Вычисление угла между двумя прямыми на плоскости. Нахождение угла между прямыми. Прямая в пространстве

Многих старшеклассников интересует вопрос, как подготовиться к ЕГЭ по биологии с нуля самостоятельно? Особенно он волнует тех, кто хочет в будущем связать свою жизнь с медициной, животноводством, ветеринарией, агротехническими специальностями, психологией, физкультурой или же серьезно заняться все той же наукой. По статистике, за последние годы биологию сдают примерно 17-18% выпускников и она занимает 5 место среди экзаменов по выбору.

Возможно ли выучить весь объем биологических знаний самому, да еще и за короткий срок (полгода, год, или и вовсе пара месяцев)? Конечно, да, если знать, что собой представляет ЕГЭ, и понимать, как правильно к нему подготовиться?

Перед тем как перейти к структуре самого экзамена, хотелось бы напомнить, что входит в курс школьной биологии. Это такие темы, как:

1. Царства бактерий, Грибы, Лишайники, Растения.
2. Царство животных.
3. Анатомия и физиология.
4. Общая биология — самый крупный и самый сложный раздел. Включает в себя цитологию, молекулярную биологию, генетику, теорию эволюции и экологию, а также дополняет и структурирует знания из предыдущих разделов.

Сам экзамен включает в себя 28 заданий разного уровня сложности: базового, повышенного и высокого. Задание теперь не разделены на A, B, C, причем первые 21 из них соответствуют бывшим частям A и B, ответом на них будет номер правильного (или нескольких правильных) варианта либо последовательность цифр, а задания с 22 по 28 соответствуют вопросам части C и требуют полного развернутого пояснения. На выполнение всех заданий дается 210 минут.

За каждое правильное решение вы можете получить от 1 до 3 так называемых первичных баллов, которые в дальнейшем переводятся в тестовые, где максимально возможное число первичных баллов соответствует 100 тестовым. Однако шанс получить все 100 баллов, тем более при подготовке с нуля, очень невысок: за все последние годы их не набирает и 1% экзаменуемых. А вот сдать ЕГЭ на высокий балл, и уж тем более на проходной, вполне реально.

Что делать?

С чего начать подготовку к экзамену? На наш взгляд, с самодисциплины. Самое главное, начиная готовиться к экзамену, следует делать это регулярно. Желательно, чтобы была постоянная периодичность и занятия не пропускались. Ведь, занимаясь даже 15 минут по 5 дней в неделю, вы добьетесь гораздо большего, чем если будете мучить себя весь день, но абсолютно нерегулярно. Отвлекаться также нежелательно, необходимо полностью погрузиться в изучение предмета.

Подготовка должна включать как решение пробных вариантов теста и отдельных его частей, так и ознакомление с теорией. Учить биологию не так сложно, если сначала решить пару тестов и определить, какие темы вы знаете достаточно хорошо, а какие «проседают» и требуют дополнительного внимания. Именно последние и необходимо тщательнее штудировать.

Использовать для подготовки можно и интернет, и книги, а лучше — и то, и другое. В интернете немало мест, где можно попробовать решить задания из экзамена как полностью по структуре ЕГЭ, так и по отдельным разделам. То же самое можно найти и в литературе по ЕГЭ. Информацию для изучения отдельных тем доступно найти и в своих школьных учебниках, и в книгах, и в интернете

Рекомендуется сначала пройти пробный тест, затем работать по отдельным разделам, при ограниченном времени начиная с самых слабых, после чего снова переходить к прохождению тестов. Именно такой структуры придерживаются большинство репетиторов, а значит, и тем, кто готовиться сам, стоит взять ее на вооружение.

При решении тестов, а также на самом экзамене необходимо следовать еще одному очень важному правилу — внимательно читать вопрос! Очень многие экзаменуемые совершают глупые ошибки не от незнания, а от невнимательности. Последняя же, в свою очередь, может появиться из-за волнения, поэтому следующее важное правило — стараться не переживать. Это может быть сложным, поэтому стоит помнить при подготовке о том, что в экзамене нет ничего страшного, и даже проваленный тест — не конец жизни! Умение расслабляться и успокаиваться может стать хорошим помощником при сдаче экзамена.

Чего не стоит делать?

После того как мы рассмотрели, что нужно делать, хотелось бы коротко затронуть тему того, чего делать не стоит. К сожалению, немало тех учеников, кто относится к экзаменам слишком легкомысленно или же, наоборот, напрягается сверх меры.

Что делать не следует:

1. Надеяться на «авось». ЕГЭ с каждым годом усложняется для того, чтобы процент «угадавших» был все меньше. Поэтому считать, что подготовка к экзамену вообще не нужна, по меньшей мере глупо.
2. Писать «шпоры». Слежка за каждым участником экзамена довольно серьезна. Вы можете быть удалены во время тестирования, и право переписать его будет лишь через год. Поэтому писать шпоры вы, конечно же, можете. Но вот приносить их на экзамен не стоит.
3. Доводить себя до нервного срыва. Иногда человек, начинающий подготовку к экзамену по биологии, считает, что чем больше времени будет потрачено на изучение предмета, тем лучше. Напротив, игнорируя потребности организма в отдыхе, вы рискуете либо довести себя до нервного срыва, либо как минимум забыть все, что нужно в момент экзамена, из-за перегрузки. Все хорошо в меру!
4. Учить материал в последнюю ночь. Во-первых, уложить объем всех знаний по биологии в свою голову за ночь у вас просто не получится. Во-вторых, если вы придете на экзамен невыспавшимся и уставшим, шансов хорошо сдать тест у вас будет немного. Поэтому вне зависимости от того, что вы успели, перед экзаменом необходимо лечь пораньше и выспаться!

Подготовиться к экзамену по биологии возможно даже с нуля, если вы понимаете, чего хотите, умеете дисциплинировать самого себя, но при этом даете себе возможность отдохнуть и готовы учиться. Желаем вас успешной сдачи ЕГЭ по биологии!

Как самостоятельно подготовиться к ЕГЭ? Сколько времени нужно заниматься, чтобы сдать экзамен? Стоит ли посещать курсы подготовки к ЕГЭ? Существуют ли эффективные техники, способные помочь в этом процессе? Всеми этими вопросами обеспокоены сегодняшние школьники и их родители. О том, как самостоятельно подготовиться в ЕГЭ, знают бывшие выпускники. В статье приведены советы, основанные на их опыте.

Когда начинать?

Перед тем как составить план подготовки к ЕГЭ, стоит уяснить, что есть моменты, актуальные в занятиях и математикой, и русским языком, и историей. Существуют и специфические черты. О том, как самостоятельно подготовиться к ЕГЭ по каждому из предметов, будет сказано ниже.

Итак, сколько времени уйдет на занятия, гарантирующие успешную сдачу экзамена? Одного года вполне достаточно. Можно начинать готовиться в десятом классе. Или даже во время летних каникул. Но немногие школьники обладают такой силой воли. Те же, кто любит откладывать дела на потом, должны знать, что подготовка к ЕГЭ по химии, математике, русскому языку и другим предметам должна начинаться в начале выпускного класса. И не позже. Весенние месяцы можно посвятить повторению материала, пройденного за последние годы.

Посещение курсов

Это лучший вариант подготовки к ЕГЭ. Большая часть выпускников выбирает именно его. Подготовка к государственному экзамену может осуществляться как в стенах школы, так и в учебном центре, где трудятся опытные учителя и преподаватели вузов. Занятия, как правило, проводятся в мини-группах. Согласно мнению методистов, это наиболее эффективный способ, позволяющий овладеть знаниями, необходимыми для сдачи экзаменов.

В каждом городе действуют специализированные курсы. Кроме того, не составит труда найти и хорошего репетитора. Но даже посещая самые лучшие курсы подготовки к ЕГЭ, вы не добьетесь нужного результата, если не будете уделять достаточно времени самостоятельным и систематическим занятиям.

Школьные занятия

Твердую базу должна иметь подготовка к ЕГЭ. 10 класс - важная ступень на пути к получению заветного свидетельства. К школьным урокам следует отнестись предельно внимательно даже в том случае, если непосредственную подготовку к экзамену вы начнете в последний учебный год. Чем лучше будет усвоена программа десятого класса, тем проще будет в выпускном.

Многие прибегают к услугам репетиторов. Индивидуальный формат обучения довольно эффективен. На первом занятии частный репетитор определяет уровень знаний школьника, затем составляет план подготовки к предстоящему экзамену. Ученику остается лишь выполнять задания репетитора. Если преподаватель является хорошим, опытным специалистом, он знает, над чем следует поработать основательно, а на чем не стоит акцентировать внимание школьника. Но как самостоятельно подготовиться к ЕГЭ? Как определить собственный уровень знаний и составить план занятий?

Как самостоятельно подготовиться к ЕГЭ?

В первую очередь нужно найти тесты за предыдущий год. Засечь время (на выполнение заданий во время ЕГЭ выделяется от трех часов), выполнить, затем проверить результаты, пометив пункты, с которыми не удалось справиться. Темам, в которых вы допустили ошибки, в дальнейшем следует уделить особое внимание.

Книги для подготовки к ЕГЭ найти несложно. Подобные материалы в магазинах занимают целые стеллажи. Прежде всего следует обзавестись рядом пособий и учебников. Если без услуг репетитора или посещения специальных курсов обойтись можно, то без материалов по подготовке к ЕГЭ подготовиться не получится. К обязательной литературе относятся сборники заданий, учебно-методические рекомендации, а также книги, в которых перечислены типичные ошибки, которые совершают экзаменуемые.

После того как выявлены пробелы в знаниях, следует составить четкий план на неделю. Например, понедельник отвести на занятия математикой. Вторник посвятить повторению правил русского языка. Занятиям следует отводить не менее часа в день. Систематичность - обязательное условие в достижении любой цели.

Подготовка к ЕГЭ с нуля

Один из зарубежных психологов как-то сказал, что если какому-либо занятию ежедневно посвящать два часа, через год можно добиться блестящих результатов. Это независимо от того, насколько недосягаемой представляется цель в начале пути. Поэтому даже если в ваших знаниях наблюдаются существенные пробелы, не стоит отчаиваться. Но подготовку следует начать как можно раньше.

Новый образ жизни

Итак, подготовка к ЕГЭ по химии, физике, биологии и другим предметам должна иметь форму систематических регулярных занятий. Регулярные изменения в системе образования вызывают критику общественности. Но даже если и есть негативные последствия у этих преобразований, не стоит сбрасывать со счетов положительные стороны. Ведь подготовка к экзамену дисциплинирует, развивает чувство ответственности.

Выпускные испытания школьники сдавали и во все времена, но с каждым годом вносятся изменения, позволяющие наиболее эффективно оценить уровень знаний будущих абитуриентов. Это также и неплохая подготовка к предстоящей студенческой жизни.

Русский язык

При подготовке к экзамену по тому или иному предмету следует учитывать некоторые особенности. Для занятий русским языком педагоги рекомендуют использовать учебники И. П. Цыбулько и Н. А. Сениной. Имена этих авторов хорошо известны школьникам. По пособиям Сениной и Цыбулько осуществляется подготовка и к ОГЭ. В ЕГЭ по русскому языку включены следующие темы:

• Фонетика.
• Лексика.
• Морфология.
• Словообразование.
• Орфография.
• Синтаксис.
• Пунктуация.

Многие полагают, что для того чтобы сдать ЕГЭ по русскому, достаточно всего лишь уметь более или менее грамотно излагать мысли устно и на бумаге. Эта точка зрения не совсем верная. Теоретическую часть тоже нужно знать. Для того чтобы сдать успешно ЕГЭ по этому предмету, следует учить и регулярно повторять правила, проверять свои знания методом самостоятельного тестирования.

Математика

И к экзамену по этому предмету тоже можно подготовиться самостоятельно. Однако при этом будущему выпускнику потребуется осуществлять самому поиск необходимой информации, мотивировать себя на занятия. Другими словами, быть самому себе репетитором. Однако в процессе подготовки к экзамену по математике могут возникнуть трудности, которые самостоятельно преодолеть непросто. Именно для предотвращения подобных ситуаций следует начинать занятия хотя бы за год до ЕГЭ. В таком случае будет возможность уточнить какие-либо моменты в процессе учебы у школьного учителя. Авторы пособий, рекомендуемых преподавателями, - Ф. Ф. Лысенко, Кулабухова С. Ю.

История

Изучение предмета и подготовка к экзамену по нему - совершенно разные виды учебной деятельности. Для того чтобы разобраться в истории собственной страны, следует много читать, смотреть определенные документальные фильмы. При подготовке к экзамену достаточно выучить основные даты и события. Но все же не стоит совершать одну из распространенных ошибок школьников. А именно зазубривать даты. Нужно иметь какие-то представления о причинах и характере основных исторических событий. Таким образом, для успешной сдачи экзамена по этому предмету следует много времени посвящать тестированию и по возможности читать соответствующую литературу. Авторы учебников, без которых сложно - И. А. Артасов, О. Н. Мальникова.

Другие предметы

Подготовка к ЕГЭ по химии, биологии, иностранному языку, физике осуществляется по той же схеме. С этими предметами не должно возникнуть сложностей. Если школьник выбрал их, значит, он обладает определенными знаниями и с нуля начинать подготовку ему не придется. За несколько месяцев до экзамена по химии стоит приобрести пособия В. Н. Доронькиной. Для успешной сдачи ЕГЭ по физике придется немало решать задач. И здесь покупки большого количества решебников и сборников уж точно не избежать.

Довольно сложно подготовиться самостоятельно к экзамену по иностранному языку. Ведь часть испытания - проверка уровню языковых навыков. В полном одиночестве непросто их развить. Есть еще один способ подготовиться к экзамену, не посещая репетитора: проводить совместные занятия. Помощь друг другу повысит уровень знаний, поможет избежать множества трудностей. Ведь нередко бывает, что тот, кто силен в грамматике, имеет небольшой словарный запас. А тот, кто уверенно говорит на иностранном языке, совершает грубые ошибки в спряжении глаголов и использовании той или иной синтаксической конструкции.

Соместные занятия проводить стоит не только при подготовке к ЕГЭ по английскому, немецкому или французскому языкам, но и в других случаях. Особенно если предстоит устный экзамен. Нередко ученик, обладающий достаточными знаниями, теряется в ответственный момент. Навыки говорения следует развивать для того, чтобы не растеряться перед экзаменатором.

У многих школьников идет последний год обучения, который может стать определяющим в выборе будущей профессии и образа жизни. Чтобы получить высокие оценки по Единому государственному экзамену (ЕГЭ), надо начать готовиться прямо сейчас – и лучшие сайты для онлайн-подготовки к ЕГЭ 2020 года готовы в этом помочь.

Преимущества подготовки к ЕГЭ 2020 через сайт

Обучение онлайн сейчас удобно, эффективно и привычно для школьников, поэтому такой вид подготовки стоит непременно рассмотреть, в том числе по следующим обстоятельствам:

• Во-первых, можно заниматься не выходя из дома и не тратя деньги на поездку к репетитору и обратно.
• Во-вторых, подписка на многих платных сайтах стоит дешевле, чем занятия с репетитором.
• В-третьих, создатели сайтов, посвященных ЕГЭ, заботятся о том, чтобы их материалы были не только полезны, но и интересны школьникам.
• В-четвертых, курсы пригодятся, когда до экзамена остается всего ничего, и тут школьник лихорадочно вспоминает, что пора бы и выучить большое количество материала. Ему не приходится подстраиваться под чужой график уроков, он сможет сам определять время и количество занятий на сайте.

Лучшие сайты и сервисы для подготовки к ЕГЭ

Наша подборка лучших ресурсов по ЕГЭ основана на их популярности у российской аудитории и отзывах пользователей.

10. College.ru

http://college.ru/

Открывает рейтинг сайтов для подготовки к ЕГЭ в 2020 году большой, хорошо структурированный портал с удобной навигацией. Он существует на территории Рунета уже довольно долго – около 18 лет. За это время он успел получить множество наград, отмечающих его заслуги в обучении школьников.

• На сайте можно рассчитать индивидуальную программу занятий в зависимости от уровня знаний.
• Есть тесты бесплатные (экспресс), есть платные (более развернутые).
• Есть бесплатные интерактивные учебники, а также полезная для учащихся и их родителей информация о сдаче ЕГЭ.
• За плату доступны конспекты, симулятор ЕГЭ и прочие особые режимы для повышения уровня подготовки школьника.
• Стоимость сервисов по подготовке к ЕГЭ можно оплачивать не на месяц, а на день вперед, это стоит 20 рублей.

9. Ege.yandex.ru

https://ege.yandex.ru/ege

На сайте с красивым и современным оформлением можно пройти тестирование, сделать задания по определенным темам разных уровней сложности, а также ознакомиться с тщательным разбором заданий ЕГЭ по основным школьным предметам – от математики до русского языка.

• А еще там можно пройти вебинары от опытных преподавателей, которые могут сделать даже самый непонятный предмет ясным и интересным.
• Материалы к вебинарам можно скачать в pdf-формате.
• Есть удобный атлас ВУЗов РФ, в котором собраны проходные баллы за прошлый и позапрошлый годы.
• И, главное, все это совершенно бесплатно.

8. Coursive.ru

https://coursive.ru/

Цель создания данного ресурса – помочь подтянуть школьников по основным предметам за умеренную плату (доступ к материалам сайта по подписке).

• Структура курса следующая: видеоурок; конспект в письменном виде и тест на понимание пройденного материала.
• Если есть дополнительные вопросы, их можно задать курирующему курс преподавателю.
• Можно заниматься как индивидуально, так и в группе, во втором случае стоимость подписки будет ниже.

7. Urokidoma.org

https://urokidoma.org/

На сайте можно не только подготовиться к ЕГЭ онлайн, но и восполнить пробелы в школьных знаниях начиная с 6 класса, включая расширенный, «олимпиадный» вариант.

• Курсы по подготовке к ЕГЭ отличаются продуманной структурой и тщательностью, которая поможет уложить все знания в стройную систему и хорошо натренироваться.
• Первые, пробные курсы бесплатны, потом по подписке. Цена одного занятия — 90 рублей, при условии оплаты сразу 27 занятий. Чем меньше занятий — тем выше цена за каждое.
• Существуют скидки за «пригласи друга».

