Основные свойства геометрических фигур. Задачи на построение
Свойства геометрических фигур - ключ к решению любых задач по планиметрии. Юзбашев А.В.
М.: ИТЦ "МАТИ", 2005. - 216с.
В книге представлены задачи, отражающие свойства основных геометрических фигур и их элементов. От треугольников до многоугольников, ромбов, окружностей. Все задачи систематизированы по названиям фигур, снабжены рисунками и указаниями. Многолетний опыт преподавания математики позволяет автору утверждать, что знание этих свойств, многие из которых составляют содержание известных теорем, а другие еще не попали в школьные учебники, является достаточным условием для решения любых задач по планиметрии. Для широкого круга читателей, интересующихся математикой: учащихся школ, лицеев, гимназий и колледжей, для абитуриентов и преподавателей.
(Примечание:
До стр.149 - условия 402 задач.
Стр. 150-207 - указания к их решению.)
Формат: djvu / zip
Размер: 1 ,3 Мб
/ Download
файл
Обращение к читателю (вместо предисловия)
Книга, которую Вы, уважаемый читатель, держите в руках, во многом отличается от большинства учебников, задачников и справочников тем, что, во-первых, она не является, в строгом смысле, ни одним из этих пособий, а, во-вторых, содержит в себе элементы каждого из них.
Много лет занимаясь
преподаванием математики, я понял в какой-то момент, чего мне не
хватало среди огромного количества самых разнообразных книг по
геометрии: мне не хватало книги, где были бы собраны под одной
обложкой все или почти все известные нам свойства основных
геометрических фигур и их элементов.
Разумеется, все эти свойства давно известны и досконально изучены, а
сформулированные в виде теорем и задач, изложены во многих изданиях,
начиная от школьных учебников и кончая олимпиадными сборниками.
По этой причине мы
опускаем подробные доказательства приводимых утверждений (свойств) и
отсылаем читателя к замечательным книгам, в которых он найдет,
помимо строгих доказательств, еще и множество других интереснейших
фактов и сведений из планиметрии.
И если случится так, что ваше любопытство, ваш интерес и желание
поглубже и повнимательнее рассмотреть и понять иногда очевидные,
иногда поразительные, а иногда просто фантастические, изумительные
свойства привычных нам фигур хотя бы в малой степени будут
"спровоцированы" настоящей книгой, я буду считать, что моя цель
достигнута.
Мне также хотелось бы думать, что она будет полезна Вам и для решения геометрических задач, когда возникнет необходимость вспомнить или заново узнать те или иные свойства фигур. Хотелось бы, конечно, надеяться, что она понадобится многим и многим читателям: и школьникам, изучающим курс геометрии, и абитуриентам, готовящимся к экзаменам и систематизирующим свои знания, и вообще всем, кто интересуется геометрией.
Я отдаю себе отчет в том,
что эта книга далеко не полная, и если Вам, уважаемый читатель, она
придется по душе, этого будет вполне достаточно, чтобы в дальнейшем
попытаться сделать ее более содержательной и привлекательной.
Желаю успехов, Андрей Юзбашев
Содержание
Глава 1.
ТРЕУГОЛЬНИКИ 6
§ 1. Обозначения 6
§ 2. Общие свойства 7
§ 3. Свойства биссектрис 8
§ 4. Свойства высот 15
§ 5. Свойства медиан 21
§ 6. Свойства ортоцентра 24
§ 7. Ортотреугольник и серединный треугольник 28
§ 8. Метрические соотношения 32
§ 9. Соотношения между сторонами и углами 33
§10. Точки лежат на одной прямой 35
§11. Прямые пересекаются в одной точке 42
§12. Прямая Эйлера 52
§13. Окружность девяти точек 55
§14. Точка Ферма 59
§15. Фигуры, построенные на сторонах 61
§16. Прямая Симеона 65
§17. Свойства трисектрис 69
§18. Отрезки прямых через произвольную точку 70
§19. Свойства, связанные с описанной, вписанной и вневписанной
окружностями 72
§20. Метрические соотношения между сторонами треугольника и
радиусами вписанной и описанной окружностей 87
Глава 2. ПРАВИЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 90
Глава 3. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 95
Глава 4. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 98
Глава 5. ВПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 111
Глава 6. ТРАПЕЦИИ 125
Глава 7. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ 128
Глава 8. ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И РОМБЫ 131
Глава 9. ШЕСТИУГОЛЬНИКИ 133
Глава 10. ОКРУЖНОСТИ 135
Указания 150
Литература 208
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов.
На рисунке 7, б отрезок АВ является частью прямой а. Точка М лежит между точками А и В, а поэтому принадлежит отрезку АВ; точка К не лежит между точками А и В, поэтому не принадлежит отрезку АВ.
Аксиома (основное свойство) расположения точек на прямой формулируется так:
Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Следующая аксиома выражает основное свойство измерения отрезков.
Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Это значит, что если на отрезке МК взять любую точку С, то длина отрезка МК равна сумме длин отрезков МС и СК (рис. 7, в).
Длину отрезка МК называют также расстоянием между точками М и К.
Пример 1. На прямой даны три точки О, Р и М. Известно, что . Лежит ли точка Р между О и М? Может ли точка В принадлежать отрезку РМ, если ? Объяснить ответ.
Решение. Точка Р лежит между точками О и М, если Проверим выполнение этого условия: . Вывод: точка Р лежит между точками О и М.
Точка В принадлежит отрезку РМ, если она лежит между точками Р и М, т. е. Проверим: , а по условию . Вывод: точка В не принадлежит отрезку РМ.
Пример 2. Можно ли на плоскости расположить 6, 7 и 8 отрезков так, чтобы каждый из них пересекался ровно с тремя другими?
Решение. 6 отрезков расположить так можно (рис. 8, о). 8 отрезков так расположить тоже можно (рис. 8, б). 7 отрезков так расположить нельзя.
Докажем последнее утверждение. Предположим, что такое расположение семи отрезков возможно. Занумеруем отрезки и составим такую таблицу в клетке на пересечении строки и столбца поставим « + », если отрезок пересекается с j-м, и «-», если не пересекается. Если то тоже ставим Подсчитаем двумя способами, сколько знаков в таблице.
С одной стороны, в каждой строке их 3, поэтому всего знаков . С другой стороны, таблица заполнена симметрично относительно диагонали:
если в клетке С: j) стоит то в клетке тоже. Значит, общее количество знаков должно быть четным. Получили противоречие.
Здесь мы воспользовались доказательством методом от противного.
5. Луч.
Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой или началом луча. Различные полупрямые одной и той же прямой с общей начальной точкой называются дополнительными.
Полупрямые обозначаются строчными латинскими буквами. Можно обозначить полупрямую двумя буквами: начальной и еще какой-нибудь буквой, соответствующей точке, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте. Например, на рисунке 9, а изображены лучи АВ и АС, являющиеся дополнительными, на рисунке 9, б изображены лучи МА, MB и луч с.
Следующая аксиома отражает основное свойство откладывания отрезков-.
На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
Пример. Даны две точки А и В. Сколько прямых можно провести через точки А и В? Сколько существует на прямой АВ лучей с началом в точке А, в точке В? Отметить на прямой А В две точки, отличные от А и В. Принадлежат ли они отрезку АВ?
Решение. 1) По аксиоме через точки А и В всегда можно провести прямую, и только одну.
2) На прямой АВ с началом в точке А существуют два луча, которые называются дополнительными. Аналогично и для точки В.
3) Ответ зависит от расположения отмеченных точек. Рассмотрим возможные случаи (рис. 10). Ясно, что в случае а) точки принадлежат отрезку АВ; в случаях б), в) одна точка
принадлежит отрезку, а другая нет; в случаях г) и д) точки М и N не принадлежат отрезку АВ.
6. Окружность. Круг.
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.
На рисунке 11, а изображена окружность с центром в точке О. Отрезок ОА - радиус этой окружности, BD - хорда окружности, СМ - диаметр окружности.
Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние - радиусом круга. Границей круга, является окружность с теми же центром и радиусом (рис. 11, б).
Пример. На какое наибольшее число различных частей, не имеющих общих точек, кроме своих границ, могут разбивать плоскость: а) прямая и окружность; б) две окружности; в) три окружности?
Решение. Изобразим на рисунке соответствующие условию случаи взаимного расположения фигур. Запишем ответ: а) четыре части (рис. 12, о); б) четыре части (рис. 12, б); в) восемь частей (рис. 12, в).
7. Полуплоскость.
Сформулируем еще одну аксиому геометрии.
Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
На рисунке 13 прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости так, что каждая точка плоскости, не принадлежащая прямой о, лежит в одной из них. Это разбиение обладает следующим свойством: если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой; если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой. На рисунке 13 точки лежат в одной из полуплоскостей, на которые Прямая а разбивает плоскость. Поэтому отрезок АВ не пересекается с прямой а. Точки С и D лежат в разных полуплоскостях. Поэтому отрезок CD пересекает прямую а.
8. Угол. Градусная мера угла.
Углом называется фигура, которая состоит из точки - вершины угла и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла (рис. 14). Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми, то угол называется развернутым.
Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек; вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол иногда заменяют символом Z.
Угол на рисунке 14 можно обозначить тремя способами:
Говорят, что луч с проходит между сторонами угла если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.
На рисунке 15 луч с проходит между сторонами угла , так как он пересекает отрезок АВ.
В случае развернутого угла любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.
Углы измеряются в градусах. Если взять развернутый угол и разделить его на 180 равных углов, то градусная мера каждого из этих углов называется градусом.
Основные свойства измерения углов выражены в следующей аксиоме:
Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла то угол равен сумме углов
Градусная мера угла находится при помощи транспортира.
Угол, равный 90°, называется прямым углом. Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180° называется тупым.
Сформулируем основное свойство откладывания углов.
От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Рассмотрим полупрямую а. Продлим ее за начальную точку А. Полученная прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке 16 показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой а в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой 60°.
Если от данной полупрямой отложить в одну полуплоскость два угла, то сторона меньшего угла, отличная от данной полупрямой, проходит между сторонами большего угла.
Пусть углы, отложенные от данной полупрямой а в одну полуплоскость, и пусть угол меньше угла . В теореме 1. 2 утверждается, что луч b проходит между сторонами угла (ас) (рис. 17).
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит угол пополам. На рисунке 18 луч ОМ - биссектриса угла АОВ.
В геометрии существует понятие плоского угла. Плоским углом называется часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки. Эти лучи называются сторонами угла. Существуют два плоских угла с данными сторонами. Они называются дополнительными. На рисунке 19 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и b.
Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой является градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера равна 360° - а, где а - градусная мера дополнительного плоского угла.
Пример. Между сторонами угла равного 120°, проходит луч а. Найти углы если их градусные меры относятся как 4:2.
Решение. Луч а проходит между сторонами угла значит, по основному свойству измерения углов (см. п. 8)
Так как градусные меры относятся как 4:2, то
9. Смежные и вертикальные углы.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. На рисунке 20 углы смежные.
Сумма смежных углов равна 180°.
Из теоремы 1. 3 следуют свойства:
1) если два угла равны, то смежные с ними углы равны;
2) угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол;
3) угол, смежный с острым, является тупым, а смежный с тупым - острым.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. На рисунке 21, а углы вертикальные.
Вертикальные углы равны.
Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Смежные углы дополняют Друг Друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми.
Пример. На рисунке 21, б угол равен 30.° Чему равны углы АОК и
Решение. Углы COD и АОК вертикальные, следовательно, по теореме 1.4 они равны, т. е. Угол ТЮК смежный с углом СОД значит, по теореме 1.3
10. Центральные и вписанные углы.
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
На рисунке 22 угол АОВ - центральный угол окружности, его вершина О является центром данной окружности, а стороны ОА и ОВ пересекают окружность. Дуга АВ является частью окружности, расположенной внутри центрального угла.
Градусная мера дуги АВ на рисунке 22 равна градусной мере угла АОВ. Градусная мера дуги АВ обозначается АВ.
Угол, вершина которого лежнт на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. На рисунке 23 изображены вписанные углы.
Вписанный в окружность угол, стороны которого проходят через две данные точки окружности, равен половине угла между радиусами, проведенными в эти точки, или дополняет эту половину до 180°.
При доказательстве теоремы 1. 5 необходимо рассмотреть три разных случая, которые изображены на рисунке 23: одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности (рис. 23, с); центр окружности лежнт внутри вписанного угла (рис. 23, б); центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 23, в).
Из теоремы 1. 5 вытекает следствие: все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одиу сторону от прямой, соединяющей эти точки, равны; вписанные углы, стороны которых проходят через концы диаметра окружности, прямые.
На рисунке 24 стороны вписанного угла ABC проходят через концы диаметра АС, поэтому
Пример. Точки А у В и С лежат на окружности с центром О. Найти угол АОС, если
Решение. Угол ABC, вписанный в окружность, опирается на дугу АС, а центральный угол данной окружности (рис. 25). , значит, по теореме 1. 5, а так как угол АОС центральный, то его градусная мера равна градусной мере дуги АС, т. е.
11. Параллельные прямые.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
На рисунке 26 показано, как с помощью угольника и линейки провести через данную точку В прямую 6, параллельную данной прямой а.
Для обозначения параллельности прямых используется символ II. Запись читается: «Прямая а параллельна прямой b».
Аксиома параллельности выражает основное свойство параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.
На рисунке 27 прямые а и b параллельны прямой с. Теорема 1. 6 утверждает, что .
Можно доказать, что через точку, не принадлежащую прямой, можно провести прямую, параллельную данной. На рисунке 28 через точку А, не принадлежащую b, проведена прямая а, параллельная прямой b.
Сопоставляя это утверждение и аксиому параллельных, приходят к важному выводу: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одиу.
Аксиома параллельности в книге Евклида «Начала называлась «пятый постулат. Геометры древности пытались доказать единственность параллельной. Эти безрезультатные попытки продолжались более 2000 лет, вплоть до XIX в.
Великий русский математик Н. И. Лобачевский и независимо от него венгерский математик Я. Бойяи показали, что, приняв допущение о возможности проведения через точку нескольких прямых, параллельных данной, можно построить другую, столь же «правильную «неевклидову геометрию. Так родилась геометрия Лобачевского.
