Главная » Современный дизайн частного дома » Сила тяготения зависит от высоты. Почему гравитация в космосе не такая, как на земле? Закон всемирного тяготения

Сила тяготения зависит от высоты. Почему гравитация в космосе не такая, как на земле? Закон всемирного тяготения

В 1667 году. Ньютон понимал, что для того, чтобы Луна вращалась вокруг Земли, а Земля и другие планеты вокруг Солнца, должна существовать сила, удерживающая их на круговой орбите. Он предположил, что сила тяжести, действующая на все тела на Земле и сила, удерживающая планеты на их круговых орбитах, есть одна и та же сила. Эта сила получила название сила всемирного тяготения или гравитационная сила . Эта сила является силой притяжения и действует между всеми телами. Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения : две материальные точки притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними .

Коэффициент пропорциональности G во времена Ньютона был неизвестен. Впервые он был экспериментально измерен английским ученым Кавендишем . Этот коэффициент называется гравитационной постоянной . Ее современное значение равно . Гравитационная постоянная является одной из самых фундаментальных физических констант. Закон всемирного тяготения можно записать в векторном виде. Если сила, действующая на вторую точку со стороны первой равна F 21 , а радиус-вектор второй точки относительно первой равен R 21 , то:

Представленный вид закона всемирного тяготения справедлив только для гравитационного взаимодействия материальных точек. Для тел произвольной формы и размеров его использовать нельзя. Вычисление гравитационной силы в общем случае является очень непростой задачей. Однако, есть тела, не являющиеся материальными точками, для которых гравитационную силу можно считать по приведенной формуле. Это тела, обладающие сферической симметрией, например, имеющие форму шара. Для таких тел приведенный закон справедлив, если под расстоянием R понимать расстояние между центрами тел. В частности силу тяжести, действующую на все тела со стороны Земли можно считать по этой формуле, так как Земля имеет форму шара, а все остальные тела можно считать материальными точками по сравнению с радиусом Земли.

Так как сила тяжести является гравитационной силой, то можно написать, что сила тяжести, действующая на тело массой m равна

Где М З и R З - масса и радиус Земли. С другой стороны сила тяжести равна mg, где g - ускорение свободного падения. Значит ускорение свободного падения равно

Это формула для ускорения свободного падения на поверхности Земли. Если удаляться от поверхности Земли, то расстояние до центра Земли будет увеличиваться, а ускорение свободного падения соответственно уменьшаться. Так на высоте h над поверхностью Земли ускорение свободного падения равно:

Между любыми телами в природе существует сила взаимного притяжения, называемая силой всемирного тяготения (или силами гравитации). был открыт Исааком Ньютоном в 1682 году. Когда еще ему было 23 года он высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю.

Сила тяжести (mg ) направлена вертикально строго к центру Земли ; в зависимости от расстояния до поверхности земного шара ускорение свободного падения различно. У поверхности Земли в средних широтах значение его составляет около 9,8 м/с 2 . по мере удаления от поверхности Земли g уменьшается.

Вес тела (сила веса) – это сила, с которой тело действует на горизонтальную опору или растягивает подвес. При этом предполагается, что тело неподвижно относительно опоры или подвеса. Пусть тело лежит на неподвижном относительно Земли горизонтальном столе. Обозначается буквой Р .

Вес тела и сила тяжести отличаются по своей природе: вес тела является проявлением действия межмолекулярных сил, а сила тяжести имеет гравитационную природу.

Если ускорение а = 0 , то вес равен силе, с которой тело притягивается к Земле, а именно . [P] = Н .

Если другое состояние, то вес меняется:

если ускорение а не равно 0 , то вес Р = mg — ma (вниз) или Р = mg + ma (вверх);
если тело падает свободно или движется с ускорением свободного падения, т.е. а = g (рис.2), то вес тела равен 0 (Р=0 ). Состояние тела, в котором его вес равен нулю, называется невесомостью .

