Евклид и его вклад в геометрию. Биография Евклида: первый теоретик математики. Научная деятельность основателя геометрии

Трудно представить, что науки, в частности – математика, какой мы ее знаем ныне, зародились более двух тысяч лет назад. Эпоха эллинизма стала благодатной почвой для развития отраслей знаний естественного направления: землеведение, астрономия, физика, а также математика и ее производные. Из учения об измерении земель и выросла наука геометрия (греч. γεωμετρία).

К когорте наиболее прославленных математиков той эпохи можно смело отнести ученого Евклида, которого многие зовут отцом всей нынешней математической теории. Шло время, народы сменяли друг друга, целые цивилизации уходили в небытие, города теряли свои очертания, а его «Начала», начертанные на хрупком и недолговечном папирусе, прошли сквозь века. Давайте попытаемся разобраться, кем был этот человек на самом деле и какие выдающиеся заслуги заставляют нас помнить о нем.

Содержние

Разносторонний Евклид: биография первого математика–подвижника

Это имя наверняка слышал каждый человек старше семи лет, вне зависимости от пола и вероисповедания. Научная деятельность древнего мыслителя развивалась бурно и стремительно: он заложил основы целой области знаний, а также возвел ее на должный уровень. Такой плодотворной карьере может позавидовать любой наш современник. Законы одной из самых сложных дисциплин того времени он, играя, открыл обществу, тем самым указывая совершенно новые пути развития, ранее скрытые пеленой загадок и тайн.

Интересно

Считается, что именно этот ученый подвел итоги развития древнегреческой математики, при этом давая ей направление новых витков движения. Его основополагающий труд содержит колоссальные знания в области теории чисел, планиметрии и стереометрии. Вклад Евклида в науку неоценим, ведь, кроме вышеозначенного, существуют его работы и в иных областях знаний: музыке, оптике и астрономии.

Кратко об отце геометрии

Несмотря на прошедшие столетия с момента его смерти, этот великий греческий ученый недаром считается светилом мировой науки даже в наши дни. Он умудрился значительно опередить свое время и создать стройную систему аксиом, а ко всему еще и изложить собственное видение и понимание в фундаментальном труде под названием «Начала». Он оказался настолько высоким по уровню, что многие века преподавание основ геометрии велось именно по разработанной им системе. Да и сегодня евклидова геометрия злободневна и популярна.

Суть теории проста: ученый приводит предпосылки, не требующие доказательств, разделяя их при этом на постулаты и аксиомы. Первых он предлагает пять, а вторых – семь. Основываться они должно исключительно на непредубеждённой логике. К примеру, один из постулатов гласит: через две произвольные точки на плоскости или в пространстве можно провести прямую (одну), тем самым соединив их. В полном произведении тринадцать книг (томов), посвященных различным разделам геометрии.

Если кратко, Евклидовы научные трактаты переведены на большинство мировых языков, а его система общепринята и концептуальна. Они издавались более двух с половиной тысяч раз в разных странах, только начиная с пятнадцатого века нашей эры. По праву «Начала» занимают второе место после Библии по распространенности, хотя ни одного античного экземпляра до наших дней не дошло. Однако и другие его творения не были забыты потомками.

Влияние теорий древнего грека испытал на себе каждый более или менее прославленный ученый, совершающий открытия в областях знаний, тесно связанных с геометрией в частности, и математикой – в целом. Открытия Евклида по заслугам оценивал Галилео Галилей. Они дали толчок для логических умозаключений Николая Коперника, а Исаак Ньютон даже дал собственной работе тождественное название. Альберт Эйнштейн считал труды грека гениальными, называл их «настолько точным чудом человеческой мысли, что не вызывают у изучающих никаких вопросов».

Детство и ранние годы Евклида

О ранних годах этого человека известно совсем мало, так как прошло очень длительное время, а многие документы были безнадежно утрачены. Наиболее достоверными для нас представляются факты, приведенные античным философом Проклом Диадохом в его комментариях к «Началам». Однако ничего конкретного нельзя ожидать даже и от этих кратких отрывков, ведь сам последователь неоплатонизма жил через добрых восемь сотен лет после Евклида. Потому знать о нем мог только понаслышке, следовательно – делать на основе этих записок какие-либо выводы будет неправильно.

