Шифр пакета содержащего конкурсные задания состоит из. Уроков на изучение главы. Пример оформления файла с личными данными

Гуманитарный профиль (6 – 8 уроков на изучение )

^ I вариант

1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из пяти цифр 1,2,3,4,5?

2. Были куплены билеты в театр для шести ребят.

Сколькими способами эти ребята могут занять свои места в театре?

3. У покупателя имелись в кошельке по одной купюре 10 руб., 50 руб.,

100 руб. и 500 руб., а у продавца не было денег, чтобы дать сдачу. Сколько различных товаров мог купить покупатель, чтобы ему не нужно было требовать сдачу (Предполагается, что в магазине есть товары на любую сумму, доступную покупателю)?

4. Шифр пакета, содержащего конкурсные задания, состоит из трех различных букв и последующих 4 цифр (цифры могут повторяться). Сколько может быть различных пакетов, если в них используется 10 букв и 5 цифр?

5. Сколькими способами можно поставить в две одинаковые вазы 8 различных цветков, если в каждой вазе их должно быть нечетное число?

Ответы: 1) 125; 2) 720; 3) 15; 4) 450000; 5) 448.

II вариант

1. Пять ребят решили поехать за город, но забыли договориться, в какой вагон всем следует садиться, поэтому каждый мог сесть в любой вагон. Сколько существует различных вариантов распределения ребят по вагонам, если в поезде было 10 вагонов?

2. Учеников попросили нарисовать прямоугольник, разбить его на 6 прямоугольников параллельными отрезками и раскрасить шестью разными красками. Сколько может получиться различных раскрасок?

3. К началу учебного года в магазине покупателям предлагались комплекты тетрадей, альбомы, ручки, линейки, краски и наборы цветных карандашей. Сколько можно было сделать различных покупок, если брать не более одного предмета каждого наименования?

4. Сколько можно изготовить кодовых замков, у которых код состоит из двух различных цифр и трех любых букв, если можно использовать 10 цифр и 15 букв. Порядок набора цифр и букв не имеет значения.

5. Сколькими способами можно разложить 10 различных конфет в два одинаковых пакета, если в них должно быть четное число конфет?

Ответы: 1) 10 5 ; 2) 720; 3) 15; 4) 303750; 5)255.

(20 – 24 урока на изучение )

1. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых вторая и третья цифра четные?

2. Монета бросается 6 раз. Сколько существует вариантов, в которых 2 раза выпадет решка, а 4 раза орел?

3. Сколько можно получить различных слов, переставляя буквы в слове абракадабра?

4. Шесть различных цветков разложили в три различные вазы.

Сколько существует вариантов, при которых в первой вазе будет всего один цветок?

5. В классе 30 человек, из которых 12 девочек. Сколько можно составить спортивных команд, в которые должны входить 2 девочки и 2 мальчика?

Ответы: 1)2250; 2) 15; 3)83160; 4) 192; 5)10098
Глава 5. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Гуманитарный профиль (6 – 8 уроков на изучение )

I вариант

1. В треугольнике ABC отрезок BO является медианой.

а) Постройте вектор , равный сумме векторов и
.

BAKC является параллелограммом.

в) Выразите вектор
через векторы и .

B , который является разностью векторов и
.

F (8; 1; 0), E (0; 0; 4), K (0; 5; 1).

а) Постройте их в декартовой системе координат.

б) Укажите, в каких координатных плоскостях или на каких координатных осях они находятся.

в) Докажите, что треугольник FKE равнобедренный.

FKE с точностью до целых.
Ответы: 1.в) 0,5(
г)
; 2.г) 11.
II вариант

1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O .

а) Постройте вектор
, равный сумме векторов
и
.

б) Докажите, что четырехугольник OAFD – ромб.

в) Выразите вектор
через векторы
и
.

г) Укажите вектор, выходящий из точки B , который является разностью векторов
и
.

2. Даны три точки с координатами: P (4; 0; 0), K (0; 2; 0), T (2; 0; 4).

а) Постройте их в прямоугольной системе координат.

б) Укажите, на каких координатных осях или в каких координатных плоскостях они находятся.

в) Докажите, что треугольник PKT – равнобедренный.

