Примеры применения производной в технике. Реферат применение производной. Что такое интеграл

Чайкин Семён, Майсак Кирилл, Залогина Анастасия, Шахзадова Анна

Данная разработка содержит презентацию по теме "Применение производной в химии и биологии". В ходе проектной деятельности была выдвинута гипотеза о том, что производная находит свое применение в этих областях науки. В ходе исследовательской работы было выяснено, какова роль производной в таких науках как химия и биология, где и при решении каких задач она находит свое применение. В результате проделанной работы пришли к выводу, что гипотеза действительно подтвердилась.

Скачать:

Предварительный просмотр:

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Гипотеза:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Применение производной в химии и биологии Работу выполнили ученики 11В класса МБОУ СОШ №6: Чайкин Семен, Майсак Кирилл, Залогина Анастасия, Шахзадова Анна г. Ставрополь, 2014 год

Гипотеза:

И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств. Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ. Химия изучает закономерности протекания различных реакций Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени. Применение производной в химии и биологии Определение скорости химической реакции

Зачем нужна производная в реакциях? Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени.

Формула производной в химии Если C (t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v (t) химической реакции в момент времени t равна производной:

Определение скорости реакции Предел отношения приращённой функции к приращённому аргументу при стремлении Δt к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени

Задача по химии: Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: С (t) = t 2 /2 + 3 t –3 (моль) Найти скорость химической реакции через 3 секунды. Решение: v (t) = С ‘(t) ; v (t) = t + 3; v (3) = 3+3 = 6. Ответ: 6 моль\с.

Биологический смысл производной Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у = x (t). Пусть ∆ t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t +∆ t . Тогда у + ∆у = x (t +∆ t) - новое значение численности популяции, соответствующее моменту t +∆ t , а ∆ y + x (t + ∆ t)- x (t) - изменение числа особей организмов. Отношение является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции. Вычисляя, получаем y ‘ = P (t) = x ‘ (t) , или производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t .

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Пример Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t) особей. . Найти скорость роста популяции: а) в произвольный момент t , б) в момент t = 1 c . Решение: P = x’(t) = 200t; P(1) = 200 (о/с). Ответ: 200 о/с.

Заключение Понятие производной очень важно в химии и в биологии, особенно при определении скорости течения реакции.

Вывод: Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная - одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки, техники и жизни.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: интегрированный.

Цель урока: изучить некоторые аспекты применения производной в различных областях физики, химии, биологии.

Задачи: расширение кругозора и познавательной деятельности учащихся, развитие логического мышления и умения применять свои знания.

Техническое обеспечение: интерактивная доска; компьютер и диск.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Постановка цели урока

– Урок хотелось бы провести под девизом Крылова Алексея Николаевича советского математика и кораблестроителя: «Теория без практики мертва или бесполезна, практика без теории невозможна или пагубна».

– Повторим основные понятия и ответим на вопросы:

– Скажите основное определение производной?
– Что вы знаете о производной (свойства, теоремы)?
– Знаете ли вы какие-нибудь примеры задач с применением производной в физике, математике и биологии?

Рассмотрение основного определения производной и его обоснование (ответ на первый вопрос):

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Умение решать задачи с применением производной требует хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследование различных ситуаций.

Поэтому сегодня на уроке мы закрепим и систематизируем полученные знания, рассмотрим и оценим работу каждой группы и на примере некоторых задач покажем, как при помощи производной решать другие задачи и нестандартные задачи с применением производной.

III. Объяснение нового материала

1. Мгновенная мощность есть производная работы по времени:

W = lim ΔA/Δt ΔA – изменение работы.

2. Если тело вращается вокруг оси, то угол поворота есть функция времени t
Тогда угловая скорость равна:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δt → 0

3. Сила тока есть производная Ι = lim Δg/Δt = g′, где g – положительный электрический заряд переносимый через сечение проводника за время Δt.