Примером теоремы, которая использует понятие параллельности, а ее доказательство опирается на аксиому параллельных, служит теорема Фалеса. Фалес Милетский - древнегреческий математик, живший в 625-547 гг. до н. э.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (теорема Фалеса).
Пусть точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и лежит между (рис. 29). Пусть соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Теорема 1.7 утверждает, что если то
Пример 1. Могут ли семь прямых пересекаться в восьми точках?
Решение. Могут. Например, на рисунке 30 изображены семь таких прямых, три из которых параллельны.
Пример 2. Произвольный отрезок АС разделить на 6 равных частей.
Решение. Начертим отрезок АС. Проведем из точки А луч AM, не лежащий на прямой АС. На луче AM от точки А последовательно отложим 6 равных отрезков (рис. 31). Концам отрезков дадим обозначения Соединим точку отрезком с точкой С и через точки проведем прямые, параллельные прямой . Точки пересечения этих прямых с отрезком АС разделят его на 6 равных частей (по теореме 1. 7).
12. Признаки параллельности прямых.
Пусть АВ и CD - две прямые. Пусть АС - третья прямая, пересекающая прямые АВ и CD (рис. 32, с). Прямая АС по отношению к прямым АВ и CD называется секущей. Образованные этими прямыми углы часто рассматриваются попарно. Пары углов получили специальные названия. Так, если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АС, то углы ВАС и DCA называются внутренними односторонними (рис. 32, с). Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС, то углы ВАС и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 32, б).
Секущая АС образует с прямыми АВ и CD две пары внутренних односторонних две пары внутренних накрест лежащих углов рис. 32, в).
Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
На рисунке 32, в обозначены цифрами четыре пары углов. Теорема 1.8 утверждает, что если или то прямые с и b параллельны. Теорема 1.8 также утверждает, что если или , то прямые а и b параллельны.
Теоремы 1.6 и 1.8 являются признаками параллельности прямых. Верна и теорема, обратная теореме 1.8.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Пример. Один из внутренних односторонних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, в 4 раза больше другого. Чему равны эти углы?
Решение. По теореме 1.9 сумма внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 180°. Обозначим эти углы буквами а и Р, тогда а известно, что а больше в 4 раза, значит, тогда Итак,
13. Перпендикулярные прямые.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (рис. 33).
Перпендикулярность прямых записывается при помощи символа Запись читается: «Прямая а перпендикулярна прямой b».
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющий концом их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.
На рисунке 34 перпендикуляр А В проведен из точки А к прямой а. Точка В - основание перпендикуляра.
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одиу.
Из любой точки, не лежащей на дайной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.
Пусть ВА - перпендикуляр, опущенный из точки на прямую а, и С - любая точка прямой с, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведенной из точки В к прямой а (рис. 35). Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной.
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром.
На рисунке 36 прямая а перпендикулярна к отрезку АВ и проходит через точку С - середину отрезка АВ, т. е. а - серединный перпендикуляр.
Пример. Равные отрезки AD и СВ, заключенные между параллельными прямыми АС и BD, пересекаются в точке О. Доказать, что .
Решение. Проведем из точек А к С перпендикуляры к прямой BD (рис. 37). АК=СМ как расстояние между параллельными прямыми, ZAKD и ДСЛЯВ прямоугольные, они
равны по гипотенузе и катету (см. Т. 1. 25), а значит, равнобедренный (Т. 1.19), а значит, Из равенства треугольников АКТ) и СТАВ следует, что , а тогда , т. е. А. АОС равнобедренный, а значит,
14. Касательная к окружности. Касание окружностей.
Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания. На рисунке 38 прямая а проведена через точку А окружности перпендикулярно к радиусу ОА. Прямая с является касательной к окружности. Точка А является точкой касания. Можно сказать также, что окружность касается прямой а в точке А.
Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную. Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей
касательной. На рисунке 39, с касание окружностей внутреннее, а на рисунке 39, б - внешнее.
Пример 1. Построить окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой в данной точке.
Решение. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому центр искомой окружности лежит на перпендикуляре к данной прямой, проходящем через данную точку, и находится от данной точки на расстоянии, равном радиусу. Задача имеет два решения - две окружности, симметричные друг другу относительно данной прямой (рис. 40).
Пример 2. Две окружности диаметром 4 и 8 см касаются внешним образом. Чему равно расстояние между центрами этих окружностей?
Решение. Радиусы окружностей ОА и О, А перпендикулярны общей касательной, проходящей через точку А (рис. 41). Поэтому см.
15. Треугольники.
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами. Треугольник обозначается его вершинами. Вместо слова «треугольник употребляется символ Д.
На рисунке 42 изображен треугольник ABC; А, В, С - вершины этого треугольника; А В, ВС и АС - его стороны.
Углом треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный полупрямыми А В и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В к С.
Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника. На рисунке 43, с отрезок AD - высота остроугольного A. ABC, а на рисунке 43, б основание высоты тупоугольного - точка D - лежит на продолжении стороны ВС.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне. На рисунке 44 отрезок AD - биссектриса треугольника АВС.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой
противолежащей стороны треугольника. На рисунке 45 отрезок AD - медиана треугольника
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Пусть DE - средняя линия треугольника ABC (рис. 46).
Теорема утверждает, что .
Неравенством треугольника называется свойство расстояний между тремя точками, которое выражается следующей теоремой:
Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.
Пусть три данные точки. Взаимное расположение этих точек может быть различным: а) две точки из трех или все три совпадают, в этом случае утверждение теоремы очевидно; б) точки различны и лежат на одной прямой (рис. 47, а), одна из них, например В, лежит между двумя другими, в этом случае откуда следует, что каждое из трех расстояний не больше суммы двух других; в) точки не лежат
на одной прямой (рис. 47, б), тогда теорема 1.14 утверждает, что .
В случае в) три точки А, В, С являются вершинами треугольника. Поэтому в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Пример 1. Существует ли треугольник ABC со сторонами: а) ; б)
Решение. Для сторон треугольника ABC должны выполняться неравенства:
В случае а) неравенство (2) не выполняется, значит, такого расположения точек быть не может; в случае б) неравенства выполняются, т. е. треугольник существует.
Пример 2. Найти расстояние между пунктами А и , разделенными препятствием.
Решение. Для нахождения расстояния провешиваем базис CD и проводим прямые ВС и AD (рис. 48). Находим точку М - середину CD. Проводим и MPAD. Из следует, что PN - средняя линия, т. е.
Измерив PN, нетрудно найти АВ.
16. Равенство треугольников.
Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах.
Треугольники ABC и называются равными, если
Кратко это выражают словами: треугольники равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны.
Сформулируем основное свойство существования равных треугольников (аксиому существования треугольника, равного данному):
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Справедливы три признака равенства треугольников:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними).
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам).
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства треугольников по трем сторонам).
Пример. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС (рис. 49). Известно, что Доказать, что
Решение. по условию, и так как эти углы получены вычитанием из равных углов BCD и DAB равных углов ВС А и DAC. Кроме этого, в указанных треугольниках сторона АС общая. Эти треугольники равны по стороне и прилежащим к ней углам
17. Равнобедренный треугольник.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
В треугольнике значит, ABC равнобедренный с основанием АС.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (обратная теореме Т. 1.18).
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Можно также доказать, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Аналогично биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.
Внешний угол треугольника ABC. Чтобы не путать угол треугольника при данной прямой, гипотенуза, СВ и ВА - катеты.
Для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства по гипотенузе и острому углу).
Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства по катету и противолежащему углу).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства по гипотенузе и катету).
В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий атому углу, равен пол шине гипотенузы.
В треугольнике ABC, изображенном на рисунке прямой, Значит, в этом треугольнике .
В прямоугольном треугольнике справедлива теорема Пифагора, названная в честь древнегреческого ученого Пифагора, жившего в VI в. до н. э.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).
Пусть ABC - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С, катетами а и b и гипотенузой с (рис. 56). Теорема утверждает, что
Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
Из теоремы Пифагора следует, что если к прямой из одной точки проведейы перпендикуляр и наклонная, то наклонная больше перпендикуляра; равные наклонные имеют равные проекции; из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
На рисунке 57 из точки О к прямой а проведен перпендикуляр ОА и наклонные ОВ, ОС и OD, при этом На основании вышесказанного: а)
Периметр прямоугольника KDMA равен 18 см
Пример 3. В окружности, радиус которой 25 см, проведены по одну сторону от ее центра две параллельные хорды длиной 40 и 30 см. Найти расстояние между этими хордами.
Решение. Проведем радиус ОК, перпендикулярный хордам АВ и CD, соединим центр окружности О с точками С, A, D и В (рис. 60). Треугольники COD и АОВ равнобедренные, так как (как радиусы); ОМ и ON - высоты этих треугольников. По теореме 1.20 каждая из высот является одновременно медианой соответствующего треугольника, т. е. и
Треугольники ОСМ и О AN прямоугольные, в них . ON и ОМ найдем по теореме Пифагора .
20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
На рисунке 61 окружность описана около треугольника ABC. Центр этой окружности О является точкой пересечения серединных перпендикуляров ОМ, ON и OJT, проведенных соответственно к сторонам АВ, ВС и С А.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
На рисунке 62 окружность вписана в треугольник ABC. Центр этой окружности О является точкой пересечения биссектрис АО, ВО и СО соответствующих углов треугольника.
Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислить радиусы: 1) вписанной в него окружности; 2) описанной окружности.