г) Вычислите площадь треугольника PKT .
Ответы: 1.в)
; г)
; 2.г)

Технический профиль НПО и СПО (20 – 24 урока на изучение )

Контрольная работа № 1

1. DABC – тетраэдр, точка K – середина AC , точка M – середина KD ,
,
,
. Разложите вектор
по векторам , , .

2. Даны векторы (1; −2; 0), (3; −6; 0) и (0; −3; 4). Найдите координаты вектора = 2– + .

3. Дан треугольник MNC , вершины которого имеют координаты: M (2; −3; 3), N (−1; 1; −2) и C (5; 3; 1).

Докажите, что треугольник равнобедренный и вычислите его площадь.
Ответы: 1. -
; 2.
3.

Контрольная работа № 2

1. Найдите скалярное произведение
, если || = 2, || = 3, (
) = 120°.

2. Даны точки C (3; −2; 1), D (−1; 2; 1), M (2; 1; 3), N (−1; 4; −2).

а) Определите, будут ли прямые CM и DN перпендикулярны.

б) Найдите длину вектора
.

в) Проверьте, является ли уравнение 21x + 11y – 6z – 35 = 0 уравнением плоскости CMN .

3. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Точка M – середина стороны DD 1 . Найдите угол между прямыми AM и DC 1 .
Ответы: 1. 1; 2.а) да; б)
; в) да; 3.

Глава 6 ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
Гуманитарный профиль (12 – 14 уроков на изучение )

I вариант

1. Дан угол поворота α = .

в) Укажите знаки чисел: sin, cos, tg.

г) Укажите значение sin, cos, если известно, что sin36 = 0,5878.

Р х

а) sin x = 1,

б) cos x = 0,

в) sin x = 0,5,

г) sin x = –
,

д) cos x = –0,5.

3. Для каждого случая из пункта 2 укажите значения остальных тригонометрических функций в этих точках.
Ответы: 1.г) -0,8090
II вариант

1. Дан угол поворота α = .

а) Выразите величину угла поворота α = в градусной мере.

б) Постройте на единичной окружности точку, соответствующую углу поворота α = .

в) Укажите знаки чисел sin, cos, tg.

г) Укажите значение sin, cos, если известно, что cos 20 = 0,9397.

2. На единичной окружности постройте точки P x и укажите значения углов поворота в этих точках, если:

а) sin x = 0,

б) cos x = –1,

в) cos x = –0,5,

г) sin x =
,

д) sin x = –0,5.

3. Для каждого случая из пункта 2 укажите значения остальных тригонометрических функций.
Ответы: 1.г) 0,3420
Технический профиль НПО (32 урока на изучение )

Контрольная работа № 1

1. Вычислите cos (β – α), если sin α =
; π  α ≤
и cos β =
; ≤ β ≤ π.

2. Упростите
.

3. Расположить числа в порядке убывания:

cos 40; cos
; cos 1000, сos 1,6.

4. Построите график функции y = 2 sin x на отрезке
и укажите для значений 2 y

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….

К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения .

• Правило суммы

Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.

Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.

• Правило произведения

Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n m способами.

Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 3 = 6).

Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.

Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 3 4 = 24).

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!

n! = 1 2 3 4 … n.

Например, 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 2 1 = 3! = 6).

Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов .

Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.

Практикум по решению задач по комбинаторике.

ЗАДАЧИ и решения

1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

Ответ: 15 вариантов.

2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы?

Ответ: 9 вариантов.

3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

Ответ: 15 путей.

4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?

гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.

Ответ: 8 способами.

5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?

Ответ: 48 пар.

6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?

Ответ: 28 вариантов.

7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 9 различных двузначных чисел.

8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способа

Ответ: 8 различных чисел.

9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способа

Ответ: 12 различных чисел.

10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?

Чётные цифры – 0, 2, 4, 6, 8.

1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов
3 цифра – 5 способов

Ответ: существует 100 чисел.

11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?

1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

Ответ: существует 450 чисел.

12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способ

Ответ: 6 различных чисел.

13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?

1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способа

Ответ: 24 способа.

14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 60 различных чисел.

15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 24 различных числа.

16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?

1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способа

Ответ: 120 способов.

17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в эстафете?

1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способов

Ответ: 336 способов.

18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа
3 урок – 2 способа
4 урок – 1 способ

4 3 2 1 = 24

Ответ: 24 варианта.

19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?

1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта

8 7 6 5 4 = 6720

Ответ: 6720 вариантов.

20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ

5 4 3 2 1 = 120

Ответ: 120 вариантов.