В невесомости находятся и космонавты. В невесомости на мгновение оказываетесь и вы, когда подпрыгиваете во время игры в баскетбол или танца.

Домашний эксперимент: Пластиковая бутылка с отверстием у дна наполняется водой. Выпускаем из рук с некоторой высоты. Пока бутылка падает, вода из отверстия не вытекает.

Вес тела движущегося с ускорением (в лифте) Тело в лифте испытывает перегрузки

В данном параграфе мы напомним Вам о силе тяжести, центростримительном ускорение и весе тела

На каждое тело, находящееся на планете, действует гравитация Земли . Сила, с которой Земля притягивает каждое тело, определяется по формуле

Точка приложения находится в центре тяжести тела. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз .

Силу, с которой тело притягивается к Земле под действием поля тяготения Земли, называют силой тяжести. По закону всемирного тяготения на поверхности Земли (или вблизи этой поверхности) на тело массой m действует сила тяжести

F т =GMm/R 2

где М - масса Земли; R - радиус Земли.
Если на тело действует только сила тяжести, а все другие силы взаимно уравновешены, тело совершает свободное падение. Согласно второму закону Ньютона и формуле F т =GMm/R 2 модуль ускорения свободного падения g находят по формуле

g=F т /m=GM/R 2 .

Из формулы (2.29) следует, что ускорение свободного падения не зависит от массы m падающего тела, т.е. для всех тел в данном месте Земли оно одинаково. Из формулы (2.29) следует, что Fт = mg. В векторном виде

F т =mg

В § 5 было отмечено, что поскольку Земля не шар, а эллипсоид вращения, ее полярный радиус меньше экваториального. Из формулы F т =GMm/R 2 видно, что по этой причине сила тяжести и вызываемое ею ускорение свободного падения на полюсе больше, чем на экваторе.

Сила тяжести действует на все тела, находящиеся в поле тяготения Земли, однако не все тела падают на Землю. Это объясняется тем, что движению многих тел препятствуют другие тела, например опоры, нити подвеса и т. п. Тела, ограничивающие движение других тел, называют связями. Под действием силы тяжести связи деформируются и сила реакции деформированной связи по третьему закону Ньютона уравновешивает силу тяжести.

На ускорение свободного падения влияет вращение Земли. Это влияние объясняется так. Системы отсчета, связанные с поверхностью Земли (кроме двух, связанных с полюсами Земли), не являются, строго говоря, инерциальными системами отсчета - Земля вращается вокруг своей оси, а вместе с ней движутся по окружностям с центростремительным ускорением и такие системы отсчета. Эта неинерциальность систем отсчета проявляется, в частности, в том, что значение ускорения свободного падения оказывается различным в разных местах Земли и зависит от географической широты того места, где находится связанная с Землей система отсчета, относительно которой определяется ускорение свободного падения.

Измерения, проведенные на разных широтах, показали, что числовые значения ускорения свободного падения мало отличаются друг от друга. Поэтому при не очень точных расчетах можно пренебречь неинерциальностью систем отсчета, связанных с поверхностью Земли, а также отличием формы Земли от сферической, и считать, что ускорение свободного падения в любом месте Земли одинаково и равно 9,8 м/с 2 .

Из закона всемирного тяготения следует, что сила тяжести и вызываемое ею ускорение свободного падения уменьшаются при увеличении расстояния от Земли. На высоте h от поверхности Земли модуль ускорения свободного падения определяют по формуле

g=GM/(R+h) 2.

Установлено, что на высоте 300 км над поверхностью Земли ускорение свободного падения меньше, чем у поверхности Земли, на 1 м/с2.
Следовательно, вблизи Земли (до высот нескольких километров) сила тяжести практически не изменяется, а потому свободное падение тел вблизи Земли является движением равноускоренным.

Вес тела. Невесомость и перегрузки

Силу, в которой вследствие притяжения к Земле тело действует на свою опору или подвес, называют весом тела. В отличие от силы тяжести, являющейся гравитационной силой, приложенной к телу, вес - это упругая сила, приложенная к опоре или подвесу (т. е. к связи).