Решение. 1) Пусть дан треугольник ABC, в котором - центр вписанной окружности (рис. 63, а). Периметр треугольника ABC равен сумме удвоенной гипотенузы и диаметра вписанной в треугольник окружности (используйте определение касательной к окружности и равенство прямоугольных треугольников АОМ и АОК, МОС и LOC по гипотенузе и катету).
Таким образом, откуда по теореме Пифагора , т. е. .
2) Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы, откуда радиус описанной окружности см (рис. 63, б).
Это задание составлено в виде игры, в которой ребенку предстоит менять свойства геометрических фигур: форму, цвет или размер. Такое развивающее занятие способствует более эффективному запоминанию геометрических фигур, так как здесь ребенок не только визуально их запоминает, но и с помощью логического мышления меняет их главные свойства, "обрабатывая" фигуры на волшебной фабрике.
Для того, чтобы менять свойства геометрических фигур на нашей волшебной фабрике, сначала ознакомьтесь с инструкцией, скачайте бланки заданий, распечатайте их и подготовьте для игры простой карандаш, ластик и цветные карандаши трех цветов - зеленый, красный и синий. Затем взрослый объясняет ребенку правила игры.
"Сейчас мы с тобой начинаем работать на фабрике. Здесь находятся специальные машины, которые меняют различные характеристики фигур: цвет, форму или размер. Каждая фигура, которая попадает в эту машину, проходит обработку по строгой инструкции и выходит уже измененной."
После этого взрослый показывает пример, как работает машина на этой фабрике, изменяющая цвет фигур:
Затем взрослый объясняет ребенку принцип работы такой машины: "Любая фигура зеленого цвета, попадающая в машину, меняет цвет на красный (от зеленого круга с буквой "З" стрелочка ведет к красному кругу), любая фигура красного цвета - меняется на синий, а синяя фигура меняется на зеленый цвет.
На фабрике есть и другие машины, которые меняют другие свойства геометрических фигур - не цвет (как в рассмотренном примере), а форму или размер. Изменения с фигурами происходят по аналогичному принципу (следим за стрелочками, которые показывают, на какие фигуры должны поменяться заданные).
Также в некоторых бланках встречаются машины, которые меняют не одно свойство фигуры, а сразу два - например, цвет и форму или форму и величину.
Скачать задания - Свойства геометрических фигур - вы можете во вложениях внизу страницы
В этих заданиях нужно поменять только одно свойство фигур - их цвет. Не забудьте раскрасить фигуры слева до того, как дать ребенку задание.
В следующем задании нужно поменять другое свойство геометрических фигур - их форму. Овал меняется на прямоугольник, прямоугольник - на ромб, ромб - на овал. Будьте внимательны! Овалы и прямоугольники в задании разные - горизонтальные и вертикальные. Менять нужно именно такие, какие нарисованы в машине. Обязательно раскрасьте фигуры слева, прежде чем начинать работу.
В данном задании заданная фигура сначала меняет свою форму (в первой машине), а затем и свой цвет (вторая машина).
В следующем задании машины изменяют величину фигур: большие квадратики на маленькие, маленькие треугольники на большие.
На следующих машинах мы меняем сначала форму фигур, а затем их величину.
В этом задании фигуры меняют на первой машине свой цвет, а на второй машине - величину.
Ну и последнее задание самое сложное. Здесь обработка свойств фигур проходит на трех машинах. Первая машина изменяет цвет входящих геометрических фигур, вторая машина изменяет размер некоторых фигур, а третья машина завершает обработку, меняя их форму.
Группы геометрических фигур по их признакам
В этом задании вы найдете группы геометрических фигур, каждая из которых объединяет в себе фигуры по какому-то определенному признаку. Например, по цвету, форме или размеру. Ребенок должен определить по какому именно признаку разбиты фигуры в каждой группе. Подобные занятия развивают логико-математические способности детей.
Скачайте и распечатайте бланки с заданиями, дайте ребенку и объясните ему правила для выполнения упражнения: "Посмотри, здесь нарисованы геометрические фигуры, которые разбиты на несколько групп. В каждой группе фигуры объединяет какое-то одно свойство или признак. Например, в группе присутствуют все фигуры одного цвета (серый, белый или черный), одной формы (треугольник, квадрат или круг) или одного размера (маленькие, средние или большие).
Если ребенку трудно выполнять данное упражнение самостоятельно, то помогите ему встречными вопросами: "Какие геометрические фигуры ты видишь на странице? Чем они отличаются между собой? Что у них общего?"
Очень важно проводить такие занятия систематически, используя подручные материалы. Например, можно использовать пуговицы различной формы (квадратные, круглые, овальные, ромбовидные и другие), разных цветов, с разным количеством дырочек. Принцип выполнения задания тот же, что и в представленных бланках. Взрослый раскладывает на столе пуговицы, разделяя их на группы по определенному признаку. А ребенок должен определить, что общего в этих группах. Занятие будет более эффективным, если ребенок будет не только находить признаки групп, но и сам, по просьбе взрослого, будет объединять предметы в разные группы по заданным признакам.
Скачать бланки заданий - Группы геометрических фигур - вы можете во вложениях внизу страницы.
Свойства объемных геометрических фигур - Лестница превращений
Здесь вы найдете занятие, с помощью которого ребенок научится различать свойства объемных геометрических фигур: цвет, форму и размер. Занятие представлено в двух вариантах сложности: легком (для детей от 4 лет) и усложненном (для детей от 5-6 лет). Легкий вариант задания - в бланке №1, а усложненный - в бланке №2. В бланках №3 и №4 вы можете посмотреть правильные ответы. Подготовьте цветные карандаши, распечатанные бланки с заданиями и объясните ребенку правила выполнения упражнений:
"Посмотри внимательно на картинку. Здесь изображена лестница превращений геометрических фигур. Начиная с самой нижней ступеньки каждая фигура с переходом на следующую ступеньку меняет какое-либо одно свое свойство: цвет (белый, серый или черный), форму (куб, конус или шар) или величину (большую или маленькую). Например, вот этот большой белый шар (взрослый показывает пример превращений щара на бланке №1) на второй ступеньке меняет свой размер и становится маленьким, на третьей ступеньке меняет цвет с белого на черный, на четвертой - опять становится большим, на пятой ступеньке у него меняется форма и он превращается в конус."
Пусть ребенок некоторое время проанализирует превращения белого шара на данном примере, чтобы понять логику превращений фигур в задании. В процессе выполнения задания ребенок должен комментировать и обосновывать свои решения и действия.
Если ребенку понравилось занятие, то можно предложить ему самостоятельно нарисовать еще одну фигуру на нижней ступеньке и нарисовать цветным карандашом путь ее превращений. Аналогично можно нарисовать еще одну такую лестницу, а ребенок уже сам нарисует на ней заданные фигуры и попробует заполнить фигурами все ступеньки, руководствуясь теми же самими правилами, как в распечатанном задании.
Скачать задание на свойства объемных фигур вы можете во вложениях внизу страницы
Бланк №1 - Легкий вариант
Бланк №2 - Усложненный вариант
Бланк №3 - Правильные ответы на легкий вариант
Бланк №4 - Правильные ответы на усложненный вариант
Также вам будут полезны и другие материалы по изучению геометрических фигур:
Веселые и красочные задания для детей "Рисунки из геометрических фигур" являются очень удобным обучающим материалом для детей дошкольного и младшего школьного возраста по изучению и запоминанию основных геометрических форм.
Здесь вы с ребенком можете изучить геометрические фигуры и их названия с помощью веселых заданий в картинках.
Задания ознакомят ребенка с основными фигурами геометрии - кругом, овалом, квадратом, прямоугольником и треугольником. Только здесь не занудное зазубривание названий фигур, а своеобразная игра-раскраска.
Как правило, геометрию начинают изучать, рисуя плоские геометрические фигуры. Восприятие правильной геометрической формы невозможно без выведения ее своими руками на листе бумаги.
Это занятие изрядно позабавит ваших юных математиков. Ведь теперь им придется находить знакомые формы геометрических фигур среди множества картинок.
Наложение фигур друг на друга - это занятие по геометрии для дошкольников и младших школьников. Смысл упражнения состоит в решении примеров на сложение. Только это необычные примеры. Вместо цифр здесь нужно складывать геометрические фигуры.
Здесь вы можете скачать задания в картинках, в которых представлен счет геометрических фигур для занятий по математике.
В этом задании ребенок познакомится с таким понятием, как чертежи геометрических тел. По сути, это занятие представляет собой мини-урок по начертательной геометрии
Здесь мы подготовили для вас объемные геометрические фигуры из бумаги, которые нужно вырезать и склеить. Куб, пирамиды, ромб, конус, цилиндр, шестигранник, распечатать их на картоне (или цветной бумаге, а затем наклеить на картон), а затем дать ребенку для запоминания.
Здесь мы подготовили для вас устный счет в пределах 10 в виде математических заданий в картинках. Данные задания формируют у детей навыки счета и способствуют более эффективному обучению простых математических действий.
И еще можете поиграть в математические игры онлайн от лисенка Бибуши:
В этой развивающей онлайн игре ребенку предстоит определить, что является лишним среди 4 картинок. При этом необходимо руководствоваться признаками геометрических форм.
ЛЕКЦИЯ 6.1. Из истории возникновения и развития геометрии.
Опр. 1. Геометрической фигурой Ф называется всякое непустое множество точек.
Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, то она называется плоской.
Рассмотрим определения некоторых плоских фигур.
Опр. 2. Лучом называется множество точек прямой, лежащих по одну сторону от некоторой точки этой прямой.
