Составить уравнение кругового цилиндра. Основные поверхности пространства и их построение

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой I. При этом линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих эту поверхность и параллельных прямой - образующей (рис. 89). В дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Рассмотрим в плоскости Оху некоторую линию L, имеющую в системе координат Оху уравнение

Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz и направляющей L (рис. 90). Покажем, что уравнением этой поверхности будет уравнение (39), если его отнести к системе координат в пространстве . Пусть - любая фиксированная точка построенной цилиндрической поверхности.

Обозначим через N точку пересечения направляющей L и образующей, проходящей через точку М. Точка очевидно, будет проекцией точки М на плоскость Поэтому точки М и N имеют одну и ту же абсциссу и одну и ту же ординату у. Но точка N лежит на кривой L, и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (39) этой кривой. Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки , так как не содержит . Таким образом, координаты любой точки данной цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению (39). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (39) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость вне кривой

Таким образом, не содержащее уравнение если его отнести к системе координат в пространстве , является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси и направляющей L, которая в плоскости задается тем же уравнением

В пространстве направляющая L определяется системой двух уравнений:

Аналогично можно показать, что уравнение не содержащее у, и уравнение не содержащее определяют в пространстве Охуг цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям

Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей.

1. Поверхность, определяемая уравнением

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 91).

Ее образующие параллельны оси а направляющей является эллипс с полуосями а и b, лежащий в плоскости . В частности, если то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение

2. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется гиперболическим цилиндром (рис. 92). Образующие этой поверхности параллельны оси а направляющей служит расположенная в плоскости гипербола с действительной полуосью а и мнимой полуосью b.

3. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется параболическим цилиндром (рис. 93). Ее направляющей является парабола, лежащая в плоскости , а образующие параллельны оси Ох.

Замечание. Как известно, прямая в пространстве может быть задана уравнениями различных пар плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть задана с помощью уравнений различных поверхностей, пересекающихся по этой кривой.

Определение. Цилиндрической поверхностью называется множество параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой линии, называемой направляющей .

Пусть цилиндрическая поверхность задана таким образом в прямоугольной системе координат OXYZ, что образующие этой

поверхности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением:

Если взять произвольную точку M(z,y,z) на цилиндрической поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M 1 (х 1 ,у 1 ,0). Так как точки M и М 1 лежат на образующей, то х 1 =х, у 1 =у. А так как точка М 1 лежит на направляющей, то координаты точки М 1 , а, значит, и точки M, удовлетворяют уравнению F(x,у)=0.

Итак, уравнению удовлетворяют координаты любой точки

цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение

– искомое уравнение цилиндрической поверхности .

Если в прямоугольной системе координат OXYZ направляющая является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F(x,у)=0, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:

х 2 +y 2 =z 2 - прямой круговой цилиндр ;

2)
- эллиптический цилиндр ;

3)
-гиперболический цилиндр ;

4) у 2 =2рх - параболический цилиндр .

Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых цилиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.

Конические поверхности

Определение . Конической поверхностью называется множество прямых (образующих ), проходящих через некоторую точку (вершину) и пересекающих некоторую линию (направляющую) .

Коническая ПВП - коническая поверхность с направляющей, являющейся КВП.

Если вершина совпадает с началом прямоугольной системы координат OXY, а направляющей служит эллипс:

То уравнение конической поверхности имеет вид:

– уравнение конической поверхности

Поверхности вращения

Определение. Поверхность называется поверхностью вращения, если она вместе с каждой своей точкой содержит и всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой, называемой осью вращении .

Пусть на плоскости YOZ задана кривая линия l уравнением вида

Тогда уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой l вокруг оси OZ имеет вид:

Эллипсоид

Гиперболоид.

Однополостный гиперболоид:

Каноническое уравнение двухполо c ного гиперболоида имеет вид:

Параболоид

Эллиптический параболоид.

z=ах 2 +by 2 (а,b>0).

Гиперболический параболоид.

z=-ax 2 +by 2 (a,b>0)

Литература:

1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М: Наука, 1979.

2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976.

3. Бузланов А.В., Монахов В.С. Лабораторные работы по курсу «Алгебра и теория чисел». – Гомель: Ротапринт ГГУ им. Ф. Скорины, 1991.

4. Бузланов А.В., Каморников С.Ф., Кармазин А.П. Лабораторные работы по курсу «Алгебра и теория чисел» (раздел «Линейная алгебра») для студентов математического факультета. Часть I, II, III. – Гомель: Ротапринт ГГУ им. Ф. Скорины, 1990, 1991.

5. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачёв М.М., Феденко А.О. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. – Мн.: Университетское, 1989.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1982.

7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.

8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.

9. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть I, II. – Мн.: Вышэйшая школа, 1984, 1987.

10. Рублёв А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Вышэйшая школа, 1972.

Учебное издание

ХОДАЛЕВИЧ АЛЕКСАНДР ДМИТРИЕВИЧ

БОРОДИЧ РУСЛАН ВИКТОРОВИЧ

РЫЖИК ВАЛЕНТИНА НИКОЛАЕВНА

страница 1
Тема 2. Поверхности второго порядка.

