Как найти х0 в производной. Найти значение производной функции в точке х0. Вычисление значения производной. Метод двух точек

1. Если человек идёт по коридору вагона со скоростью 5 километров в час относительно вагона, а вагон движется со скоростью 50 километров в час относительно Земли, то человек движется относительно Земли со скоростью 50 + 5 = 55 километров в час, когда идёт по направлению движения поезда, и со скоростью 50 - 5 = 45 километров в час, когда он идёт в обратном направлении.

В XIX веке классическая механика столкнулась с проблемой распространение этого правила сложения скоростей на оптические (электромагнитные) процессы. По существу произошёл конфликт между двумя идеями классической механики, перенесёнными в новую область электромагнитных процессов.

Вторая идея - принцип относительности. Находясь на корабле, движущимся равномерно и прямолинейно, нельзя обнаружить его движение какими-то внутренними механическими эффектами. Распространяется ли этот принцип на оптические эффекты? Нельзя ли обнаружить абсолютное движение системы по вызванным этим движением оптическим или, что то же самое электродинамическими эффектами? Интуиция (довольно явным образом связанная с классическим принципом относительности) говорит, что абсолютное движение нельзя обнаружить какими бы то ни было наблюдениями. Но если свет распространяется с определённой скоростью относительно каждой из движущихся инерциальных систем, то эта скорость изменится при переходе от одной системы к другой. Это вытекает из классического правила сложения скоростей. Говоря математическим языком, величина скорости света не будет инвариантна относительно галлилеевых преобразованиям. Это нарушает принцип относительности, вернее, не позволяет распространить принцип относительности на оптические процессы. Таким образом электродинамика разрушила связь двух, казалось бы, очевидных положений классической физики - правила сложения скоростей и принципа относительности. Более того, эти два положения применительно к электродинамике оказались несовместимыми.

Литература

• Б. Г. Кузнецов Эйнштейн. Жизнь, смерть, бессмертие. - М.: Наука, 1972.
• Четаев Н. Г. Теоретическая механика. - М.: Наука, 1987.

Смотреть что такое «Правило сложения скоростей» в других словарях:

Сложение скоростей - При рассмотрении сложного движения (то есть когда точка или тело движется в одной системе отсчёта, а она движется относительно другой) возникает вопрос о связи скоростей в 2 системах отсчёта. Содержание 1 Классическая механика 1.1 Примеры … Википедия

Механика - [от греч. mechanike (téchne) наука о машинах, искусство построения машин], наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между телами. Под механическим движением понимают изменение с течением… … Большая советская энциклопедия

ВЕКТОР - В физике и математике вектор это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент,… … Энциклопедия Кольера

Зоммерфельд, Арнольд - Арнольд Зоммерфельд Arnold Sommerfeld Зоммерфельд в … Википедия

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ - физическая теория, рассматривающая пространственно временные свойства физич. процессов. Эти свойства являются общими для всех физич. процессов, поэтому их часто наз. просто свойствами пространства времени. Свойства пространства времени зависят от … Математическая энциклопедия

Правило сложения скоростей

Классическая механика

• Абсолютная скорость мухи, ползущей по радиусу вращающейся граммофонной пластинки, равна сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, с которой её переносит пластинка за счёт своего вращения.

Релятивистская механика

Классическое правило сложения скоростей соответствует преобразованию координат от одной системы осей к другой системе, движущиеся относительно первой без ускорения. Если при таком преобразовании мы сохраняем понятие одновременности, то есть сможем считать одновременными два события не только при их регистрации в одной системе координат, но и во всякой другой инерциальной системе, то преобразования называются галилеевыми . Кроме того, при галилеевых преобразованиях пространственное расстояние между двумя точками - разница между их координатами в одной инерциальной системе осчёта - всегда равно их расстоянию в другой инерциальной системе.

Теория относительности даёт ответ на этот вопрос. Она расширяет понятие принципа относительности, распространяя его и на оптические процессы. Правило сложение скоростей при этом не отменяется совсем, а лишь уточняется для больших скоростей с помощью преобразования Лоренца:

Можно заметить, что в случае, когда , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. То же самое происходит в случае, когда . Это говорит о том, что специальная теория относительности совпадает с механикой Ньютона либо в мире с бесконечной скоростью света, либо при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Последнее объясняет, каким образом сочетаются эти две теории - первая является уточнением второй.