Прокл считал, что отец геометрии был старше Эратосфена и Архимеда, потому что в их сочинениях имеются отсылки на его труды. По всей видимости, он родился примерно в 350-320 годах до нашей эры во время правления сатрапа, а затем и царя Египта – Птолемея I Сотера, славящегося как поклонника наук и искусств.

Древние арабские источники говорят, что он появился на свет в Александрии или Тире, был из состоятельного семейства, что и позволило ему получить блестящее образование. Существует версия, что предки его проживали в Нократе, а в дальнейшем перебрались в Дамаск.

Стоит узнать

Сведения и исторические данные о древнегреческом ученом математике и родоначальнике геометрии настолько скудны, а также разрозненны, что у многих закрадываются сомнения в их достоверности. Существует версия, будто спорить, кто такой Евклид, абсолютно бесполезно, ведь это вовсе не один человек, а целая группа. Многие считают, что это своего рода собирательный образ всех ученых тех времен, внесших свой колоссальный вклад в дальнейшее развитие учений.

Некоторые документы свидетельствуют, что талантливый грек проходил обучение в центре науки того времени – Афинах, у самого мэтра Платона. Дополнительные данные о личности ученого дает математик и инженер эпохи позднего эллинизма Папп Александрийский, а также виртуозный византийский писатель-компилятор Иоанн Стобей, несмотря на то, что жили они намного позже. Вполне вероятно, что имелись документы, подтверждающие указанные ими факты, а у нас нет оснований не доверять их словам. Математик Евклид большую часть времени проводил в Александрийской библиотеке, основанной еще великим Птолемеем, что «проторил путь, идущему за ним».

Научная деятельность основателя геометрии

Самый основной, фундаментальный труд Евклида носит название «Начала». Однако этот древнегреческий ученый был далеко не первым, кто именно так назвал свое сочинение. До него подобным образом именовали работы Февдий из Магнесии, Леонт, а также Гиппократ Хиосский. Следует учитывать только, что умозаключения грека вытеснили более ранние исследования прославленных деятелей науки и более двух тысяч лет оставались актуальными. До нынешнего времени их смело можно называть базовыми, с которых начинают свой путь в изучении геометрии и математики те, кто только делает первые шаги.

«Начала»

Сочинения Евклида разделены им самим ровно на тринадцать томов (книг). В первой и парочке других предварительно дается список сокращений и определений, которые использовал ученый. Также в изначальном труде имеется список аксиом и постулатов, о которых мы уже упоминали. Постулаты изначально определяют направления логических построений, а аксиомы представляют собой правила оперирования различными величинами.

• В первой книге трактата геометр изучает свойства различных параллелограммов и треугольников. Венцом ее можно назвать знаменитую Теорему Пифагора, на которой основана чуть ли не вся современная математика. Вторая книга посвящается «геометрической алгебре» и тоже восходит опять же к пифагорейцам.
• В третьей, а также четвертой книге «Начал» рассказывается с пояснениями теория окружностей. В этом же разделе рассматриваются описанные и вписанные многогранники. При создании этой части сочинения ученый использовал знания, представленные Гиппократом Хиосским.
• Пятая книга полностью освещает сложные теории пропорций, основанные на выводах Евдокса Книдского, древнегреческого механика и математика. В шестом разделе она на практике прилагается к расчетам подобных фигур.
• С седьмой по девятую книги снова посвящаются и восходят к пифагорейцам. Они содержат простейшую теорию чисел, сведения о геометрических прогрессиях и пропорциях. Вероятно, что одним из авторов, а может, просто вдохновителем этой работы стал философ Архит Тарентский.
• Наиболее объемной по количеству поданного материала считается десятый том «Начал». По совместительству он считается еще и наиболее сложным для понимания, ведь в нем выстраивается классификация разнообразных иррациональностей.
• В одиннадцатом разделе труда речь идет о стереометрии.
• Двенадцатая книга посвящена методу исчерпывания в поиске доказательств теорем об отношениях площадей конусов, пирамид и окружностей. Общепринятой считается точка зрения, будто авторство ее принадлежит все тому же знаменитому Евдоксу Книдскому.
• Последняя тринадцатая книга полностью рассматривает вопрос построения правильных пяти многогранников. Возможно, в работе над ней математик опирался на знания, полученные математиком Теэтетом Афинским.

