Геометрическое изображения комплексных чисел конспект. Комплексные числа и координатная плоскость. Изображение действительных чисел

Правило сложения отрицательных чисел

Если вспомнить урок математики и тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками», то для сложения двух отрицательных чисел необходимо:

• выполнить сложение их модулей;
• дописать к полученной сумме знак «–».

Согласно правилу сложения можно записать:

$(−a)+(−b)=−(a+b)$.

Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.

Пример 1

Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$

Решение .

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

Найдем модули данных чисел:

$|-23 \ 789|=23 \ 789$.

Выполним сложение полученных чисел:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 \ 974$.

Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

Ответ : $−23 \ 974$.

При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Пример 2

Сложить отрицательные числа $-\frac{1}{4}$ и $−7,15$.

Решение.

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, сначала необходимо найти сумму модулей:

$|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}$;

Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:

$\frac{1}{4}=0,25$;

$0,25+7,15=7,40$.

Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.

Краткая запись решения:

$(-\frac{1}{4})+(−7,15)=−(\frac{1}{4}+7,15)=–(0,25+7,15)=−7,4$.

Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:

1. вычислить модули чисел;

выполнить сравнение полученных чисел:

• если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
• если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;

2. из большего модуля вычесть меньший;

3. перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.

Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.

Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

Пример 3

Сложить числа $4$ и $−8$.

Решение.

Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.

Найдем модули данных чисел:

Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.

Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$

Краткая запись решения:

$4+(–8) = –(8–4) = –4$.

Ответ : $4+(−8)=−4$.

Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками

Правило вычитания отрицательных чисел:

Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.

Согласно правилу вычитания можно записать:

$a−b=a+(−b)$.

Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.

Пример 4

Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.

Решение.

Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.

Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:

$(−28)−(−5)=(−28)+5$.

Выполним сложение чисел с противоположными знаками:

$(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Ответ : $(−28)−(−5)=−23$.

При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.

Сложение и вычитание чисел с разными знаками

Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.

Пример 5

Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.

Решение.

Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.

Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:

$(−11)−7=(–11)+(−7)$.

Выполним сложение отрицательных чисел:

$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Ответ : $(−11)−7=−18$.

При вычитании дробных чисел с разными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.

Задание комплексного числа равносильно заданию двух действительных чисел а, b - действительной и мнимой частей данного комплексного числа. Но упорядеченная пара чисел изображается в декартовой прямоугольной системе координат точкой с координатами Таким образом, эта точка может служить изображением и для комплексного числа z: между комплексными числами и точками координатной плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие. При использовании координатной плоскости для изображения комплексных чисел ось Ох обычно называют действительной осью (так как действительная часть числа принимается за абсциссу точки), а ось Оу - мнимой осью (так как мнимая часть числа принимается за ординату точки). Комплексное число z, изображаемое точкой (а, b), называется аффиксом этой точки. При этом действительные числа изображаются точками, лежащими на действительной оси, а все чисто мнимые числа (при а = 0) - точками, лежащими на мнимой оси. Число нуль изображается точкой О.

На рис. 8 построены изображения чисел .

Два комплексно сопряженных числа изображаются точками, симметричными относительно оси Ох (точки на рис. 8).

Часто с комплексным числом связывают не только точку М, изображающую это число, но и вектор ОМ (см. п. 93), ведущий из О в М; изображение числа вектором удобно с точки зрения геометрического истолкования действия сложения и вычитания комплексных чисел.

На рис. 9, а показано, что вектор, изображающий сумму комплексных чисел получается как диагональ параллелограмма, построенного на векторах изображающих слагаемые.

Это правило сложения векторов известно как правило параллелограмма (например, для сложения сил или скоростей в курсе физики). Вычитание может быть сведено к сложению с противоположным вектором (рис. 9, б).

Как известно (п. 8), положение точки на плоскости можно задавать также ее полярными координатами Тем самым и комплексное число - аффикс точки также определится заданием Из рис. 10 ясно, что является в то же время модулем комплексного числа : полярный радиус точки, изображающей число , равен модулю этого числа.

Полярный угол точки М называют аргументом числа , изображаемого этой точкой. Аргумент комплексного числа (как и полярный угол точки) определен неоднозначно; если - одно из его значений, то все его значения выражаются формулой

Все значения аргумента в совокупности обозначаются символом .

Итак, всякому комплексному числу может быть поставлена в соответствие пара действительных чисел: модуль и аргумент данного числа, причем аргумент определяется неоднозначно. Напротив, заданным модулю и аргументу отвечает единственное число , имеющее данные модуль и аргумент. Особыми свойствами обладает число нуль: его модуль равен нулю, аргументу не приписывается никакого определенного значения.

Для достижения однозначности в определении аргумента комплексного числа можно условиться одно из значений аргумента называть главным. Его обозначают символом . Обычно в качестве главного значения аргумента выбирается значение, удовлетворяющее неравенствам

(в других случаях неравенствам ).

Обратим еще внимание на значения аргумента действительных и чисто мнимых чисел:

Действительная и мнимая части комплексного числа (как декартовы координаты точки) выражаются через его модуль и аргумент (полярные координаты точки) по формулам (8.3):

и комплексное число может быть записано в следующей тригонометрической форме.

Существуют следующие формы комплексных чисел: алгебраическая (x+iy), тригонометрическая (r(cos+isin)), показательная (re i).

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить на плоскости ХОУ в виде точки А(х,у).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости ставим символ z).

Ось ОХ – действительная ось, т.е. на ней лежат действительные числа. ОУ – мнимая ось с мнимыми числами.

x+iy - алгебраическая форма записи комплексного числа.

Выведем тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Подставляем полученные значения в начальную форму: , т.е.

r(cos +isin ) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа следует из формулы Эйлера:
,тогда

z=re i - показательная форма записи комплексного числа.

Действия над комплексными числами.

1. сложение. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . вычитание. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. умножение. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . деление. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой единицы, т.е. z=x+iy (z=x-iy), называются сопряженными.

Произведение.

z1=r(cos+isin); z2=r(cos+isin).

То произведение z1*z2 комплексных чисел находится: , т.е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

;
;

Частное.

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.

Если комплексные числа заданы в показательной форме.

Возведение в степень.

1. Комплексное число задано в алгебраической форме.

z=x+iy, то z n находим по формуле бинома Ньютона :

- число сочетаний из n элементов по m (число способов, сколькими можно взять n элементов из m).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

Применяем для комплексного числа.

В полученном выражении нужно заменить степени i их значениями:

i 0 =1 Отсюда, в общем случае получаем: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

i 2 =-1 i 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

Пример .

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i=i

2. тригонометрической форме.

z=r(cos+isin), то

- формула Муавра .

Здесь n может быть как “+” так и “-” (целым).

3. Если комплексное число задано в показательной форме:

Извлечение корня.

Рассмотрим уравнение:
.

Его решением будет корень n–ой степени из комплексного числа z:
.

Корень n–ой степени из комплексного числа z имеет ровно n решений (значений). Корень из действующего числа n-ой степени имеет только одно решение. В комплексных – n решений.

Если комплексное число задано в тригонометрической форме:

z=r(cos+isin), то корень n-ой степени от z находится по формуле:

, где к=0,1…n-1.

Ряды. Числовые ряды.

Пусть переменная а принимает последовательно значения а 1 ,а 2 ,а 3 ,…,а n . Такое перенумерованное множество чисел называется последовательностью. Она бесконечна.

Числовым рядом называется выражение а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=. Числа а 1 ,а 2 ,а 3 ,…,а n – члены ряда.

Например.

а 1 – первый член ряда.

а n – n-ый или общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда).

Числовой ряд имеет бесконечное число членов.

Числители – арифметическая прогрессия (1,3,5,7…).

n-ый член находится по формуле а n =а 1 +d(n-1); d=а n -а n-1 .

Знаменатель – геометрическая прогрессия . b n =b 1 q n-1 ;
.

Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn.

Sn=а1+а2+…+а n .

Sn – n-ая частичная сумма ряда.

Рассмотрим предел:

S - сумма ряда.

Ряда сходящийся , если этот предел конечен (конечный предел S существует).

Ряд расходящийся , если этот предел бесконечен.

В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.

Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия.

, C=const.

Геометрическая прогрессия является сходящимся рядом , если
, и расходящимся, если
.

Также встречается гармонический ряд (ряд
). Этот рядрасходящийся .

Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.

2015-06-04

Действительная и мнимая ось
Аргумент комплексного числа
Главный аргумент комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа

Задание комплексного числа $z = a+bi$ равносильно заданию двух действительных чисел $a,b$ - действительной и мнимой частей данного комплексного числа. Но упорядоченная пара чисел $(a,b)$ изображается в декартовой прямоугольной системе координат точкой с координатами $(a, b)$. Таким образом, эта точка может служить изображением и для комплексного числа $z$: между комплексными числами и точками координатной плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие.

При использовании координатной плоскости для изображения комплексных чисел ось $Ox$ обычно называют действительной осью (так как действительная часть числа принимается за абсциссу точки), а ось $Oy$ - мнимой осью (так как мнимая часть числа принимается за ординату точки).