4. Пусть ΔQ – количество теплоты, необходимое для изменения температуры за Δt времени, тогда lim ΔQ/Δt = Q′ = C – удельная теплоёмкость.

5. Задача о скорости течения химической реакции

m(t) – m(t0) – количество вещества, вступающее в реакцию от времени t0 до t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Пусть m – масса радиоактивного вещества. Скорость радиоактивного распада: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

В дифференцированной форме закон радиоактивного распада имеет вид: dN/dt = – λN, где N – число ядер не распавшихся время t.

Интегрируя это выражение, получаем: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const при t = 0 числорадиоактивных ядер N = N0 , отсюда имеем: ln N0 = const, следовательно

n N = – λt + ln N0.

Потенциируя это выражение получаем:

–закон радиоактивного распада, где N0 – число ядер в момент времени t0 = 0, N – число ядер, не распавшихся за время t.

7. Согласно уравнению теплообмена Ньютона скорость потока теплоты dQ/dt прямо пропорциональна площади окна S и разности температур ΔT между внутренним и внешним стёклами и обратно пропорциональна его толщине d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Явлением Диффузии называется процесс установления равновесного распределения

Внутри фаз концентрации. Диффузия идёт в сторону, выравнивая концентрации.

m = D Δc/Δx c – концентрация
m = D c׳x x – координата, D – коэффициент диффузии

Закон Фика:

9. Было известно, что электрическое поле возбуждает либо электрические заряды, либо магнитное поле, которое имеет единственный источник – электрический ток. Джеймс Кларк Максвелл ввёл одну поправку в открытые до него законы электромагнетизма: магнитное поле возникает также и при изменении электрического поля. Маленькая на первый взгляд поправка имела грандиозные последствия: появилась пусть пока и на кончике пера, совершенно новый физический объект – электромагнитная волна. Максвелл виртуозно владел, в отличии от Фарадея, которому казалось возможным её существование, вывел уравнение для электрического поля:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Изменение электрического поля вызывает появление магнитного поля в любой точке пространства, другими словами, скорость изменения электрического поля определяет величину магнитного поля. Под большим электрическим током – большее магнитное поле.

IV. Закрепление изученного

– Мы с вами изучали производную и её свойства. Хотелось бы прочитать философское высказывание Гильберта: «У каждого человека есть определённый кругозор. Когда этот кругозор сужается до бесконечного малого, то он обращается в точку. Тогда человек и говорит что это и есть его точка зрения.»
Давайте попробуем измерить точку зрения на применении производной!

Сюжет «Листик» (применение производной в биологии, физике, жизни)

Рассмотрим падение как неравномерное движение зависящее от времени.

Итак: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Теоретический опрос: механический смысл производной).

1. Решение задач

Решите самостоятельно задачи.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Запишем II закон Портона, и учитывая механический смысл производной перепишем его в виде: F = mV′ F = mS″

Сюжет «Волки, Суслики»

Вернёмся к уравнениям: Рассмотрим дифференциальные уравнения показательного роста и убывания: F = ma F = mV" F = mS""
Решение многих задач физики, технической биологии и социальных наук сводятся к задаче нахождения функций f"(x) = kf(x), удовлетворяющих дифференциальному уравнению, где k = const .

Формула Человека

Человек во столько раз больше атома, во сколько раз он меньше звезды:

Отсюда следует, что
Это и есть формула, определяющая место человека во вселенной. В соответствии с ней размеры человека представляют среднее пропорциональное звезды и атома.

Закончить урок хотелось бы словами Лобачевского: «Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира».

V . Решение номеров из сборника:

Самостоятельное решение задач на доске, коллективный разбор решений задач:

№ 1 Найти скорость движения материальной точки в конце 3-й секунды, если движение точки задано уравнением s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t^2. В какой момент ее скорость окажется равной нулю?

№ 3 Два тела движутся прямолинейно: одно по закону s = t^3 – t^2 – 27t, другое - по закону s = t^2 + 1. Определить момент, когда скорости этих тел окажутся равными.