Древние манускрипты на этом не завершаются: известны еще четырнадцатая, а также пятнадцатая книги, однако авторство их уже достоверно известно. Первую из них составил геометр Гипсикл Александрийский, а вторую – византийский архитектор Исидор Милетский. Это произведение сыграло огромную роль в дальнейшем развитии науки, а также в качестве примера для будущих поколений, как излагать свои мысли четко, понятно и доступно.

Другие произведения

Благодаря «Началам» про Евклида узнал весь мир. Но у него имелись и иные сочинения, которые тоже заслуживают немалого внимания. Они написаны все в той же лаконичной и сухо-информативной манере, имеют хорошо ощущаемую структуру, что значительно облегчает процесс осмысления.

• Дошли до наших дней трактаты «О делении», «Данные», «Явления» и «Оптика».
• Только по описаниям известны такие работы, как «Псевдария», «Конические сечения», «Поризмы» и «Поверхностные места».
• Существуют еще и приписываемые Евклиду труды: «Деление канона» о музыке и Катоптрика – теория зеркал и преломления солнечных лучей (света).

Какие произведения действительно имеют отношение к самому ученому, а какие принадлежат кому-то другому, доподлинно неизвестно.

Аксиомы как метод познания

История Евклида чрезвычайно туманна ввиду ее древности. Но совершенно точно известно, что метод познания, называемый аксиоматическим, придумал именно он. Суть его довольно проста – это совокупность развития, классификации и построения научно-теоретических данных в форме умозаключений, в которых определенные утверждения принимаются в качестве совершенных исходных положений (аксиом).

Именно из них при помощи логических размышлений и выводятся впоследствии все остальные утверждения (теоремы). Цепочка выводов не может продолжаться бесконечно, она должна где-то иметь начало, для этого и потребовалось создание подобной концепции. В своих рассуждениях подобного рода Евклид опирался на знания, даваемые древним ученым Аристотелем (могу перелинковать на статью о нем).

Геометрия - допуск к философии

Еще в шестом веке до нашей эры в Греции сложилось течение пифагорейцев, которые считали, что музыка, арифметика, астрономия и геометрия – это основа, образец систематического мышления. Даже Платон высказывал мнение, что эти науки являются первой ступенькой перед переходом к изучению более сложной философии. Неслучайно история Евклида обычно иллюстрируется преданием, будто перед входом в платоновскую Академию, где он и обучался, была приколочена табличка с надписью: «Да не сможет войти в это здание тот, кто не знает основ геометрии».

Основа таких выводов понятна – в геометрии при помощи вспомогательных линий на чертеже неявная истина становится вполне очевидной. Это можно использовать для иллюстрации припоминания скрытых (завуалированных) фактов в философских рассуждениях, при которых для постижения нужно взирать на мысленную схему не глазами, а «очами разума». Фактически все это можно свести к единственной фразе: «Мы воспринимаем (видим) чертеж (фигуру), производим определенные логические рассуждения, делаем из них выводы и заключения не только относительно этого конкретного частного случая, а сразу для множества фигур подобного плана».

Изучение геометрической оптики

Стоит сказать несколько слов о текстах, которые условно считаются принадлежащими перу нашего персонажа. В первую очередь это основы оптики и преломления света, которые были изложены в сочинении «Катоптрика», датируемом приблизительно трехсотым годом до нашей эры. Автор придерживается мнения, что зрение осуществляется (реализуется) при помощи так называемых зрительных лучей, что недалеко от истины (световые волны).

Однако в те времена предполагалось, что лучи эти испускает не светило, а человеческий глаз, как бы ощупывая окружающие его предметы. Забавная теория, не правда ли? Именно на ней основывал свои наработки о перспективе Евклид. Оригинальный текст трактата, к большому сожалению потомков, не сохранился, потому разобраться с деталями довольно сложно.