Комплексное число $z$, изображаемое точкой $M(a,b)$, называется аффиксом этой точки. При этом действительные числа изображаются точками, лежащими на действительной оси, а все чисто мнимые числа $bi$(при $a = 0$) - точками, лежащими на мнимой оси. Число нуль изображается точкой O.

Рис.1
На рис. 1 построены изображения чисел $z_{1} = 2 + 3i, z_{2}=1 =1,z_{3} = 4i, z_{4} = -4 + i, z_{5} = -2, z_{6} = - 3 – 2i, z_{7} = -5i, z_{8} = 2 – 3i$.

Два комплексно сопряженных числа изображаются точками, симметричными относительно оси $Ox$ (точки $z_{1}$ и $z_{8}$ на рис. 1).

Рис. 2
Часто с комплексным числом $z$ связывают не только точку $M$, изображающую это число, но и вектор $\vec{OM}$, ведущий из $O$ в $M$; изображение числа $z$ вектором удобно с точки зрения геометрического истолкования действия сложения и вычитания комплексных чисел. На рис. 2, а показано, что вектор, изображающий сумму комплексных чисел $z_{1}, z_{2}$, получается как диагональ параллелограмма, построенного на векторах $\vec{OM_{1}}, \vec{OM_{2}}$, изображающих слагаемые. Это правило сложения векторов известно как правило параллелограмма (например, для сложения сил или скоростей в курсе физики). Вычитание может быть сведено к сложению с противоположным вектором (рис. 2, б).

Рис. 3
Как известно, положение точки на плоскости можно задавать также ее полярными координатами $r, \phi$. Тем самым и комплексное число - аффикс точки также определится заданием $r$ и $\phi$. Из рис. 3 ясно, что $r = OM = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ является в то же время модулем комплексного числа $z$: полярный радиус точки, изображающей число $z$, равен модулю этого числа.

Полярный угол точки $M$ называют аргументом числа $z$, изображаемого этой точкой.

Аргумент комплексного числа (как и полярный угол точки) определен неоднозначно; если $\phi_{0}$ -одно из его значений, то все его значения выражаются формулой
$\phi = \phi_{0} + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

Все значения аргумента в совокупности обозначаются символом $Arg \: z$.

Итак, всякому комплексному числу может быть поставлена в соответствие пара действительных чисел: модуль и аргумент данного числа, причем аргумент определяется неоднозначно. Напротив, заданным модулю $|z| = r$ и аргументу $\phi$ отвечает единственное число $z$, имеющее данные модуль и аргумент. Особыми свойствами обладает число нуль: его модуль равен нулю, аргументу не приписывается никакого определенного значения.

Для достижения однозначности в определении аргумента комплексного числа можно условиться одно из значений аргумента называть главным. Его обозначают символом $arg \: z$. Обычно в качестве главного значения аргумента выбирается значение, удовлетворяющее неравенствам
$0 \leq arg \: z (в других случаях неравенствам $- \pi

Обратим еще внимание на значения аргумента действительных и чисто мнимых чисел:
$arg \: a = \begin{cases} 0, & \text{если} a>0, \\
\pi, & \text{если} a $arg \: bi = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & \text{если} b > 0, \\
\frac{3 \pi}{2}, & \text{если} b

Действительная и мнимая части комплексного числа (как декартовы координаты точки) выражаются через его модуль и аргумент (полярные координаты точки) по формулам:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
и комплексное число может быть записано в следующей тригонометрической форме:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(запись числа в виде $z = a + bi$ будем называть записью в алгебраической форме).

Условие равенства двух чисел, заданных в тригонометрической форме, таково: два числа $z_{1}$ и $z_{2}$ равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы равны или отличаются на целое число периодов $2 \pi$.

Переход от записи числа в алгебраической форме к его записи в тригонометрической форме и обратно совершается по формулам (4):
$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, \cos \phi = \frac{a}{r}= \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}, \sin \phi = \frac{b}{r} = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}, tg \phi = \frac{b}{a}$ (3)
и формулам (1). При определении аргумента (его главного значения) можно пользоваться значением одной из тригонометрических функций $\cos \phi$ или $\sin \phi$ и учитывать знак второй.

Пример. Записать в тригонометрической форме следующие числа:
а)$6 + 6i$; б) $3i$; в) $-10$.
Решение, а) Имеем
$r = \sqrt{6^{2} + (-6)^{2}} = 6 \sqrt{2}$,
$\cos \phi = \frac{6}{6 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\sin \phi = - \frac{6}{6 \sqrt{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$,
откуда $\phi = \frac{7 \pi}{4}$, и, следовательно,
$6-6i = 6 \sqrt{2} \left (\cos \frac{7 \pi}{4} + i \sin \frac{7 \pi}{4} \right)$;
б) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$
в) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$