Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек, равноудалённых от двух данных точек, в геометрической и аналитической формах. Геометрические места точек

Обладающих некоторым свойством.

Примеры [ | ]

Формальное определение [ | ]

В общем случае, геометрическое место точек формулируется предикатом , аргументом которого является точка данного линейного пространства. Параметры предиката могут носить различный тип. Предикат называется детерминантом геометрического места точек. Параметры предиката называются дифференциалами геометрического места точек (не путать с дифференциалом в анализе).

Роль дифференциалов во введении видовых различий в фигуру. Количество дифференциалов может быть любым; дифференциалов может и вовсе не быть.

Если заданы детерминант , где M {\displaystyle M} - точка, - дифференциалы, то искомую фигуру A {\displaystyle A} задают в виде: « A {\displaystyle A} - геометрическое место точек M {\displaystyle M} , таких, что P (M , a , b , c , …) {\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots)} ». Далее обычно указывается роль дифференциалов, им даются названия применительно к данной конкретной фигуре. Под собственно фигурой понимают совокупность (множество) точек M {\displaystyle M} , для которых для каждого конкретного набора значений a , b , c , … {\displaystyle a,\;b,\;c,\;\ldots } высказывание P (M , a , b , c , …) {\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots)} обращается в тождество. Каждый конкретный набор значений дифференциалов определяет отдельную фигуру, каждую из которых и всех их в совокупности именуют названием фигуры, которая задаётся через ГМТ.

В словесной формулировке предикативное высказывание озвучивают литературно, то есть с привлечением различного рода оборотов и т. д. с целью благозвучия. Иногда, в случае простых детерминантов, вообще обходятся без буквенных обозначений.

Пример : параболу зададим как множество всех таких точек M {\displaystyle M} , что расстояние от M {\displaystyle M} до точки F {\displaystyle F} равно расстоянию от M {\displaystyle M} до прямой l {\displaystyle l} . Тогда дифференциалы параболы - F {\displaystyle F} и l {\displaystyle l} ; детерминант - предикат P (M , F , l) = (ρ (M , F) = ρ l (M , l)) {\displaystyle P(M,\;F,\;l)=(\rho (M,\;F)=\rho _{l}(M,\;l))} , где ρ {\displaystyle \rho } - расстояние между двумя точками (метрика), ρ l {\displaystyle \rho _{l}} - расстояние от точки до прямой. И говорят: «Парабола - геометрическое место точек M {\displaystyle M} , равноудалённых от точки F {\displaystyle F} и прямой l {\displaystyle l} . Точку F {\displaystyle F} называют фокусом параболы, а прямую l {\displaystyle l} - директрисой».

Подписи к слайдам:

Тема урока:
«Геометрическое место точек».9 классУчитель Гордеева Н.М.
Скажи мне – и я забуду,Покажи мне – и я запомню,Вовлеки меня – и я пойму. (Древняя китайская мудрость)
Цель урока:
систематизировать и углубить знания по теме «Метод координат».
“Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия”. (Дьердье Пойа)
Задача:
найти геометрическое место точек, обладающих определенным свойством (совершить открытие).
Определение:
Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.
Геометрическое место точек,
равноудаленных от данной точки, есть
окружность.
Геометрическое место точек,
равноудаленных от концов данного отрезка, есть
серединный перпендикуляр к этому отрезку.
Геометрическое место точек,
равноудаленных от сторон данного угла, есть
биссектриса этого угла.
Геометрическое место точек,
равноудаленных от двух параллельных прямых, есть
параллельная им прямая, проходящая через середину их общего перпендикуляра (на ней лежат центры окружностей, касающихся данных прямых).
Геометрическое место точек,
являющихся вершинами прямоугольных треугольников с данной гипотенузой, есть
окружность, построенная на гипотенузе как на диаметре (исключая концы гипотенузы).
Геометрическое место точек,
отношение расстояний от которых до двух данных точек – величина постоянная, есть
окружность
(которую называют окружностью Аполлония).
Задание 1
На рисунке AD=DB=2 см.Что представляет собой геометрическое место точек, принадлежащих данной прямой, которые удалены от точки D на расстояние: а) равное 2см; б) более 2см; в) не более 2см.
a
b
A
D
B
Решение:

A
D
B
a
b
A
D
B
a
b
A
D
B
a
b
Задание 2
По тому же рисунку определите, что представляет собой геометрическое место точек плоскости, которые удалены от точки D на расстояниеа) равное 2см; б) более 2см; в) не более 2см.
A
D
B
a
b
Решение:
а) Расстояние от D равно 2см:
A
D
B
a
b
Решение:
б) Расстояние от D более 2см:
A
D
B
a
b
Решение:
в) Расстояние от D не более 2см:
A
D
B
a
b
Задание 3
Используя метод координат, найдите пару чисел, удовлетворяющих условию
Задание 4
Используя метод координат, докажите, что система уравнений имеет единственное решение:
Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: а)
Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: б)
Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: в)
Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: г)
Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: д)
Парабола как геометрическое место точек.
Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и от заданной прямой.
Построение параболы.
Как разбить клумбу?
Геометрическое место точек,
сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1, F2 есть величина постоянная; большая, чем F1F2.
План построения ГМТ.
Прикрепим концы нити с помощью кнопок к точкам F1 и F2. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. Вычерчиваем карандашом линию.
Построение ГМТ
Что будет происходить с эллипсом, если фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга.
Найти геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1 и F2: а) меньше заданной величины 2а; б) больше заданной величины 2а.
Уравнение ГМТ
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению:
Уравнение ГМТ
, тогда
- уравнение эллипса
Ответ: F1 , F2
Конические сечения
Конические сечения
Аполлоний Пергский (II-III вв. до н. э.) - древнегреческий математик. Важнейший труд - “Конические сечения”
Конические сечения
Их изучали еще древнегреческие геометры. Теория конических сечений была одной из вершин античной геометрии.Уравнения этих линий были выведены гораздо позднее, когда стал применяться метод координат.
Кривые второго порядка
y
0
x
Метод координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, который называется аналитической геометрией.
Эксцентриситет эллипса
характеризует степень его вытянутости.
Еще Иоганн Кеплер (1571 – 1630) – немецкий астроном обнаружил, что планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца не по окружностям, как думали раньше, а по эллипсам, причем Солнце находится в одном из фокусов этих эллипсов.
Орбиты движения небесных тел
ВенераНептунЗемляПлутонКомета Галлея
0,0068 0,0086 0,0167 0,253 0,967
Решали задачу о множестве точек, а это ГМТ имеет отношение к Вселенной, (а это была всего лишь только задача!).
Домашнее задание
Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний от которых до двух данных точек F1(-c; 0), F2(c; 0) есть постоянная величина a2. Такое геометрическое место точек называется овалом Кассини.
Домашнее задание
Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний от которых до двух данных точек F1(-а; 0), F2(а; 0) есть постоянная величина а2. Такое геометрическое место точек называется лемнискатой (см. рис.). (Уравнение лемнискаты сначала найти непосредственно, потом – рассматривая ее как частный вид овала Кассини).
Подведение итогов урока

Определение. Геометрическое место точек – фигура, которая состоит из всех точек на плоскости, обладающих определённым свойством.

Теорема. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, то есть прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Доказательство.

Пусть точка C равноудалена от A и B. Отметим точку M – середину отрезка AB. Треугольники ACM и BCM равны по трём сторонам. Углы AMC и BMC равны и дают в сумме развёрнутый угол. Значит, они оба равны 90°.
Мы доказали, что все точки, равноудалённые от двух данных точек, лежат на серединном перпендикуляре.

2) Пусть точка C лежит на серединном перпендикуляре к AB. Треугольники AMC и BMC равны двум катетам, значит, AC=BC.
Мы доказали, что все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от его концов.

Таким образом, геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, и серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, совпадают.

Теорема доказана.

A (0; 0), B (a; 0), C (x; y). AC=CB.

2) Круг (определение). Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод формулы площади кругового сектора.

Определение. Круг – это множество точек плоскости, расположенных на расстоянии не более данного от данной точки.

БИЛЕТ 8

1)Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника, прямая Эйлера (без доказательства).

Определение. Треугольник – это фигура, состоящая из 3 точек, не лежащих на одной прямой, и 3 отрезков, попарно соединяющих их.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство.

Проведём через вершину B прямую a, параллельную стороне AC.
как накрест лежащие.
. Тогда .

Теорема доказана.

Теорема. Центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести, а также центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Расстояния между двумя точками через координаты этих точек (рассмотреть все случаи).

Проведём a и b, .

Т.к. треугольник прямоугольный,

БИЛЕТ 9

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

1) По двум катетам (из I первого признака)

2) По катету и острому углу (из II первого признака)

(так как по противолежащему углу однозначно определяется прилежащий)

3) По гипотенузе и острому углу

Доказательство.

В таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к

ней углам.

Теорема доказана .

4) По гипотенузе и катету

Доказательство.

Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых углы C и C 1 - прямые, АВ=А 1 В 1 , ВС=В 1 С 1 .

Так как ∠C=∠C 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник A 1 B 1 C 1 так, что вершина С совместится с вершиной C 1 , а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С 1 А 1 и С 1 В 1 . Поскольку СВ=С 1 В 1 , то вершина B совместится с вершиной В 1 .
Но тогда вершины А и А 1 также совместятся.

В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А 2 луча С 1 А 1 , то получим равнобедренный треугольник A 1 B 1 A 2 , в котором углы при основании А 1 А 2 не равны (∠А 2 - острый, a ∠А 1 тупой как смежный с острым углом B 1 A 1 C 1). Но это невозможно, поэтому вершины А и А 1 совместятся.

Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC и A l B l C l , т. е. они равны.

Теорема доказана.

Окружность

Определение. Окружность – это геометрическое место точек, равноудалённых от данной.

Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1° равна 2πR/360° = πR/180°.
Поэтому длина l выражается формулой:

БИЛЕТ 10

1) Признаки параллелограмма:

1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Геометрическим местом точек (в дальнейшем ГМТ), называется фигура плоскости, состоящая из точек обладающих некоторым свойством, и не содержащая ни одной точки, не обладающей этим свойством.

Мы будем рассматривать только те ГМТ, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим ГМТ на плоскости, обладающие простейшими и наиболее часто выражающимися свойствами:

1) ГМТ, отстоящих на данном расстоянии r от данной точки О, есть окружность с центром в точке О радиуса r.

2) ГМТ равноудаленных от двух данных точек А и В, есть прямая, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину.

3) ГМТ равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых, есть пара взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через точку пересечения и делящих углы между данными прямыми пополам.

4) ГМТ, отстоящих на одинаковом расстоянии h от прямой, есть две прямые, параллельные этой прямой и находящиеся по разные стороны от нее на данном расстоянии h.

5) Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой m в данной на ней точке М, есть перпендикуляр к АВ в точке М (кроме точки М).

6) Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней очке М, есть прямая, проходящая через точку М и центр данной окружности (кроме точек М и О).

7) ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом, составляет две дуги окружностей, описанных на данном отрезке и вмещающих данный угол.

8) ГМТ, расстояния от которых до двух данных точек А и В находятся в отношении m: n, есть окружность (называемая окружностью Аполлония).

9) Геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, построенная на отрезке, соединяющем данную точку с центром данной окружности, как на диаметре.

10) Геометрическое место вершин треугольников равновеликих данному и имеющих общее основание, составляет две прямые, параллельные основанию и проходящие через вершину данного треугольника и ему симметричного относительно прямой, содержащей основание.

Приведем примеры отыскания ГМТ.

ПРИМЕР 2. Найти ГМТ, являющихся серединами хорд, проведенных из одной точки данной окружности (ГМТ № 9).

Решение . Пусть дана окружность с центром О и на этой окружности выбрана точка А из которой проводятся хорды. Покажем, что искомое ГМТ есть окружность, построенная на АО как на диаметре (кроме точки А) (рис. 3).

Пусть АВ - некоторая хорда и М - ее середина. Соединим М и О. Тогда МО ^ АВ (радиус, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде). Но, тогда ÐАМО = 90 0 . Значит М принадлежит окружности с диаметром АО (ГМТ № 7). Т.к. эта окружность проходит через точку О, то О принадлежит нашему ГМТ.

Обратно, пусть М принадлежит нашему ГМТ. Тогда, проведя через М хорду АВ и соединив М и О, получим, что ÐАМО = 90 0 , т.е. МО ^ АВ, а, значит, М - середина хорды АВ. Если же М совпадает с О, то О - середина АС.

Часто метод координат позволяет находить ГМТ.

ПРИМЕР 3. Найти ГМТ, расстояние от которых до двух данных точек А и В находятся в данном отношении m: n (m ≠ n).

Решение . Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы точки А и В располагались на оси Ох симметрично относительно начала координат, а ось Оу проходила через середину АВ (рис.4). Положим АВ = 2a. Тогда точка А имеет координаты А (a, 0), точка В - координаты В (-a, 0). Пусть С принадлежит нашему ГМТ, координаты С(х, у) и CB/CA = m/n. Но Значит

(*)

Преобразуем наше равенство. Имеем

Геометрическое место точек. Срединный перпендикуляр . Биссектриса угла.

Окружность. Круг. Центр окружности. Радиус. Дуга. Секущая. Хорда.

Диаметр. Касательная и её свойства. Сегмент. Сектор. Углы в круге.

Длина дуги. Радиан. Соотношения между элементами круга.

Геометрическое местоточек – этомножество всех точек,удовлетворя ющихопределённым заданным условиям.

П р и м е р 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое

место точек (т.е. множество всех точек), равноудалён ных от

концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB:

Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d .

Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.

П р и м е р 2. Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон .

П р и м е р 3. Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множе ство

всех точек), равноудалённых от её центра (на рис. пока зана одна

из этих точек – А).

Окружность - это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) на плоскости , равноудалённых от одной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается r или R . Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом . Часть окружности (