаем является пример, в котором натуральное число равно 10 в любой степени. Тогда для получения ответа нужно просто передвинуть запятую вправо на столько позиций, сколько нулей в другом множителе. Иными словами, при умножении на 10 запятая сдвигается на одну цифру, на 100 - их будет уже две, и так далее. Если цифр в дробной части не хватает, то нужно записать на пустых позициях нули.
Правило, которым пользуются, когда в задании нужно произвести умножение десятичных дробей на другое такое же число:
записать их друг под другом, не обращая внимания на запятые;
умножить, как если бы они были натуральными;
отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробных частях обеих исходных дробях вместе.
Частным случаем выделяются примеры, в которых один из множителей равен 0,1 или 0,01 и далее. В них нужно выполнить перемещение запятой влево на количество цифр в представленных множителях. То есть если умножается на 0,1, то запятая сдвигается на одну позицию.
Как разделить десятичную дробь в разных заданиях?
Деление десятичных дробей на натуральное число выполняется по такому правилу:
записать их для деления в столбик, как если бы они были натуральными;
делить по привычному правилу до тех пор, пока не закончится целая часть;
поставить в ответ запятую;
продолжить деление дробной составляющей до получения в остатке нуля;
если нужно, то можно приписать нужное количество нулей.
Если целая часть равна нулю, то и в ответе ее тоже не будет.
Отдельно стоит деление на числа, равные десятке, сотне и так далее. В таких задачах нужно передвинуть запятую влево на количество нулей в делителе. Бывает, что цифр в целой части не хватает, тогда вместо них используют нули. Можно заметить, что эта операция подобна умножению на 0,1 и подобным ей числам.
Чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно воспользоваться этим правилом:
превратить делитель в натуральное число, а для этого перенести в нем запятую вправо до конца;
выполнить перемещение запятой и в делимом на такое же число цифр;
действовать по предыдущему сценарию.
Выделяется деление на 0,1; 0,01 и прочие подобные числа. В таких примерах запятая сдвигается вправо на число цифр в дробной части. Если они закончились, то нужно приписать недостающее количество нулей. Стоит отметить, что это действие повторяет деление на 10 и подобные ему числа.
Заключение: все дело в практике
Ничто в учебе не дается легко и без усилий. Для надежного освоения нового материала требуются время и тренировка. Математика не исключение.
Чтобы тема про десятичные дроби не вызывала затруднений, нужно решать с ними примеров как можно больше. Ведь было время, когда и сложение натуральных чисел ставило в тупик. А теперь все нормально.
Поэтому, перефразируя известную фразу: решать, решать и еще раз решать. Тогда и задания с такими числами будут выполняться легко и непринужденно, как очередная головоломка.
Кстати, и головоломки поначалу решаются сложно, а потом нужно делать привычные движения. Так же и в математических примерах: пройдя по одному пути несколько раз, потом уже не будешь задумываться над тем, куда повернуть.
дробного числа.
Десятичная запись дробного числа представляет собой набор двух и более цифр от $0$ до $9$, между которыми находится так называемая \textit{десятичная запятая}.
Пример 1
Например, $35,02$; $100,7$; $123 \ 456,5$; $54,89$.
Крайняя левая цифра в десятичной записи числа не может быть нулем, исключением является только случай, когда десятичная запятая стоит сразу после первой цифры $0$.
Пример 2
Например, $0,357$; $0,064$.
Часто десятичную запятую заменяют десятичной точкой. Например, $35.02$; $100.7$; $123 \ 456.5$; $54.89$.
Определение десятичной дроби
Определение 1
Десятичные дроби -- это дробные числа, которые представлены в десятичной записи.
Например, $121,05$; $67,9$; $345,6700$.
Десятичные дроби используются для более компактной записи правильных обыкновенных дробей, знаменателями которых являются числа $10$, $100$, $1 \ 000$ и т.д. и смешанные числа, знаменателями дробной части которых являются числа $10$, $100$, $1 \ 000$ и т.д.
Например, обыкновенную дробь $\frac{8}{10}$ можно записать в виде десятичной дроби $0,8$, а смешанное число $405\frac{8}{100}$ -- в виде десятичной дроби $405,08$.
Чтение десятичных дробей
Десятичные дроби, которые соответствуют правильным обыкновенным дробям , читаются также как и обыкновенные дроби, только впереди добавляется фраза «ноль целых». Например, обыкновенной дроби $\frac{25}{100}$ (читается «двадцать пять сотых») отвечает десятичная дробь $0,25$ (читается «нуль целых двадцать пять сотых»).