21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

6 5 4 3 2 1 = 720

Ответ: 720 способов.

22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?

1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов
7 цифра – 10 способов

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

Ответ: 8.000.000 вариантов.

23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?

№ телефона 394

10 10 10 10 = 10.000

Ответ: 10.000 абонентов.

24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)

Ответ: 30 способов.

25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры разные. Сколько таких чётных чисел?

5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ

2 4 3 2 1 = 48

Ответ: 48 чётных чисел.

26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и делящихся на 5?

Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.

4 цифра – 1 способ (цифра 5)
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа

1 4 3 2 = 24

Ответ: 24 числа.

27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – чётная?

1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ (цифра 7)
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

Ответ: 4500 чисел.

28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?

1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант (цифра 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

Ответ: 125 чисел.

29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

Однозначных – 2
Двузначных – 2 2 = 4
Трёхзначных – 2 2 2 = 8
Четырёхзначных – 2 2 2 2 =16
Пятизначных – 2 2 2 2 2 = 32
Шестизначных – 2 2 2 2 2 2 = 64

Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Ответ: 126 чисел.

30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способов

Ответ: 110 способов.

31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?

Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способов

Ответ: 870 способов.

32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?

12 10 2 = 240

Ответ: 240 способов.

33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?

Гуманитарный профиль (6 – 8 уроков на изучение )

I вариант

1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из пяти цифр 1,2,3,4,5?

2. Были куплены билеты в театр для шести ребят.

Сколькими способами эти ребята могут занять свои места в театре?

3. У покупателя имелись в кошельке по одной купюре 10 руб., 50 руб.,

BAKC является параллелограммом.

B

F (8; 1; 0), E (0; 0; 4), K (0; 5; 1).

А) Постройте их в декартовой системе координат.

Б) Укажите, в каких координатных плоскостях или на каких координатных осях они находятся.

FKE равнобедренный.

FKE с точностью до целых.

Б) Докажите, что четырехугольник OAFD – ромб.

Г) Укажите вектор, выходящий из точки B , который является разностью векторов и .

2. Даны три точки с координатами: P (4; 0; 0), K (0; 2; 0), T (2; 0; 4).

А) Постройте их в прямоугольной системе координат.

Б) Укажите, на каких координатных осях или в каких координатных плоскостях они находятся.

В) Докажите, что треугольник PKT – равнобедренный.

Г) Вычислите площадь треугольника PKT .

Контрольная работа № 1

1. DABC – тетраэдр, точка K – середина AC , точка M – середина KD , . Разложите вектор по векторам , .

3. Дан треугольник MNC , вершины которого имеют координаты: M (2; −3; 3), N (−1; 1; −2) и C (5; 3; 1).

Докажите, что треугольник равнобедренный и вычислите его площадь.

Контрольная работа №2

1. Найдите скалярное произведение , если | | = 2, | | = 3, () = 120°.

2. Даны точки C (3; −2; 1), D (−1; 2; 1), M (2; 1; 3), N (−1; 4; −2).

А) Определите, будут ли прямые CM и DN перпендикулярны.

В) Проверьте, является ли уравнение 21x + 11y – 6z – 35 = 0 уравнением плоскости CMN .

3. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Точка M – середина стороны DD 1 . Найдите угол между прямыми AM и DC 1 .

Ответы: 1. 1; 2.а) да; б) ; в) да; 3.

Глава 6 ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Гуманитарный профиль (12 – 14 уроков на изучение )

I вариант

Д) cos x = –0,5.

3. Для каждого случая из пункта 2 укажите значения остальных тригонометрических функций в этих точках.

Ответы: 1.г) -0,8090

II вариант

А) Выразите величину угла поворота α = в градусной мере.

Б) Постройте на единичной окружности точку, соответствующую углу поворота α = .

А) sin x = 0,

Б) cos x = –1,

В) cos x = –0,5,

Д) sin x = –0,5.

3. Для каждого случая из пункта 2 укажите значения остальных тригонометрических функций.

Ответы: 1.г) 0,3420

Технический профиль НПО (32 урока на изучение )

Контрольная работа № 1

1. Вычислите cos (β – α), если sin α = ; π ? α ≤ и cos β = ; ≤ β ≤ π.

3. Расположить числа в порядке убывания:

Е) количество корней уравнения 2 sin x = a в зависимости от a .

Ответы: 1. 0,352; 2.