Аксиомы стереометрии простейшие построения. Аксиомы стереометрии. Объём усечённой пирамиды равен

С Т Е Р Е О М Е Т Р И Я

Введение. (6 уроков)

Урок № 1. Тема: «Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии».

Цель урока: рассмотреть основные свойства точек, прямых и

плоскостей в пространстве.

1.Предмет стереометрии. Геометрические тела. Примеры различных тел вокруг нас.

СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объёмный, пространственный и «метрио» - измерять.

2.Основные неопределяемые понятия стереометрии: точки, прямые, плоскости . В «Началах» Евклида даны следующие формулировки:

Точка есть то, что не имеет частей.

Линия есть длина без ширины.

Границы линии суть точки.

Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Границы поверхности суть линии.

Эти определения Евклида являются лишь описаниями геометрических образов. Для доказательства теорем в «Началах» эти определения не применялись.

Современное строго дедуктивное изложение геометрии, отражённое, например, в системе Гильберта не даёт прямого определения основным объектам геометрии: точке, прямой, плоскости, а также отношениям: принадлежит, между, конгруэнтный (совместимый при наложении).

Эти объекты не связываются ни с какими представлениями о конкретных предметах. То, что необходимо знать о них излагается в аксиомах, которые являются, таким образом, косвенными их определениями.

3.Современные обозначения также введены Гильбертом в «Основаниях геометрии». Гильберт обозначает точки прописными латинскими буквами (А, В, С, …), прямые - строчными латинскими буквами (a, b, c, …), плоскости – малыми или греческими буквами (, , , , …).

Различные случаи комбинации между собой прямых, точек и плоскостей, их условные изображения и их обозначения показаны на рисунках.

Точки А и В, плоскость , причем точка А лежит в плоскости а точка В не

лежит в плоскости .

Прямые c, k, m расположены по отношению к плоскости следующим образом:

Прямая c не лежит в плоскости 

Прямая k лежит в плоскости ;

Прямая m пересекает плоскость  в точке А.

Плоскости и пересекаются по прямой а.

Вывод. Различные случаи взаимного расположения прямых, прямых и плоскостей, плоскостей в пространстве изучает стереометрия.

5. Наряду с этими фигурами рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Примеры простейших геометрических тел: куб, шар, цилиндр, призма, конус, пирамида.

Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать их практической деятельности, в частности: в строительстве, архитектуре, машиностроении и других.

6. Аксиомы стереометрии.

АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома - греческое слово, означающее «бесспорное положение»).

А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна.

Плоскость проходит через точки А, В, и С. Можно сказать, что эти три точки задают плоскость АВС.

Всегда ли три точки лежат в одной плоскости? (ДА)

Всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? (Нет)

Всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? (нет)

Сколько плоскостей можно провести через две точки? (множество)

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.

Точки А и В лежат в плоскости , значит и точка С лежит в плоскости  потому, что она лежит на прямой АВ.

ВОПРОСЫ: верно ли утверждение:

Если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? (Нет)

Если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? (Да)

Если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника? (Да)

Если прямая проходит через одну из вершин треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника? (Нет)

Если две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости, то и две другие вершины тоже лежат в этой плоскости? (Да)

Если две противоположные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости, то и две другие вершины тоже лежат в этой плоскости? (Нет)

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

могут ли две плоскости иметь:

Только одну общую точку? (Нет)

Только две общие точки? (Нет)

Только одну общую прямую? (Да)

Могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

Рассмотрим модель куба АВСDA1B1C1D1.

а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC1, ABC, ADD1;

б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P1, R, S, N;

в) назовите плоскости, в которых расположены прямые KP, C1D1, RP, MK;

г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD1C1, BB1C1 и AA1B1, AA1D1 и A1B1C1;

д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK

DСС1, BDС1 и RSP;

е) назовите точки пересечения прямых DS и CC1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1;

ж) назовите общие точки плоскостей CDD1 и BCC1, ABC и AA1D1, BDC и ABB1.

Запишите ответы в тетрадь с помощью символики. Проверьте. Проверьте выполнение упражнения.

