Таблица распределения выборки суммы баллов после четырех. Выборочные оценки характеристик случайных величин. §14. Эмпирическая функция распределения

План:

1. Задачи математической статистики.

2. Виды выборок.

3. Способы отбора.

4. Статистическое распределение выборки.

5. Эмпирическая функция распределения.

6. Полигон и гистограмма.

7. Числовые характеристики вариационного ряда.

8. Статистические оценки параметров распределения.

9. Интервальные оценки параметров распределения.

1. Задачи и методы математической статистики

Математическая статистика - это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки результатов статистических данных наблюдений для научных и практических целей.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным- контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное исследование, т.е. обследуют каждый объект относительно нужного признака. На практике сплошное обследование применяется редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов (выборочную совокупность) и подвергают их изучению.

Основная задача математической статистики заключается в исследовании всей совокупности по выборочным данным в зависимости от поставленной цели, т.е. изучение вероятностных свойств совокупности: закона распределения, числовых характеристик и т.д. для принятия управленческих решений в условиях неопределенности.

2. Виды выборок

Генеральная совокупность – это совокупность объектов, из которой производится выборка.

Выборочная совокупность (выборка) – это совокупность случайно отобранных объектов.

Объем совокупности – это число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности обозначается N , выборочной – n .

Пример:

Если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

Присоставлении выборки можно поступить двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Т.о. выборки делятся на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку , при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку , при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществлять случайно.

Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.

Пример:

В американском журнале «Литературное обозрение» с помощью статистическихметодов было проведено исследование прогнозов относительно исхода предстоящих выборов президента США в 1936 году. Претендентами на этот пост были Ф.Д. Рузвельт и А. М. Ландон. В качестве источника для генеральной совокупности исследуемых американцев были взяты справочники телефонных абонентов. Из них случайным образом были выбраны 4 миллиона адресов., по которым редакция журнала разослала открытки с просьбой высказать свое отношение к кандидатам на пост президента. Обработав результаты опроса, журнал опубликовал социологический прогноз о том, что на предстоящих выборах с большим перевесом победит Ландон. И … ошибся: победу одержал Рузвельт.
Этот пример можно рассматривать, как пример нерепрезентативной выборки. Дело в том, что в США в первой половине двадцатого века телефоны имела лишь зажиточная часть населения, которые поддерживали взгляды Ландона.

3. Способы отбора

На практике применяются различные способы отбора, которые можно разделить на 2 вида:

1. Отбор не требует расчленения генеральной совокупности на части (а) простой случайный бесповторный ; б) простой случайный повторный ).

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. (а) типичный отбор ; б) механический отбор ; в) серийный отбор ).

Простым случайным называют такой отбор , при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности (случайно).

Типичным называют отбор , при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типичной» части. Например, если деталь изготавливают на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Таким отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных «типичных» частях генеральной совокупности.

Механическим называют отбор , при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20 % изготовленных станком деталей, то отбирают каждую 5-ую деталь; если требуется отобрать 5 % деталей- каждую 20-ую и т.д. Иногда такой отбор может не обеспечивать репрезентативность выборки (если отбирают каждый 20-ый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производится замена резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами).

Серийным называют отбор , при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергают сплошному обследованию. Например, если изделия изготавливаются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.

На практике часто применяют комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

4. Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение x 1 –наблюдалось раз, x 2 -n 2 раз,… x k - n k раз. n = n 1 +n 2 +...+n k – объем выборки. Наблюдаемые значения называются вариантами , а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке- вариационным рядом . Числа наблюдений называются частотами (абсолютными частотами) , а их отношения к объему выборки - относительными частотами или статистическими вероятностями.

Если количество вариант велико или выборка производится из непрерывной генеральной совокупности, то вариационный ряд составляется не по отдельным точечным значениям, а по интервалам значений генеральной совокупности. Такой вариационный ряд называется интервальным. Длины интервалов при этом должны быть равны.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (суммы частот, попавших в этот интервал значений)

Точечный вариационный ряд частот может быть представлен таблицей:

Аналогично можно представить точечный вариационный ряд относительных частот.

Причем:

Пример:

Число букв в некотором тексте Х оказалось равным 1000. Первой встретиласьбуква «я», второй- буква «и», третьей- буква «а», четвертой- «ю». Затем шли буквы«о», «е», «у», «э», «ы».