§1. Цилиндрические и конические поверхности.

Определение . Конической поверхностью (конусом) с вершиной в точке называется поверхность, которая с каждой своей точкой М
содержит всю прямую
.

Коническую поверхность будем получать следующим образом. Рассмотрим в пространстве линию и точку ,
. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку и всеми прямыми, каждая и которых проходит через точку и пересекает линию , является конической поверхностью. Линия называется направляющей , прямые – образующими .

Задачи.


Решение. Заметим, что направляющая конуса задана как пересечение двух множеств: поверхности
и плоскости
. Пусть произвольная точка
, то есть прямая
должна пересекать направляющую . Тогда
, то есть прямолинейная образующая
конической поверхности К пересекает плоскость
(нарисуйте картинку). Запишем эти условия в виде уравнений.

. Найдем координаты
точки пересечения прямой
с плоскостью .

. Найденные координаты
должны удовлетворять уравнению поверхности
. Получим

Переобозначив переменные, получим

Решение. Пусть






. Это уравнение искомой конической поверхности. 
Определение. Поверхность, содержащая с каждой своей точкой всю прямую, проходящую через эту точку параллельно некоторому фиксированному вектору , называется цилиндрической поверхностью или цилиндром.

Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом. Пусть - некоторая линия, а - ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линии параллельно вектору , будет цилиндрической. Линия называется направляющей , прямые – образующими .

Решение. Заметим, что направляющая цилиндра задана как пересечение двух множеств: поверхности
и плоскости
. Образующие цилиндра параллельны вектору
. Пусть
Ц. Проведем прямую параллельно вектору
через точку М. Эта прямая должна пересекать направляющую цилиндра, то есть
, где
, то есть прямая , проходящая через точку М параллельно вектору пересекает плоскость в точке, принадлежащей поверхности
. Запишем эти условия в виде уравнений.

Параметрические уравнения прямой :
. Пересечем эту прямую с плоскостью и найдем координаты
точки пересечения: . Координаты этой точки удовлетворяют уравнению поверхности
, то есть

. Переобозначив переменные, получим уравнение искомой цилиндрической поверхности:
. 

Решение. Пусть
Ц
. Вычислим
, где
. Тогда
.

Аналогично находим
. Итак, получим . Это уравнение искомой цилиндрической поверхности. 

Решение. Пусть
. Это уравнение искомой конической поверхности. 

Задачи к проверочной работе.


20 * . Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения, зная уравнения трех ее образующих , , (ПДСК).

21 * . Написать уравнение кругового конуса, если ост координат являются его прямолинейными образующими, ось лежит в 1 и 7 октантах (АСК).

22 * . Написать уравнение конуса, описанного около сфер
и
(ПДСК).
§2. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

Определение . Прямая, лежащая на поверхности, называется прямолинейной образующей этой поверхности.

Задачи.

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой , проходящей через точку
параллельно некоторому вектору
. Координаты этого вектора нам нужно найти или доказать, что он не существует, используя то, что прямая является прямолинейной образующей. Запишем параметрические уравнения прямой :
. Рассмотрим систему уравнений
. Эта система уравнений задает общие точки прямой и поверхности
. Чтобы прямая была прямолинейной образующей, она должна содержаться в поверхности, то есть рассматриваемая система должна иметь бесконечно много решений, то есть четвертое уравнение системы должно выполняться при любом . Рассмотрим его подробнее:

Чтобы это уравнение выполнялось при любом надо, чтобы

. Итак, мы получили два направляющих вектора, для которых прямая содержится в поверхности:
и
. Непосредственная проверка показывает, что эти векторы задают прямолинейные образующие. Тогда через данную точку
проходят две прямолинейные образующие данной поверхности. 
Рассмотрим каноническое уравнение однополостного гиперболоида
и представим его в виде
. Тогда уравнения двух семейств прямолинейных образующих имеют вид:

;
, где

Где
.

Нам нужно найти такие числа
, чтобы прямолинейные образующие были перпендикулярны оси
. Для этого найдем направляющие векторы этих прямых.

. Тогда

Тогда . Потребуем, чтобы
, то есть

. Подставим в уравнения . Получим

и
.

Семейство рассматривается аналогично. 

Решение. Запишем уравнение однополостного гиперболоида в виде и запишем уравнения двух семейств прямолинейных образующих

Где
.

Нам нужно найти такие числа
, чтобы прямолинейные образующие проходили через точку (1,0,0). Рассмотрим прямые семейства
. Так как точка (1,0,0) должна принадлежать таким прямым, то ее координаты удовлетворяют этой системе уравнений, то есть
. Подставим это в уравнения и сократим на . Тогда
- уравнения искомой прямолинейной образующей. Второе семейство прямолинейных образующих рассматривается аналогично. 

Рассмотрим каноническое уравнение гиперболического параболоида
и представим его в виде
. Тогда уравнения двух семейств прямолинейных образующих имеют вид:
;
, где
и хотя бы одно число в каждой паре отлично от нуля.