а)  DCC, P  DCC1, S  DCC1,

К  ABC, K1 ABC, P  ABC, P1 ABC,

M  ADD1, R  ADD1, K1  ADD1, P1  ADD1;

б) M  ABB1, M  ADD1, K  ABC, K  ABB1, P1  ABC, P1 DCC1, R  ADD1, R  DCC1, S  DCC1, N  A1B1C1, N  BCC1;

в) KP  ABC, C1D1  CDD1, C1D1  A1B1C1, RP  CDD1, MK AA1B1;

г) ABC ∩ DD 1 C 1 =DC, BB 1 C 1 ∩ AA 1 B 1 =BB 1 , AA 1 D 1 ∩ A 1 B 1 C 1 =A 1 D 1 ;

д) ABC ∩ KPN = KP, RPK ∩ DCC 1 = RP, BDC 1 ∩ RSP = DC 1 ;

е) DS ∩ CC 1 =C 1 , AD ∩ PC=D, MR ∩ AD=P 1 , KP ∩ AD=K 1 , DC 1 ∩ RP 1 =;

ж) C,C 1  (CDD 1 ∩BCC 1), A 1 ,D 1 ,K 1 , P 1  (ABC∩AA 1 D 1), A,K,B (BDC∩ABB 1).

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: устно п. 1-2, письменно № 1 (перечертить чертеж и ответ записать с помощью символики), № 11.

Список литературы:

Геометрия 10-11. Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев и др. М. «Просвещение» 1992

Геометрия 7-11. А. В. Погорелов. М. «Просвещение» 1982

Стереометрия. Устные задачи 10-11. Б. Г. Зив. СПб «ЧеРО-на-Неве» 2002

История математики в школе. IX-X классы. Г. И. Глейзер. М. «Просвещение» 1983.

Детская энциклопедия. Том 3. Академия педагогических наук. М. 1959.

Энциклопедия для детей. Том 11.Математика. «Аванта+» М. 1998.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Геометрия - это наука, которая изучает свойства геометрических фигур.

Школьный курс геометрии подразделяется на два раздела: планиметрию и стереометрию.

Планиметрия - раздел геометрии, который изучает свойства геометрических фигур на плоскости.

Планиметрию мы изучали в 7-9 классах.

В этом году мы начинаем изучать второй раздел геометрии - стереометрию

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур в пространстве.

Слово "стереометрия" происходит от греческих слов "стереос" объемный, пространственный и "метрио" измерять.

В стереометрии рассматриваются математические модели тех материальных объектов, с которыми имеют дело архитекторы, конструкторы, строители и другие специалисты.

Кроме того, школьный курс стереометрии служит основой для черчения и начертательной геометрии - важнейших дисциплин любого технического вуза.

Основные фигуры стереометрии

Итак, стереометрия изучает свойства геометрических фигур в пространстве.

Геометрических фигур в пространстве.

называют телами.

В стереометрии мы будем изучать свойства геометрических тел, вычислять их площади и объемы.

При изучении пространственных фигур используются их изображение на чертеже.

Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения.

Обычно выбирают то из них, которое наиболее удобно для исследования ее свойств.

На экране вы видите многогранники - куб, параллелепипед и пирамида, тела вращения - шар, конус и цилиндр.

При изображении пространственных фигур невидимые части этих фигур изображены штриховыми линиями.

С чего начинается стереометрия?

Также как планиметрия.

Планиметрию мы начинали изучать с основных понятий, фигур и аксиом.

Основные понятия стереометрии

Во-первых, это точка и прямая, как в планиметрии. И еще добавляется плоскость.

Итак, основными понятиями стереометрии являются: тоска, прямая, плоскость. Они принимаются без определений.

Новым для нас понятием является плоскость.

Плоскость, как и прямая в планиметрии, бесконечна. Она простирается во все стороны на неограниченное расстояние.

Геометрическими моделями части плоскости являются, например, поверхность стола, доски и т. д.

Изображают плоскости в виде параллелограмма, либо в виде произвольной области.

Обозначение, которые мы будем применять.

Точки. Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами A, B, C ….

На экране изображены 4 точки. Они обозначены буквами A, B, C и D

Прямые. Прямые обозначают строчными латинскими буквами a, b, c …, или двумя прописными латинскими буквами AB, CD, …

Во втором случае используются обозначения

двух точек, через которые прямая проходит.

На экране вы видите прямую a. На ней лежат точки M и N.

Прямая a может быть также обозначена как MN.

Плоскости. Плоскости обычно обозначают строчными греческими буквами (альфа, бета, гамма, дельта, …)

Плоскости также можно называть по трем точкам, через которые плоскости проходят.

Например, на экране плоскость синего цвета обозначена как α, она же может называться ABC.

Плоскость бежевого цвета обозначена β, она же может быть обозначена как KLN или KLM. Берутся любые три точки, через которые плоскость проходит.

Так же, как и в планиметрии, в стереометрии мы будем применять для точек знак: (принадлежит плоскости), а для прямых знак: (лежит в плоскости).