Выпишем места, которые они занимают в алфавите, соответственно имеем: 33, 10, 1, 32, 16, 6, 21, 31, 29.

После упорядочения этих чисел по возрастанию получаем вариационный ряд: 1, 6, 10, 16, 21, 29, 31, 32, 33.

Частоты появления букв в тексте: «а» - 75, «е» -87, «и»- 75, «о»- 110, «у»- 25, «ы»- 8, «э»- 3, «ю»- 7, «я»- 22.

Составим точечный вариационный ряд частот:

Пример:

Задано распределение частот выборки объема n = 20.

Составьте точечный вариационный ряд относительных частот.

Решение:

Найдем относительные частоты:

При построении интервального распределения существуют правилавыбора числа интервалов или величины каждого интервала. Критерием здесь служит оптимальное соотношение: при увеличении числа интервалов улучшается репрезентативность, но увеличивается объем данных и время на их обработку. Разность x max - x min между наибольшим и наименьшим значениями вариант называют размахом выборки.

Для подсчета числа интервалов k обычно применяют эмпирическую формулу Стреджесса (подразумевая округление до ближайшего удобного целого): k = 1 + 3.322 lg n .

Соответственно, величину каждого интервала h можно вычислить по формуле :

5. Эмпирическая функция распределения

Рассмотрим некоторую выборку из генеральной совокупности. Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Введем обозначения: n x – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; n – общее число наблюдений (объем выборки). Относительная частота события Х<х равна n x /n . Если х изменяется, то изменяется и относительная частота, т.е. относительная частота n x /n - есть функция от х. Т.к. она находится эмпирическим путем, то она называется эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого х относительную частоту события Х<х.

где число вариант, меньших х,

n - объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения F (x ) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения .

Различие между эмпирической и теоретической функциями распределения состоит в том, что теоретическая функция F (x ) определяет вероятность события ХF*(x) стремится по вероятности к вероятности F (x ) этого события. Т.е.при большом n F*(x) и F (x ) мало отличаются друг от друга.

Т.о. целесообразно использовать эмпирическую функцию распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

F*(x) обладает всеми свойствами F (x ).

1. ЗначенияF*(x) принадлежат интервалу .

2. F*(x) - неубывающая функция.

3. Если – наименьшая варианта, тоF*(x) = 0, при х< x 1 ; если x k – наибольшая варианта, то F*(x) = 1, при х > x k .

Т.е. F*(x) служит для оценки F (x ).

Если выборка задана вариационным рядом, то эмпирическая функция имеет вид:

График эмпирической функции называется кумулятой.

Пример:

Постройте эмпирическую функцию по данному распределению выборки.

Решение:

Объем выборки n = 12 + 18 +30 = 60. Наименьшая варианта 2, т.е. при х < 2. Событие X <6, (x 1 = 2) наблюдалось 12 раз, т.е. F*(x)=12/60=0,2 при 2 < x < 6. Событие Х<10, (x 1 =2, x 2 = 6) наблюдалось 12 + 18 = 30 раз, т.е.F*(x)=30/60=0,5 при 6 < x < 10. Т.к. х=10 наибольшая варианта, тоF*(x) = 1 при х>10. Искомая эмпирическая функция имеет вид:

Кумулята:

Кумулята дает возможность понимать графически представленную информацию, например, ответить на вопросы: «Определите число наблюдений, при которых значение признака было меньше 6 или не меньше 6. F*(6) =0,2 » Тогда число наблюдений, при которых значение наблюдаемого признака было меньше 6 равно 0,2* n = 0,2*60 = 12. Число наблюдений, при которых значение наблюдаемого признака было не меньше 6 равно (1-0,2)* n = 0,8*60 = 48.

Если задан интервальный вариационный ряд, то для составления эмпирической функции распределения находят середины интервалов и по ним получают эмпирическую функцию распределения аналогично точечному вариационному ряду.

6. Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения: полином и гистограммы

Полигон частот- это ломаная, отрезки которой соединяют точки ( x 1 ;n 1 ), ( x 2 ;n 2 ),…, ( x k ; n k ), где – варианты, – соответствующие им частоты.

Полигон относительных частот- это ломаная, отрезки которой соединяют точки ( x 1 ;w 1 ), (x 2 ;w 2 ),…, ( x k ;w k ), гдеx i –варианты, w i – соответствующие им относительные частоты.