Наблюдения показывают, что вес тела Р, определяемый на пружинных весах, равен действующей на тело силе тяжести F т только в том случае, если весы с телом относительно Земли покоятся или движутся равномерно и прямолинейно; В этом случае

Р=F т =mg.

Если же тело движется ускоренно, то его вес зависит от значения этого ускорения и от его направления относительно направления ускорения свободного падения.

Когда тело подвешено на пружинных весах, на него действуют две силы: сила тяжести F т =mg и сила упругости F yп пружины. Если при этом тело движется по вертикали вверх или вниз относительно направления ускорения свободного падения, значит векторная сумма сил F т и F уп дает равнодействующую, вызывающую ускорение тела, т. е.

F т + F уп =mа.

Согласно приведенному выше определению понятия "вес", можно написать, что Р=-F yп. Из формулы: F т + F уп =mа. с учетом того, что F т =mg, следует, что mg-mа=-F yп . Следовательно, Р=m(g-а).

Силы F т и F уп направлены по одной вертикальной прямой. Поэтому если ускорение тела а направлено вниз (т.е. совпадает по направлению с ускорением свободного падения g), то по модулю

P=m(g-a)

Если же ускорение тела направлено вверх (т. е. противоположно направлению ускорения свободного падения), то

Р = m = m(g+а).

Следовательно, вес тела, ускорение которого совпадает по направлению с ускорением свободного падения, меньше веса покоящегося тела, а вес тела, ускорение которого противоположно направлению ускорения свободного падения, больше веса покоящегося тела. Увеличение веса тела, вызванное его ускоренным движением, называют перегрузкой.

При свободном падении a=g. Из формулы: P=m(g-a)

следует, что в таком случае Р=0, т. е. вес отсутствует. Следовательно, если тела движутся только под действием силы тяжести (т. е. свободно падают), они находятся в состоянии невесомости . Характерным признаком этого состояния является отсутствие у свободно падающих тел деформаций и внутренних напряжений, которые вызываются у покоящихся тел силой тяжести. Причина невесомости тел заключается в том, что сила тяжести сообщает свободно падающему телу и его опоре (или подвесу) одинаковые ускорения.

В этом параграфе мы расскажем об удивительной догадке Ньютона, приведшей к открытию закона всемирного тяготения.
Почему выпущенный из рук камень падает на Землю? Потому что его притягивает Земля, скажет каждый из вас. В самом деле, камень падает на Землю с ускорением свободного падения. Следовательно, на камень со стороны Земли действует сила, направленная к Земле. Согласно третьему закону Ньютона и камень действует на Землю с такой же по модулю силой, на-правленной к камню. Иными словами, между Землей и камнем действуют силы взаимного притяжения.
Догадка Ньютона
Ньютон был первым, кто сначала догадался, а потом и строго доказал, что причина, вызывающая падение камня на Землю, движение Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца, одна и та же. Это сила тяготения, действующая между любыми телами Вселенной. Вот ход его рассуждений, приведенных в главном труде Ньютона «Математические начала натуральной философии»: «Брошенный горизонтально камень отклонится
, \\
1
/ /
У
Рис. 3.2
под действием тяжести от прямолинейного пути и, описав кривую траекторию, упадет наконец на Землю. Если его бросить с большей скоростью, ! то он упадет дальше» (рис. 3.2). Про- J должая эти рассуждения, Ньютон \ приходит к выводу, что если бы не сопротивление воздуха, то траектория камня, брошенного с высокой горы с определенной скоростью, могла бы стать такой, что он вообще никогда не достиг бы поверхности Земли, а двигался вокруг нее «подобно тому, как планеты описывают в небесном пространстве свои орбиты».
Сейчас нам стало настолько привычным движение спутников вокруг Земли, что разъяснять мысль Ньютона подробнее нет необходимости.
Итак, по мнению Ньютона, движение Луны вокруг Земли или планет вокруг Солнца - это тоже свободное падение, но только падение, которое длится, не прекращаясь, миллиарды лет. Причиной такого «падения» (идет ли речь действительно о падении обычного камня на Землю или о движении планет по их орбитам) является сила всемирного тяготения. От чего же эта сила зависит?
Зависимость силы тяготения от массы тел
В § 1.23 говорилось о свободном падении тел. Упоминались опыты Галилея, доказавшие, что Земля сообщает всем телам в данном месте одно и то же ускорение независимо от их массы. Это возможно лишь в том случае, если сила притяжения к Земле прямо пропорциональна массе тела. Именно в этом случае ускорение свободного падения, равное отношению силы земного притяжения к массе тела, является постоянной величиной.
Действительно, в этом случае увеличение массы т, например, вдвое приведет к увеличению модуля силы F тоже вдвое, а уско-
F
рение, которое равно отношению - , останется неизменным.
Обобщая этот вывод для сил тяготения между любыми телами, заключаем, что сила всемирного тяготения прямо пропорциональна массе тела, на которое эта сила действует. Но во взаимном притяжении участвуют по меньшей мере два тела. На каждое из них, согласно третьему закону Ньютона, действуют одинаковые по модулю силы тяготения. Поэтому каждая из этих сил должна быть пропорциональна как массе одного тела, так и массе другого тела.
Поэтому сила всемирного тяготения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс:
F - тут2. (3.2.1)
От чего еще зависит сила тяготения, действующая на данное тело со стороны другого тела?
Зависимость силы тяготения от расстояния между телами
Можно предположить, что сила тяготения должна зависеть от расстояния между телами. Чтобы проверить правильность этого предположения и найти зависимость силы тяготения от расстояния между телами, Ньютон обратился к движению спутника Земли - Луны. Ее движение было в те времена изучено гораздо точнее, чем движение планет.
Обращение Луны вокруг Земли происходит под действием силы тяготения между ними. Приближенно орбиту Луны можно считать окружностью. Следовательно, Земля сообщает Луне центростремительное ускорение. Оно вычисляется по формуле
л 2
а = - Тг
где В - радиус лунной орбиты, равный примерно 60 радиусам Земли, Т = 27 сут 7 ч 43 мин = 2,4 106 с - период обращения Луны вокруг Земли. Учитывая, что радиус Земли R3 = 6,4 106 м, получим, что центростремительное ускорение Луны равно:
2 6 4к 60 ¦ 6,4 ¦ 10
М „ „„„. , о
а = 2 ~ 0,0027 м/с*.
(2,4 ¦ 106 с)
Найденное значение ускорения меньше ускорения свободного падения тел у поверхности Земли (9,8 м/с2) приблизительно в 3600 = 602 раз.
Таким образом, увеличение расстояния между телом и Землей в 60 раз привело к уменьшению ускорения, сообщаемого земным притяжением, а следовательно, и самой силы притяжения в 602 раз.
Отсюда вытекает важный вывод: ускорение, которое сообщает телам сила притяжения к Земле, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли:
ci
а = -к, (3.2.2)
R
где Сj - постоянный коэффициент, одинаковый для всех тел.
Законы Кеплера
Исследование движения планет показало, что это движение вызвано силой притяжения к Солнцу. Используя тщательные многолетние наблюдения датского астронома Тихо Браге, не-мецкий ученый Иоганн Кеплер в начале XVII в. установил ки-нематические законы движения планет - так называемые законы Кеплера.
Первый закон Кеплера
Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Эллипсом (рис. 3.3) называется плоская замкнутая кривая, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна. Эта сумма расстояний равна длине большой оси АВ эллипса, т. е.
FгР + F2P = 2b,
где Fl и F2 - фокусы эллипса, a b = ^^ - его большая полуось; О - центр эллипса. Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, а самая далекая от него точка - р