и составим уравнения двух семейств прямолинейных образующих

, где

, чтобы прямолинейные образующие были параллельны плоскости
. Имеем
, то есть
. Так как параллелен плоскости
, по критерию параллельности вектора и плоскости получим
. Подставим в уравнения .

. Это противоречит требованию, чтобы хотя бы одно число пары
было отлично от нуля. Решения в этом случае нет.

- искомое решение. Аналогично рассматривается случай . 


Решение. Запишем уравнения гиперболического параболоида в виде
и составим уравнения двух семейств прямолинейных образующих
, где
и хотя бы одно число в каждой паре отлично от нуля. Нам нужно найти такие числа
, чтобы прямолинейные образующие лежали в плоскости
. Найдем направляющий вектор прямых семейства .

, то есть

не содержится в плоскости
(а параллельна ей).

Рассмотрим второе семейство
и проведем аналогичные вычисления.

, то есть
. Чтобы прямая содержалась в плоскости, ее направляющий вектор должен быть параллелен этой плоскости, то есть

. В первом случае получаем противоречивую систему (аналогично предыдущей задаче), а во втором случае имеем
. Чтобы убедиться, что эта прямая лежит в плоскости
, нам достаточно взять любую точку на плоскости, например, (-1,0,0) и проверить, принадлежит ли эта точка прямой . Подставляя координаты (-1,0,0) в уравнения , видим, что точка не принадлежит прямой, то есть прямая не содержится в плоскости
(а параллельна ей). Итак, мы получили, что не существует прямолинейных образующих, принадлежащих плоскости
. 

Задачи к проверочной работе.


§3. Метод сечений. Изображение поверхностей второго порядка 1 .

Задачи.


Решение. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
. Найдем его сечение плоскостью
. В этой плоскости есть "плоская" система координат
. Точка
в
и та же точка
в
. Если М принадлежит эллипсоиду, то ее "пространственные" координаты удовлетворяют уравнению эллипсоида, то есть верно равенство
или
. На это равенство можно посмотреть как на соотношение координат
в
, то есть мы получили уравнение линии пересечения эллипсоида и плоскости
в системе координат
. Сравним полученное равенство с данным в условии задачи. Получим
. Тогда каноническое уравнение эллипсоида принимает вид:
. Нам осталось найти только значение . Для этого используем то, что точка
принадлежит эллипсоиду, то есть ее координаты удовлетворяют его уравнению:
. Итак, каноническое уравнение эллипсоида
. 


Решение. Рассмотрим поверхность
, и будем исследовать ее методом сечений, то есть пересекать эту поверхность координатными плоскостями и плоскостями, им параллельными.

Рассмотрим плоскость
. Тогда уравнение линии пересечения поверхности
с этой плоскостью в "плоской" системе координат
имеет вид
(см. задачу 1). Это уравнение задает гиперболу с вещественной осью
. Рисуем ее на картинке. получаем положительное число. Разделив на это число обе части уравнения, получим. 

С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.

Чем отличается этот справочный материал от аналогов?

Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.

Что нужно уметь на данный момент?

Самое элементарное:

Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций ) .

Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?

Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.

Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.

Начинаем!

На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице) . Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии . Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c :

– уравнение плоскости вида .

– функция плоскости в явном виде .

Давайте с неё и начнём:

Распространенные уравнения плоскостей

Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости . Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.

Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:


Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.

– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;

– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;

– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.

Для самостоятельной разминки:

Пример 1

Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.

Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед . Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.

Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)

Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:

2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;

3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .

Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость) , всегда полезно понимать суть происходящих событий:

Пример 2

Построить плоскость

Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:

Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую , лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.

Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:

Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.

Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство , значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.

Пример 3

Построить плоскости
а) ;
б) .

Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.

На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:

Пример 4

Построить плоскость

Решение : в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.

Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .

Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:

Готово.

Уравнение плоскости в отрезках

Важнейшая прикладная разновидность. Если все коэффициенты общего уравнения плоскости отличны от нуля , то оно представимо в виде , который называется уравнением плоскости в отрезках . Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:

Пример 5

Построить плоскость

Решение : сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:

Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна :

Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром . Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).

Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .

Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.

В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность :

Пример 8

Построить поверхность, заданную уравнением

Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».

Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими цилиндра):

Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.

Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.

Пример 9

Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость

Перепишем уравнение в виде из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает круговой цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:

На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.

Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.

Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).

Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.

А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение.

Пример 10

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости

Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.

Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:

(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка ) – цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.

Параболические цилиндры

Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола .

Пример 11

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.

Не мог удержаться от этого примера =)

Решение : идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра ):

Напоминаю полезный технический приём : если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.

Проекции.

1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .

2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось

3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .

Пример 12

Построить параболические цилиндры:

а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;

б) на промежутке

В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа;-)

Гиперболические цилиндры

Направляющими таких цилиндров являются гиперболы . Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :

Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.

Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка , и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:

Эллипсоид. Сфера и шар

Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид , где – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае различны . Эллипсоидом называют как поверхность , так и тело , ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:

Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае)