Сумма и разность векторов в пространстве. Векторы и операции над векторами. Свойства умножения вектора на число

Векторы Вектором в пространстве называется направленный отрезок, т.е. отрезок, в котором указаны его начало и конец. Длиной, или модулем, вектора называется длина соответствующего отрезка. Длина векторов, обозначается соответственно,. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и направление. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается и изображается стрелкой с началом в точке А и концом в точке В. Рассматривают также нулевые векторы, у которых начало совпадает с концом. Все нулевые векторы считаются равными между собой. Они обозначаются, и их длина считается равной нулю.

Сложение векторов Для векторов определена операция сложения. Для того чтобы сложить два вектора и, вектор откладывают так, чтобы его начало совпало с концом вектора. Вектор, у которого начало совпадает с началом вектора, а конец - с концом вектора, называется суммой векторов и, обозначается

Умножение вектора на число Произведение вектора на число t обозначается. По определению, Произведение вектора на число -1 называется вектором, противоположным и обозначается По определению, вектор имеет направление, противоположное вектору и Произведением вектора на число t называется вектор, длина которого равна, а направление остается прежним, если t > 0, и меняется на противоположное, если t 0, и меняется на противоположное, если t

Свойства Разностью векторов и называется вектор, который обозначается Для умножения вектора на число справедливы свойства, аналогичные свойствам умножения чисел, а именно: Свойство 1. (сочетательный закон). Свойство 2. (первый распределительный закон). Свойство 3. (второй распределительный закон).

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Определение 1

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка, например a → . Если известны граничные точки вектора – его начало и конец, к примеру A и B , то вектор обозначается так A B → .

Определение 2

Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Длина вектора

Определение 3

Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Длину вектора A B → принято обозначать так A B → .

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин "длина вектора". Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Определение 4

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными .

Определение 5

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными .

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Определение 6

Сонаправленными векторами называют два коллинеарных вектора a → и b → , у которых направления совпадают, такие векторы обозначаются так a → b → .

Определение 7

Противоположно направленными векторами называются два коллинеарных вектора a → и b → , у которых направления не совпадают, т.е. являются противоположными, такие векторы обозначаются следующим образом a → ↓ b → .

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Определение 8

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Определение 9

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Пусть заданы два произвольных вектора на плоскости или в пространстве a → и b → . Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы O A → = a → и O B → = b → . Лучи OA и OB образуют угол ∠ A O B = φ .

Определение 9

Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Определение 10

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение

Скалярная величина - величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина, площадь , масса, температура и т.д.

Вектором называется направленный отрезок $\overline{A B}$; точка $A$ - начало, точка $B$ - конец вектора (рис. 1).

Вектор обозначается либо двумя большими буквами - своим началом и концом: $\overline{A B}$ либо одной малой буквой: $\overline{a}$.

Определение

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым . Чаще всего нулевой вектор обозначается как $\overline{0}$.

Векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Определение

Два коллинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются сонаправленными , если их направления совпадают: $\overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b}$ (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются противоположно направленными , если их направления противоположны: $\overline{a} \uparrow \downarrow \overline{b}$ (рис. 3, б).

Определение

Векторы называются компланарными , если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).

Два вектора всегда компланарны.

Определение

Длиной (модулем) вектора $\overline{A B}$ называется расстояние между его началом и концом: $|\overline{A B}|$

Подробная теория про длину вектора по ссылке .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом .

Векторы называются равными , если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Определение 1. Вектором в пространстве называется направленный отрезок.

Таким образом, векторы в отличие от скалярных величин имеют две характеристики: длину и направление. Будем обозначать векторы символами , илиа .

(Здесь А иВ – начало и конец данного вектора(рис.1))а В

Длина вектора обозначается символом модуля: .А рис.1

Различают три вида векторов, задаваемых отношением равенства между ними:

Закрепленные векторы называются равными, если у них совпадают начала и концы соответственно. Примером такого вектора является вектор силы.

Скользящие векторы называются равными, если они расположены на одной прямой, имеют одинаковые длины и направления. Примером таких векторов является вектор скорости.

Свободные или геометрические векторы считаются равными, если они могут быть совмещены с помощью параллельного переноса.

В курсе аналитической геометрии рассматриваются только свободные векторы.

Определение 2. Вектор, длина которого равна нулю, называетсянулевым вектором, илиноль –

вектором .

Очевидно, начало и конец нулевого вектора совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления или имеет любое направление.

Определение 3. Два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых называются

коллинеарными (рис.2). Обозначают:
.a

b

Определение 4. Два коллинеарных и одинаково направленных вектора называются

сонаправленными. Обозначают:
.

Теперь можно дать строгое определение равенства свободных векторов:

Определение 5. Два свободных вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют

одинаковую длину.

Определение 6. Три вектора, лежащих в одной или параллельных плоскостях называются

компланарными .

Два перпендикулярных вектора называют взаимно ортогональными :
.

Определение 7. Вектор единичной длины называетсяединичным вектором илиортом.

Орт, сонаправленный ненулевому вектору а называютортом вектора а :e a .

§2.Линейные операции над векторами.

На множестве векторов определены линейные операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

I. Сложение векторов.

Суммой 2 – х векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго, при условии, что начало второго совпадает с концом первого.

Легко видеть, что сумма двух векторов, определенная

таким образом (рис.3а), совпадает с суммой векторов,

построенной по правилу параллелограмма (рис.6). b

Однако, данное правило позволяет строить a

сумму любого числа векторов (рис.3б).

a + b

a

b a + b + c

рис.3б c

Лекция 3. Векторы. Системы линейных уравнений.

Векторы

Цель изучения темы состоит в обобщении понятия вектора, с которым студенты знакомы по школьной программе и расширение ее систематического кругозора.

Векторы на плоскости и в пространстве.

Вектор – это направленный отрезок . Точка А – начало вектора, точка В – конец вектора (рис. 3.1.1). Можно использовать обозначение .

Длиной (модулем) вектора называется число, равное длине вектора. Обозначается модуль вектора символом или . Если модуль вектора , вектор называется нулевым ; направление нулевого вектора произвольно.

Два вектора называются коллинеарными , если они параллельны одной прямой (или лежат на одной прямой), в этом случае пишут . Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Два вектора равны , то есть , если выполняется три условия: ; и и одинаково направлены.

Произведением вектора ā на число (скаляр) λ называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: , векторы и сонаправлены, если и направлены в противоположные стороны, если . Если , вектор называется противоположным вектору .

Таким образом, условие является достаточным для коллинеарности вектором и ;

Сложение векторов. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольника) (см. рис. 3.1.2).

Так как вектор , то для получения суммы двух векторов можно использовать правило параллелограмма : суммой двух векторов является вектор-диагональ параллелограмма, построенного на векторах и , выходящий их общего начала обоих векторов-слагаемых.

Сумма нескольких векторов находится по правилу многоугольника : чтобы найти сумму нескольких векторов , нужно последовательно совместить начало следующего вектора-слагаемого с концом предыдущего; тогда вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего называется суммой всех данных векторов (рис. 3.1.3).

Разностью двух векторов называется сумма . Если вектор , то по аналогии с суммой двух векторов этот вектор является диагональю параллелепипеда, построенного на трех векторах как на сторонах (рис. 3.1.4).

Рассмотрим вектор в плоскости. Перенесем в начало координат системы хОу .

Получим вектор . Координатами вектора называются координаты точки М (х ;у ). Введем на осях координат векторы i и j – единичной длины (рис. 3.1.5).

Очевидно, или или . Если вектор рассматривается в трехмерном пространстве, где точка М характеризуется тремя координатами, то есть M (x,y,z ) , то вектор можно представить в виде:

xi yj zk , (3.1.1)

где i, j, k – единичные векторы, лежащие на осях координат. Пусть , . Найдем сумму и разность этих векторов:

Сложение векторов и умножение вектора на скаляр подчиняется следующим свойствам:

Доказательства вытекают на основании (3.1.2).

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число равно произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть . (3.1.3)

Из (3.1.3) вытекают свойства скалярного произведения:

4) если , то .

Используя свойства скалярного произведения, можно найти скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Если , , то ; если - условие перпендикулярности векторов.

Если векторы коллинеарны, то есть , то - условие коллинеарности векторов.

Понятие n -мерного вектора. Векторное пространство. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов.

Понятие вектора можно обобщить.

Определение. n -мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х 1 , х 2 ,…, х n) , х i – компоненты вектора Х .

Понятие n -мерного вектора широко используется в экономике. Например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором , а соответствующие цены – вектором .

Два n -мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: , .

По аналогии с геометрическими векторами вводятся: сумма векторов с компонентами , ; разность векторов с компонентами , , с теми же свойствами.

Скалярное произведение n -мерных векторов:

Если X - набор товаров, а Y - соответствует ценам за единицу каждого товара, то стоимость всем товаров:

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения (вычитания) и умножения вектора на скаляр, удовлетворяющего приведенным выше свойствам называется векторным пространством.

Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства, если

, (3.1.4)

где - любые действительные числа.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация .

В противном случае векторы () называются линейно независимыми.

Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражается через остальные. Покажем это. Пусть векторы () линейно зависимы, то естьn), следовательно

Решив систему любым методом (например, методом Крамера), получим ее решение: , , . Разложение вектора по базису имеет вид .