Главная » Кухня » Квадратные трехчлены и параметры

Квадратные трехчлены и параметры

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 61. Квадратные неравенства

Неравенства вида ax 2 + bx + c > 0, ax 2 + bx + c < 0, ax 2 + bx + c > 0, ax 2 + bx + c < 0, где a, b и с - заданные числа и а =/=0, называются квадратными (или неравенствами второй степени ).

В этом параграфе мы ограничимся лишь рассмотрением неравенств вида

ax 2 + bx + c > 0.

Такие неравенства лучше всего решать, используя геометрическую иллюстрацию. Рассмотрим отдельно два случая:

а > 0 и а < 0.

Случай 1 . а > 0. В этом случае парабола y = ax 2 + bx + c направлена вверх.
Если D = b 2 - 4ac < 0, то квадратный трехчлен ax 2 + bx + c не имеет действительных корней. Значит, парабола y = ax 2 + bx + c не пересекает оси х и расположена целиком выше оси х (рис. 83).

Это означает, что в данном случае неравенство ax 2 + bx + c > 0 выполняется при любых значениях х .

Если D = b 2 - 4ac > 0, то парабола y = ax 2 + bx + c пересекает ось х в двух точках (рис. 84) с абсциссами:

Поэтому ax 2 + bx + c > 0 при х < x 1 а также при х > x 2 .

Наконец, если D = b 2 - 4ac = 0, то трехчлен ax 2 + bx + c имеет один корень
х = - b / 2 a и, следовательно, представим в виде а (х + b / 2 a ) 2

В этом случае парабола у = ax 2 + bx + c касается оси х в точке с абсциссой - b / 2 a (рис. 85).

Поэтому ax 2 + bx + c > 0 при всех значениях х , кроме х = - b / 2 a

Случай 2 . а < 0. В этом случае парабола у = ax 2 + bx + c направлена вниз.
Если D = b 2 - 4ac < 0, то уравнение ax 2 + bx + c = 0 не и имеет действительных корней и, значит, парабола у = ax 2 + bx + c лежит целиком ниже оси х (рис. 86).

Поэтому неравенство ax 2 + bx + c > х.

Если D = b 2 - 4ac > 0, то парабола у = ax 2 + bx + c пересекает ось х в двух точках с абсциссами

В этом случае ax 2 + bx + c > 0 при тех значениях х , которые расположены между корнями уравнения ax 2 + bx + c = 0, то есть при

x 1 < x < x 2 .

Наконец, если D= b 2 - 4ac = 0, то парабола у = ax 2 + bx + c касается оси х в точке с абсциссой х = - b / 2 a (рис. 88).

В этом случае неравенство ax 2 + bx + c > 0 не выполняется ни при каких значениях х .

Замечание 1 .Из рассмотренного вытекает, что если дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c положителен, то этот трехчлен принимает как положительные, так и отрицательные значения. Если же дискриминант отрицателен, то все значения квадратного трехчлена имеют один и тот же знак, а именно знак коэффициента при x 2 .

Замечание 2. При решении неравенства ax 2 + bx + c > 0 нет необходимости точно строить параболу у = ax 2 + bx + c (например, совсем не нужно искать вершину параболы, точку пересечения с осью у и т. д.). Достаточно лишь грубо представить себе эту кривую. Единственное, что нужно сделать абсолютно точно, - это найти корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 (при D > 0).

Квадратный трехчлен ax 2 +bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) , где x 1, x 2 — корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

Пример 1). 2x 2 -7x-15.

Решение. 2x 2 -7x-15=0.

a =2; b =-7; c =-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D .

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 действительных корня.

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x 2 -7x-15 2х+3 и х-5.

Ответ: 2x 2 -7x-15=(2х+3)(х-5).

Пример 2). 3x 2 +2x-8 .

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =3; b =2; c =-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b =2). Находим дискриминант D 1 .

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Мы представили трехчлен 3x 2 +2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4 .

Ответ: 3x 2 +2x-8=(х+2) (3х-4) .

Пример 3) . 5x 2 -3x-2.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =5; b =-3; c =-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x 2 -3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x 2 -3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.

Ответ: 5x 2 -3x-2=(х-1) (5х+2).

Пример 4). 6x 2 +x-5.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =6; b =1; c =-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Мы представили трехчлен 6x 2 +x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5 .

Ответ: 6x 2 +x-5=(х+1) (6х-5) .

Пример 5). x 2 -13x+12.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x 2 -13x+12=0. Проверим, можно ли применить . Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.

a =1; b =-13; c =12. Находим дискриминант D.

D=b 2 -4ac =13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:

x 1 +x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Очевидно, что x 1 =1; x 2 =12.

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(х-1)(х-12).

Ответ: x 2 -13x+12=(х-1) (х-12) .

Пример 6). x 2 -4x-6.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

a =1; b =-4; c =-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D 1 .

Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) и запишем ответ.

В большинстве задач, сводящихся к исследованию квадратичной функции

у = f (х ) = ax 2 + bx + c ,

полезно представить себе её график:

если он пересекает ось Ох в двух точках (корнях) х 1 и х 2 , то между корнями значения функции у = f (х ) противоположны по знаку числу а , а вне отрезка [х 1 ; х 2 ] - совпадают по знаку с числом а;
при этом вершина параболы у = f (х ) (абсцисса которой равна полусумме корней) соответствует точке экстремума функции у = f (х ): минимума, если а > 0, и максимума, если а < 0.

В ряде задач полезно использовать такой факт:

если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f (х ) принимает в концах этого отрезка значения разных знаков, то между точками a и b лежит хотя бы один корень уравнения f (х ) = 0.

Задачи с решениями

1. Известно, что a + b + c < 0 и что уравнение ax 2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Определить знак коэффициента с .

f (x ) = ax 2 + bx + c не имеет действительных корней, значит, он сохраняет один и тот же знак для всех значений аргумента х. Так как f (1) = a + b + c < 0, то f (0) = c < 0.

Ответ: c < 0.

2. Может ли квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант равный 23?

Допустим, что дискриминант указанного уравнения равен числу 23. Тогда можно записать:

b 2 - 4ac = 23,

b 2 - 25 = 4ac - 2

Или

(b - 5) ·(b + 5) = 2(2ас - 1).

Заметим, что b - 5 и b + 5 - числа одинаковой чётности, поэтому их произведение, если оно чётно, делится на 4. Правая часть последнего равенства есть чётное число, не делящееся на 4. Полученно противоречие, значит, сделаное допущение ложно.

Ответ: нет.

3. Найти все пары действительных чисел p , q , для которых многочлен x 4 + px 2 + q , имеет 4 действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.

Многочлен x 4 + px 2 + q , имеет 4 действительных корня в том и только в том случае, если многочлен у 2 + pу + q (относительно у = x 2) имеет два неотрицательных корня, т.е. числа р и q удовлетворяют условиям

p 2 > 4q , q > 0, p < 0.

Если исходный многочлен имеет 4 действительных корня (а именно: -х 1 , -х 2 , х 1 , х 2 , где без ограничения общности считаем, что х 1 > х 2 > 0), то они образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда совместна система

2х 2 = - х 1 + х 2 , x 1 2 + x 2 2 = -p , x 1 2 · x 2 2 = q

(смотрите теорему Виета и обратную к ней), т.е. когда q = 0,09 · р 2 . Таким образом, все искомые пары чисел р , q описываются условиями

p < 0, q = 0,09 · р 2

(неравенства p 2 > 4q и q > 0,вытекают из последнего равенства).

4. Пусть a , b , c - действительные числа. Доказать, что уравнение

(x - a )(x - b ) + (x - b )(x - c ) + (x - c )(x - a ) = 0

всегда имеет хотя бы один действительный корень. Выяснить, когда таких корня два.

Обозначим

f (x ) = (x - a )(x - b ) + (x - b )(x - c ) + (x - c )(x - a ).