№ 4 Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t) =30t-16t^2, где s(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течении какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

№5 Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону s = 2t^2+ 3t – 1. Найти кинетическую энергию тела (mv^2/2) через 3 секунды после начала движения.

Решение : Найдем скорость движения тела в любой момент времени:
V = ds / dt = 4t + 3
Вычислим скорость тела в момент времени t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (м/с).
Определим кинетическую энергию тела в момент времени t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (Дж).

№6 Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид s = Зt^2- 1.

№7 Тело, масса которого 30 кг, движется прямолинейно по закону s = 4t^2 + t. Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы.
Решение : Имеем s" = 8t + 1, s" = 8. Следовательно, a(t) = 8 (м/с^2), т. е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м/с^2. Далее, так как масса тела постоянна (30 кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила F = ma = 30 * 8 = 240 (H) – также постоянная величина.

№8 Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Найти силу, действующую на тело в момент времени t = 4с.

№9 Материальная точка движется по закону s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Найти ее ускорение в конце 3-й секунды.

VI . Применение производной в математике:

Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос – на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия – применяет её в своих трудах.

Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.

1. Построить график и исследовать функцию:

Решение данной задачи:

Минутка релаксации

VII . Применение производной в физике:

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений каких-либо величин.

Решение задач:

№1 Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r 2 – b/r , где a и b - положительные постоянные, r - расстояние между частицами. Найти: а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы; б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r) .

Решение данной задачи: Для определения r0 соответствующего равновесному положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.

Используя связь между потенциальной энергией поля

U и F , тогда F = – dU/dr , получим F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; при этом r = r0 ; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b ; Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) < 0 ;
равновесие устойчивое.

Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:F = 2a/r3 - b/r2 ;
dF/dr = –6a/r4 + 2b/ r3 = 0 ; при r = r1 = 3a/b ; подставляя, получу Fmax = 2a/r31 - b/r31 = – b3/27a2 ; U(r) = 0 ; при r = a/b ; U(r)min при r = 2, a/b = r0 ;F = 0; F(r)max при r = r1 = 3a/b ;
Ответ: F(r)max при r = r1 = 3a/b ;

№2 Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k = 36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом . Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m , n будет получена максимальная J во внешнем R.

Решение данной задачи:

При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m* E; rгр = r0*m ;
а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m* E,
По закону Ома J = m E/(R+ r0m/n) = m En/(nR + r0m)
Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn ;
J = k E/(nR + r0m) = k E/(nR + kr0/n) ;
Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.
J’n – (k E(R - kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;
n2 = kr/R
n = √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4 ;
m = k/n = 36/4 = 9 ;
при этом Jmax = k E/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А ;

Ответ: n = 4, m = 9 .

№3 Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F . Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна µ кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью µ кг/с.

Решение данной задачи: Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу
Движение системы платформа – песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:
dP/dt = FΣ
P – импульс системы платформа – песок, FΣ – сила, действующая на систему платформа – песок.
Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:dp/dt = F
Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Δt : Δp = (M + µ(t + Δt))(u + Δu) – (M + µt)u = F Δt;
где u – скорость платформы.
Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:
Dp = µu Δt + M Δu+ Δµut + Δµu Δt = F Δt
Разделим на Δt и перейдем к пределу Δt → 0
Mdu/dt + µtdu/dt + µu= F или d[(M + µt)u]/dt = F
Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю: (M + µt)u = Ft.
Следовательно: u = Ft/(M + µt)
Тогда, ускорение платформы: a = du/dt = (F(M + µt) – Ftµ)/(M + µt) 2 = FM / (M + µt) 2

Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.
Изменение импульса за малый промежуток времени:
Δp = (M – µ(t + Δt))(u+ Δu) + Δµtu – (M – µt)u = F Δt
Слагаемое Δµtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время Δt. Тогда:
Δp = M Δu – µt Δu – Δµt Δu = F Δt
Разделим на Δt и перейдем к пределу Δt → 0
(M – µt)du/dt = F
Или a1= du/dt= F/(M – µt)

Ответ: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Самостоятельная работа:

Найти производные функций:

Прямая у = 2х является касательной к функции: у = х 3 + 5х 2 + 9х + 3. Найдите абсциссу точки касания.

IX . Подведение итогов урока:

– Каким вопросам был посвящен урок?
– Чему научились на уроке?
– Какие теоретические факты обобщались на уроке?
– Какие рассмотренные задачи оказались наиболее сложными? Почему?

Список литературы:

1. Амелькин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. – Минск: Высшая школа, 1982. – 272с.
2. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. – 160с.
3. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. – Минск: Наука и техника, 1979. – 744с
4. .Журнал «Потенциал» Ноябрь 2007 №11
5. «Алгебра и начала анализа» 11 класс С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.
6. «Алгебра и математический анализ» Н.Я. Виленкин и др.
7. «Математика» В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик, 1991 год

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

Тема урока: Применение производной в различных областях знаний Учитель математики МБОУ «Школа № 74» Загуменнова Марина Владимировна

2 слайд

Описание слайда:

Цель урока: Узнать основные направления применения производной в разных областях науки и техники; Рассмотреть на примерах решения практических задач, как применяется производная в химии, физике, биологии, географии, экономике.

3 слайд

Описание слайда:

«Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира». Н.И. Лобачевский

4 слайд

Описание слайда:

Правила дифференцирования Производная суммы О постоянном множителе Производная произведения Производная дроби Производная сложной функции (u+v)"= u" + v‘ (Cu)"=Cu‘ (uv)"=u"v+uv‘ (u/v)"=(u"v-uv")/v2 hꞌ(x)=gꞌ(f(x))f ꞌ(x)

5 слайд

Описание слайда:

Производная в физике Задача. Движение автомобиля во время торможения описывается формулой s(t) = 30t - 5t2, (s - тормозной путь в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начало торможения до полной остановки автомобиля). Найдите, сколько секунд автомобиль находится в движении с момента начала торможения до его полной остановки. Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки? Решение: Так как скорость есть первая производная от перемещения по времени, то v = S’(t) = 30 – 10t, т.к. при торможении скорость равна нулю, тогда 0=30–10t; 10t=30; t=3(сек). Тормозной путь S(t) = 30t - 5t2 = 30∙3-5∙32 = 90-45 = 45(м). Ответ: время торможения 3с, тормозной путь 45м.

6 слайд

Описание слайда:

Это интересно Пароход “Челюскин” в феврале 1934 года успешно прошел весь северный морской путь, но в Беринговом проливе оказался зажатым во льдах. Льды унесли “Челюскин” на север и раздавили. Вот описание катастрофы: “Крепкий металл корпуса поддался не сразу, – сообщал по радио начальник экспедиции О.Ю. Шмидт. – Видно было, как льдина вдавливается в борт, и как над ней листы обшивки пучатся, изгибаясь наружу. Лед продолжал медленное, но неотразимое наступление. Вспученные железные листы обшивки корпуса разорвались по шву. С треском летели заклепки. В одно мгновение левый борт парохода был оторван от носового трюма до кормового конца палубы…” Почему произошла катастрофа?

7 слайд

Описание слайда:

Сила Р давления льда разлагается на две: F и R. R – перпендикулярна к борту, F – направлена по касательной. Угол между P и R – α – угол наклона борта к вертикали. Q – сила трения льда о борт. Q = 0,2 R (0,2 – коэффициент трения). Если Q < F, то F увлекает напирающий лед под воду, лед не причиняет вреда, если Q > F, то трение мешает скольжению льдины, и лед может смять и продавить борт. 0,2R < R tgα , tgα > 0,2; Q < F, если α > 1100. Наклон бортов корабля к вертикали под углом α > 1100 обеспечивает безопасное плавание во льдах.