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ - физическая теория, рассматривающая пространственно временные закономерности, справедливые для любых физ. процессов. Универсальность пространственно временных св в, рассматриваемых О. т., позволяет говорить о них просто как о.св вах пространства… … Физическая энциклопедия

закон - а; м. 1. Нормативный акт, постановление высшего органа государственной власти, принятый в установленном порядке и имеющий юридическую силу. Кодекс законов о труде. З. о социальном обеспечении. З. о воинской обязанности. З. о рынке ценных бумаг.… … Энциклопедический словарь

При рассмотрении сложного движения (то есть когда точка или тело движутся в одной системе отсчёта, а она движется относительно другой) возникает вопрос о связи скоростей в 2 системах отсчёта.

Простым языком: Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы.

Например, если рассмотреть пример с волнами на поверхности воды из предыдущего раздела и попробовать обобщить на электромагнитные волны, то получится противоречие с наблюдениями (см., например, опыт Майкельсона).

Wikimedia Foundation . 2010 .

Параллелограмм скоростей - геометрическое построение, выражающее закон сложения скоростей. Правило П. с. состоит в том, что при сложном движении (см. Относительное движение) абсолютная скорость точки представляется как диагональ параллелограмма, построенного на… … Большая советская энциклопедия

Специальная теория относительности - Почтовая марка с формулой E = mc2, посвящённая Альберту Эйнштейну, одному из создателей СТО. Специальная теор … Википедия

Пуанкаре, Анри - Анри Пуанкаре Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854(1854 04 29) Место рождения: Нанси … Википедия

Закон сложения скоростей в классической механике

Основная статья: Теорема о сложении скоростей

В классической механике абсолютная скорость точки равна векторной сумме её относительной и переносной скоростей:

Данное равенство представляет собой содержание утверждения теоремы о сложении скоростей.

Простым языком: Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости (относительно неподвижной системы) той точки подвижной системы отсчёта, в которой в данный момент времени находится тело.

1. Абсолютная скорость мухи, ползущей по радиусу вращающейся граммофонной пластинки, равна сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, которую имеет точка пластинки под мухой относительно земли (то есть с которой её переносит пластинка за счёт своего вращения).

2. Если человек идёт по коридору вагона со скоростью 5 километров в час относительно вагона, а вагон движется со скоростью 50 километров в час относительно Земли, то человек движется относительно Земли со скоростью 50 + 5 = 55 километров в час, когда идёт по направлению движения поезда, и со скоростью 50 - 5 = 45 километров в час, когда он идёт в обратном направлении. Если человек в коридоре вагона движется относительно Земли со скоростью 55 километров в час, а поезд со скоростью 50 километров в час, то скорость человека относительно поезда 55 - 50 = 5 километров в час.

3. Если волны движутся относительно берега со скоростью 30 километров в час, и корабль также со скоростью 30 километров в час, то волны движутся относительно корабля со скоростью 30 - 30 = 0 километров в час, то есть относительно корабля они становятся неподвижными.

Из формулы для ускорений следует, что если движущаяся система отсчета движется относительно первой без ускорения, то есть , то ускорение тела относительно обеих систем отсчета одинаково.

Поскольку в Ньютоновской динамике из кинематических величин именно ускорение играет роль (см. второй закон Ньютона), то, если довольно естественно предположить, что силы зависят лишь от относительного положения и скоростей физических тел (а не их положения относительно абстрактного начала отсчета), окажется, что все уравнения механики запишутся одинаково в любой инерциальной системе отсчета - иначе говоря, законы механики не зависят от того, в какой из инерциальных систем отсчета мы их исследуем, не зависят от выбора в качестве рабочей какой-либо конкретной из инерциальных систем отсчета.

Также - поэтому - не зависит от такого выбора системы отсчета наблюдаемое движение тел (учитывая, конечно, начальные скорости). Это утверждение известно как принцип относительности Галилея , в отличие от Принципа относительности Эйнштейна

Иным образом этот принцип формулируется (следуя Галилею) так:

Если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых равномерно прямолинейно (и поступательно) движется относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент, результат будет одинаковым.

Требование (постулат) принципа относительности вместе с преобразованиями Галилея, представляющимися достаточно интуитивно очевидными, во многом следует форма и структура ньютоновской механики (и исторически также они оказали существенное влияние на ее формулировку). Говоря же несколько более формально, они накладывают на структуру механики ограничения, достаточно существенно влияющие на ее возможные формулировки, исторически весьма сильно способствовавшие ее оформлению.