Перечеркнутые знаки означают отрицание - не принадлежит плоскости, не лежит в плоскости.

На рисунке вы видите, что две точки A и B принадлежат плоскости α (плоскость проходит через эти точки), а точки M, N, K не принадлежат этой плоскости (плоскость не проходит через эти точки).

Коротко это записывается так:

Точка А принадлежит плоскости α, точка B принадлежит плоскости α.

Точка M не принадлежит плоскости α, точка N не принадлежит плоскости α, точка K не принадлежит плоскости α.

На этом уроке мы познакомились с новым разделом геометрии - стереометрией.

Узнали, что основными понятиями стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Вспомнили, как изображаются точки и прямые. Узнали как изображается и обозначается плоскость.

Первейшим гарантом непогрешимости математического мышления считается то, что исходным пунктом рассуждений и действий в этой науке служат аксиомы.

Иван Сеченов,

выдающийся физиолог, психолог

и мыслитель-материалист

1829-1905

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

План лекции

1 Структура курса геометрии

2 Определения и обозначения

1 Структура курса геометрии

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Она является второй составляющей геометрии и строится так же, как и планиметрия.

ПЛАНИМЕТРИЯ

Основные понятия

Аксиомы

Определяемые понятия

Теоремы, задачи

СТЕРЕОМЕТРИЯ

В стереометрии свойства геометрических фигур устанавливаются с помощью доказательства теорем (из греч. - рассматриваю), которые основываются на аксиомах (из греч. - считаю достойным, настаиваю, требую) - математических предложениях, принимаемых без доказательства

2 Определения и обозначения

Некоторые понятия геометрии являются основными . Основные фигуры планиметрии - точка и прямая - автоматически становятся основными фигурами стереометрии. Как и в планиметрии, точки обозначают прописными буквами латинского алфавита - , ..., прямые - строчными буквами латинского алфавита - , ...

В пространстве рассматривается еще одна основная фигура - плоскость . Ее можно представить как идеально гладкую поверхность доски, которая продлена во все стороны до бесконечности. Плоскости обозначают строчными буквами греческого алфавита, ... и изображают по-разному. На рисунке показаны примеры изображения плоскостей на листе бумаги.

Плоскость понимают также как множество точек.

Если - точка плоскости, то говорят, что точка лежит в плоскости, а плоскость проходит через точку . Записывают: . Запись означает, что точка не лежит в плоскости.

Если каждая точка прямой принадлежит плоскости, то говорят, что прямая лежит в плоскости, а плоскость проходит через прямую. Записывают: . Запись означает, что прямая не лежит в плоскости

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, говорят, что они пересекаются в точке. Записывают: . На рисунке невидимую часть прямой (за плоскостью) изображают штриховой линией.

3 Основные свойства плоскости

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

Система аксиом стереометрии состоит из двух групп. Первая из них включает все аксиомы планиметрии. Они выполняются в каждой плоскости пространства. Эти аксиомы вам известны из курса планиметрии. Здесь рассмотрим группу аксиом, выражающую основные свойства плоскостей в пространстве.

1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну

2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Благодаря первому свойству плоскость можно обозначать тремя ее точками. Если плоскость определена тремя точками, которые не лежат на одной прямой, например, то в таком случае плоскость обозначают - . Читается: «плоскость ».

Утверждение, истинность которого доказана и которое используют для доказательства других утверждений, называют теоремой . Простейшими теоремами являются следствия из аксиом стереометрии.

Теорема 1 Через прямую и точку, не принадлежащую ей, можно провести плоскость и притом только одну

Доказательство . Данная точка и две точки прямой составляют три точки, не лежащие на одной прямой. По аксиоме 1 через них проходит единственная плоскость. По аксиоме 3 данная прямая лежит в этой плоскости.

Теорема 2 Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Доказательство . На каждой из прямых можно взять по одной необщей точке. Вместе с точкой пересечения прямых они образуют три точки, не лежащие на одной прямой. По аксиоме 1 через них проходит единственная плоскость. По аксиоме 3 обе прямые лежат в этой плоскости.

Теорема 3 Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Доказательство . По теореме 1 через одну из параллельных прямых и произвольную точку другой прямой можно провести плоскость, и притом только одну.

Если учесть вышеизложенное, то можно сделать вывод, что плоскость однозначно определяют:

1) три точки, не лежащие на одной прямой;

3) две пересекающиеся прямые;

4) две параллельные прямые.

4 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Взаимное расположение прямых в пространстве можно свести к следующим случаям.

1 Прямые пересекаются , тогда они лежат в одной плоскости.

2 Прямые параллельны - тогда они лежат в одной плоскости

3 Прямые не пересекаются и не параллельны - такие прямые называются скрещивающимися .

4 Прямые совпадают, если они имеют по крайней мере две общие точки

Возможны следующие варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве :

1) Прямая и плоскость имеют по крайней мере две общие точки. Тогда прямая лежит в плоскости , то есть прямая и плоскость имеют множество общих точек;

2) Прямая и плоскость имеют одну общую точку . Возможность такого размещения прямых и плоскостей обеспечивается тем, что вне плоскости являются точки пространства. Произвольная точка плоскости и точка вне плоскости определяют прямую, которая имеет с плоскостью одну общую точку, то есть пересекает ее.

3) Прямая и плоскость не имеют общих точек, то есть не пересекаются . Прямая и плоскость, которые не имеют общих точек, называются параллельными

Для трех случаев взаимного размещения прямой и плоскости будем употреблять соответствующие обозначения: .

Плоскости в пространстве могут принимать следующие положения друг относительно друга:

1 Две плоскости пересекаются по прямой - в этом случае они не имеют других общих точек вне этой прямой

2 Плоскости совпадают

3 Если две разные плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными .

Контрольные вопросы

1 Какой раздел геометрии называется стереометрией?

2 Какие предложения называются аксиомами? Теоремами?

3 Сформулируйте аксиомы плоскости и следствия из них.

4 Назовите возможные варианты взаимного расположения прямых в пространстве.

5 Перечислите возможные варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

6 Приведите возможные варианты взаимного расположения плоскостей в пространстве.

Задачи, задания, вопросы

№1 Укажите количество точек, которые принадлежат плоскости.

№2 На рисунке изображено две прямых и, пересекающиеся в точке и определяющие плоскость. Укажите, какое количество прямых, проходящих через точку, лежит на плоскости.

№3 Выберите для двух различных плоскостей и одинаковые по смыслу утверждения.

1) Плоскости и пересекаются;

2) плоскости и имеют лишь одну общую точку;

3) плоскости и имеют общую точку;

4) плоскости и имеют не больше двух общих точек;

5) плоскости и имеют общую прямую.

№4 Две различные плоскости имеют общую точку. Определите, сколько прямых, проходящих через точку, являются общими для плоскостей и.

№5 Плоскости пересекаются. Определите количество общих прямых, которые они могут иметь.

№6 Точки, лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

№7 Выберите четыре утверждения, которые определяют единственность плоскости.

1) Любые две точки пространства;

2) любая прямая пространства и точка на ней;

3) любая прямая пространства и точка вне нее;

4) любые три прямых пространства;

5) любые три точки пространства;

6) любые две параллельные прямые;

7) любые две прямые;

8) любые две пересекающиеся прямые.

№8 Точки, лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

№9 Дано две плоскости, которые пересекаются по прямой, и прямую, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другу. Докажите, что прямые и пересекаются.

№10 Точка не лежит в плоскости. Подберите скрещивающиеся прямые к прямым, .

№11 Точка находится вне плоскости треугольника. На серединах отрезков, и обозначено точки, и соответственно. Назовите пары параллельных прямых.

№12 Через концы отрезка и его середину проведены параллельные прямые, которые пересекают некоторую плоскость в точках. Найдите длину отрезка, если м, м и отрезок не пересекает плоскость.

№13 Выберите правильное утверждение.

1) Через точку пространства, которая не лежит на прямой, можно провести множество прямых, которые параллельные данной;

2) две прямые, параллельные третьей, пересекаются в одной точке;

3) если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая пересекает плоскость;

4) через прямую и точку вне прямой можно провести две различные плоскости;

5) через точку пространства, не лежащую на плоскости, можно провести множество прямых, которые будут пересекать эту плоскость.

№14 Плоскости и - параллельные. Через точку, которая не принадлежит ни одной из них, проведена плоскость. Укажите три правильных утверждения.

1) - единственная возможная плоскость, параллельная плоскости;

2) - единственная возможная плоскость, пересекающая плоскость;

3) - единственная возможная плоскость, параллельная плоскости;

4) - единственная возможная плоскость, пересекающая плоскость;

5) - единственная возможная плоскость, параллельная и плоскости, и плоскости.

№15 Известно, что сторона прямоугольника параллельна некоторой плоскости, а сторона - не параллельна этой плоскости. Определите взаимное расположение плоскостей и.