Пример:

Постройте полином относительных частот по данному распределению выборки:

Решение:

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для кажд ого частичного интервала n i – сумму частот вариант, попавших в i -ый интервал. (Например, при измерении роста человека или веса, мы имеем дело с непрерывным признаком).

Гистограмма частот- это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h , а высоты равны отношению (плотность частот).

Площадь i -го частичного прямоугольника равна- сумме частот вариант i - го интервала, т.е. площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Пример:

Даны результаты изменения напряжения (в вольтах) в электросети. Составьте вариационный ряд, постройте полигон и гистограмму частот, если значения напряжения следующие: 227, 215, 230, 232, 223, 220, 228, 222, 221, 226, 226, 215, 218, 220, 216, 220, 225, 212, 217, 220.

Решение:

Составим вариационный ряд. Имеем n = 20, x min =212, x max =232 .

Применим формулу Стреджесса для подсчета числа интервалов.

Интервальный вариационный ряд частот имеет вид:

Построим гистограмму частот:

Построим полигон частот, найдя предварительно середины интервалов:

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которыхслужат частичные интервалы длиною h , а высоты равны отношению w i /h (плотность относительной частоты).

Площадь i -го частичного прямоугольника равна- относительной частоте вариант, попавших в i - ый интервал. Т.е. площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

7. Числовые характеристики вариационного ряда

Рассмотрим основные характеристики генеральной и выборочной совокупностей.

Генеральным средним называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Для различных значений x 1 , x 2 , x 3 , …, x n . признака генеральной совокупности объема N имеем:

Если значения признака имеют соответствующие частоты N 1 +N 2 +…+N k =N , то

Выборочным средним называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

Если значения признака имеют соответствующие частоты n 1 +n 2 +…+n k = n , то

Пример:

Вычислите выборочное среднее для выборки: x 1 = 51,12; x 2 = 51,07;x 3 = 52,95; x 4 =52,93;x 5 = 51,1;x 6 = 52,98; x 7 = 52,29; x 8 = 51,23; x 9 = 51,07; x 10 = 51,04.

Решение:

Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака Х генеральной совокупности от генерального среднего.

Для различных значений x 1 , x 2 , x 3 , …, x N признака генеральной совокупности объема N имеем:

Если значения признака имеют соответствующие частоты N 1 +N 2 +…+N k =N , то

Генеральным среднеквадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от среднего значения.

Для различных значений x 1 , x 2 , x 3 , …, x n признака выборочной совокупности объема n имеем:

Если значения признака имеют соответствующие частоты n 1 +n 2 +…+n k = n , то

Выборочным среднеквадратическим отклонением (стандартом) называется квадратный корень из выборочной дисперсии.

Пример:

Выборочная совокупность задана таблицей распределения. Найдите выборочную дисперсию.

Решение:

Теорема: Дисперсия равна разности среднего квадратов значений признака и квадрата общего среднего.

Пример:

Найдите дисперсию по данному распределению.

Решение:

8. Статистические оценки параметров распределения

Пусть генеральная совокупность исследуется по некоторой выборке. При этом можно получить лишь приближенное значение неизвестного параметра Q , который служит его оценкой. Очевидно, что оценки могут изменяться от одной выборки к другой.

Статистической оценкой Q * неизвестного параметра теоретического распределения называется функция f , зависящая от наблюдаемых значений выборки. Задачей статистического оценивания неизвестных параметров по выборке заключается в построении такой функции от имеющихся данных статистических наблюдений, которая давала бы наиболее точные приближенные значения реальных, не известных исследователю, значений этих параметров.

Статистические оценки делятся на точечные и интервальные, в зависимости от способа их предоставления (числом или интервалом).

Точечной называют статистическую оценку параметра Q теоретического распределения определяемую одним значением параметра Q *=f (x 1 , x 2 , ..., x n), где x 1 , x 2 , ..., x n - результаты эмпирических наблюдений над количественным признаком Х некоторой выборки.

Такие оценки параметров, полученные по разным выборкам, чаще всего отличаются друг от друга. Абсолютная разность /Q *-Q / называют ошибкой выборки (оценивания).

Для того, чтобы статистические оценки давали достоверные результаты об оцениваемых параметрах, необходимо, чтобы они были несмещенными, эффективными и состоятельными.

Точечная оценка , математическое ожидание которой равно (не равно) оцениваемому параметру, называется несмещенной (смещенной) . М(Q *)=Q .

Разность М(Q *)-Q называют смещением или систематической ошибкой . Для несмещенных оценок систематическая ошибка равна 0.

Эффективной оценку Q *, которая при заданном объеме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию: D min (n = const ). Эффективная оценка имеет наименьший разброс по сравнению с другими несмещенными и состоятельными оценками.

Состоятельной называют такую статистическую оценку Q *, которая при n стремится по вероятности к оцениваемому параметру Q , т.е. при увеличении объема выборки n оценка стремится по вероятности к истинному значению параметра Q .

Требование состоятельности согласуется с законом больших числе: чем больше исходной информации об исследуемом объекте, тем точнее результат. Если объем выборки мал, то точечная оценка параметра может привести к серьезным ошибкам.

Любую выборку (объема n ) можно рассматривать как упорядоченный набор x 1 , x 2 , ..., x n независимых одинаково распределенных случайных величин.

Выборочные средние для различных выборок объема n из одной и той же генеральной совокупности будут различны. Т. е. выборочное среднее можно рассматривать как случайную величину, а значит, можно говорить о распределении выборочного среднего и его числовых характеристиках.

Выборочное среднее удовлетворяет всем накладываемым к статистическим оценкам требованиям, т.е. дает несмещенную, эффективную и состоятельную оценку генерального среднего.

Можно доказать, что . Таким образом, выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, давая ее заниженное значение. Т. е. при небольшом объеме выборки она будет давать систематическую ошибку. Для несмещенной, состоятельной оценки достаточно взять величину , которую называют исправленной дисперсией. Т. е.

На практике для оценки генеральной дисперсии применяют исправленную дисперсию при n < 30. В остальных случаях ( n >30) отклонение от малозаметно. Поэтому при больших значениях n ошибкой смещения можно пренебречь.

Можно так же доказать,что относительная частота n i / n является несмещенной и состоятельной оценкой вероятности P (X =x i ). Эмпирическая функция распределения F *(x ) является несмещенной и состоятельной оценкой теоретической функции распределения F (x )= P (X < x ).

Пример:

Найдите несмещенные оценки математического ожиданияи дисперсии по таблице выборки.

Решение:

Объем выборки n =20.

Несмещенной оценкой математического ожидания является выборочное среднее.

Для вычисления несмещенной оценки дисперсии сначала найдем выборочную дисперсию:

Теперь найдем несмещенную оценку:

9. Интервальные оценки параметров распределения

Интервальной называется статистическая оценка, определяемая двумя числовыми значениями- концами исследуемого интервала.

Число > 0, при котором | Q - Q *|< , характеризует точность интервальной оценки.

Доверительным называется интервал , который с заданной вероятностью покрывает неизвестное значение параметра Q . Дополнение доверительного интервала до множества всех возможных значений параметра Q называется критической областью . Если критическая область расположена только с одной стороны от доверительного интервала, то доверительный интервал называется односторонним: левосторонним , если критическая область существует только слева, и правосторонним- если только справа. В противном случае, доверительный интервал называется двусторонним .

Надежностью, или доверительной вероятностью, оценки Q (с помощью Q *) называют вероятность, с которой выполняется следующее неравенство: | Q - Q *|< .

Чаще всего доверительную вероятность задают заранее (0,95; 0,99; 0,999) и на нее накладывают требование быть близкой к единице.

Вероятность называют вероятностью ошибки, или уровнем значимости.

Пусть | Q - Q *|< , тогда . Это означает, что с вероятностью можно утверждать, что истинное значение параметра Q принадлежит интервалу . Чем меньше величина отклонения , тем точнее оценка.

Границы (концы) доверительного интервала называют доверительными границами, или критическими границами.

Значения границ доверительного интервала зависят от закона распределения параметра Q *.

Величину отклонения равную половине ширины доверительного интервала, называют точностью оценки.

Методы построения доверительных интервалов впервые были разработаны американским статистом Ю. Нейманом. Точность оценки , доверительная вероятность и объем выборки n связаны между собой. Поэтому, зная конкретные значения двух величин, всегда можно вычислить третью.

Нахождение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения, если известно среднеквадратическое отклонение.