Центра масс системы материальных точек

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

где - радиус-вектор центра масс, - радиус-вектор i -й точки системы, - масса i -й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

где - суммарная масса системы, - объём, - плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Можно показать, что если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами , то радиус-вектор центра масс такой системы связан с радиус-векторами центров масс тел соотношением:

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Закон движения центра масс

Теорема о движении центра масс (центра инерции) системы - одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Утверждает, что ускорение центра масс механической системы не зависит от внутренних сил, действующих на тела системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему.

Объектами, о которых идёт речь в теореме, могут, в частности, являться следующие:

Импульс материальной точки и системы тел — это физическая векторная величина, которая является мерой действия силы, и зависит от времени действия силы.

Закон сохранения импульса (доказательство)

Закон сохранения импульса (Закон сохранения количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, - однородностью пространства .

Согласно второму закону Ньютона для системы из N частиц:

где импульс системы

а - равнодействующая всех сил, действующих на частицы системы

Для систем из N частиц, в которых сумма всех внешних сил равна нулю

или для систем, на частицы которых не действуют внешние силы (для всех k от 1 до n), имеем

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

(постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы из N частиц, где N любое целое число, есть величина постоянная. Для N = 1 получаем выражение для одной частицы.

Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, но и для систем, сумма всех внешних сил равна нулю. Равенство нулю всех внешних сил достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса.

Если проекция суммы внешних сил на какую-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось.

Динамика вращательного движения твердого тела

Основной закон динамики МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ при вращательном движении можно сформулировать следующим образом:

«Произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему моменту сил, действующих на материальную точку: «M = I·e.

Основной закон динамики вращательного движения ТВЕРДОГО ТЕЛА относительно закрепленной точки можно сформулировать следующим образом:

«Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно суммарному моменту внешних сил, действующих на тело. Моменты сил и инерции берутся относительно оси (z), вокруг которой происходит вращение: «

Основные понятия: момент силы, момент инерции, момент импульса

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) - векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы - по определению) на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» - внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Момент инерции - скалярная (в общем случае - тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Момент импульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массывращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно - если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Замечание: момент импульса относительно точки - это псевдовектор, а момент импульса относительно оси - псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

1.4. Относительность движения

1.4.1. Закон сложения перемещений и закон сложения скоростей

Механическое движение одного и того же тела выглядит по-разному для разных систем отсчета.

Для определенности будем использовать две системы отсчета (рис. 1.33):

• K - неподвижную систему отсчета;
• K ′ - подвижную систему отсчета.

Рис. 1.33

Система K ′ движется относительно системы отсчета K в положительном направлении оси Ox со скоростью u → .

Пусть в системе отсчета K материальная точка (тело) движется со скоростью v → и за интервал времени ∆t совершает перемещение Δ r → . Относительно системы отсчета K ′ эта материальная точка имеет скорость v → ′ и за указанный интервал времени ∆t совершает перемещение Δ r ′ → .

Закон сложения перемещений

Перемещения материальной точки в неподвижной (K ) и движущейся (K ′) системах отсчета (Δ r → и Δ r ′ → соответственно) различаются между собой и связаны законом сложения перемещений :

Δ r → = Δ r ′ → + u → Δ t ,

где Δ r → - перемещение материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в неподвижной системе отсчета K ; Δ r ′ → - перемещение материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в движущейся системе отсчета K ′; u → - скорость системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K .

Закону сложения перемещений соответствует «треугольник перемещений » (рис. 1.34).

Закон сложения перемещений при решении задач иногда целесообразно записывать в координатной форме :

Δ x = Δ x ′ + u x Δ t , Δ y = Δ y ′ + u y Δ t , }

где ∆x и ∆y - изменение координат x и y материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в системе отсчета K ; ∆x ′ и ∆y ′ - изменение соответствующих координат материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в системе отсчета K ′; u x и u y - проекции скорости u → системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K , на координатные оси.

Закон сложения скоростей

Скорости материальной точки в неподвижной (K ) и движущейся (K ′) системах отсчета (v → и v → ′ соответственно) также различаются между собой и связаны законом сложения скоростей :

v → = v → ′ + u → ,

где u → - скорость системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K .

Закону сложения скоростей соответствует «треугольник скоростей » (рис. 1.35).

Рис. 1.35

Закон сложения скоростей при решении задач иногда целесообразно записывать в проекциях на координатные оси :

v x = v ′ x + u x , v y = v ′ y + u y , }

Относительная скорость движения двух тел

Для определения относительной скорости движения двух тел удобно пользоваться следующим алгоритмом:

4) векторы v → , v → ′ и u → изобразить в системе координат xOy ;

5) записать закон сложения скоростей в виде

v → = v → ′ + u → или v x = v ′ x + u x , v y = v ′ y + u y ; }

6) выразить v → ′:

v → ′ = v → − u →

или v ′ x и v ′ y:

v ′ x = v x − u x , v ′ y = v y − u y ; }

7) найти модуль вектора относительной скорости v → ′ по формуле

v ′ = v ′ x 2 + v ′ y 2 ,

где v x и v y - проекции вектора скорости v → материальной точки (тела) в системе отсчета K на координатные оси; v ′ x и v ′ y - проекции вектора скорости v → ′ материальной точки (тела) в системе отсчета K ′ на координатные оси; u x и u y - проекции скорости u → системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K , на координатные оси.

Для определения относительной скорости движения двух тел, движущихся вдоль одной координатной оси , удобно пользоваться следующим алгоритмом:

1) выяснить, какое из тел считается системой отсчета; скорость этого тела обозначить как u → ;

2) скорость второго тела обозначить как v → ;

3) относительную скорость тел обозначить как v → ′ ;

4) векторы v → , v → ′ и u → изобразить на координатной оси Ox ;

5) записать закон сложения скоростей в виде:

v x = v ′ x + u x ;

6) выразить v ′ x:

v ′ x = v x − u x ;

7) найти модуль вектора относительной скорости v ′ → по формуле

v ′ = | v ′ x | ,

где v x и v y - проекции вектора скорости v → материальной точки (тела) в системе отсчета K на координатные оси; v ′ x и v ′ y - проекции вектора скорости v → ′ материальной точки (тела) в системе отсчета K ′ на координатные оси; u x и u y - проекции скорости u → системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K , на координатные оси.

Пример 26. Первое тело движется со скоростью 6,0 м/с в положительном направлении оси Ox , а второе - со скоростью 8,0 м/с в ее отрицательном направлении. Определить модуль скорости первого тела в системе отсчета, связанной со вторым телом.

Решение. Подвижной системой отсчета является второе тело; проекция скорости u → подвижной системы отсчета на ось Ox равна:

u x = −8,0 м/с,

так как движение второго тела происходит в отрицательном направлении указанной оси.

Первое тело относительно неподвижной системы отсчета имеет скорость v → ; ее проекция на ось Ox равна:

v x = 6,0 м/с,

так как движение первого тела происходит в положительном направлении указанной оси.

Закон сложения скоростей для решения данной задачи целесообразно записать в проекции на координатную ось, т.е. в следующем виде:

v x = v ′ x + u x ,

где v ′ x - проекция скорости первого тела относительно подвижной системы отсчета (второго тела).

Величина v ′ x является искомой; ее значение определяется формулой

v ′ x = v x − u x .

Произведем вычисление:

v ′ x = 6,0 − (− 8,0) = 14 м/с.

Пример 29. Спортсмены бегут друг за другом цепочкой длиной 46 м с одинаковой скоростью. Навстречу им бежит тренер со скоростью, втрое меньшей скорости спортсменов. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, поворачивает и бежит назад с прежней скоростью. Какова станет длина цепочки, когда все спортсмены будут бежать в обратном направлении?

Решение. Пусть движение спортсменов и тренера происходит вдоль оси Ox , начало которой совпадает с положением последнего спортсмена. Тогда уравнения движения относительно Земли имеют следующий вид:

• последнего спортсмена -

  x 1 (t ) = vt ;

• тренера -

  x 2 (t) = L − 1 3 v t ;

• первого спортсмена -

  x 3 (t ) = L − vt ,

  где v - модуль скорости каждого спортсмена; 1 3 v - модуль скорости тренера; L - первоначальная длина цепочки; t - время.

Свяжем подвижную систему отсчета с тренером.

Уравнение движения последнего спортсмена относительно подвижной системы отсчета (тренера) обозначим x ′(t ) и найдем из закона сложения перемещений, записанного в координатной форме:

x (t ) = x ′(t ) + X (t ), т.е. x ′(t ) = x (t ) − X (t ),

X (t) = x 2 (t) = L − 1 3 v t -

уравнение движения тренера (подвижной системы отсчета) относительно Земли;

x (t ) = x 1 (t ) = vt ;

уравнение движения последнего спортсмена относительно Земли.