В этом труде давалось определение основному закону отражения света. Он устанавливает направление движения луча, который сталкивается с зеркальной поверхностью. Отражаемые и падающие лучи лежат в одной плоскости с нормалью (перпендикулярной к отражающей поверхности прямой), при этом она делит угол меж лучами на две равные части. Каждый школьник знает этот закон в несколько иной интерпретации, не полностью отражающей картину формулировке: «Угол падения равен углу отражения».

Не стоит забывать, что от различных типов поверхностей световые лучи могут отражаться по-разному. Потому принято разделять зеркальное и диффузное отражение. В первом случае речь идет о стремящемуся к идеалу зеркалу, а во втором – о шероховатой и неровной плоскости, когда лучи отражаются хаотично в различных направлениях.

Наследие Евклида

Знания, получаемые об этом древнем ученом, настолько скудны, что о нем мало что известно, в особенности относительно его повседневных занятий, расписания дня и прочих бытовых мелочей. Совершенно непонятно, как сложилась личная жизнь Евклида, был ли он женат, имел ли потомков. Существует предположение, что он организовал и открыл собственную частную школу при богатой Александрийской библиотеке, что может свидетельствовать о его состоятельности. Считается, что и после завершения обучения в этом заведении, наставник всегда помогал своим подопечным с разработкой теорий и написанием собственных научных трактатов.

Внешность его тоже остаётся загадкой, а все портреты и скульптуры созданы через много десятков лет после смерти. Разобраться, чем известен Евклид, несложно, но вот точных дат в событиях его жизни или определенности в дне рождения или смерти тоже нет. Считается, что он мог скончаться уже к двести шестидесятому году до нашей эры.

Богатое научное наследие, которое после себя оставил этот воистину великий грек, в разы превосходит интерес к тому впечатлению, которое он производил при жизни. Работы математика и философа пережили его на более, чем двести веков, а это колоссальная цифра. Его трудами зачитывались и вдохновлялись многие известные личности, к примеру, Карл Ян или Авраам Линкольн. Говорят, что шестнадцатый президент Соединенных Штатов повсюду носил с собой томик Евклида и в свои речи любил вставлять цитаты из его произведений.

Евкли́д или Эвкли́д (др.-греч. Εὐκλείδης , от «добрая слава» , время расцвета - около 300 года до н. э.) - древнегреческий математик , автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера », «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала ; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии» .

  Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея . Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя бы в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола , раз он хочет извлекать прибыль из учёбы» . Историчность рассказа сомнительна, поскольку аналогичный рассказывают о Платоне.

  Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла - Евклид жил во времена Птолемея I Сотера - в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона . Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар .

  Арабские авторы считали, что Евклид жил в Дамаске и издал там «Начала » Аполлония . Анонимная арабская рукопись XII века сообщает:

  Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира …

  В целом количество данных о Евклиде настолько скудно, что существует версия (правда, малораспространенная) что речь идет о коллективном псевдониме группы александрийских ученых .

  «Начала » Евклида

  Основное сочинение Евклида называется Начала . Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским , Леонтом и Февдием . Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

  Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы - общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

  В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского . В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским , а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII-IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский . В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа , доказывается бесконечность множества простых чисел . В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал , строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский . XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский . Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским .

  В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского , строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

  Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда , Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон , Порфирий , Папп , Прокл , Симпликий . Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

  В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

  Другие произведения Евклида

  Из других сочинений Евклида сохранились:

  • Данные (δεδομένα ) - о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
  • О делении (περὶ διαιρέσεων ) - сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
  • Явления (φαινόμενα ) - приложения сферической геометрии к астрономии;
  • Оптика (ὀπτικά ) - о прямолинейном распространении света.

  По кратким описаниям известны:

  • Поризмы (πορίσματα ) - об условиях, определяющих кривые;
  • Конические сечения (κωνικά );
  • Поверхностные места (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) - о свойствах конических сечений;
  • Псевдария (ψευδαρία ) - об ошибках в геометрических доказательствах;

  Евклиду приписываются также:

  Евклид и античная философия

  Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (так называемые «математические» науки; позже Боэцием названные квадривием) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

  Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами , что для постижения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но «очами разума». Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею: мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.