В
Рис. 3.4
«2
В А А афелием. Если Солнце находится в фокусе Fr (см. рис. 3.3), то точка А - перигелий, а точка В - афелий.
Второй закон Кеплера
Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади. Так, если заштрихованные секторы (рис. 3.4) имеют одинаковые площади, то пути si> s2> s3 будут пройдены планетой за равные промежутки времени. Из рисунка видно, что Sj > s2. Следовательно, линейная скорость движения планеты в различных точках ее орбиты неодинакова. В перигелии скорость планеты наибольшая, в афе-лии - наименьшая.
Третий закон Кеплера
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. Обозначив большую полуось орбиты и период обращения одной из планет через Ьх и Tv а другой - через Ь2 и Т2, третий закон Кеплера можно записать так:

Из этой формулы видно, что чем дальше планета от Солнца, тем больше ее период обращения вокруг Солнца.
На основании законов Кеплера можно сделать определенные выводы об ускорениях, сообщаемых планетам Солнцем. Мы для простоты будем считать орбиты не эллиптическими, а круговыми. Для планет Солнечной системы эта замена не является слишком грубым приближением.
Тогда сила притяжения со стороны Солнца в этом приближе-нии должна быть направлена для всех планет к центру Солнца.
Если через Т обозначить периоды обращения планет, а через R - радиусы их орбит, то, согласно третьему закону Кеплера, для двух планет можно записать
т\ Л? Т2 R2
Нормальное ускорение при движении по окружности а = со2R. Поэтому отношение ускорений планет
Q-i ГлД.
7Г=-2~- (3-2-5)
2 t:r0
Используя уравнение (3.2.4), получим
Т2
Так как третий закон Кеплера справедлив для всех планет, .то ускорение каждой планеты обратно пропорционально квадрату расстояния ее до Солнца:
О о
а = -|. (3.2.6)
ВТ
Постоянная С2 одинакова для всех планет, но не совпадает с постоянной С2 в формуле для ускорения, сообщаемого телам земным шаром.
Выражения (3.2.2) и (3.2.6) показывают, что сила тяготения в обоих случаях (притяжение к Земле и притяжение к Солнцу) сообщает всем телам ускорение, не зависящее от их массы и убывающее обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:
F~a~-2. (3.2.7)
R
Закон всемирного тяготения
Существование зависимостей (3.2.1) и (3.2.7) означает, что сила всемирного тяготения 12
ТП.Л Ш
F ~
R2? ТТЬ-і ТПп
F = G
В 1667 г. Ньютон окончательно сформулировал закон все-мирного тяготения:
(3.2.8) R
Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорци-ональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Коэффициент про-порциональности G называется гравитационной постоянной.
Взаимодействие точечных и протяженных тел
Закон всемирного тяготения (3.2.8) справедлив только для таких тел, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. Иначе говоря, он справедлив только для материальных точек. При этом силы гравитационного взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей эти точки (рис. 3.5). Подобного рода силы называются центральными.
Для нахождения силы тяготения, действующей на данное тело со стороны другого, в случае, когда размерами тел пренебречь нельзя, поступают следующим образом. Оба тела мысленно раз-деляют на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать точечным. Складывая силы тяготения, действующие на каждый элемент данного тела со стороны всех элементов другого тела, получают силу, действующую на этот элемент (рис. 3.6). Проделав такую операцию для каждого элемента данного тела и сложив полученные силы, находят полную силу тяготения, действующую на это тело. Задача эта сложная.
Есть, однако, один практически важный случай, когда формула (3.2.8) применима к протяженным телам. Можно дока-
m^
Fi Рис. 3.5 Рис. 3.6
зать, что сферические тела, плот-ность которых зависит только от расстояний до их центров, при рас-стояниях между ними, больших суммы их радиусов, притягиваются с силами, модули которых определяются формулой (3.2.8). В этом слу-чае R - это расстояние между центрами шаров.
И наконец, так как размеры падающих на Землю тел много меньше размеров Земли, то эти тела можно рассматривать как точечные. Тогда под R в формуле (3.2.8) следует понимать расстояние от данного тела до центра Земли.
Между всеми телами действуют силы взаимного притяжения, зависящие от самих тел (их масс) и от расстояния между ними.
? 1. Расстояние от Марса до Солнца на 52% больше расстояния от Земли до Солнца. Какова продолжительность года на Марсе? 2. Как изменится сила притяжения между шарами, если алюминиевые шары (рис. 3.7) заменить стальными шарами той же массы? " того же объема?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Закон всемирного тяготения открыл И. Ньютоном:

Два тела притягиваются друг к другу с , прямо пропорциональной произведению их и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

Описание закона всемирного тяготения

Коэффициент — это гравитационная постоянная. В системе СИ гравитационная постоянная имеет значение:

Эта постоянная, как видно, очень мала, поэтому силы тяготения между телами, имеющими небольшие массы, тоже малы и практически не ощущаются. Однако движение космических тел полностью определяется гравитацией. Наличие всемирного тяготения или, другими словами, гравитационного взаимодействия объясняет, на чем «держатся» Земля и планеты, и почему они двигаются вокруг Солнца по определенным траекториям, а не улетают от него прочь. Закон всемирного тяготения позволяет определить многие характеристики небесных тел – массы планет, звезд, галактик и даже черных дыр. Этот закон позволяет с большой точностью рассчитать орбиты планет и создать математическую модель Вселенной.

С помощью закона всемирного тяготения также можно рассчитать космические скорости. Например, минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью Земли, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите – 7,9 км/с (первая космическая скорость). Для того, чтобы покинуть Землю, т.е. преодолеть ее гравитационное притяжение, тело должно иметь скорость 11,2 км/с, (вторая космическая скорость).

Гравитация является одним из самых удивительных феноменов природы. В отсутствии сил гравитации существование Вселенной было бы невозможно, Вселенная не могла бы даже возникнуть. Гравитация ответственна за многие процессы во Вселенной – ее рождение, существование порядка вместо хаоса. Природа гравитации до сих пор до конца неразгаданна. До настоящего времени никто не смог разработать достойный механизм и модель гравитационного взаимодействия.

Сила тяжести

Частным случаем проявления гравитационных сил является сила тяжести.

Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз (по направлению к центру Земли).

Если на тело действует сила тяжести, то тело совершает . Вид движения зависит от направления и модуля начальной скорости.

С действием силы тяжести мы сталкиваемся каждый день. , через некоторое время оказывается на земле. Книга, выпущенная из рук, падает вниз. Подпрыгнув, человек не улетает в открытый космос, а опускается вниз, на землю.

Рассматривая свободное падение тела вблизи поверхности Земли как результат гравитационного взаимодействия этого тела с Землей, можно записать:

откуда ускорение свободного падения:

Ускорение свободного падения не зависит от массы тела, а зависит от высоты тела над Землей. Земной шар немного сплюснут у полюсов, поэтому тела, находящиеся около полюсов, расположены немного ближе к центру Земли. В связи с этим ускорение свободного падения зависит от широты местности: на полюсе оно немного больше, чем на экваторе и других широтах (на экваторе м/с , на Северном полюсе экваторе м/с .

Эта же формула позволяет найти ускорение свободного падения на поверхности любой планеты массой и радиусом .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1 (задача о «взвешивании» Земли)

Задание

Радиус Земли км, ускорение свободного падения на поверхности планеты м/с . Используя эти данные, оценить приближенно массу Земли.

Решение

Ускорение свободного падения у поверхности Земли:

откуда масса Земли:

В системе Си радиус Земли м.

Подставив в формулу численные значения физических величин, оценим массу Земли:

Ответ

Масса Земли кг.

ПРИМЕР 2

Задание

Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте 1000 км от поверхности Земли. С какой скоростью движется спутник? За какое время спутник совершит один полный оборот вокруг Земли?

Решение

По , сила, действующая на спутник со стороны Земли, равна произведению массы спутника на ускорение, с которым он движется: