Преобразование многочлена в выражение. Преобразование выражений. Коротко о главном. Определение и примеры целых выражений

Многочленом именуется сумма одночленов, то есть произведений цифр и переменных. Трудиться с ним комфортнее, потому что почаще каждого реформирование выражения в многочлен дозволяет гораздо упростить его.

Инструкция

1. Раскройте все скобки выражения. Для этого воспользуйтесь формулами, скажем, (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Если вы не знаете формул, либо их сложно применить к данному выражению, раскрывайте скобки ступенчато. Для этого умножайте 1-й член первого выражения на весь член второго выражения, после этого 2-й член первого выражения на весь член второго и т.д. В итоге все элементы обоих скобок будут перемножены между собой.

2. Если перед вами три выражения в скобках, вначале перемножьте первые две, оставляя третье выражение не тронутым. Упростив итог, получившийся в итоге реформирования первых скобок, перемножьте его с третьим выражением.

3. Наблюдательно следите за соблюдением знаков перед множителями-одночленами. Если вы перемножаете два члена с одним знаком (скажем, оба правильны либо оба негативны), одночлен будет со знаком «+». Если же один член имеет перед собой «-», не позабудьте перенести его на произведение.

4. Приведите все одночлены к стандартному виду. То есть переставьте местами множители внутри и упростите. Скажем, выражение 2х*(3,5х) будет равно (2*3,5)*х*х=7х^2.

5. Когда все одночлены будут стандартизированы, испробуйте упростить многочлен. Для этого сгруппируйте члены, у которых идентична часть с переменными, скажем, (2х+5х-6х)+(1-2). Упростив выражение, вы получите х-1.

6. Обратите внимание на присутствие параметров в выражении. Изредка облегчение многочлена нужно изготавливать так, словно параметр является числом.

7. Дабы преобразовать в многочлен выражение, содержащее корень, выведите под ним такое выражение, которое будет возведено в квадрат. Скажем, воспользуйтесь формулой a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, после этого уберите знак корня совместно с четной степенью. Если избавиться от знака корня нереально, преобразовать выражение в многочлен стандартного вида не удастся.

Краткость, как говорится, – сестра дара. Всякому хочется блеснуть даром, но вот его сестра – штука трудная. Феноменальные мысли отчего-то сами собой облекаются в сложноподчинённые предложения со большинством деепричастных циклов. Впрочем в ваших силах упростить свои предложения и сделать их внятными и доступными каждым.

Инструкция

1. Дабы облегчить адресату (будь то слушатель либо читатель) жизнь, постарайтесь заменять причастные и деепричастные циклы короткими придаточными предложениями, исключительно если вышеуказанных циклов слишком много в одном предложении. “Пришедший домой кот, только что съевший мышь, громко мурлыча, ласкался к владельцу, пытаясь заглянуть ему в глаза, веря выпросить рыбу, принесённую из магазина” – такое не пойдёт. Разбейте сходственную конструкцию на несколько частей, не спешите и не пытайтесь сказать всё одним предложением, и будет вам блаженство.

2. Если вы замыслили талантливое высказывание, но в нём оказалось слишком много придаточных предложений (тем больше с одним союзом), то отменнее разбить высказывание на несколько отдельных предложений либо опустить какой-то элемент. “Мы решили, что он расскажет Марине Васильевне, что Катя скажет Вите, что…” – дозволено продолжать беспредельно. Своевременно остановитесь и припомните о том человеке, кто будет это читать либо выслушивать.

3. Впрочем подводные камни кроются не только в структуре предложения. Обратите внимание на лексику. Иноязычные слова, длинные термины, слова, почерпнутые из художественной литературы 19 столетия – всё это только осложнит воспринятие. Нужно уточнить для себя, для какой аудитории вы составляете текст: технари, финально, осознают и трудные термины, и специфические слова; но если вы те же слова предложите учительнице литературы, вряд ли она вас поймёт.

4. Дар – великая вещь. Если вы гениальны (а людей без способностей не бывает), перед вами открывается уйма дорог. Но дар состоит не в трудности, а простоте, как ни необычно. Будьте проще, и ваши дары будут внятны и доступны каждом.

Видео по теме

Даже самое трудное уравнение перестает выглядеть пугающим, если привести его к виду, с которым вы теснее сталкивались. Особенно простым методом, тот, что спасает в всякий обстановки, является приведение многочленов к стандартному виду. Это начальная точка, из которой вы можете двигаться дальше к решению.

Вам понадобится

• лист бумаги
• цветные ручки

Инструкция

1. Запомните стандартную форму многочлена, дабы знать, что вы обязаны получить в итоге. Важность имеет даже порядок записи: первыми обязаны стоять члены с большей степенью. Помимо того, принято сперва записывать незнакомые, обозначенные буквами, стоящими в начале алфавита.

2. Запишите начальный многочлен и приступайте к поиску сходственных слагаемых. Это члены данного вам уравнения, имеющие идентичную буквенную часть либо (и) цифровую. Для большей наглядности подчеркивайте обнаруженные пары. Обратите внимание, что подобие не обозначает идентичность, – основное, дабы один член пары содержал в себе 2-й. Так, сходственными будут члены ху, хy2z и хуz, – они имеют всеобщую часть в виде произведения х и у. Это же относится и к степенным выражениям.

3. Обозначайте различные сходственные члены по-различному. Для этого класснее подчеркивайте одинарными, двойными и тройными линиями, используйте цвет и другие формы линий.

4. Обнаружив все сходственные члены, приступайте к их комбинированию. Для этого в обнаруженных парах вынесите сходственные члены за скобки. Не забывайте, что в стандартной форме у многочлена нет сходственных членов.

5. Проверьте, не осталось ли у вас идентичных элементов в записи. В ряде случаев у вас могут опять возникнуть сходственные члены. Повторите операцию с их комбинированием.

6. Проследите за выполнением второго данные, требующегося для записи многочлена в стандартной форме: весь его участник должен быть изображен в виде одночлена в стандартном виде: на первом месте – числовой множитель, на втором – переменная либо переменны, следующие в теснее обозначенном порядке. При этом приоритет имеет буквенная последовательность, задаваемая алфавитом. Убывание степеней учитывается во вторую очередь. Так, стандартным видом одночлена является запись 7xy2, в то время как y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 не отвечают требованиям.

Видео по теме

Математическая наука постигает разные конструкции, последовательности чисел, отношений между ними, составление уравнений и их решение. Это формальный язык, которым дозволено отчетливо описать приближенные к безупречным свойства реальных объектов, постигаемых в иных областях науки. Одной из таких конструкций является многочлен.

Инструкция

1. Многочлен либо полином (от греч. «поли» – много и лат. «номен» – имя) – класс элементарных функций классической алгебры и алгебраической геометрии. Это функция одной переменной, которая имеет вид F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, где c_i – фиксированные показатели, x – переменная.

2. Многочлены используются во многих разделах, в том числе рассмотрении нуля, негативных и комплексных чисел, теории групп, колец, узлов, множеств и т.д. Применение полиномиальных вычислений гораздо упрощает выражение свойств различных объектов.

3. Основные определения многочлена: Каждое слагаемое полинома именуется одночленом либо мономом. Многочлен, состоящий из 2-х одночленов, называют двучленом либо биномом. Коэффициенты полинома – вещественные либо комплексные числа. Если старший показатель равен 1, то многочлен называют унитарным (приведенным). Степени переменной в всяком одночлене – целые неотрицательные числа, максимальная степень определяет степень многочлена, а его полной степенью именуется целое число, равное сумме всех степеней. Одночлен, соответствующий нулевой степени, именуется свободным членом. Многочлен, все одночлены которого имеют идентичную полную степень, именуется однородным.

4. Некоторые зачастую используемые многочлены названы по фамилии ученого, тот, что их определил, а также описал функции, которые они задают. Скажем, Бином Ньютона – это формула для разложения полинома 2-х переменных на отдельные слагаемые для вычисления степеней. Это знаменитые из школьной программы записи квадратов суммы и разности (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 и разность квадратов (a^2 – b^2) = (a – b)*(a + b).

5. Если допустить в записи многочлена негативные степени, то получится многочлен либо ряд Лорана; многочлен Чебышева применяется в теории приближений; многочлен Эрмита – в теории вероятностей; Лагранжа – для численного интегрирования и интерполяции; Тейлора – при аппроксимации функции и т.д.

Обратите внимание!
Бином Ньютона зачастую упоминают в книгах («Мастер и Маргарита») и фильмах («Сталкер»), когда герои решают математические задачи. Данный термин на слуху, следственно считается самым вестимым многочленом.

Реформирование выражений почаще каждого производится с целью их облегчения. Для этого применяются особые соотношения, а также правила сокращения и приведения сходственных.

Вам понадобится

• – действия с дробями;
• – формулы сокращенного умножения;
• – калькулятор.

Инструкция

1. Простейшим реформированием является приведение сходственных. Если есть несколько слагаемых, которые представляют собой одночлены с идентичными сомножителями, показатель при них дозволено сложить, с учетом знаков, которые стоят перед этими показателями. Скажем, выражение 2 n-4n+6n-n=3 n.

2. Если же идентичные сомножители имеют различные степени, сходственным образом свести сходственные не допустимо. Группируйте только те показатели, которые имеют при себе сомножители с идентичными степенями. Скажем, упростите выражение 4 k?-6 k+5 k?-5 k?+k-2 k?=3 k?-k?-5 k.

3. Если есть такая вероятность, используйте формулы сокращенного умножения. К особенно знаменитым относятся куб и квадрат суммы либо разности 2-х чисел. Они представляют собой частный случай бинома Ньютона. К формулам сокращенного умножения также относят разность квадратов 2-х чисел. Скажем, дабы обнаружить значения выражения 625-1150+529=(25-23)?=4. Либо 1296-576=(36+24) (36-24)=720.

4. Когда необходимо преобразовать выражение , которое представляет собой естественную дробь, выделите из числителя и знаменателя всеобщий множитель и сократите на него числитель и знаменатель. Скажем, сократите дробь 3 (a+b)/(12 (a?-b?)). Для этого преобразуйте ее в вид 3 (a+b)/(3 4 (a-b) (a+b)). Сократите это выражение на 3 (a+b), получите 1/(4 (a-b)).

5. Преобразовывая тригонометрические выражения, используйте вестимые тригонометрические тождества. К ним относится основное тождество sin?(x)+cos?(x)=1, а также формулы тангенса и его соотношения с котангенсом sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x). Формулы суммы разности доводов, а также кратного довода. Скажем, преобразуйте выражение (cos?(x)-sin?(x)) cos?(x) tg(x)= cos(2x) cos?(x) sin(x)/cos(x)= cos(2x) cos(x) sin(x)= cos(2x) cos(x) sin(x) 2/2= cos(2x) sin(2x)/2=cos(2x) sin(2x) 2/4= sin(4x)/4. Такое выражение рассчитать гораздо легче.

Процедура реформирования формул используется в всякий науке, использующей формальный язык математики. Формулы состоят из особых символов, связанных между собой по определенным правилам.

Вам понадобится

• Знание правил математических тождественных реформирований, таблица математических тождеств.

Инструкция

1. Исследуйте выражение на присутствие дробей. Числитель и знаменатель дроби дозволено умножить либо поделить на одно и то же выражение, избавившись от знаменателя. В случае реформирования уравнения, проверьте, нет ли в знаменателях переменных. Если есть – добавьте условие, что выражение знаменателя не равно нулю. Из этого данные выделите недопустимые значения переменных, то есть ограничения в области определения.

2. Примените правила действий со степенями для идентичных оснований. В итоге уменьшится число слагаемых.

3. Перенесите слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения, не содержащие – в иную. К всякой части уравнения применяйте математические тождества для облегчения.

4. Сгруппируйте однородные слагаемые. Для этого вынесите всеобщую переменную за скобки, внутри которых запишите сумму показателей с учетом знаков. Степень той же самой переменной рассматривается как иная переменная.

5. Проверьте, нет ли в формуле образцов тождественных реформирований многочленов. Скажем, нет ли в правой либо левой части формулы разности квадратов, суммы кубов, квадрата разности, квадрата суммы и др. Если есть, то взамен обнаруженного образца подставьте его упрощенный аналог и опять испробуйте произвести группировку слагаемых.

6. В случае реформирования тригонометрических уравнений, неравенств либо легко выражений обнаружьте в них образцы тригонометрических тождеств и примените способ замены части выражения тождественным ему упрощенным выражением. Такое реформирование разрешает избавиться от лишних синусов либо косинусов.

7. Для реформирования углов в всеобщем виде либо в радианной форме воспользуйтесь формулами приведения. Позже реформирования вычислите значение двойного угла либо половинного угла в зависимости от числа пи.

Многочленом называют сумму одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде (см. п. 51) и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида.

Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида - в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.

Рассмотрим примеры, в которых целое выражение нужно привести к стандартному виду многочлена.

Решение. Сначала приведем к стандартному виду члены многочлена. Получим После приведения подобных членов получим многочлен стандартного вида

Решение. Если перед скобками стоит знак «плюс, то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим:

Решение. Если перед скобками стоит зиак «минус», то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых» заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом паскрытия скобок, получим:

Решение. Произведение одночлена и многочлена согласно распределительному закону равно сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена. Получаем

Решение. Имеем

Решение. Имеем

Осталось привести подобные члены (они подчеркнуты). Получим:

53. Формулы сокращенного умножения.

В некоторых случаях приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с использованием тождеств:

Эти тождества называют формулами сокращенного умножения,

Рассмотрим примеры, в которых нужно преобразовать заданное выражение в миогочлеи стандартного вида.

Пример 1. .

Решение. Воспользовавшись формулой (1), получим:

Пример 2. .

Решение.

Пример 3. .

Решение. Воспользовавшись формулой (3), получим:

Пример 4.

Решение. Воспользовавшись формулой (4), получим:

54. Разложение многочленов на множители.

Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких сомножителей - многочленов или одпочленов. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

Рассмотрим некоторые способы разложения многочленов на множители,

1) Вынесение общего множителя за скобку. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона (для наглядности нужно лишь переписать этот закон «справа налево»):

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Решение. .

Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена - целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.

2) Использование формул сокращенного умножения. Формулы (1) - (7) из п. 53, будучи прочитанными «справа налево, во многих случаях оказываются полезными для разложения многочленов на множители.

Пример 2. Разложить на множители .

Решение. Имеем . Применив формулу (1) (разность квадратов), получим . Применив

теперь формулы (4) и (5) (сумма кубов, разность кубов), получим:

Пример 3. .

Решение. Сначала вынесем за скобку общий множитель. Для этого найдем наибольший общий делитель коэффициентов 4, 16, 16 и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные а и b входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим:

3) Способ группировки. Он основан на том, что переместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобки общих множителей в каждой группе в скобках остается однн и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки. Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители.

Пример 4. .

Решение. Произведем группировку следующим образом:

В первой группе вынесем за скобку общий множитель во второй - общий множитель 5. Получим Теперь многочлен как общий множитель вынесем за скобку: Таким образом, получаем:

Пример 5.

Решение. .

Пример 6.

Решение. Здесь никакая группировка не приведет к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего снова попробовать применить способ группировки. В нашем примере целесообразно представить в виде суммы Получим

Пример 7.

Решение. Прибавим и отнимем одночлен Получим

55. Многочлены от одной переменной.

Многочлен , где a, b - числа переменная, называется многочленом первой степени; многочлен где а, b, с - числа переменная, называется многочленом второй степени или квадратным трехчленом; многочлен где а, b, с, d - числа переменная называется многочленом третьей степени.

Вообще если о, переменная, то многочлен

называется лсмогочленол степени (относительно х); , m-члены многочлена, коэффициенты, старший член многочлена, а - коэффициент при старшем члене, свободный член многочлена. Обычно многочлен записывают по убывающим степеням переменной, т. е. степени переменной постепенно уменьшаются, в частности, на первом месте стоит старший член, на последнем - свободный член. Степень многочлена - это степень старшего члена.

Например, многочлен пятой степени, в котором старший член, 1 - свободный член многочлена.

Корнем многочлена называют такое значение при котором многочлен обращается в нуль. Например, число 2 является корнем многочлена так как

Важно a , b , …, z /

Примеры упрощаемых выражений

• 2*a -7*a
• exp(-7*a)/exp(2*a)
• 1/x + 1/y
• sin(x)^2 + cos(x)^2

Правила ввода функций

В функции f Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Функция f absolute(x) x (модуль x или |x| ) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) x arcsin(x) Функция — арксинус от x arcsinh(x) x arctan(x) Функция — арктангенс от x arctanh(x) x e Функция — e exp(x) Функция — экспонента от x (тоже самое, что и e ^x ) floor(x) Функция — округление x log(x) or ln(x) x (Чтобы получить log7(x) log10(x) =log(x)/log(10)) pi sign(x) Функция — Знак x sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) x cosh(x) x sqrt(x) Функция — Корень из от x x^2 Функция — Квадрат x tan(x) Функция — Тангенс от x tanh(x) x

Решение уравнений многочлена

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Многочлен представляет собой алгебраическую сумму произведений чисел, переменных и их степеней. Преобразование многочленов обычно включает два вида задач. Выражение требуется либо упростить, либо разложить на множители, т.е. представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов или одночлена и многочлена.

Так же читайте нашу статью "Решить квадратичное уравнение онлайн"

Чтобы упростить многочлен, приведите подобные слагаемые. Пример. Упростите выражение \ Найдите одночлены с одинаковой буквенной частью. Сложите их. Запишите полученное выражение: \ Вы упростили многочлен.

В задачах, которые требуют разложения многочлена на множители, определите общий множитель данного выражения. Для этого сначала вынесите за скобки те переменные, которые входят в состав всех членов выражения. Причем эти переменные должны иметь наименьший показатель. Затем вычислите наибольший общий делитель каждого из коэффициентов многочлена. Модуль полученного числа будет коэффициентом общего множителя.

Решение задач по математике онлайн

Разложите на множители многочлен \ Вынесите за скобки \ т.к. переменная m входит в каждый член данного выражения и ее наименьший показатель равен двум. Вычислите коэффициент общего множителя. Он равен пяти. Таким образом, общий множитель данного выражения равен \ Отсюда: \

Где можно решить уравнение многочлена онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Преобразование выражений. Коротко о главном.

Упрощение выражений

Шаг 1. Введите выражение для упрощения

Сервис (своего рода программа для классов 5 и 7, 8, 9, 10, 11) позволяет упрощать математические выражения: алгебра (алгебраические выражения), тригонометрических выражений, выражения с корнями и другими степенями, сокращение дробей, также упрощает сложные буквенные выражения,
для упрощение комплексных выражений вам сюда(!)

Важно В выражения переменные обозначаются ОДНОЙ буквой! Например, a , b , …, z /

Примеры упрощаемых выражений

• 2*a -7*a
• exp(-7*a)/exp(2*a)
• 1/x + 1/y
• sin(x)^2 + cos(x)^2

Правила ввода функций

В функции f можно делать следующие операции:Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Функция f может состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):absolute(x) Функция — абсолютное значение x (модуль x или |x| ) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Функция — арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Функция — арксинус от x arcsinh(x) Функция — арксинус гиперболический от x arctan(x) Функция — арктангенс от x arctanh(x) Функция — арктангенс гиперболический от x e Функция — e это то, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (тоже самое, что и e ^x ) floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) log(x) or ln(x) Функция — Натуральный логарифм от x (Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число — "Пи", которое примерно равно 3.14 sign(x) Функция — Знак x sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — Корень из от x x^2 Функция — Квадрат x tan(x) Функция — Тангенс от x tanh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x

На главную

Школьная алгебра

Многочлены

Понятие многочлена

Определение многочлена: многочлен - это сумма одночленов. Пример многочлена:

здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.

Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена.

Является ли разность одночленов многочленом? Да, является, ведь разность легко приводится к сумме, пример: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Одночлены тоже считают многочленами. Но в одночлене нет суммы, тогда почему его считают многочленом? А к нему можно прибавить ноль и получить его сумму с нулевым одночленом. Итак, одночлен - это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.

Число ноль - это нулевой многочлен.

Стандартный вид многочлена

Что такое многочлен стандартного вида? Многочлен есть сумма одночленов и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записаны в стандартном виде, кроме того среди них не должно быть подобных, тогда многочлен записан в стандартном виде.

Пример многочлена в стандартном виде:

здесь многочлен состоит из 2-х одночленов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.

Теперь пример многочлена, который не имеет стандартный вид:

здесь два одночлена: 2a и 4a являются подобными. Надо их сложить, тогда многочлен получит стандартный вид:

Ещё пример:

Этот многочлен приведен к стандартному виду? Нет, у него второй член не записан в стандартом виде. Записав его в стандартном виде, получаем многочлен стандартного вида:

Степень многочлена

Что такое степень многочлена?

Степень многочлена определение:

Степень многочлена - наибольшая степень, которую имеют одночлены, составляющие данный многочлен стандартного вида.

Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень многочлена 5h равна одному, ведь в этот многочлен входит всего один одночлен и степень его равна одному.

Другой пример. Какова степень многочлена 5a2h3s4 +1? Степень многочлена 5a2h3s4 + 1 равна девяти, ведь в этот многочлен входят два одночлена, наибольшую степень имеет первый одночлен 5a2h3s4, а его степень равна 9-ти.

Решение уравнений многочлена

Ещё пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.

Последний пример. Какова степень нулевого многочлена, т.е. нуля? Степень нулевого многочлена не определена.

Многочленом называется сумма одночленов, то есть произведений цифр и переменных. Работать с ним удобнее, так как чаще всего преобразование выражения в многочлен позволяет значительно упростить его.

Инструкция

Раскройте все скобки выражения. Для этого воспользуйтесь формулами, например, (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Если вы не знаете формул, или их трудно применить к данному выражению, раскрывайте скобки последовательно. Для этого умножайте первый член первого выражения на каждый член второго выражения, затем второй член первого выражения на каждый член второго и т.д. В результате все элементы обоих скобок будут перемножены между собой.

Если перед вами три выражения в скобках, сначала перемножьте первые две, оставляя третье выражение не тронутым. Упростив результат, получившийся в результате преобразования первых скобок, перемножьте его с третьим выражением.

Внимательно следите за соблюдением знаков перед множителями-одночленами. Если вы перемножаете два члена с одним знаком (например, оба положительны или оба отрицательны), одночлен будет со знаком «+». Если же один член имеет перед собой «-», не забудьте перенести его на произведение.

Приведите все одночлены к стандартному виду. То есть переставьте местами множители внутри и упростите. Например, выражение 2х*(3,5х) будет равно (2*3,5)*х*х=7х^2.

Когда все одночлены будут стандартизированы, попробуйте упростить многочлен. Для этого сгруппируйте члены, у которых одинакова часть с переменными, например, (2х+5х-6х)+(1-2). Упростив выражение, вы получите х-1.

Обратите внимание на наличие параметров в выражении. Иногда упрощение многочлена необходимо производить так, будто параметр является числом.

Чтобы преобразовать в многочлен выражение, содержащее корень, выведите под ним такое выражение, которое будет возведено в квадрат. Например, воспользуйтесь формулой a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, затем уберите знак корня вместе с четной степенью. Если избавиться от знака корня невозможно, преобразовать выражение в многочлен стандартного вида не удастся.

19. Возьмем формулу

мы ее читали так: «разность числе a и b». Мы можем в этой формуле число a заменить нулем; тогда она обратится в

0 – b или просто в –b.

Из нуля вычесть b значит, согласно тому, что мы знаем о вычитании относительных чисел, к нулю приписать число b, взятое с обратным знаком. Поэтому выражение –b должно понимать, как число, обратное по знаку числу b. Если, напр., b = +5, то –b = –5; если b = –4, то –b = +4 и т. п. Если мы напишем выражение +a, то его надо понимать, как число, равное числу a. Если a = +5, то +a = +5; если a = –4, то +a = 4 и т. п.

Поэтому формулу

мы можем понимать, без различия результата, или в смысле

или в смысле

Таким образом мы всегда можем заменять вычитание сложением и всякую разность понимать, как сумму двух чисел:
a – b есть сумма чисел a и (–b)
x – y есть сумма чисел x и (–y)
–a – b есть сумма чисел (–a) и (–b) и т. п.

Те формулы, где, с точки зрения арифметики, имеют место несколько сложений и вычитаний, напр.,

a – b + c + d – e – f,

мы можем теперь, с точки зрения алгебры, понимать только, как сумму, а именно:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

Поэтому принято подобные выражения называть именем «алгебраическая сумма».

20. Возьмем какую-нибудь алгебраическую сумму

a – b – c или –3bc² + 2ab – 4a²b и т. п.

Принято называть эти выражения именем многочлен , причем это слово заменяет собою слово «сумма» или название «алгебраическая сумма». Мы знаем что

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) и т. п.

Отдельно каждое слагаемое называют именем член многочлена.

Первый многочлен,

состоит из трех членов: (+a), (–b) и (+c).

Второй многочлен,

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

состоит из четырех членов: (–abc), (–3bc²), (+2ab) и (–4a²b).

Слагаемые суммы можно переставлять в любом порядке:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

Это свойство суммы теперь можно выразить иначе: члены многочлена можно переставлять в любом порядке. Это и сделано выше для многочлена –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, притом так, что впереди теперь оказался член (+2ab). Это позволило несколько упростить выражение: впереди знак + можно не писать. Конечно, надо подобные перестановки делать сразу, не заключая предварительно (как выше) каждое слагаемое в скобки.

Еще пример:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.

Первый член этого многочлена был первоначально (+1) – знак + подразумевался перед единицею; когда мы переносим этот член на другое, кроме первого, место (выше мы перенесли его на последнее место), то уже этот знак + пропускать нельзя.

Мы можем заметить, что в предыдущем примере мы перестановкою членов многочлена достигли некоторого порядка: на первом месте стоит член с буквою a в 4-ой степени, на следующем – член с буквою a в 3-ей степени, потом идет член с буквою a во 2-ой степени, потом – a в 1-ой степени и, наконец, член, где буквы a вовсе нет.

Подобное расположение членов многочлена выражают словами «многочлен расположен по нисходящим степеням буквы a».

Вот еще примеры подобного расположения:

3x 5 – 2ax 3 + b (по нисходящим степеням буквы x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (по нисходящим степеням буквы a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (по нисходящим степеням буквы b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (по нисходящим степеням буквы x).

Употребляют часто и обратное «по восходящим степеням» расположение, при котором степень избранной буквы постепенно повышается, причем в 1-м члене или вовсе этой буквы нет, или она имеет здесь наименьшую степень сравнительно с другими членами. О втором из предыдущих примеров мы могли бы сказать, что здесь многочлен расположен по восходящим степеням буквы b. Вот примеры:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (по восходящим степеням буквы a );
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (по восходящим степеням буквы х );
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (по восходящим степеням буквы x );
a 3 – 2ab + b 2 (по восходящим степеням буквы b или по нисходящим степеням буквы a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (по нисходящим степеням буквы x или по восходящим степеням буквы y ).

21. Многочлен о двух членах называется двучленом (напр., 3a + 2b), о трех членах – трехчленом (напр., 2a² – 3ab + 4b²) и т. д. Возможно говорить о сумму из одного слагаемого (другое слагаемое равно нулю), или о многочлене об одном члене. Тогда уже, конечно, название «многочлен» неуместно и употребляется название «одночлен». Каждый член любого многочлена, взятый в отдельности, является одночленом. Вот примеры простейших одночленов:

2; –3a; a²; 4x³; –5x4; ab; ab²; –3abc; и т. д.

Почти все одночлены из выше написанных являются произведениями двух или более множителей, причем у большинства из них имеются и числовой множитель и буквенные. Напр., в одночлене –3abc имеется числовой множитель –3 и буквенные множители a, b и c; в одночлене 4x³ имеется числовой множитель +4 (знак + подразумевается) и буквенный множитель x³ и т. д. Если бы мы написали одночлен с несколькими числовыми множителями (а также и с буквенными), вроде следующего

,

то удобнее, переставив множителей так, чтобы числовые множители оказались рядом, т. е.

,

эти числовые множители перемножить – получим

–4a²bc² (точки, знаки умножения пропускаем).

Принято также, в громадном большинстве случаев, числовой множитель писать впереди. Пишут:

4a, а не a 4
–3a²b, а не a²(–3)b

Числовой множитель одночлена называется коэффициентом.

Если в одночлене не написан числовой множитель, например, ab, то можно всегда его подразумевать. В самом деле

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ и т. п.

Итак, у одночленов a², ab, ab² подразумевается, у каждого, коэффициент 1 (точнее: +1). Если напишем одночлены –ab, –a², –ab² и т. п., то у них должно подразумевать коэффициент –1.

22. Более сложные примеры многочленов и одночленов.

(a + b)² + 3(a – b)² … эта формула выражает сумму двух слагаемых: первым является квадрат суммы чисел a и b, а вторым – произведение числа 3 на квадрат разности тех же чисел. Поэтому эту формулу должно признать двучленом: первый член есть (a + b)² и второй 3(a – b)². Если взять выражение (a + b)² отдельно, то в силу предыдущего, его надо считать одночленом, причем его коэффициент = +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) … должно признать за трехчлен (сумма трех слагаемых): первый член есть a(b – 1) и его коэффициент = +1, второй член –b(a – 1), его коэффициент = –1, третий член –(a – 1)(b – 1), его коэффициент = – 1.

Иногда искусственно уменьшают число членов многочлена. Так трехчлен

можно, например, рассматривать за двухчлен, причем a + b, например, считают за один член (за одно слагаемое). Чтобы это яснее отметить, пользуются скобками:

Тогда у члена (a + b) подразумевается коэффициент +1

[в самом деле (a + b) = (+1)(a + b)].