Пусть произведена выборка из генеральной совокупности, подчиненной закону нормального распределения. Пусть известно генеральное среднеквадратическое отклонение , но неизвестно математическое ожидание теоретического распределения a ( ).

Справедлива следующая формула:

Т.е. по заданному значению отклонения можно найти, с какой вероятностью неизвестное генеральное среднее принадлежит интервалу . И наоборот. Из формулы видно, что при возрастании объема выборки и фиксированной величине доверительной вероятности величина - уменьшается, т.е. точность оценки увеличивается. С увеличением надежности (доверительной вероятности), величина -увеличивается, т.е. точность оценки уменьшается.

Пример:

В результате испытаний были получены следующие значения -25, 34, -20, 10, 21. Известно, что они подчиняются закону нормального распределения с среднеквадратическим отклонением 2. Найдите оценку а* для математического ожидания а. Постройте для него 90%-ый доверительный интервал.

Решение:

Найдем несмещенную оценку

Тогда

Доверительный интервал для а имеет вид: 4 – 1,47< a < 4+ 1,47 или 2,53 < a < 5, 47

Нахождение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения, если неизвестно среднеквадратическое отклонение.

Пусть известно, что генеральная совокупность подчинена закону нормального распределения, где неизвестны а и . Точность доверительного интервала, покрывающего с надежностью истинное значение параметра а, в данном случае вычисляется по формуле:

, где n - объем выборки, , - коэффициент Стьюдента (его следует находить по заданным значениям n и из таблицы «Критические точки распределения Стьюдента»).

Пример:

В результате испытаний были получены следующие значения -35, -32, -26, -35, -30, -17. Известно, что они подчиняются закону нормального распределения. Найдите доверительный интервал для математического ожидания а генеральной совокупности с доверительной вероятностью 0,9.

Решение:

Найдем несмещенную оценку .

Найдем .

Тогда

Доверительный интервал примет вида (-29,2 - 5,62; -29,2 + 5,62) или (-34,82; -23,58).

Нахождение доверительного интерла для дисперсии и среднеквадратического отклонения нормального распределения

Пусть из некоторой генеральной совокупности значений, распределенной по нормальному закону, взята случайная выборка объема n < 30, для которой вычислены выборочные дисперсии: смещенная и исправленная s 2 . Тогда для нахождения интервальных оценок с заданной надежностью для генеральной дисперсии D генерального среднеквадратического отклонения используются следующие формулы.

или ,

Значения - находят с помощью таблицы значений критических точек распределения Пирсона.

Доверительный интервал для дисперсии находится из этих неравенств путем возведения всех частей неравенства в квадрат.

Пример:

Было проверено качество 15 болтов. Предполагая, что ошибка при их изготовлении подчинена нормальному закону распределения, причем выборочное среднеквадратическое отклонение равно 5 мм, определить с надежностью доверительный интервал для неизвестного параметра

Границы интервала представим в виде двойного неравенства:

Концы двустороннего доверительного интервала для дисперсии можно определить и без выполнения арифметических действий по заданному уровню доверия и объему выборки с помощью соответствующей таблицы (Границы доверительных интервалов для дисперсии в зависимости от числа степеней свободы и надежности). Для этого полученные из таблицы концы интервала умножают на исправленную дисперсию s 2 .

Пример:

Решим предыдущую задачу другим способом.

Решение:

Найдем исправленную дисперсию:

По таблице «Границы доверительных интервалов для дисперсии в зависимости от числа степеней свободы и надежности» найдем границы доверительного интервала для дисперсии при k =14 и : нижняя граница 0,513 и верхняя 2,354.

Умножим полученные границы на s 2 и извлечем корень (т.к. нам нужен доверительный интервал не для дисперсии, а для среднеквадратического отклонения).

Как видно из примеров, величина доверительного интервала зависит от способа его построения и дает близкие между собой, но неодинаковые результаты.

При выборках достаточно большого объема (n >30) границы доверительного интервала для генерального среднеквадратического отклонения можно определить по формуле: - некоторое число, которое табулировано и приводится в соответствующей справочной таблице.

Если 1- q <1, то формула имеет вид:

Пример:

Решим предыдущую задачу третьим способом.

Решение:

Ранее было найдено s = 5,17. q (0,95; 15) = 0,46 – находим по таблице.

Тогда:

Различные статистические оценки выборки являются выборочными оценками соответствующих характеристик случайной величины.

Выборочное среднее (обозначается как М или ) является оценкой математического ожидания и определяется как среднее арифметическое всех элементов выборки:

M = .

Выборочное среднее можно также выразить через частоты различных элементов выборки:

M = p 1 x 1 + … + p n x n ,

где в суммировании участвуют только различные значения х і .

Выборочное среднее обладает тем свойством, что сумма отклонений всех наблюдений от этого числа равна 0, т. е. наблюдения превышающие среднее, уравновешиваются наблюдениями, значения которых ниже среднего.

Пример 5 . Для выборки, состоящей из 8 значений: 1, 1, 3, 4, 8, 9, 10, 12 среднее равно (1 + 1+ 3 + 4 + 8 + 9+10+ 12)/8 = 48/8 = 6.

Важную роль при анализе связей между переменными играет сумма квадратов отклонений наблюдений от среднего (обозначается как SS):

SS = (x 1 –M) 2 + …+ (x n – M) 2

В практических расчетах удобно пользоваться другим выражением суммы квадратов (получаемым из исходного путем тождественных преобразований):

SS = (x 1 2 – 2M x 1 M 2) + … + (x n 2 - 2M x n M 2) = (x 1 2 + … + x n 2) – 2M (x 1 + … + x n) + nM 2 =

= (x 1 2 + … + x n 2) - nM 2 .

Выборочной оценкой дисперсии (обозначается как S 2 , σ 2) является сумма квадратов отклонений, деленная на число наблюдений за вычетом 1:

S 2 = .

Эта оценка дисперсии является несмещенной (т. е. ее математическое ожидание совпадает с истинным значением дисперсии случайной величины). Иногда в качестве выборочной оценки дисперсии используют величину SS /п. В теории статистического оценивания доказывается, что эта оценка является смещенной, поэтому предпочтительнее пользоваться оценкой, приведенной выше. В различных компьютерных системах анализа данных, начиная от калькуляторов со встроенными статистическими функциями, реализованы различные варианты оценки дисперсии - смещенная или несмещенная (в некоторых случаях обе), на что следует обращать внимание.

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение среднего (обозначается как S, σ) определяется как квадратный корень из дисперсии:

S = .

Пример 6 . Для выборки из примера 5.

SS = (1 – 6) 2 + (1 - 6) 2 + (3 – 6) 2 + (4 – 6) 2 + (8 – 6) 2 + (9 – 6) 2 + (10 – 6) 2 + (12 – 6) 2 =

= (-5) 2 + (-5) 2 + (-3) 2 +2 2 + 2 2 +3 2 + 4 2 + 6 2 = 128,

S 2 = SS/7 = 18,29

S = = 4,28

Выборочное среднее чувствительно к «экстремальным» значениям, сильно отклоняющимся от остальных значений выборки. Тем более чувствительны к появлению нетипичных для выборки значений оценки, характеризующие рассеяние относительно среднего.

Пример 7 . Если бы в вариационном ряду из примера 5 последнее значение составляло не 12, а 42, то выборочное среднее равнялось бы 9,75 (т.е. увеличилось бы на 22%), а стандартное отклонение - 13,5 (увеличение более чем в 3 раза).

Вышеупомянутая ситуация иллюстрирует тот факт, что на практике всегда полезно внимательно относиться к первичным данным и прежде чем использовать математические алгоритмы статистического анализа, оценивать визуально их качество, наличие «экстремальных» отклонений, возможность возникновения артефактов и в соответствии с этим принимать решение о том, стоит ли осуществлять статистическую обработку или, может быть, повторить эксперимент. Иногда в таких случаях отбрасываются крайние значения выборки и дальнейший анализ производится без них, но это решение должно быть осознанным и обоснованным.

При описании экспериментальных данных в литературе нередко приводится такая характеристика, как стандартная ошибка среднего (обычно обозначается как т, а диапазон значений среднего с учетом ошибки указывается в виде М±т). Стандартная ошибка среднего определяется как стандартное отклонение, деленное на корень квадратный из числа наблюдений:

M = .