№16 На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед. Укажите взаимное размещение плоскостей:

Литература

Математика: учебник для ссузов / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. - 7-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2010., стр. 320-323

Геометрия. 10-11 классы: учебник для учащихся общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 18-е изд., - М.: Просвещение, 2009, стр. 3-8.

Математика: підручник для 10 кл. загальноосвітніх навчальних закладів: рівень стандарту / О.М. Афанасьєва, Я.С. Бродський, О.Л. Павлов, А.К. Сліпенко. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2010, стор. 127-133, 135-137

Лекции по математике Страница 5

На этом уроке мы дадим определение геометрии как науке и ее подразделам: планиметрии и стереометрии. Дадим определение геометрических фигур и рассмотрим основные геометрические фигуры. Далее мы рассмотрим геометрические обозначения фигур и три основных аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве и решим несколько простых задач на их применение.

А, В, С, D - точки. Точки обозначаются прописными латинскими буквами.

АВ = , CD = b - прямые. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами.

Плоскости. Плоскости обозначаются греческими буквами. (Рис. 1).

Рассмотрим прямую . На ней лежат точки А и В . Прямая может быть также обозначена как АВ .

Рассмотрим прямую b , на ней лежат точки С и D . Прямая b может быть также обозначена как СD .

Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.

Так же, как и в планиметрии, важен знак принадлежности, . Например, точка А принадлежит прямой : .

Рассмотрим плоскость (Рис. 1). Точка М принадлежит плоскости : . А вот прямая не принадлежит плоскости : .

Аксиомы стереометрии.

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Пояснение к аксиоме А1.

Рассмотрим три точки: А, В, С , причем точка С не принадлежит прямой АВ: (Рис. 2). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна.

Плоскость можно также обозначить через три точки АВС.

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

По-иному говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.

Пояснение к аксиоме А2.

Рассмотрим плоскость , точки А, В прямой принадлежат плоскости (Рис. 3).

Аксиома утверждает - все точки прямой (прямой АВ ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Смысл заключается в следующем: из того, что только две точки принадлежат плоскости, вытекает, что бесчисленное множество точек прямой лежат в этой плоскости.

Эту аксиому можно записать следующим образом:

Следствие: Может ли быть только три общие точки у прямой и плоскости? Нет, не может быть. Может быть две точки, и тогда вся прямая лежит в плоскости.

Если у прямой и плоскости одна общая точка М , то тогда говорят, что прямая и плоскость пересекаются в точке М (Рис. 4). Этот факт записывается следующим образом: .

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.

Задания 2, 4 на стр. 9.

Перечислите известные вам аксиомы стереометрии.

2. Дан куб .

В каких плоскостях лежат прямые:

б) AC 1

3. Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости

а) ABC и ABB 1

б) DCC 1 и BB 1 C .

"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей"

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» - объемный, пространственный и «μετρεο» - измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a ∥c и b ∥c , то a ∥b ).

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.	Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)	Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Стереометрия

Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» - «твёрдый, объёмный, пространственный» и μετρέω, «метрео» - «измеряю») - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии - свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии

• На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
• В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
• Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
• Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
• Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
• Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
• Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
  1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
  2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
• Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань.

Литература

• В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. - М.: Наука, 1989.
• И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. - 160 с. (Библиотечка «Квант», Выпуск 31).

Разделы математики Анализ Классический анализ Теория функций Дифференциальные и
интегральные уравнения Геометрия и топология Геометрия Топология Дискретная математика

• Портал «Математика»
• Категория «Математика»

Какие основные понятия и аксиомы стереометрии

Грустный мир

А1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и проитом тока одна.
А2 Если 2 точ прямой лежат в плоскости то все точ. этой прямой лежат в плоскости.
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общию прямую на которой лежать все общие точки.

Следствия:
1. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

Юрий малихов

Тут нужно уточнить. Любое из этих трех высказываний можно взять исходно за аксиому. Тогда остальные два будут теоремами, доказываемыми на основе взятой аксиомы:
1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом тока одна.
2. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

Алексей рябчиков

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура - плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С и т. д., а прямые - строчными латинскими буквами а, Ь, с И т. д. или двумя прописными латинскими буквами АВ, CD и т. д. Плоскости будем обозначать греческими буквами а, Р, Y и т. д. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области.
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии. Мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Ниже они обозначены А:, А1, А2. A3.
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью ABC. Отметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т. е. опирается на три "точки", а конец четвертой ножки (четвертая "точка") не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки "ровности" чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет."
Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.