Подстановка выражений x (t ), X (t ) в записанное уравнение дает:

x ′ (t) = x 1 (t) − x 2 (t) = v t − (L − 1 3 v t) = 4 3 v t − L .

Данное уравнение представляет собой уравнение движения последнего спортсмена относительно тренера. В момент встречи последнего спортсмена и тренера (t = t 0) их относительная координата x ′(t 0) обращается в ноль:

4 3 v t 0 − L = 0 .

Уравнение позволяет найти указанный момент времени:

В этот момент времени все спортсмены начинают бежать в противоположном направлении. Длина цепочки спортсменов определяется разностью координат первого x 3 (t 0) и последнего x 1 (t 0) спортсмена в указанный момент времени:

l = | x 3 (t 0) − x 1 (t 0) | ,

или в явном виде:

l = | (L − v t 0) − v t 0 | = | L − 2 v t 0 | = | L − 2 v 3 L 4 v | = 0,5 L = 0,5 ⋅ 46 = 23 м.

Кинематика - это просто!

Формулировка закона:

Как в учебнике Буховцева для 10 класса:

Если тело движется относительно системы отсчета К 1 со скоростью V 1 ,
а сама система отсчета К 1 движется относительно другой системы отсчета К 2 со скоростью V ,
то скорость тела (V 2 ) относительно второй системы отсчета К 2
равна геометрической сумме векторов V 1 и V .

Упрощаем форммулировку, не меняя смысла:

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

Вторая формулировка запоминается проще, какой ползоваться решайте сами!

где всегда
К 2 - неподвижная система отсчета
V 2 - скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (К 2 )

К 1 - подвижная система отсчета
V 1 - скорость тела относительно подвижной системы отсчета (К 1 )

V - скорость подвижной системы отсчета (К 1 ) относительно неподвижной системы отсчета (К 2 )

Алгоритм решения задачи на закон сложения скоростей

1. Определить тело - обычно это тело, о скорости которого спрашивается в задаче.
2. Выбрать неподвижную систему отсчета (дорога, берег) и подвижную систему отсчета (обычно это второе движущееся тело).

P.S. В условиях задачи скорости тел заданы обычно относительно неподвижной системы отсчета (например, дороги или берега)

3. Ввести обозначения скоростей (V 1 , V 2 , V ).
4. Сделать чертеж, на котором показать координатную ось ОХ и векторы скорости.
Лучше, если ОХ будет совпадать по направлению с вектором скорости выбранного тела .
5. Записать формулу закона сложения скоростей в векторном виде.
6. Выразить из формулы искомую скорость в векторном виде.
7. Выразить искомую скорость в проекциях.
8. Определить по чертежу знаки проекций.
9. Расчет в проекциях.
10. В ответе не забыть перейти от проекции к модулю.

Пример решения простейшей задачи на закон сложения скоростей

Задача

Два автомобиля движутся равномерно по шоссе навстречу друг другу. Модули их скоростей равны 10 м/с и 20 м/с.
Определить скорость первого автомобиля относительно второго.

Решение:

Еще раз! Если вы внимательно прочитали пояснения к формуле, то решение любой задачи, пойдет "на автомате"!

1. В задаче спрашивается о скорости первого автомобиля - значит тело - первый автомобиль.
2. По условию задачи выбираем:
K 1 - подвижная система отсчета сязана со вторым автомобилем
К 2 - неподвижная система отсчета связана с дорогой

3. Вводим обозначения скоростей:
V 1 - скорость тела (первого авто) относительно подвижной системы отсчета (второго авто) - найти!
V 2 - скорость тела (первого авто) относительно неподвижной систеы отсчета (дороги) - дано 10м/с
V - скоростьь подвижной системы отсчета (второго авто) относительно неподвижной системы отсчета (дороги) - дано 20двух уравнений:м/с

Теперь понятно, что в задаче надо определить V 1 .
4. Делаем чертеж, выписываем формулу:

5. далее по алгоритму.....

Всё, все отдыхают! )))

P.S. Если движение происходит не по пряммой, а на плоскости, то при переводе формулы векторного вида в проекции добавляется еще одно уравнение в прекциях относительно оси OY, далее решаем систему двух уравнений:
V 2x = V 1x + V x
V 2y = V 1y + V y

Выведем закон, связывающий проекции скорости частицы в ИСО К и К".