Десятичные дроби, которые соответствуют смешанным числам, читаются также как и смешанные числа. Например, смешанному числу $43\frac{15}{1000}$ соответствует десятичная дробь $43,015$ (читается «сорок три целых пятнадцать тысячных»).
Разряды в десятичных дробях
В записи десятичной дроби значение каждой цифры зависит от ее позиции. Т.е. в десятичных дробях также имеет место понятие разряда .
Разряды в десятичных дробях до десятичной запятой называются так же, как и разряды в натуральных числах. Разряды в десятичных дробях после запятой вынесены в таблицу:
Рисунок 1.
Пример 3
Например, в десятичной дроби $56,328$ цифра $5$ стоит в разряде десятков, $6$ - в разряде единиц, $3$ - в разряде десятых, $2$ - в разряде сотых, $8$ -- в разряде тысячных.
Разряды в десятичных дробях различают по старшинству. При чтении десятичной дроби движутся слева направо -- от старшего разряда к младшему .
Пример 4
Например, в десятичной дроби $56,328$ старшим (высшим) разрядом является разряд десятков, а младшим (низшим) -- разряд тысячных.
Десятичную дробь можно разложить по разрядам аналогично разложению по разрядам натурального числа.
Пример 5
Например, разложим по разрядам десятичную дробь $37,851$:
$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$
Конечные десятичные дроби
Определение 2
Конечными десятичными дробями называют десятичные дроби, в записях которых содержится конечное число знаков (цифр).
Например, $0,138$; $5,34$; $56,123456$; $350 972,54$.
Любую конечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную дробь или смешанное число.
Пример 6
Например, конечной десятичной дроби $7,39$ отвечает дробное число $7\frac{39}{100}$, а конечной десятичной дроби $0,5$ соответствует правильная обыкновенная дробь $\frac{5}{10}$ (или любая дробь, которая равна ей, например, $\frac{1}{2}$ или $\frac{10}{20}$.
Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь
Перевод обыкновенных дробей со знаменателями $10, 100, \dots$ в десятичные дроби
Перед переводом некоторых правильных обыкновенных дробей в десятичные их нужно предварительно «подготовить». Результатом такой подготовки должно быть одинаковое количество цифр в числителе и количество нулей в знаменателе.
Суть «предварительной подготовки» правильных обыкновенных дробей к переводу в десятичные дроби -- дописывание слева в числителе такого числа нулей, чтобы общее количество цифр стало равно числу нулей в знаменателе.
Пример 7
Например, подготовим обыкновенную дробь $\frac{43}{1000}$ к переводу в десятичную и получим $\frac{043}{1000}$. А обыкновенная дробь $\frac{83}{100}$ в подготовке не нуждается.
Сформулируем правило перевода правильной обыкновенной дроби со знаменателем $10$, или $100$, или $1 \ 000$, $\dots$ в десятичную дробь :
записать $0$;
после него поставить десятичную запятую;
записать число из числителя (вместе с дописанными нулями после подготовки, если она была нужна).
Пример 8
Перевести правильную обыкновенную дробь $\frac{23}{100}$ в десятичную.
Решение.
В знаменателе стоит число $100$, которое содержит $2$ два нуля. В числителе стоит число $23$, в записи которого $2$.цифры. значит, подготовку для этой дроби к переводу в десятичную проводить не нужно.
Запишем $0$, поставим десятичную запятую и запишем число $23$ из числителя. Получим десятичную дробь $0,23$.
Ответ : $0,23$.
Пример 9
Записать правильную дробь $\frac{351}{100000}$ в виде десятичной дроби.
Решение.
В числителе данной дроби $3$ цифры, а число нулей в знаменателе -- $5$, поэтому данную обыкновенную дробь нужно подготовить к переводу в десятичную. Для этого необходимо дописать $5-3=2$ нуля слева в числителе: $\frac{00351}{100000}$.
Теперь можем составить нужную десятичную дробь. Для этого запишем $0$, затем поставим запятую и запишем число из числителя. Получим десятичную дробь $0,00351$.
Ответ : $0,00351$.
Сформулируем правило перевода неправильных обыкновенных дробей со знаменателями $10$, $100$, $\dots$ в десятичные дроби :
записать число из числителя;
отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.
Пример 10
Перевести неправильную обыкновенную дробь $\frac{12756}{100}$ в десятичную дробь.
Решение.
Запишем число из числителя $12756$, затем отделим десятичной запятой $2$ цифры справа, т.к. в знаменателе исходной дроби $2$ нуля. Получим десятичную дробь $127,56$.