Без ограничения общности рассуждений можно считать, что a < b < c . Рассмотрим все возможные случаи:

Если a = b = c , то можно записать f (x ) = 3(x - a ) 2 , и, очевидно, f (а ) = 0: а - корень;

Если a = b , то f (x ) = (x - a ) 2 + 2 (x - а )(x - c ), и f (а ) = 0: а - корень;

Если b = c , то f (x ) = 2(x - a )(x - b ) + (x - b ) 2 , и f (b ) = 0: b - корень;

Если a < b < c , то

f (a ) = (a - b ) (a - c ) > 0,

f (b ) = (b - a ) (b - c ) < 0,

f (c ) = (c - a ) (c - b ) > 0.

Так как f (x ) - непрерывная квадратичная функция, принимающая значения разного знака на концах интервалов (a ; b ) и (b ; c ), то она имеет два различных действительных корня х 1 и х 2 . Более того

a < х 1 < b < х 2 < c .

Решение задачи окончено.

5. Дан многочлен ax 2 + bx + c . За один ход разрешается заменить х на (х - k) или заменить многочлен целиком на многочлен

cx 2 + (b + 2 c )x + (a + b + c ).

Можно ли после нескольких ходов из многочлена x 2 - 3x - 4 получить многочлен x 2 - 2x - 5?

Нетрудно убедиться, что при указанных заменах исходного многочлена его дискриминант не изменяется. Значит, если из многочлена x 2 - 3x - 4 можно получить многочлен x 2 - 2x - 5, то их дискриминанты должны быть равны. Однако это не так.

Ответ: нет.

6. Найдите все значения a и b , такие, что для любого х из отрезка [-1; 1] будет выполняться неравенство

| 2x 2 + ax + b | < 1.

Пусть числа а и b такие, что для любого х из отрезка [-1; 1] выполняется данное неравенство, т. е,

1 < 2x 2 + ax + b < 1.

Полагая здесь последовательно х = 0, х = 1, х = - 1, получаем, что а и b удовлетворяют следующей системе неравенств:

1 < b < 1,

3 < a + b < -1,

3 < b - а < - 1.

Сложив почленно два последних неравенства, подучим

3 < b < - 1.

Отсюда и из первого неравенства следует, что b = -1. Тогда а удовлетворяет следующим двум неравенствам:

2 < a < 0,

0 < a < -2,

и поэтому, а = 0. Таким образом, если существуют числа а и b , удовлетворяющие условию задачи, то

а = 0, b = - 1

и других решений задача не имеет.

Чтобы доказать, что найденные значения а = 0, b = - 1 являются решением задачи, остается проверить, что для любого х из отрезка [-1; 1] верно двойное неравенство

1 < 2x 2 - 1 < 1.

А оно равносильно неравенству

0 < 2x 2 < 2,

которое, очевидно, справедливо на числовом промежутке [-1; 1].

Ответ: а = 0, b = - 1.

7. По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Поставим каждому из пешеходов в соответствие точку в прямоугольной системе координат. Точки (х 1 ; у 1), (х 2 ; у 2), (х 3 ; у 3) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

(х 1 - х 3)(у 2 - у 3) = (х 2 - х 3) (у 1 - у 3).

Так как скорости пешеходов постоянны, то х 1 (t ), у 1 (t ), х 2 (t ), у 2 (t ), х 3 (t ) и у 3 (t ) - линейные функции от времени t и последнее равенство является квадратным уравнением относительно t , которое может иметь не более двух решений t 1 и t 2 . Это и есть те два возможных момента времени, когда все три пешехода могут оказаться на одной прямой.

8. На координатной плоскости Oхy нарисован график функции y = x 2 . Потом оси координат стёрли, осталась только парабола. Как при помощи циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

Докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть M и N - середины двух параллельных хорд параболы. Тогда прямая MN параллельна оси параболы.

Доказательство. Пусть хорды AB и CD параболы лежат на параллельных прямых

y = kx + a и y = kx + b ,

тогда абсциссы точек A , B , C , D - это корни уравнений

x 2 = kx + a и x 2 = kx + b ,

а абсциссы точек M и N - полусуммы корней этих уравнений, то есть по теореме Виета равны k /2. Следовательно, точки M и N лежат на прямой х = k /2, которая параллельна оси Oy . Лемма доказана.

Вернёмся к исходной задаче.

Последовательно осуществляем следующие построения:

1) две параллельные прямые, каждая из которых пересекает параболу в двух точках;

2) прямую через середины получающихся отрезков;

3) перпендикуляр к этой прямой, пересекающий параболу в двух точках А и В ;

4) серединный перпендикуляр к отрезку АВ - это ось Оу ;

5) ось Ох перпендикулярна Оу в точке пересечения с параболой;

6) единичный отрезок - абсцисса пересечения прямой у = х с параболой.

9. Учитель написал на доске квадратный трехчлен х 2 + 10х + 20, после чего по очереди каждый из учеников увеличил или уменьшил на единицу либо коэффициент при х, либо свободный член, но не оба сразу. В результате на доске оказался написан квадратный трехчлен х 2 + 20х +10. Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трехчлен с целыми корнями?

Первый способ.

Заметим, что при каждом изменении трехчлена его значение в точке х = - 1 изменяется на 1 (в ту или другую сторону). Значение первого трехчлена

f (x ) = х 2 + 10х + 20

В этой точке равно f (-1) = 11, а последнего,

g (x ) = х 2 + 20х +10,

— g (-1) = -9. Поэтому в какой-то промежуточный момент на доске был написан трехчлен

h (х ) = х 2 + pх + q ,

Для которого h (-1)=0. Оба его корня - целые числа: один равен -1, другой по теореме Виета равен -q .

Второй способ.

Каждому квадратному трёхчлену

x 2 + bx + c

поставим в соответствие точку координатной плоскости Оbc , где вдоль оси Оb будем откладывать значения второго коэффициента, а вдоль Ос - свободного члена. Многочленам

х 2 + 10х + 20 и х 2 + 20х +10

Будут соответствовать точки

А (10; 20) и В (20; 10),

Соответственно. Предложенные в условии операции предполагают перемещение от точки А к точке В вдоль узлов некоторой ломаной L. У злы L - некоторые целочисленные точки плоскости Оbc , а длина каждого звена L равна 1 (соседние звенья могут лежать на одной прямой).

Так как точки А и В расположены в разных полуплоскостях относительно прямой

с = b - 1,

то ломаная L одним из своих узлов имеет точку этой прямой. Значит, одним из промежуточных многочленов будет многочлен вида

х 2 + b 0 х + (b 0 - 1)

с целым b 0 и целыми корнями -1 и 1 - b 0 .

10. Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x 2 + 2bx + c = 0 действительны?

Для того чтобы вопрос задачи имел смысл, предположим, что точка (b ; c ) равномерно распределена на квадрате с центром в начале координат и стороной 2B . Решим задачу при фиксированном значении B , а затем устремим B к бесконечности, так что b и c могут принимать любые значения.

На рисунке более тёмная выделенная область отвечает случаю действительных корней,

более светлая - комплексных.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо и достаточно, чтобы

b 2 - c > 0.

На приведенном рисунке изображена парабола с = b 2 и показана область, где наше уравнение имеет действительные корни для B = 4.

Нетрудно подсчитать, что площадь «комплексной» области равна (4 · B 3/2)/3 (при B > 1), а площадь всего квадрата, конечно, равна 4B 2 . Следовательно, вероятность того, что корни комплексные, равна 1/(3√ В ). При B = 4 она составляет 1/6. Действительно,

(4 · B 3/2) / 3	=	1	=	1
4 B 2	=	3 · √ В	=	3 · √ 4

С ростом B значение дроби 1/√ В стремится к нулю, так что вероятность того, что корни вещественные, стремится к 1.

Замечание . Рассмотренная задача отличается от такой же задачи, связанной с уравнением

ax 2 + 2bx + c = 0.

Конечно, можно разделить на a , но если a , b и c были независимы и равномерно распределены в некотором кубе, то b /a и c /a уже зависимы и распределены неравномерно.

Задачи без решений

1. Корни уравнения х 2 + pх + q = 0, у которого p + q = 198, являются целыми числами. Найдите эти корни.

2. В квадратном уравнении х 2 + pх + q = 0 коэффициенты p и q независимо пробегают все значения от -1 до +1 включительно. Найти множество значений, которые при этом могут принимать действительные корни данного уравнения.

f (х ) = ax 2 + bx + c таков, что уравнение f (х ) = x не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение f (f (х )) = х так же не имеет вещественных корней.