На основании преобразований Лоренца (1.3.12) для бесконечно малых приращений координат частицы и времени можно написать

Разделив в (1.6.1) первые три равенства на четвёртое, а затем числители и знаменатели правых частей получившихся соотношений на dt" и учтя, что

есть проекции скоростей частицы на оси СО К и К", приходим к искомому закону:

Если частица совершает одномерное движение вдоль осей ОХ и О"Х", то, в соответствии с (1.6.2),

Пример 1. ИСО К" движется со скоростью V относительно ИСО К. Под углом 0" к направлению движения в ИСО К" выпущена пуля со скоростью v". Чему равен этот угол 0 в ИСО К?

Решение. При движении происходит не только сокращение пространственных, но и растяжение временных интервалов. Для нахождения tg0 = v y /v x следует в (1.6.2) разделить вторую формулу на первую, а затем числитель и знаменатель получившейся справа дроби - на v" x = v"cos0" Учитывая, что v" y /v" x = tg0", находим

Для малых по сравнению со скоростью света скоростей формулы (1.6.2) переходят в известный закон классической механики (1.1.4):

Из формул преобразования проекций скорости частицы (1.6.2) нетрудно определить модуль скорости и её направление в ИСО К через скорость частицы в ИСО К". Для этого выберем оси координат так, чтобы скорость частицы в данный момент лежала в плоскости XOY (а, значит, и в плоскости Х"0"Y"), и обозначим через 0 (0") угол между

V (V") и осью ОХ (О"Х"). Тогда

v x = vcos0, v = vsin0, v" x = v"cos©", v* = v"sin©", v z = v" z = 0 (1.6.4) или

Что касается направления скорости частицы в СО К (угол 0), то оно определяется путём почленного деления в (1.6.5) второй формулы на первую:

и подстановка (1.6.4) в (1.6.2) даёт

После возведения в квадрат обоих равенств (1.6.5) и их сложения, получим

Формулы обратного преобразования получаются при замене штрихованных величин на не штрихованные и обратно и заменой V на - V.

Задача 2. Определить относительную скорость v 0TH сближения двух космических аппаратов 1 и 2, движущихся навстречу друг другу со скоростями Х И V2-

Решение. Свяжем подвижную СО К" с космическим аппаратом 1. Тогда V = Vi, а искомой относительной скоростью v 0TH будет являться скорость аппарата 2 в этой СО. Применяя релятивистский закон сложения скоростей (1.6.3) ко второму аппарату с учётом направления его скорости (v" 2 = -v 0TH) имеем

Численные оценки для v, = v 2 = 0,9 с дают

Задача 3. Тело со скоростью v 0 налетает перпендикулярно на стенку, движущуюся ему навстречу со скоростью. Пользуясь релятивистским законом сложения скоростей, найти скорость v 0Tp тела после отскока. Удар абсолютно упругий, масса стенки намного больше массы тела. Найти v 0Tp , если v 0 = v = с/3 . Проанализировать предельные случаи.

где V - скорость СО К" относительно СО К. Свяжем СО К" со стенкой. Тогда V = -v ив этой СО начальная скорость тела, согласно выражению для v",

Вернёмся теперь назад в лабораторную СО К. Подставляя в

(1.6.3) v" 0Tp вместо v" и учитывая опять же, что V = -v, после несложных преобразований получаем искомый результат:

Проанализируем теперь предельные случаи.

Если скорости тела и стенки малы (v 0 « с, v « с), то можно пренебречь всеми членами, где эти скорости и их произведение делятся на скорость света. Тогда из полученной выше общей формулы приходим к известному результату классической механики: v 0Tp = -(v 0 + 2v) -

скорость тела после отскока увеличивается на удвоенную скорость стенки; направлена она, естественно, противоположно начальной. Ясно, что в релятивистском случае этот результат неверен. В частности, при v 0 =v = c/3 из него следует, что скорость тела после отскока будет равна - с, чего быть не может.

Пусть теперь на стенку налетает тело, движущееся со скоростью света (например, лазерный луч отражается от движущегося зеркала). Подставляя v 0 = с в общее выражение для v , получаем v = -с.

Это означает, что скорость лазерного луча изменила направление, но не свою абсолютную величину, - в полном согласии с принципом инвариантности скорости света в вакууме.