8 слайд

Описание слайда:

Производная в химии Производную в химии используют для определения скорости химической реакции. Это необходимо: инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Для решения производственных задач в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности просто необходимо знать скорости реакций химических веществ.

9 слайд

Описание слайда:

Задача по химии Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды. Справка: Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени или производная от концентрации реагирующих веществ по времени (на языке математики концентрация была бы функцией, а время – аргументом)

10 слайд

Описание слайда:

Решение Понятие на языке химии Обозначение Понятие на языке математики Количество веществав момент времениt0 p = p(t0) Функция Интервал времени ∆t = t – t0 Приращение аргумента Изменение количества вещества ∆p = p(t0+ ∆t) – p(t0) Приращение функции Средняя скорость химической реакции ∆p/∆t Отношение приращения функции к приращению аргумента V (t) = p‘(t)

11 слайд

Описание слайда:

Производная в биологии Задача по биологии: По известной зависимости численности популяции х(t) определите относительный прирост в момент времени t. Справка: Популяция это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

12 слайд

Описание слайда:

Решение Понятие на языке биологии Обозначение Понятие на языке математики Численность в момент времениt x = x(t) Функция Интервал времени ∆t = t – t0 Приращение аргумента Изменение численности популяции ∆x = x(t) – x(t0) Приращение функции Скорость изменения численности популяции ∆x/∆t Отношение приращения функции к приращению аргумента Относительный прирост в данный момент lim∆x/∆t ∆t → 0 ПроизводнаяР = х" (t)

13 слайд

Описание слайда:

14 слайд

Описание слайда:

Производная в географии Производная помогает рассчитать: Некоторые значения в сейсмографии Особенности электромагнитного поля земли Радиоактивность ядерно- геофизичексих показателей Многие значения в экономической географии Вывести формулу для вычисления численности населения на территории в момент времени t.

15 слайд

Описание слайда:

Задача по географии Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

16 слайд

Описание слайда:

Решение Пусть у=у(t) – численность населения. Рассмотрим прирост населения за ∆t = t – t0 ∆у = k∙y∙∆t, где k = kр – kс – коэффициент прироста населения, (kр - коэффициент рождаемости, kс – коэффициент смертности). ∆у/∆t = k∙y при ∆t → 0 получим lim ∆у/∆t = у’. Рост численности населения - у’ = k∙y. ∆t → 0 Вывод: производная в географии совмещается с многими ее отраслями(сейсмография, размещение и численность населения) а также с экономической географии. Все это позволяет полнее изучать развитие населения и стран мира.

17 слайд

Описание слайда:

Производная в экономике Производная решает важные вопросы: В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных, которые затем изучаются методами дифференциального исчисления. Также с помощью экстремума функции в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск и минимальные издержки.

18 слайд

Описание слайда:

Задача по экономике №1 (издержки производства) Пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда х1- прирост продукции, а у1 - приращение издержек производства.

19 слайд

Описание слайда:

20 слайд

Южно-Сахалинский Государственный Университет

Кафедра математики

Курсовая работа

Тема: Практическое применение производной

Преподаватель: Лихачева О. Н.

Южно-Сахалинск

2002г
Введение

В данной работе я рассмотрю применения производной в различных науках и отраслях. Работа разбита на главы, в каждой из которых рассматривается одна из сторон дифференциального исчисления (геометрический, физический смысл и т. д.)

1. Понятие производной

1-1. Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1-2. Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х 0 - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).

1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

2. Геометрический смысл производной

2-1. Касательная к кривой

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M.

Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x 0 , y 0). Введем новый аргумент x 0 + ∆x, его значению соответствует значение функции y 0 + ∆y = f(x 0 + ∆x). Соответствующая точка - N(x 0 + ∆x, y 0 + ∆y). Проведем секущую MN и обозначим φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что ∆y / ∆x = tg φ. Если теперь ∆x будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой, секущая MN - поворачиваться вокруг точки M, а угол φ - меняться. Если при ∆x → 0 угол φ стремится к некоторому α, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент:

То есть, значение производной f "(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).

Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным производным f по x и y.

2-2. Касательная плоскость к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M - точку касания.

Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкновенную точку M(x 0 , y 0 , z 0) на ней. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями

x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t).

Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по t:

Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид:

Т. к. разности x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 пропорциональны соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:

F" x (x - x 0) + F" y (y - y 0) + F" z (z - z 0)=0

и для частного случая z = f(x, y):

Z - z 0 = F" x (x - x 0) + F" y (y - y 0)

Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гиперболического параболоида

Решение :

Z" x = x / a = 2; Z" y = -y / a = -1

Уравнение искомой плоскости:

Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a

3-1. Скорость материальной точки

Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t 0 -некоторый момент времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ∆t = t - t 0 и вычислим приращение пути: ∆s = f(t 0 + ∆t) - f(t 0). Отношение ∆s / ∆t называют средней скоростью движения за время ∆t, протекшее от исходного момента t 0 . Скоростью называют предел этого отношения при ∆t → 0.

Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ∆t) - это величина =∆v / ∆t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

То есть первая производная по времени (v"(t)).

Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A + Bt + Ct 2 +Dt 3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с 2). Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с 2 .

Решение :

v(t) = s"(t) = B + 2Ct + 3Dt 2 ; a(t) = v"(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2;

1,8 = 0,18t; t = 10 c

3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре

Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T 1 - T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q 1 - Q, причем отношение

для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q = f(T). Тогда ΔQ = f(t + ΔT) - f(T). Отношение

называется средней теплоемкостью на отрезке , а предел этого выражения при ∆T → 0 называется теплоемкостью данного вещества при температуре T.

3-3. Мощность

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:.

4. Дифференциальное исчисление в экономике

4-1. Исследование функций

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по одному из достаточных условий экстремума:

1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0 . Если производная f "(x) при переходе через точку x 0 меняет знак с + на -, то x 0 - точка максимума, если с - на +, то x 0 - точка минимума, если не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0 , причем f "(x 0) = 0, f ""(x 0) ≠ 0, то в точке x 0 функция f(x 0) имеет максимум, если f ""(x 0) < 0 и минимум, если f ""(x 0) > 0.

Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).

Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:

π(q) = R(q) - C(q) = q 2 - 8q + 10

Решение:

π"(q) = R"(q) - C"(q) = 2q - 8 = 0 → q extr = 4

При q < q extr = 4 → π"(q) < 0 и прибыль убывает

При q > q extr = 4 → π"(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

4-2. Эластичность спроса

Эластичностью функции f(x) в точке x 0 называют предел

Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса E D - это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если │E D │>1, то спрос называется эластичным, если │E D │<1, то неэластичным. В случае E D =0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.

4-3. Предельный анализ

Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных)

В экономике часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисление.

5. Производная в приближенных вычислениях

5-1. Интерполяция

Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бóльшую точность.

Пусть K n - система узловых точек a = x 0 < x 1 <…< x n = b. Функция S k (x) называется сплайн-функцией S k (x) степени k≥0 на K n , если

а) S k (x) є C k -1 ()

б) S k (x) - многочлен степени не большей k

Сплайн-функция Ŝ k (x) є S k (K n) называется интерполирующей сплайн-функцией, если Ŝ k (x j) = f(x j) для j = 0,1,…,n

В приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н. кубическую интерполяцию.

Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то для x є

Здесь s 2 j , c j 1 , c j 0 неизвестны для j = 1, 2, …, n

Последние исключаются в силу требования s(x j) = y j:

Дифференцируя эту функцию и учитывая, что s"(x) на всем интервале и, следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно получаем систему уравнений:

относительно n+1 неизвестных s 2 0 , s 2 1 ,…, s 2 n. Для однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:

Нормальный случай(N):

Периодический случай(P) (т. е. f(x+(x n - x 0))= f(x)):

Заданное сглаживание на границах:

Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.

Функция периодическая, поэтому используем случай P.