Эта величина, в отличие от всех других рассматриваемых в данном пункте оценок, не является оценкой какого-либо из параметров распределения случайной величины, но характеризует точность оценки среднего по имеющимся данным. Стандартная ошибка среднего зависит от числа наблюдений: с увеличением числа испытаний она уменьшается (до сколь угодно малых величин при достаточно больших п). Приведенная выше формула для оценки стандартной ошибки среднего справедлива только для нормального распределения.

Медианой выборки называется число, для которого количество наблюдений, превышающих его, равно количеству наблюдений, меньших его. Для определения медианы выборка должна быть упорядочена по возрастанию. Если число наблюдений нечетно, за медиану принимается средний по порядку элемент вариационного ряда, а если чётно - среднее арифметическое между двумя ближайшими друг к другу значениями вариационного ряда, равноудаленными от его начала и конца. Выборочные квартили определяются как числа, разбивающие вариационный ряд на 4 группы с одинаковым числом наблюдений. Для выборок с большим (в несколько сотен) числом наблюдений аналогичным образом можно определить и квантили.

Медиана более устойчива к появлению в выборке экстремальных значений, чем выборочное среднее.

Пример 8 . Для выборки из примера 5 медиана равна 5-му значению вариационного ряда, т. е. 8. При замене последнего значения вариационного ряда с 12 на 42 медиана не изменяется.

Выборочной модой для дискретной случайной величины называется такое значение x k , частота появлений которого в выборке больше, чем для любых других значений. Выборка может иметь более чем одну моду. В случае непрерывной случайной величины моду определяют кик середину интервала, в который попало наибольшее число наблюдений. Результаты определения моды в этом случае зависят от выбора числа интервалов.

Мода, в отличие от медианы и среднего, очень чувствительна не к экстремальным, а к типичным для данной выборки значениям. Поэтому определять выборочную моду имеет смысл только при очень больших (порядка нескольких сотен) объемах выборок.

Пример 9 . Для выборки из примера 5 мода равна 1. При изменении 6-го значения с 9 на 10 появилась бы вторая мода, равная 10, тогда как медиана выборки не изменилась бы, а среднее увеличилось бы незначительно (на 0,125).

Выборочное среднее, медиана и мода служат оценками положения центра распределения. Для количественных переменных могут быть вычислены все три оценки. Соотношения между этими оценками несут важную информацию о виде распределения (совпадение медианы и среднего свидетельствует о симметричности распределения, наличие неединственной моды - о неоднородности выборки), поэтому при описании экспериментальных данных имеет смысл вычислять их все.

Для качественных переменных единственной возможной характеристикой центрального положения распределения является мода.

Пример 10 . Из 100 обследованных группы крови О, А, В и АВ имели, соответственно, 43, 30, 18 и 9 человек. Следовательно, модальной для данной выборки является группа крови О.

Для порядковых переменных основным показателем центра распределения также является мода. Вычисление среднего и медианы формально возможно, но, вообще говоря, некорректно, поскольку результатами таких вычислений могут оказаться числа, не принадлежащие к множеству допустимых значений дискретной случайной величины (например, дробные, тогда как дискретным величинам приписывают как правило, только целочисленные значения). Тем не менее, и в этом случае определение медианы как границы, разбивающей выборку на две равночисленные подгруппы, может оказаться полезным. В случае, если значение медианы не совпадает ни с одним из уровней полуколичественной переменной, она показывает, между какими уровнями проходит такая граница.

Если интервалы между соседними значениями ординальной переменной равномерны, допустимо и вычисление среднего. В этом случае величина среднего показывает не только между какими соседними значениями находится средневероятное выборочное значение, но и к какому из этих значений она ближе.

Решая вопрос о том, следует ли вычислять и приводить среднее значение для переменных, измеряемых в балльных шкалах, необходимо уточнять, является ли шкала равномерной. В некоторых случаях (особенно в психологических исследованиях) градуировку шкал специально производят не из соображений равномерности шкалы, а так, чтобы она соответствовала разбиению населения на равночисленные группы (например, 5-балльная шкала строится таким образом, чтобы каждому ее уровню соответствовало 20 % населения). Встречается также градуировка шкалы в фиксированных долях от стандартного отклонения (которое определяется по достаточно большой группе, для которой подтверждена валидность теста).

Пример 11. В табл. 4.1 приведены результаты опроса, проведенного среди двух одинаковых по численности, половому и возрастному составу и социально- экономическому статусу групп населения, проживающих на территориях, одна из которых характеризуется высоким уровнем загрязнения воды и почвы.

