Формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения — Гипермаркет знаний

В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке - следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения . В краткой записи - ФСУ.

Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Разбираемся?)

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

Они берутся из умножения.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение - это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных - о четвёрке с пятёркой.)

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая - готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая...

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Для тех, кто как-либо связан с архитектурой или строительством, необходимо разбираться в форматах. Сегодня, стандартный А4 используется только для распечатки текста, а для создания разнообразных чертежей или рисунков требуются ватманы. Размер А2 в сантиметрах 21х29,7, он идеально подходит для набросков и выполнения макетов небольшого масштаба.

Что такое формат

Формат – это размер листа бумаги. Они являются одинаковыми для большей части мира, и где бы вы не были, бумага размером А2 будет такой по площади, как и на родине.

В Европе такие стандарты были приняты в середине 20-го века и уже оттуда, распространились по всему миру. До этого, каждое издательство использовало свои размеры. Чаще всего это было «Золотое сечение», которое так любили живописцы и архитекторы эпохи Возрождения, но оно было не очень удобно для типографского дела.

Со временем, стал применяться лист, стороны которого относились друг к другу как единица к квадратному корню из двух. Такой лист, если его сложить пополам, имел такие же параметры, то есть он являлся уменьшенной копией первоначального «куска» бумаги.

В 20-х годах 20 века была принята единая система ISO 216, согласно которой, размеры формата А2 равны 210х297 миллиметров . Еще одним популярным стандартом бумаги является североамериканский, но маркировка этой системы в нашей стране встречается достаточно редко.

Международные стандарты

ISO 216 имеет несколько серий параметров бумаги:

Каждая из них применяется в разных сферах, и адаптирована под требования именно этих отраслей.

За основу принято считать формат А0, имеющий площадь ровно 1м 2 , но он используется только в специфических сферах, в повседневной жизни люди практически не используют его. Уже от него просчитывается каким должен быть, например, лист А2 в сантиметрах или миллиметрах. Каждый последующий формат – это половина предыдущего. То есть, лист размером А2 в см будет четвертая часть от А0.

Самыми популярными являются листы А4. В англоговорящих странах они приняты как стандарт для делового письма. В нашей стране тоже чаще всего используется именно это размер.

Следующим по популярности является - А2. Какой размер имеет лист формата А2 мы уже говорили, а его диагональ равна 364 миллиметра, а площадь – 0,24948 м 2 . Именно такие листы вы можете видеть вокруг себя каждый день – А2 чаще всего используется для печати газет.

Существуют размеры и больше, чем А0, они используются в основном в технических сферах. Более мелкий формат, такой как А5 или А6 применяют для создания блокнотов, тетрадей и прочей канцелярской бумаги.

Система ISO 216 допускает некоторые погрешности в размерах листов. Обычно они не превышают нескольких миллиметров.

Международный стандарт измерения удобен тем, что любой формат можно с легкостью перевести в другой.

Любое изображение можно отредактировать, применив нужный масштаб. Причем можно это сделать как вручную, так и с помощью техники, так как практически все, что мы используем для распечатки, или для представления документов в электронном виде, ориентировано на использование именно европейской системы измерения листов.

Отечественная система

В нашей стране, размеры формата А2 отличаются от принятых по Госту. Но так как используется в основном импортная техника, которая ориентирована на европейские стандарты, Гост отходит на второй план. Система ISO 216 очень актуальна на сегодняшний день.

Несмотря на то, что во всех сферах жизни преобладает техника, она не всегда может выполнить или показать то, что может человек, сколько бы люди ее не совершенствовали. Например, людям, которым часто приходится использовать какие-либо наглядные пособия, очень удобно использовать ватманы размерами А2, так как они имеют оптимальную площадь: достаточно большие, чтобы можно было показать все детали, и в то же время достаточно компактные. Их используют для:

наглядной демонстрации каких-либо данных;

демонстрации таблиц, диаграмм;

печати газет.

Таблица размеров

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) - формулой суммы кубов , а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) - формулой разности кубов . Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений .

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2) . Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2 .

2015. Система А2Б подключила телефонию к CRM

Система управления бизнесом А2Б интегрировала свою CRM с сервисом телефонии СКОРОЗВОН. Теперь можно звонить клиентам одним кликом всего от 40 копеек в минуту. Удобные звонки и быстрое фиксирование результатов позволят менеджерам не тратить время на поиск номера контактного лица и его набор в телефоне. Сервис СКОРОЗВОН предоставляет возможность записи телефонных разговоров и хранит их до 1 года (в зависимости от тарифа). Система А2Б также позволяет управлять проектами, контролировать поручения, вести планирование. Стоимость по прежнему - от 500 руб/месяц на всю компанию.

2015. В CRM А2Б расширена аналитика и реализованы настройки доступа

Система управления бизнесом А2Б выпустила в марте несколько значительных обновлений модуля CRM: расширена аналитика, реализована кастомизация стадий продаж, добавлена возможность настроек доступа для менеджеров. Расширенные отчеты показывают работу менеджеров, прогноз продаж, популярность товаров, воронку на любой промежуток времени в графическом и табличном виде. Дополнительные фильтры помогут детализировать отчет под текущие запросы. Теперь каждая компания может установить свои правила доступа к базе клиентов, продаж и взаимодействий для своих менеджеров. Настроить можно от возможности просмотра до возможности удаления определенных записей в базе. Как и прежде, модуль CRM, входящий в состав системы А2Б, стоит от 500 руб/месяц на всю компанию. Для трех пользователей система бесплатна.

2015. В А2Б появилась система электронного документооборота

В системе управления бизнесом А2Б появился модуль электронного документооборота, доступный как в онлайн, так и в коробочном варианте. Модуль СЭД включает самые востребованные возможности для управления внутренним документооборотом компании и предназначен для сокращения времени на согласование и контроль соответствующих поручений. Система позволяет быстро найти любой документ, просмотреть историю и упростить формирование отчетов. СЭД А2Б подходит для компаний малого и среднего бизнеса, а также крупных компаний с облегченными требованиями к программе. Стоимость модуля СЭД - от 500 руб/месяц на всю компанию (до трех пользователей можно использовать бесплатно).

2014. В А2Б появился сборщик электронной почты

Система управления бизнесом А2Б теперь позволяет собирать в едином доступе задачи по продажам, проектам, планам развития компании. Теперь здесь же можно работать и с электронной почтой. Сборщик почты позволяет просматривать письма сразу с нескольких почтовых ящиков, читать, отправлять, отвечать и пересылать письма из интерфейса А2Б. Также реализован полнотекстовый поиск по адресам, теме и тексту письма. Используя сборщик можно значительно сократить время на работу с письмами и задачами: не надо открывать разные почтовые аккаунты и вводить логины/пароли, просматривать ящики, даже если новых писем нет. Теперь можно держать открытой только одну вкладку - А2Б. Здесь и задачи, и планы, и почта.

2014. Система управления бизнесом А2Б добавила бесплатную версию

Теперь SaaS система управления А2Б доступна бесплатно для трех пользователей. Бесплатная конфигурация не ограничена по функционалу и включает CRM, управление проектами и планирование, контроль поручений и учет идей, календарь и хранилище документов. Бесплатная версия А2Б будет интересна как начинающим свой бизнес компаниям, так и уже стабильно развивающимся, а также небольшим проектным группам. На бесплатном тарифе можно выбрать только те модули для использования, которые необходимы в работе компании. Для хранения файлов доступно 5Гб дискового пространства. Также, отметим что на днях в системе появился модуль СЭД для автоматизации документооборота. ***

2014. А2Б обновила CRM модуль

В онлайн-системе управления бизнесом А2Б существенно обновлен модуль "Клиенты" (CRM). Теперь список клиентов, продаж и взаимодействий доступен в едином окне. Работа по продаже включает учет товаров и услуг, выписку счетов и внесение платежей. Удобная связка клиентов, контактных лиц, продаж и взаимодействий позволяет оперативно увидеть всю проделанную и запланированную работу по продаже. Подробные отчеты показывают результаты работы менеджеров в представлении воронки продаж, менеджеров, сделок, товаров/услуг, также представлен ABC-анализ. Весь функционал CRM доступен от 500 руб/месяц на всю компанию. Кроме того, А2Б начала продажу коробочной версии системы на неограниченное количество пользователей. Коробка доступна за 100000 руб.

2013. Компания А2Б выпустила новую версию модуля Поручения

В онлайн-системе управления бизнесом А2Б полностью обновлен модуль "Поручения". Кроме нового интерфейса, был добавлен новый функционал. Теперь работать с поручениями стало удобнее: вся информация на одном экране. В новой версии добавлена роль наблюдателя, отображается динамика по исполнению поручения, добавлен быстрый поиск. Теперь авторы и исполнители поручений смогут эффективнее работать с задачами: обсуждать, прикладывать файлы, отчитываться и согласовывать одним кликом. Вся история работы с поручением фиксируется в журнале. Все шаги по делегированию задачи в целом или ее части также будут отображаться в карточке поручения. Кроме этого, поручение можно выдавать из проекта или документа. Основание поручения также отображается в его карточке.

2013. В сервисе А2Б появился модуль расписаний

В системе управления бизнесом А2Б появился новый модуль «Расписания», который может выполнять роль центрального планировщика на предприятии, собирая информацию по расписаниям в едином месте. В модуле «Расписания» можно планировать графики отпусков, дежурств, обучения персонала, производственные планы деятельности, расписания занятий, приема больных, движения транспорта, любые другие таблицы, используемые в текущей деятельности компании. В новом модуле удобно назначать ответственных и отслеживать исполнение плановых событий, планировать активность на персону, подразделение или любой внешний субъект, строить план-графики и расписания в привычном "шахматном" представлении.

2013. A2B - теоретически правильная система управления предприятием

Если вы с отличием закончили какой-нибудь институт менеджмента и легко ориентируетесь в учебниках по стратегическому управлению предприятием, если вы считаете что бизнесу нужны не социальные игрушки, а автоматизация, то вам очень понравится новая SaaS система A2B. В ней - все сделано правильно. Посмотрите, на схему выше. Вот так должна выглядеть оптимальная система автоматизации предприятия. Начинается все с целей. Вы ставите цели, потом разрабатываете планы их достижения, потом исходя из этих планов - создаются проекты, в которых менеджеры согласно иерархии ставят поручения своим подчиненным и контролируют их выполнение. После выполнения поручения сотрудник должен отчитаться, либо он может делегировать поручение другому сотруднику. По мере выполнения поручений и проектов, вы, как руководитель, можете в любой момент времени определить, на сколько процентов достигнута каждая цель и сравнить план с фактом.