Опр. 3. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Лучи наз. сторонами угла, а их общее начало – его вершиной.
Обозначают угол: ∠А , ∠(k ,l), ∠АВС.
Опр. 4. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.
Опр. 5. Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - его сторонами.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые (определение из курса математики начальной школы).
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.
Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми.
Многоугольником называется замкнутая ломаная, если ее звенья не лежат на одной прямой.
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром.
Всякая конечная замкнутая область трехмерного пространства называется телом.
Примерами тел могут служить пространственные фигуры.
Многогранник - это ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.
Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от каждого из ограничивающих его многоугольников. Многоугольник на поверхности многогранника называется его гранью. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины граней - вершинами многогранника.
Простейшие многогранники - это призма и пирамида.
Призмой называется многогранник, у которого две грани, называемые основаниями призмы, равны и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани - параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.
Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Прямая призма называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник.
Призма, у которой основание- параллелограмм, называется параллелепипедом.
Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.
Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Фигуры, изучаемые планиметрией:
3. Параллелограмм (частные случаи: квадрат, прямоугольник, ромб)
4. Трапеция
5. Окружность
6. Треугольник
7. Многоугольник
1) Точка:
В геометрии, топологии и близких разделах математики точкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других аналогичных характеристик больших размерностей. Таким образом, точкой называют нульмерный объект. Точка является одним из фундаментальных понятий в математике.
Точка в Евклидовой геометрии:
Точка - это одно из фундаментальных понятий геометрии, поэтому "точка" не имеет определения. Евклид определил точку как то, что нельзя разделить.
Прямая - одно из основных понятий геометрии.
Геометрическая прямая (прямая линия) - незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.
При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.
3) Параллелограмм:
Параллелограмм- это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Частные случаи:
Квадрат - правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадрат может быть определён как : прямоугольник, у которого две смежные стороны равны;
ромб, у которого все углы прямые (любой квадрат является ромбом, но не любой ромб является квадратом).
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми углами называется квадратом.
4) Трапеция:
Трапеция - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.
1. Трапеция, у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней .
2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.
3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции (MN). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Трапецию можно назвать усеченным треугольником, поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).
5) Окружность:
Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
6) Треугольник:
Треугольник - простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
7) Многоугольник:
Многоугольник - это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения:
Плоские замкнутые ломаные;
Плоские замкнутые ломаные без самопересечений;
Части плоскости, ограниченные ломаными.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.
Основные свойства прямой и точки:
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180О, и только один.
8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Свойства треугольника:
Соотношения между сторонами и углами треугольника:
1) Против большей стороны лежит больший угол.
2) Против большего угла лежит большая сторона.
3) Против равных сторон лежат равные углы, и, обратно, против равных углов лежат равные стороны.
Соотношение между внутренними и внешними углами треугольника:
1) Сумма двух любых внутренних углов треугольника равна внешнему углу треугольника, смежного с третьим углом.
2) Стороны и углы треугольника связаны между собой также соотношениями, называемыми теоремой синусов и теоремой косинусов.
Треугольник называется тупоугольным, прямоугольным или остроугольным , если его наибольший внутренний угол соответственно больше, равен или меньше 90∘.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника:
1) Прямая, содержащая среднюю линию треугольника, параллельна прямой, содержащей третью сторону треугольника.
2) Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.
3) Средняя линия треугольника отсекает от треугольника подобный треугольник.
Свойства прямоугольника:
1) противолежащие стороны равны и параллельны друг другу;
2) диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам;
3) сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех (четырех) сторон;
4) прямогугольниками одного размера можно полностью замостить плоскость;
5)прямоугольник можно двумя способами разделить на два равных между собой прямоугольника;
6) прямоугольник можно разделить на два равных между собой прямогульных треугольника;
7)вокруг прямоугольника можно описать окружность, диаметр которой равен диагонали прямоугольника;
8) в прямогульник (кроме квадрата) нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.
Свойства параллелограмма:
1) Середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.
2) Противоположные стороны параллелограмма равны.
3) Противоположные углы параллелограмма равны.
4) Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
5) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
6) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма (d1 и d2) равна сумме квадратов всех его сторон: d21+d22=2(a2+b2)
Свойства квадрата:
1) Все углы квадрата - прямые, все стороны квадрата - равны.
2) Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
3) Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Свойства ромба:
1. Диагональ ромба делит его на два равных треугольника.
2. Диагонали ромба в точке их пересечения делятся пополам.
3. Противоположные стороны ромба равны между собой, равны и противоположные углы его.
Кроме того, ромб обладает ещё следующими свойствами:
а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;
б) диагональ ромба делит угол его пополам.
Свойства окружности:
1) Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
2) Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
3) Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Свойства многоугольника:
1) Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна.
2)Число диагоналей всякого n-угольника равно.
3).Произведение сторон многоугольника на синус угла между ними равна площади многоуголиника.