Качественным градациям состояния здоровья можно сопоставить оценки но 5-балльной шкале (приведенные в таблице в скобках), причем эту шкалу можно считать более или менее равномерной. Тогда возможно вычислить оценки положения центра распределения для обеих групп. Модальное значение оценки для обеих групп равно 3. Медианы обеих групп также совпадают и равны 3 (50-е и 51-е значение вариационного ряда в обоих случаях соответcтвуют этой величине оценки). Различия распределения оценок в двух группах проявляются только в различии средних:

для первой группы М = 0,02 1 + 0,18 2 + 0,35 3 + 0,29 4 + 0,16 5 = 0,02 +

0,36 + 1,05 + 1,16 + 0,80 = 3,39;

для второй группы М = 0,12 1 + 0,22 2 + 0,41 3 + 0,19 4 + 0,06 5 = 0,12 +

0,44 + 1,23 + 0,76 + 0,30 = 2,85.

Таким образом, средневероятное состояние здоровья для жителей незаг рязненной территории находится между удовлетворительным и хорошим, а для загрязненной территории - между плохим и удовлетворительным, т.е. выбо рочное среднее, вычисление которого в данном случае достаточно корректно, оказалось единственной оценкой, улавливающей различия в состоянии здоровья (при данном способе оценки) между территориями с различным уровнем загрязнения.

Таблица 4.1

Результаты самооценки состояния здоровья в двух выборочных группах

Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение x 1 наблюдалось n 1 раз, значение x 2 наблюдалось n 2 раз, …, значение x k наблюдалось n k раз.

Наблюдаемые значения x i (i = 1, 2, …, n) признака Х называют вариантами, а последовательность всех вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом . Числа наблюдений n i называют частотами , их сумма ─объем выборки . Отношения частот к объему выборки ─относительными частотами .

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант x i вариационного ряда и соответствующих им частот n i (сумма всех частот равна объему выборки n) или относительных частот W i (сумма всех относительных частот равна единице). Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (или относительными частотами).

Пример. Задано распределение частот выборки объема n = 20:

В данной выборке получены следующие варианты x 1 = 2; x 2 = 6; x 3 = 12,

соответствующие частоты n 1 = 3; n 2 = 10; n 3 = 7.

Напишем распределение относительных частот.

Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки = 3 + 10 + 7 = 20.

─ относительные частоты:

Напишем распределение относительных частот:

Контроль: сумма всех относительных частот равна единице:

§14. Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Введем обозначения: ─ число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньше х; n – общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Х<х равна . Если х изменяется, то, вообще говоря, изменится и относительная частота, то есть относительная частотаесть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Определение . Эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки) – функция F * (x), определяющая для каждого значения х относительную частоту события X

где ─ число вариант, меньших х;n – объем выборки.

Например, для того чтобы найти F * (x 2), надо число вариант, меньших x 2 , разделить на объем выборки:

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения . Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события X

Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события X . Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности. Такое заключение подтверждается и тем, что F * (x) обладает всеми свойствами F(x).

Из определения функции F * (x) вытекают следующие ее свойства:

Значения эмпирической функции принадлежит отрезку ;

F * (x) – неубывающая функция;

Если x 1 ─ наименьшая варианта, то F * (x) = 0 при х < х 1 ;

если х k ─ наибольшая варианта, то F * (x) = 1 при х > x k .

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Решение. Найдем объем выборки (сумма всех частот n i):

n = n 1 + n 1 + n 1 = 12 + 18 + 30 = 60.

Наименьшая варианта равна 2 (x 1 = 2), следовательно, F * (x) = 0 при х ≤ 2 (по свойству 3 функции F * (x));

значения, меньшие 6 (х<6), а именно x 1 = 2, наблюдались n 1 = 12 раз, следовательно, при 2

значения х<10, а именно x 1 = 2, x 1 = 2 наблюдались n 1 + n 2 = 12 + 18 = 30 раз, следовательно при 6<х≤10.

Так как х =10 – наибольшая варианта, то F * (x) = 1 при х>10 (по свойству 4 функции F * (x)).

Искомая эмпирическая функция имеет вид:

Ниже приведен график полученной эмпирической функции.

На графике на соответствующих осях откладывают значения функции F * (x) и интервалы вариант

Рис. 5. График эмпирической функции.