6. Upstudy.ru

https://upstudy.ru/

А если онлайн-уроки не помогают, значит, самое время обратиться к преподавателю. Сайт upstudy.ru поможет выбрать репетитора (или тренера, инструктора или преподавателя и даже психолога) для индивидуальных занятий.

• Платят за размещение своей анкеты на сайте только сами преподаватели, для заказчиков поиск по базе данных бесплатный.
• Анкеты преподавателей проходят модерацию и недобросовестных исполнителей удаляют из базы.
• В каталоге очень большое количество специалистов (более 44 тысяч) по различным учебным и внеучебным дисциплинам. При желании можно найти преподавателя по актерскому мастерству, фотографии, 3D-моделированию и графике и т.д.
• Можно не искать преподавателя самому, а оставить заявку с указанием желаемой стоимости за урок, а модераторы сайта бесплатно подберут подходящего под требования человека.

5. PROFI.RU

https://profi.ru/

Этот полезный проект посвящен подбору профессионалов в своей области – будь то подготовка к ЕГЭ или услуги штукатура. Сайт появился на свет после объединения нескольких профильных сайтов в один, старейший из которых – «Ваш репетитор» — действует уже более десяти лет. За время существования на сайте было накоплено большое количество отзывов, которые помогут выбрать идеального преподавателя.

• Каждый специалист проходит проверку — собеседование, отзывы, необходимые документы — прежде чем его данные внесут в базу Профи.ру.
• Стоит бесплатно заполнить заявку и администрация сайта подберет нужного специалиста.
• На сайте более миллиона отзывов клиентов, которые позволяют выбрать наиболее добросовестного репетитора.

4. Skyeng.ru

https://skyeng.ru/

Если предыдущие сайты для подготовки к ЕГЭ «работали» по всем предметам сразу, то skyeng.ru посвящен только одному – английскому языку.

• Обучение проходит по Skype, при помощи собственноручно разработанной платформы Vimbox.
• Есть курсы как по подготовке к ЕГЭ, так и к TOEFL и IELTS.
• Вводный урок бесплатный, последующие — платные. Можно приобрести сразу курс из 64 занятий или по 16 занятий с последующими ежемесячными платежами.
• Каждые 8 занятий учитель отправляет родителям ученика информацию об успехах обучаемого. А в конце курса будет итоговый экзамен.
• Более 60% каждого урока ученик будет говорить на английском языке.

3. Ваш репетитор

http://repetitors.info/

Один из старейших сайтов, посвященных подбору персонала, в Рунете. На его базе потом развился profi.ru, занявший пятое место рейтинга.

• В проекте участвуют более 220 тысяч преподавателей, каждый из которых при регистрации прошел собеседование и предъявил необходимые аттестаты и рекомендации.
• Также на сайте есть возможность оставить отзыв.
• Все услуги для клиента совершенно бесплатны, а плата за обучение идет прямо преподавателю, без комиссии.
• На сайте есть библиотека с задачниками, методическими статьями и учебными пособиями.

2. Foxford.ru

https://foxford.ru/

Уже более миллиона школьников воспользовались услугами сайта «Фоксфорд». Как утверждается на сайте, эти школьники уже сдали ЕГЭ на 25 баллов выше, чем в среднем по всей Российской Федерации. Неплохая рекомендация!

• Школьникам предлагается пройти обучение по программам от 3 до 11 класса, они могут всесторонне подготовиться к сдаче ЕГЭ, ОГЭ, ГИА, а их родители – посетить занятия и узнать о развитии детей.
• Также компания проводит свою олимпиаду, организует образовательные лагеря, где дети могут удобно совмещать развлечения и обучение.
• У Фоксфорд есть школа на дому с персональными учителями. В отличие от обычного экстерната в Фоксфорде с ребенком будут работать преподаватели из известных ВУЗов России, а также члены жюри олимпиад и эксперты ЕГЭ/ОГЭ.
• Учителя постоянно находятся на связи с родителями обучаемого, отправляя им еженедельные отчеты о посещаемости и успеваемости.

Стоимость обучения в Фоксфорде составляет от 6900 рублей в месяц.

1. Examer.ru

https://examer.ru/

Самым лучшим сайтом по подготовке к ЕГЭ 2020 является Экзамер, где в подробностях можно изучить только самые последние и самые полезные материалы по русскому языку, математике, обществознанию, физике, истории, биологии, химии, информатике, географии, литературе.

• Можно указать желаемое количество баллов по ЕГЭ и на его основе специалисты сайта составят собственный индивидуальный план подготовки, учитывающий как сильные, так и слабые стороны ученика, и заполнить пробелы в знаниях.
• И все это подано в облегчающей учебу игровой форме – за выполнение заданий ученик повышает свой уровень, получает награды, бонусы и проходит квесты.
• Для лучшей мотивации Экзамер ввел соревновательный момент — это ЕГЭ Арена, где ученик состязается с другими игроками в подготовке к экзамену. При этом не выставляются оценки, важны лишь индивидуальные знания.
• Материалы сайта полностью соответствуют требованиям, предъявляемым к ЕГЭ в 2020 году.
• Есть приложения Экзамер для IOS и Android.

Не стоит рассматривать перечисленные в нашем топ-10 сайты как стопроцентную гарантию сдать ЕГЭ. Они берут на себя самую сложную задачу — поиск высококвалифицированного куратора, который поможет школьнику восполнить пробелы в знаниях, и ответит на все сложные для ученика вопросы. Однако без должной мотивации со стороны ученика все усилия куратора по подготовке к ЕГЭ будут бессмысленны.

• Не стоит пытаться запоминать верные ответы к заданиям тестов. Все их запомнить невозможно.
• Стоит анализировать свои неудачи по какой-либо теме. Например, можно завести специальную тетрадь, где указывать, к какой теме курса относится сложная для понимания тема.
• Желательно повторять материал своими словами, так он усваивается проще и лучше.
• Спустя каждые 40 минут занятий нужно делать перерыв на 10-20 минут. Усталый мозг хуже усваивает знания.
• Большинство школьников очень ответственно относятся к ЕГЭ. Но для некоторых успешная сдача единого госэкзамена становится чуть ли не главной задачей в жизни. И дело родителей — объяснить ребенку, что экзамен — одно, но не основное из жизненных испытаний.
• Не стоит бояться ошибаться в заданиях, любому человеку свойственно ошибаться. И не нужно бояться просить куратора помочь детально разобрать причину ошибки, даже если школьнику кажется, что эта ошибка «глупая».

Желаем удачной сдачи ЕГЭ!

Успешно сдать ЕГЭ – мечта каждого выпускника школы и их родителей. Подготовка ведется, как правило, с привлечением репетиторов. А так как предметов сдается несколько, то сумма на оплату дополнительных занятий набегает не малая.

А ведь подготовиться к ЕГЭ можно и самостоятельно!

Инструменты для подготовки: учеба, контрольные, олимпиады

Начинать подготовку нужно не позже, чем за год до испытания.

Текущие оценки по предмету не отражают объективно уровень по всему курсу, например, математики. На ЕГЭ оцениваются знания и практические навыки за несколько лет.

Используйте все возможности пополнить и проверить свои знания.

1. На уроках внимательно слушайте объяснения преподавателей. Не стесняйтесь задавать вопросы, просите объяснить еще раз непонятные моменты. Материалы ЕГЭ состоят из тем, изученных в школе.
2. По своей сути ЕГЭ – контрольная работа повышенной сложности. Значит, не стоит прогуливать контрольные работы. Они дают возможность проверить уровень знаний, обнаружить темы, которые следует подучить и дают навык работы с задачами. Ведь результат зависит от умения понять задание. Как это ни странно, но большинство ошибок из-за неправильно прочитанной задачи, от того, что не поняли вопрос.
3. Участвуйте в предметных олимпиадах. Они не ограничены школьной программой и их проведение несколько похоже на проведение ЕГЭ. В процессе подготовки к участия вы получите новые знания и навык работы над нестандартными заданиями.

Для повышения мотивации рассматривайте обучение именно как инструмент подготовки к ЕГЭ.

Учеба – это труд. Тяжелый, но посильный.

Уточните критерии этого года

Каждый год в порядок проведения, структуру ЕГЭ вносятся изменения. Поэтому, на начальном этапе подготовки, ознакомьтесь с форматом экзамена, актуальным на период сдачи.

Для этого на сайте ФИПИ найдите спецификации и кодификаторы по предметам, которые сдаете. Это даст возможность понять, к чему готовиться и чего от вас потребуется на экзамене. Какие практические навыки вам отработать.

Обратите внимание на критерии оценивания заданий с развернутым ответом. Изучите требования по оформлению.

В спецификации описана структура экзамена, состав КИМ. Кодификатор содержит список тем, по которым будут задания на ЕГЭ.

Все изменения в ход и содержание вносятся в начале учебного года.

Что понадобится для подготовки

Для самостоятельной подготовки в ЕГЭ дома нужны:

• учебники;
• справочные материалы;
• интернет-ресурсы;
• пособия.

Самое главное, что понадобится – желание. Без этой составляющей самостоятельная подготовка маловероятна.

Цель подготовки – понять материал. Здесь не поможет просто выучить. В стрессовой ситуации, а сдача ЕГЭ относится к таким, мозг воспроизводит понятные вещи.

Для чего нужны учебники и справочные материалы, пособия понятно. Рассмотрим подробнее интернет-ресурсы. При самостоятельной подготовке к ЕГЭ они играют чуть ли не главную роль.

Онлайн-лекции и видео-уроки

Решили вариант КИМ ЕГЭ и получили неудовлетворительный результат? Это не повод для расстройства, а руководство к действию: изучению материала.

Найдите видео-урок по теме задания. Преимущество интернета в том, что есть возможность выбирать стиль преподавания и подачи материала.

Не тратьте много времени на поиски и просмотр. Руководствуйтесь тем, что в первой выдаче поисковика самые популярные видео-уроки, а значит, самые качественные.

Сразу же после просмотра решите несколько задач по теме. Сделать это можно там же на сайте с демоверсией.

Интернет в этом случае заменяет репетитора. Только ему не нужно платить за услуги большую сумму.

Отследить результативность подготовки

В случае, если прорешиваете КИМы на одном сайте, воспользуйтесь функцией сохранения результатов. Тогда вы сможете увидеть прогресс и провести анализ ошибок. Это нужно для того, чтобы определить какой материал необходимо подтянуть.

Особое внимание на ошибки, связанные с рассеянностью, невнимательностью. Не вписанный ответ, пропущенный или неучтенный знак, забирают баллы. Память и внимание тоже нужно тренировать.

Изучите кодификаторы на сайте ФИПИ

Заходим на сайт ФИПИ, находим раздел ЕГЭ и ГВЭ-11, открываем страницу «Демоверсии, спецификации и кодификаторы». Документы здесь структурированы по предметам – скачиваем для тех, которые вы сдаете. В архиве также могут быть всякие полезности вроде словариков, сборок слов, правил и формул.

Прежде всего, открываем кодификатор – здесь отмечены разделы образовательной программы, которые будут проверяться на экзамене. Отметьте темы, которые вы знаете и которые не знаете.

Планирование

Кодификатор даст представление о количестве тем, которые нужно изучить по каждому предмету. В начале подготовки этот объем ужасает.

Но нет ничего невозможного. Правильное планирование поможет усвоить весь необходимый объем.

• Распределите подготовку по дням недели: один день – один предмет. Это даст более глубокое погружение в информацию. Ведь кроме подготовки к ЕГЭ будут еще и домашние задания по текущему учебному процессу.
• Выделяйте 1,5-2 часа ежедневно и обязательно делайте один-два перерыва по 15 минут. Утомленный мозг не запоминает информацию, а «проходит» ее.
• Составляйте план-задание на каждое занятие, отмечая изученные темы. Вы увидите результативность своей работы и сможете отследить что уже сделано, а что еще нужно выучить.

Начинайте занятие с решения демоверсии. Так вы оцените начальный уровень знания и понимания темы и поймете, какой объем придется по ней изучать.

В зависимости от того, сколько времени у вас есть, сформируйте план обучения. Лучше всего начать заниматься минимум за год до экзамена, но вполне реально освоить азы быстро – за месяц, за неделю и даже за день.

Составьте примерную «образовательную программу», в которой темы будут идти по нисходящей. От базовых аспектов к наименее значимым деталям. Сформируйте график занятий и ОБЯЗАТЕЛЬНО придерживайтесь его. Самое сложное в самостоятельной подготовке – это дисциплина. Никто не стоит над вами с палкой, потому организовать себя очень сложно. Ни в коем случае не пропускайте занятия – ничего не получится, если вы будете откладывать на завтра.

Помните, что занимаетесь вы не для кого-то, поэтому не стоит обманывать самого себя. Если материал не усвоен, выделите на него дополнительный день или подойдите к преподавателю и попросите объяснить. Возможно, вам смогут помочь кто-то из друзей.

Пройдите демоверсию экзамена

Существуют сайты, на которых имеются демонстрационные версии заданий ЕГЭ. Их можно решать непосредственно на сайте и получить результат.

Чаще всего выставлены типовые задания, без повышенного уровня и практических заданий.

Можно решить демоверсию из скаченного на сайте ФИПИ архива, но это не совсем удобно – проверять придется самостоятельно, сверяясь с ответами.

Удобнее решить демоверсию онлайн, например на Яндекс.ЕГЭ – здесь система сама проверит ваши ответы и подсчитает количество баллов. Проблемы только с частью С – проверить сочинение, изложение и эссе с помощью сервисов технически невозможно. Это придется делать самостоятельно, оценивая работу по критериям из спецификации.

Тренировка в реальных условиях

Используйте все возможности «репетиции» ЕГЭ. Процедура сдачи экзамена – стресс. Тренировка поможет сохранить спокойствие в реальных условиях. А это залог успеха.

В идеале, пройти всю процедуру, с входом через металлоискатели, решение задач под прицелом видеокамер.

На сайте ФИПИ есть описание самых распространенных ошибок, которые делали выпускники прошлых лет. В большинстве случаев они стоили потерянных баллов. Учтите этот опыт.

Психологическая подготовка

В период подготовки к ЕГЭ и в день сдачи почаще вспоминайте слова Карлсона «Спокойствие, только спокойствие». Вы, вероятно, замечали, что, когда волнуетесь, труднее сосредоточиться и что-то вспомнить.

Способствует адекватному восприятию ЕГЭ уверенность в своих знаниях, подтвержденная результатами тренировочных экзаменов и демоверсий.

Не принимайте успокоительные препараты в последние дни перед ЕГЭ. Они тормозят работу мозга и в ситуации сильного стресса дают сонливость.

Физическая подготовка

Срочно мобилизуем все системы и силы организма. Физическое состояние тоже важная составляющая.

В период болезни подготовка к экзамену обычно останавливается, а значит или возрастает нагрузка в следующие дни или что-то остается невыученным. После заболевания организму требуется несколько дней на восстановление.

Прогулки, физическая активность, усиленное правильное питание и соблюдение режима дня способствуют поддержанию физического состояния и вам хватит сил и здоровья на подготовку и сдачу ЕГЭ.

Самостоятельно подготовится к ЕГЭ под силу каждому ученику. Со стороны родителей потребуется готовность поддержать и помочь, контроль за результатами подготовки.

Уважаемые родители, отмечайте любые, даже самые маленькие успехи ребенка. Сравнивайте его предыдущий уровень знаний с тем, что есть на данный момент. И никогда не сравнивайте с другими детьми.

Подготовка к ЕГЭ по конкретному предмету

У каждого из предметов есть свои особенности, которые нужно учитывать при подготовке к экзамену. На базе отзывов выпускников прошлых лет мы сформировали конкретные советы, которые помогут вам сдать ЕГЭ на хороший балл.

Как подготовиться к ЕГЭ по русскому языку

Понять (не зазубрить, а понять) и запомнить правила, заучить слова-исключения и азы пунктуации. Не поленитесь, возьмите свод правил и прочтите их все – отметьте для себя те, которые не помните или помните плохо, после чего заучивайте их по 1-2 за день, делайте проверочные задания. В сети таких заданий миллионы, искать не сложно. Согласно статистике выпускники 11-х классов чаще всего ошибаются в следующих правилах, темах и разделах:

• Орфография – правописание «н» и «нн» в прилагательных, причастиях; правописание «о» и «ё» после шипящих; приставки «пре» и «при».
• Частицы и союзы – правописание «не» и «ни»; правописание союзов.
• Пунктуация – прямая речь; причастные и деепричастные обороты, запятая перед «и».
• Лексика – вводные слова.
• Грамматика – слитное и раздельное написание наречий; написание наречий и существительных через дефис.

Совет: обязательно выучите типы придаточных и склонение числительных. На них тоже «попадаются» десятки тысяч выпускников.

Также важно учить всевозможные слова-исключения – они не поддаются правилам (по крайней мере, правилам из школьной программы) и их нужно просто запомнить. В идеале нужно оформить их приемлемым шрифтом, напечатать или написать от руки, после чего повесить над рабочим столом. Чаще смотрите на них – это один из самых эффективных способов запоминания.

Подготовка к части С сложнее. Здесь вам потребуется написать сочинение-рассуждение, опираясь на прочитанный текст. Обычно предлагают отметить, что имел ввиду автор, и высказать собственное мнение по этому вопросу. Худшее решение – подключить эмоции и начать «качать права» в своем повествовании. Лучшее решение – посмотреть и запомнить на критерии оценки и написать сочинение в полном соответствии с ними, ничего не придумывая и не изобретая, добавляя лишь самую малость эмоций. Критерии оценки сочинения есть в спецификации.

Как подготовиться к ЕГЭ по математике

Математика – самый сложный для самостоятельной подготовки предмет. Прежде всего, из-за заданий в части С. Части А и В без репетитора освоить вполне реально – учим правила и формулы, те, которые запомнить сложнее всего, распечатываем или выписываем, после чего вешаем над рабочим столом и как можно чаще смотрим на них.

В каких базовых темах чаще всего допускают ошибки выпускники:

• Тригонометрические формулы.
• Логарифмические уравнения.
• Правила дифференцирования.
• Основные теоремы геометрии.
• Первообразные и интегралы.

При подготовке к ЕГЭ по математике рекомендуется как можно больше решать. Начните с демоверсий экзаменационных вариантов. Ведь правил и формул в школьной программе не так уж и много – опять же отсылаем вас к кодификатору – посмотрите, что нужно знать, чем можно пользоваться, что важно запомнить в первую очередь. Если вы чувствуете, что решение определенного сегмента задач идет плохо – решайте их как можно больше, подключайте обычные учебники из школьной программы, смотрите готовые решения.

Как подготовиться к ЕГЭ по истории

История – это не совокупность дат и событий. Это, прежде всего, хронология. Именно поэтому подготовку стоит построить не на зазубривании дат и персоналий, а на построении хронологических цепочек, выявлении причин и следствий. Посмотрите темы кодификатора – они практически полностью повторяют образовательную программу по истории России с древнейших времен до наших дней.

Подготовку стоит построить таким образом: если есть хотя бы полгода, то начните сначала (с древнейших времен) и ежедневно проходите по 2-3 темы (в зависимости от времени, которым вы располагаете).

Так вы поймете последовательность событий и будете понимать, что отмена крепостного права никак не могла произойти в 1451-м году, а Иван Грозный никак не мог посещать Петербург.

Темы, в которых чаще всего путаются выпускники:

• Теории происхождения Руси (норманнская, центристская и другие).
• Феодальная раздробленность.
• Смута.
• Реформы Петра I.
• Отечественная война 1812-го года.
• Первая мировая война.
• Революция 1917-го года и гражданская война.
• Вторая мировая война.
• Оттепель.

Образовательная программа по истории – это огромный объем знаний. Поэтому если на подготовку у вас осталось только 2-3 месяца, нет никакого смысла пытаться изучить все целиком. Берите важнейшие события и изучайте их по плану. Например, войны: причина, ход, основные битвы, полководцы, итоги. Или реформы: предпосылки, даты проведения, содержание, следствия. Также стоит зазубрить ключевые даты – начала и завершения войн, проведения важнейших реформ, правления глав государства и так далее.

Как подготовиться к ЕГЭ по обществознанию

Подготовка хороша тем, что здесь не так много терминов, требующих запоминания точной трактовки. Здесь более важен кругозор, умение мыслить логически и отвечать на поставленные вопросы с позиции норм права и морали. При подготовке достаточно изучать темы из кодификатора и решать демонстрационные версии вариантов экзамена. Если при решении вы натыкаетесь на тему, которую вы не знаете или знаете плохо – отметьте ее для себя и изучите. Также постарайтесь искать причинно-следственные связи, опираться на факты.

Обществознание – один из немногих предметов, не имеющих очевидно «проблемных» тем. Выпускники ошибаются во всех одинаково часто, и нет никакой возможности привести статистику. Зато можно отметить ряд документов, которые обязательны к прочтению и изучению в ходе подготовки – например, Конституция РФ. Ознакомьтесь с полным перечнем в кодификаторе.

Что же касается части С, то здесь вас будет ждать эссе на заданную тему. Важно не быть слишком эмоциональным, даже если затронутый вопрос задевает ваши чувства. Обратитесь к спецификации и посмотрите на критерии оценки работы. Стройте свое повествование в соответствии с ней. Не пытайтесь угодить критериям до мелочей – сохраняйте свободный стиль изложения. Но приводите примеры, указывайте аргументы, подкрепляйте их фактами. Идеально, если вы сможете добавить прецеденты, пользуясь собственным кругозором.

Как подготовиться к ЕГЭ по биологии

Части А и В – это теория, которую просто нужно знать. Здесь нет ничего запредельного, потому открываем учебники и начинаем изучать все поэтапно. Это можно сделать даже за 2-3 месяца – большинство материалов легко запоминается, если вникать в тему и учиться оперировать терминами (важно знать их трактовку, а не запинаться при каждой новой встречи с неизвестным словом). Чаще всего выпускники школ путаются и ошибаются в следующих разделах школьной программы:

• Строение про– и эукариотической клеток.
• Онтогенез.
• Анатомия человека.
• Высшая нервная деятельность.
• Глобальная экосистема (учение В. И. Вернадского).

Теперь поговорим о подготовки к части С – она традиционно является наиболее сложной. Здесь необходимо применять теоретические знания на практике. По опыту прошлых лет даже знающие в деталях теорию выпускники ошибаются именно в применении своих знаний в ходе практического задания. Потому стоит готовиться, изучая реальные примеры выполнения задач из части С и транслируя полученный опыт на собственную практику. Используйте качественные видео-уроки. Их можно найти, например, на том же Яндекс.ЕГЭ. Вы сможете посмотреть, как решают задачи преподаватели и эксперты – перенимайте их методы.

Как подготовиться к ЕГЭ по физике

Подготовка должна включать в себя два базовых компонента – изучение теории, правил и формул и их применение на практике. Не рекомендуется просто зазубривать правила. Лучше всего решить 2-3 задания на каждую изученную вами формулу, либо проанализировать готовое решение. Здесь важно не столько знать, сколько понимать. Идеально, если у вас будет достаточно времени не только на промотор решения задач, но и на реальные опыты.

В каких темах выпускники ошибаются чаще всего:

• Принцип относительности Галилея.
• Закон Гука – сила упругости.
• Уравнение Менделеева — Клапейрона.
• Закон сохранения импульса.
• Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
• Радиоактивность.

Чем больше вы будете решать – тем лучше. Если в распоряжении имеется хотя бы полгода, то распределяйте время подготовки примерно в соотношении 15 минут теории и 30 минут практики из каждого академического часа. Пользуйтесь академическими часами – отдыхайте по 10-15 минут каждый час. Решение задач отнимает слишком много энергии, и чтобы не заработать мигрени, вам нужен отдых. Также не рекомендуется тратить на самостоятельную подготовку больше 2-х академических часов за день.

Далеко не всегда можно понять решение задачи самостоятельно, даже если правильный вариант лежит перед вами. Но уловить логику действительно важно, иначе от просмотренного попросту не будет толка.

Если нет никакой возможности обратиться к хорошему преподавателю или репетитору – решайте вместе с другими готовящимися к экзаменам выпускниками. В социальных сетях и мессенджерах есть множество сообществ, каналов и чатов, где старшеклассники вместе решают задачи из демоверсий ЕГЭ, обсуждают их и помогают друг другу.

Как подготовиться к ЕГЭ по английскому языку

Выучить английский язык – неверный ответ. Точнее, не совсем верный. В условиях самоподготовки выучить английский язык за несколько месяцев невозможно. А вот сдать ЕГЭ на 60-70 баллов не обладая даже уровнем Pre-Intermediate – вполне реально. Для этого необходимо на время, оставшееся до экзамена, максимально «перейти на английский». Это значит, что вам предстоит не только учить грамматику, но и:

• Слушать песни на английском, читая и запоминая тексты.
• Смотреть фильмы на английском с русскими субтитрами.
• Как можно больше читать знакомые произведения на английском.

Интересно, что самой сложной частью ЕГЭ по английскому, по мнению выпускников, является не часть С (эссе, сочинение или письмо), а аудирование, при котором нужно работать с произнесенным диктором текстом. Потому учитесь понимать быструю англоязычную речь или максимально развивайте этот навык, если уже умеете. Это можно делать интересно – например, слушая песни на английском. Открывайте текст, уточняйте перевод непонятных слов и фраз. Слушайте песню и одновременно смотрите на текст.

Что же касается части С, то здесь обычно предлагается написать письмо или сочинение на заданную тему. Этой темой не нужно владеть досконально с точки зрения, например, истории или другой науки. Но нужно обладать достаточным словарным запасом, чтобы быть в состоянии говорить о ней. Потому посмотрите темы, обозначенные в кодификаторе, и подберите к каждой из них характерные слова и фразы – их придется заучить. Можно использовать сервисы вроде Lingualeo – здесь даже в бесплатной версии множество подборок тематических слов.

Резюме

Подготовиться к ЕГЭ по основным предметам реально даже за месяц. Вопрос только в том, чего вы сможете достичь в результате подготовки.

За день реально выучить базовые правила и темы – это гарантирует 5-6 баллов на заданиях из части А, которые точно не будут лишними. За месяц можно понять логику решения задач в ходе выполнения практических заданий. За полгода реально пройти углубленную самоподготовку, а за год – подготовиться комплексно.

Важно не рассеивать внимание и не пускаться в доскональное изучение деталей – так вы можете упустить базу, потратив слишком много времени на мелочи.

О-о-о-о-о… ну и жесть, словно вам сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа.

Взаимное расположение двух прямых

Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут :

1) совпадать;

2) быть параллельными: ;

3) или пересекаться в единственной точке: .

Справка для чайников : пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке .

Как определить взаимное расположение двух прямых?

Начнём с первого случая:

Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны , то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.

Действительно, если все коэффициенты уравнения умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .

Второй случай, когда прямые параллельны:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но .

В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :

Однако совершенно очевидно, что .

И третий случай, когда прямые пересекаются:

Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны , то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Так, для прямых составим систему:

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.

Вывод: прямые пересекаются

В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов . Но существует более цивилизованная упаковка:

Пример 1

Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:

а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: .

, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.

На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:

Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)

б) Найдем направляющие векторы прямых :

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.

Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .

Выясним, справедливо ли равенство :

Таким образом,

в) Найдем направляющие векторы прямых :

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.

Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений: .

Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).

Таким образом, прямые совпадают.

Ответ :

Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент:

Как построить прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Пример 2

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .

Решение : Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Ответ :

Геометрия примера выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.

Пример 3

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы:

Как найти точку пересечения двух прямых?

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Пример 4

Найти точку пересечения прямых

Решение : Существуют два способа решения – графический и аналитический.

Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:

Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений с двумя уравнениями, двумя неизвестными.

Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.

Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:

Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений?

Ответ :

Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Пример 5

Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются.

Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.

Полное решение и ответ в конце урока:

Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока:

Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми

Начнём с типовой и очень важной задачи. В первой части мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, а сейчас избушка на курьих ножках развернётся на 90 градусов:

Как построить прямую, перпендикулярную данной?

Пример 6

Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .

Решение : По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост:

Из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .

Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ :

Развернём геометрический этюд:

М-да… Оранжевое небо, оранжевое море, оранжевый верблюд.

Аналитическая проверка решения:

1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения векторов приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: .

Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Проверку, опять же, легко выполнить устно.

Пример 7

Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение и точка .

Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.

Наше увлекательное путешествие продолжается:

Расстояние от точки до прямой

Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние от точки до прямой выражается формулой

Пример 8

Найти расстояние от точки до прямой

Решение : всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ :

Выполним чертёж:

Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.

Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:

Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой . Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:

1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .

2) Находим точку пересечения прямых: .

Оба действия подробно разобраны в рамках данного урока.

3) Точка является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим .

Не лишним будет проверить, что расстояние тоже равно 2,2 единицам.

Трудности здесь могут возникнуть в вычислениях, но в вышке здорово выручает микрокалькулятор, позволяющий считать обыкновенные дроби. Неоднократно советовал, посоветую и снова.

Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?

Пример 9

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Это очередной пример для самостоятельного решения. Немного подскажу: тут бесконечно много способов решения. Разбор полётов в конце урока, но лучше постарайтесь догадаться сами, думаю, вашу смекалку удалось неплохо разогнать.

Угол между двумя прямыми

Что ни угол, то косяк:


В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный «малиновый» угол .

Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4 углов.

Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .

Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).

Как найти угол между двумя прямыми? Существуют две рабочие формулы:

Пример 10

Найти угол между прямыми

Решение и Способ первый

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Если прямые не перпендикулярны , то ориентированный угол между ними можно вычислить с помощью формулы:

Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведение направляющих векторов прямых:

Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.

Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:

1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Угол между прямыми найдём по формуле:

С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций ):

Ответ :

В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.

Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:

Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.

Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения , а коэффициенты взять из первого уравнения . Короче говоря, начать необходимо с прямой .