  Некоторый «платонизм» Евклида связан также с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр - огонь, октаэдр - воздух, икосаэдр - вода, куб - земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». В связи с этим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников - так называемых «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

  Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второй аналитике , Начала также предоставляют богатый материал. Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказательства. Согласно Аристотелю , такие начальные утверждения должны иметься, так как цепочка вывода должна где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля : «если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в сумме равные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный, а потому что он треугольник» (An. Post. 85b12).

  Псевдо-Евклид

  Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки: «Гармоническое введение» («Гармоника») и «Деление канона» (

  Евклид - первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» (????????, в латинизированной форме - «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других сочинений по математике надо отметить «О делении фигур», сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид - автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.

  Биография

  К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера», «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии»

  Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея. Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учёбы».

  Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла - Евклид жил во времена Птолемея I Сотера - в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона. Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар. Анонимная арабская рукопись XII века сообщает:

  По своим философским воззрениям Евклид вероятней всего был платоником.

  Начала Евклида

  Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

  Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы - общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

  В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII-IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

  В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

  Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

  В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

  Другие произведения Евклида

  Из других сочинений Евклида сохранились:

  • Данные (????????) - о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
  • О делении (???? ??????????) - сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
  • Явления (?????????) - приложения сферической геометрии к астрономии;
  • Оптика (??????) - о прямолинейном распространении света.

  По кратким описаниям известны:

  • Поризмы (?????????) - об условиях, определяющих кривые;
  • Конические сечения (??????);
  • Поверхностные места (????? ???? ?????????) - о свойствах конических сечений;
  • Псевдария (????????) - об ошибках в геометрических доказательствах;

  Евклиду приписываются также:

  • Катоптрика (??????????) - теория зеркал; сохранилась обработка Теона Александрийского;
  • Деление канона (???????? ???????) - трактат по элементарной теории музыки.

  Евклид и античная философия

  Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (т.наз. «математические» науки; позже Боэцием названные квадривием) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

  Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами, что для постижения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но «очами разума». Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею: мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.

  Некоторый «платонизм» Евклида связан также с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр - огонь, октаэдр - воздух, икосаэдр - вода, куб - земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». В связи с этим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников - так называемых «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

  Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второй аналитике, Начала также предоставляют богатый материал. Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказательства. Согласно Аристотелю, такие начальные утверждения должны иметься, так как цепочка вывода должна где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля: «если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в сумме равные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный, а потому что он треугольник» (An. Post. 85b12).

  Псевдо-Евклид

  Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки: «Гармоническое введение» и «Деление канона». О настоящем авторе этих произведений ничего не известно. Генрих Мейбом (1555-1625) снабдил «Гармоническое введение» обстоятельными примечаниями, и, вместе с «Делением канона» первым авторитетно приписал их к трудам Евклида. При последующем подробном анализе этих трактатов было определено, что первый имеет следы пифагорейской традиции (например, в нём все полутоны считаются равными), а второй - отличает аристотелевский характер (например, отрицается возможность деления тона пополам). Стиль изложения «Гармонического введения» отличается догматизмом и непрерывностью, стиль «Деления канона» несколько схож с «Началами» Евклида, поскольку также содержит теоремы и доказательства.

  Карл Ян (1836-1899) придерживался мнения, что трактат «Гармоническое введение» написан Клеонидом, поскольку в некоторых рукописях стоит его имя. Кроме имени Евклида и Клеонида в рукописях как авторы упоминаются Папп и Аноним. В большинстве научных публикаций автора предпочитают называть Псевдо-Евклидом.

  Греческий трактат Псевдо-Евклида с русским переводом и примечаниями Г. А. Иванова был издан в Москве в 1894 году

  Биография

  К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера », «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала ; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии»

  Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея . Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола , раз он хочет извлекать прибыль из учёбы».

  Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла - Евклид жил во времена Птолемея I Сотера - в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона . Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар . Анонимная арабская рукопись XII века сообщает:

  Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира …

  По своим философским воззрениям Евклид вероятней всего был платоником.

  Начала Евклида

  Основное сочинение Евклида называется Начала . Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским , Леонтом и Февдием . Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

  Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы - общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

  В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского . В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским , а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII-IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский . В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа , доказывается бесконечность множества простых чисел . В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал , строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский . XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский . Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским .

  В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского , строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

  Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда , Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон , Порфирий , Папп , Прокл , Симпликий . Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

  В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

  Другие произведения Евклида

  Статуя Евклида в Оксфордском университетском музее естественной истории

  Из других сочинений Евклида сохранились:

  • Данные (δεδομένα ) - о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
  • О делении (περὶ διαιρέσεων ) - сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
  • Явления (φαινόμενα ) - приложения сферической геометрии к астрономии;
  • Оптика (ὀπτικά ) - о прямолинейном распространении света.

  По кратким описаниям известны:

  • Поризмы (πορίσματα ) - об условиях, определяющих кривые;
  • Конические сечения (κωνικά );
  • Поверхностные места (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) - о свойствах конических сечений;
  • Псевдария (ψευδαρία ) - об ошибках в геометрических доказательствах;

  Евклиду приписываются также:

  Евклид и античная философия

  Греческий трактат Псевдо-Евклида с русским переводом и примечаниями Г. А. Иванова был издан в Москве в 1894 году

  Литература

  Библиография
  • Max Steck. Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der «Elemente» des Euklid (um 365-300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke (16.Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.-20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.-20.Jahrhundert) . Nachdruck, herausgeg. von Menso Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg, 1981.

  Тексты и переводы

  Старые русские переводы
  • Эвклидовы элементы из двенатцати нефтоновых книг выбранные и в осмь книг чрез профессора мафематики А. Фархварсона сокращенные. / Пер. с лат. И. Сатарова. СПб., 1739. 284 стр.
  • Елементы геометрии, то есть первые основания науки о измерении протяжении, состоящие из осьми Евклидовых книг. / Пер. с франц. Н. Курганова. СПб., 1769. 288 стр.
  • Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: 1-я, 2-я, 3-я, 4-я, 5-я, 6-я, 11-я и 12-я. / Пер. с греч. СПб., . 370 стр.
    • 2-е изд. … к сим прилагаются книги 13-я и 14-я. 1789. 424 стр.
  • Эвклидовых начал восемь книг, а именно: первые шесть, 11-я и 12-я, содержащие в себе основания геометрии. / Пер. Ф. Петрушевского. СПб., 1819. 480 стр.
  • Эвклидовых начал три книги, а именно: 7-я, 8-я и 9-я, содержащие общую теорию чисел древних геометров. / Пер. Ф. Петрушевского. СПб., 1835. 160 стр.
  • Восемь книг геометрии Эвклида . / Пер. с нем. воспитанниками реального училища… Кременчуг, 1877. 172 стр.
  • Начала Евклида . / С введ. и толкованиями М. Е. Ващенко-Захарченко. Киев, 1880. XVI, 749 стр.
  Современные издания сочинений Евклида
  • Начала Евклида . Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского . В 3 т. (Серия «Классики естествознания»). М.: ГТТИ, 1948-50. 6000 экз.
  • Книги I-VI (1948. 456 стр.) на www.math.ru или на mccme.ru
  • Книги VII-X (1949. 512 стр.) на www.math.ru или на mccme.ru
  • Книги XI-XIV (1950. 332 стр.) на www.math.ru или на mccme.ru
  • Euclidus Opera Omnia . Ed. I. L. Heiberg & H. Menge. 9 vols. Leipzig: Teubner, 1883-1916.
  • Vol. I-IX на www.wilbourhall.org
  • Heath T. L. The thirteen books of Euclid’s Elements . 3 vols. Cambridge UP, 1925. Editions and translations: Greek (ed. J. L. Heiberg) , English (ed. Th. L. Heath)
  • Euclide. Les éléments . 4 vols. Trad. et comm. B. Vitrac; intr. M. Caveing. P.: Presses universitaires de France, 1990-2001.
  • Barbera A. The Euclidian Division of the Canon: Greek and Latin Sources // Greek and Latin Music Theory. Vol. 8. Lincoln: University of Nebraska Press, 1991.