Рассмотрим теперь случай, когда стенка движется с релятивистской скоростью v -> с. В этом случае

Тело после отскока также будет двигаться со скоростью, близкой к скорости света.

• Наконец, подставим в общую формулу для v 0Tp значения

v n = v = с/3 . Тогда = -с * -0,78 с. В отличие от классической

механики, теория относительности даёт для скорости после отскока значение, меньшее скорости света.

В заключение посмотрим, что случится, если стенка удаляется от тела с той же скоростью v = -v 0 . В этом случае общая формула для v 0Tp приводит к результату: v = v 0 . Как и в классической механике, тело стенку не догонит и, следовательно, его скорость не изменится.

Результаты опыта описывались формулами

где п - показатель преломления воды, а V - скорость её течения.

До создания СТО результаты опыта Физо рассматривались на основе выдвинутой ещё О. Френелем гипотезы, в рамках которой следовало считать, что движущаяся вода частично увлекает за собой «мировой эфир». Величина

получила название коэффициента увлечения эфира, а формулы (1.7.1) и (1.7.2) при таком подходе непосредственно вытекают из классического закона сложения скоростей: с/п - скорость света в воде относительно эфира, kV - скорость эфира относительно опытной установки.

Пример 1

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны: В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Пример 2

Вычислить производную функции в точке

, , полное исследование функции и др.

Пример 3

Вычислить производную функции в точке . Сначала найдем производную:

Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :

В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому-что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.

Пример 4

Вычислить производную функции в точке .

Уравнение касательной к графику функции

Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной кграфику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.

Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):

Строгое определение касательной даётся с помощью определения производной функции , но пока мы освоим техническую часть вопроса. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная. Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это прямая , которая касается графика функции в единственной точке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции.

Применительно к нашему случаю: при касательная (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке .

И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой .

Производная функции в точке

Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:

1) Необходимо найти производную.

2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.

Пример 1

Вычислить производную функции в точке

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:


В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Вычислить производную функции в точке

Полное решение и ответ в конце урока.

Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум , исследование функции на перегиб графика , полное исследование функции и др.

Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.

Пример 3

Вычислить производную функции в точке .
Сначала найдем производную:

Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение . Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых: в точке .

Это пример для самостоятельного решения.

Как найти значение производной функции F(x) в точке Хо? Как вообще это решать?

Если формула задана, то найти производную и вместо Х подставить Х-нулевое. Посчитать
Если речь идет о б-8 ЕГЭ, график, то надо найти тангенс угла (острый или тупой) , который образует касательная с осью Х (с помощью мысленного построения прямоугольного треугольника и определения тангенса угла)

Тимур адильходжаев

Во-первых, надо определиться со знаком. Если точка х0 находится в нижней части координатной плоскости, то знак в ответе будет минус, а если выше, то +.
Во-вторых, надо знать что такое тангес в прямоугольном прямоугольнике. А это соотношение противолежащей стороны (катета) к прилежащей стороне (тоже катета) . На картине обычно есть несколько черных отметок. Из эти отметок составляешь прямоугольный треугольник и находишь тангес.

Как найти значение производной функции f x в точке x0?

нет конкретно поставленного вопроса - 3 года назад

В общем случае, что бы найти значение производной какой-либо функции по некоторой переменной в какой-либо точке, нужно продифференцировать заданную функцию по этой переменной. В вашем случае по переменной Х. В полученное выражение вместо Х поставить значение икса в той точке, для которой надо найти значение производной, т.е. в Вашем случае подставить нулевой Х и вычислить полученное выражение.

Ну а ваше стремление разобраться в этом вопросе, на мой взгляд, бесспорно заслуживает +, который ставлю с чистой совестью.

Такая постановка задачи на нахождение производной часто ставится для закрепления материала на геометрический смысл производной. Предлагается график некоей функции, совершенно произвольной и не заданной уравнением и требуется найти значение производной (не саму производную заметьте!) в указанной точке Х0. Для этого строится касательная к заданной функции и находится точки ее пересечения с осями координат. Потом составляется уравнение этой касательной в виде y=кx+b.

В этом уравнении коэффициент к и будет являться значением производной. остается лишь найти значение коэффициента b. Для этого находим значение у при х=о, пусть оно равно 3 - это и есть значение коэффициента b. Подставляем в исходное уравнение значения Х0 и У0 и находим к - нашу значение производной в этой точке.