  Комментарии

  Античные комментарии Начал
  • Прокл Диадох. Комментарии к первой книге «Начал» Евклида. Введение . Пер. и комм. Ю. А. Шичалина. М.: ГЛК, 1994.
  • Прокл Диадох. Комментарии к первой книге «Начал» Евклида. Постулаты и аксиомы . Пер. А. И. Щетникова. ΣΧΟΛΗ , вып. 2, 2008, c. 265-276.
  • Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Определения. Пер. А. И. Щетникова. Архэ: Труды культуро-логического семинара , вып. 5. М.: РГГУ, 2009, c. 261-320.
  • Thompson W. Pappus’ commentary on Euclid’s Elements . Cambridge, 1930.

  Исследования

  О Началах Евклида
  • Алимов Н. Г. Величина и отношение у Евклида. Историко-математические исследования , вып. 8, 1955, с. 573-619.
  • Башмакова И. Г. Арифметические книги «Начал» Евклида. , вып. 1, 1948, с. 296-328.
  • Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука . М.: Физматгиз, 1959.
  • Выгодский М. Я. «Начала» Евклида. Историко-математические исследования , вып. 1, 1948, с. 217-295.
  • Глебкин В. В. Наука в контексте культуры: («Начала» Евклида и «Цзю чжан суань шу»). М.: Интерпракс, 1994. 188 стр. 3000 экз. ISBN 5-85235-097-4
  • Каган В. Ф. Евклид, его продолжатели и комментаторы. В кн.: Каган В. Ф. Основания геометрии . Ч. 1. М., 1949, с. 28-110.
  • Раик А. Е. Десятая книга «Начал» Евклида. Историко-математические исследования , вып. 1, 1948, с. 343-384.
  • Родин А. В. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля . М.: Наука, 2003.
  • Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века . М.-Л.: ОНТИ, 1938.
  • Щетников А. И. Вторая книга «Начал» Евклида: её математическое содержание и структура. Историко-математические исследования , вып. 12(47), 2007, с. 166-187.
  • Щетников А. И. Сочинения Платона и Аристотеля как свидетельства о становлении системы математических определений и аксиом. ΣΧΟΛΗ , вып. 1, 2007, c. 172-194.
  • Artmann B. Euclid’s «Elements» and its prehistory. Apeiron , v. 24, 1991, p. 1-47.
  • Brooker M.I.H., Connors J. R., Slee A. V. Euclid . CD-ROM. Melbourne, CSIRO-Publ., 1997.
  • Burton H.E. The optics of Euclid. J. Opt. Soc. Amer. , v. 35, 1945, p. 357-372.
  • Itard J. Lex livres arithmetiqués d’Euclide . P.: Hermann, 1961.
  • Fowler D.H. An invitation to read Book X of Euclid’s Elements. Historia Mathematica , v. 19, 1992, p. 233-265.
  • Knorr W.R. The evolution of the Euclidean Elements . Dordrecht: Reidel, 1975.
  • Mueller I. Philosophy of mathematics and deductive structure in Euclid’s Elements . Cambridge (Mass.), MIT Press, 1981.
  • Schreiber P. Euklid . Leipzig: Teubner, 1987.
  • Seidenberg A. Did Euclid’s Elements, Book I, develop geometry axiomatically? Archive for History of Exact Sciences , v. 14, 1975, p. 263-295.
  • Staal J.F. Euclid and Panini // Philosophy East and West.1965.№ 15. P. 99-115.
  • Taisbak C.M. Division and logos. A theory of equivalent couples and sets of integers, propounded by Euclid in the arithmetical books of the Elements . Odense UP, 1982.
  • Taisbak C.M. Colored quadrangles. A guide to the tenth book of Euclid’s Elements . Copenhagen, Museum Tusculanum Press, 1982.
  • Tannery P. La géometrié grecque . Paris: Gauthier-Villars, 1887.
  О других сочинениях Евклида
  • Зверкина Г. А. Обзор трактата Евклида «Данные». Математика и практика, математика и культура . М., 2000, с. 174-192.
  • Ильина Е. А. О «Данных» Евклида. Историко-математические исследования , вып. 7(42), 2002, с. 201-208.
  • Шаль М. . // . М., 1883.
  • Berggren J.L., Thomas R.S.D. Euclid’s Phaenomena: a translation and study of a Hellenistic treatise in spherical astronomy . NY, Garland, 1996.
  • Schmidt R. Euclid’s Recipients, commonly called the Data . Golden Hind Press, 1988.
  • С. Кутателадзе

  (330 г. до н.э.-260 г. до н.э.)

  древнегреческий математик

  Евклид родился в 330 году до н.э. в небольшом городе Тире, недалеко от Афин. История не оставила подробного описания жизни одного из самых знаменитых математиков всех времен и народов.

  Однажды царь Птолемей спросил Евклида, существует ли другой, не такой трудный путь познания геометрии, чем тот, который изложил ученый в своих «Началах». Евклид ответил: «О царь, в геометрии нет царских дорог».

  Долгое время ученые считали, что не было конкретного исторического лица, что под именем Евклида скрывалась группа математиков, что-то вроде нашего современника Бурбаки, кстати, великого педагога. Однако в рукописи XII века на арабском языке читаем: «Евклид, сын Наукрата, сын Зенарха, известный под именем Геометра, ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

  Евклид, ученик Платона, по приглашению царя Птолемея переехал в Александрию, где находился знаменитый научный центр с Александрийской библиотекой.

  Знаменитое произведение «Начала» (Stoicheia) сделало его имя бессмертным. «Начала» состоят из тринадцати книг. Другие труды Евклида меньше известны и меньше по объему. Это прежде всего «Данные» (Data), «Оптика», «О делении фигур», «Ложные заключения» (утеряна), «Сечение канона», «Явления».

  Это великий педагог-энциклопедист, преподававший в Александрии, в Мусейоне. Это настоящий дворец науки с библиотекой, астрономической обсерваторией, ботаническим садом, зоопарком. В Мусейон приглашались известные ученые, они вели здесь научную работу, причем получали хорошее вознаграждение. Труд ученого стал профессией. Евклид преподает в Мусейоне геометрию, арифметику и астрономию.

  «Начала» Евклида составляют в элементарной геометрии целую эпоху. Это великий труд. Ученый излагает геометрию как цепочку строгих логических выводов, доказательства теорем на основании определений, постулатов и аксиом. До нас не дошел оригинал «Начал», поскольку рукопись хранилась в Александрийской библиотеке, в последствии погибшей. В «Началах» Евклид изложил результаты, полученные его предшественниками, великими математиками. Для этого нужен был педагогический талант и гений систематизатора.

  Какие научные цели ставил перед собой ученый, обобщая опыт знаменитых математиков? Этих целей три: изложить теорию отношений великого Евдокса (406-355 гг. до н.э.), теорию иррациональных Тиэтета (IV век до н.э.), теорию пяти правильных тел Платона (429-348 гг. до н.э.). Первые четыре книги «Начал» посвящены планиметрии, пятая и шестая - теории отношений Евдокса. Затем идут геометрия в пространстве, телесные углы, объемы тел, излагается теория чисел.

  В «Началах» приводится алгоритм Евдокса для нахождения наибольшего общего делителя. Здесь излагаются идеи Архита из Таренты (428-365 гг. до н.э.). Наконец, после стереометрии Евклид излагает теорию исчерпывания Евдокса и приложения к площади круга и объему шара, конуса и пирамиды. Теорию пяти платоновских тел Евклид излагает по Тиэтету.

  Знаменитая V аксиома Евклида (V постулат) занимает особое место в « Началах». Многочисленные попытки в XIX столетии «поправить» ученого, сделать из этой аксиомы теорему закончились провалом.

  Его «Начала» - образец дедуктивного изложения геометрии, алгебраические выводы сделаны в геометрическом стиле. Впоследствии геометрия развивалась, появилась неевклидова геометрия, геометрия стала экспериментальной наукой в физике. Но предпосылками этого развития стали именно труды великого Евклида.

  Напечатать