Уравнение пуассона в сферических координатах. Уравнение пуассона и математическая постановка задач электростатики
К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, распределения температуры, электростатики и др.
Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.
Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются нестационарными или динамическими задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.
Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящие от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия - это условия заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия - это условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия, так же как и само дифференциальное уравнение, выводятся на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение единственного решения из всего множества решений. Число граничных и начальных условий определяются типом уравнения, а их вид - заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий - порядку старшей производной по координате.
Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляют собой математическую формулировку физической задачи, и называется задачей математической физики.
Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.
Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво.
Колебания струны. Граничные и начальные условия. Постановка краевых задач
Пусть струна находится под действием сильного начального натяжения. Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой-либо силы, то струна начнет колебаться. Процесс колебания можно описать одной функцией, характеризующей вертикальное перемещение струны (отклонение от положения равновесия (рис. 2.2)). При каждом фиксированном значении график функции на плоскости дает форму струны в момент времени.
Функция удовлетворяет уравнению
описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.
Уравнение (2.69) является простейшим уравнением гиперболического типа и в то же время одним из важнейших уравнений матфизики.
Одного уравнения движения (2.69) или (2.70) при математическом описании физического процесса недостаточно. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).
Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:
Будем говорить о трех типах граничных условий:
где известные функции,
и известные постоянные.
Приведенные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, когда концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II - в случае, когда к концам приложены заданные силы; условия III - в случае упругого закрепления концов.
Если функции, заданные в правой части равенства, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (2.72) - однородные. Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.
В том случае, когда режим на концах не будет оказывать существенного влияния на ту часть струны, которая достаточно удалена от них, струну считают бесконечной. В силу этого вместо полной краевой задачи ставят предельную задачу - з а д а ч у К о ш и: найти решение уравнения (2.69) для при, удовлетворяющее начальным условиям
Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой. В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I - III при.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.42. Однородная струна длины совершает малые поперечные колебания. Поставить задача об определении отклонений точек струны от прямолинейного положения покоя, если в момент струна имела форму () и скорость каждой ее точки задается функцией. Рассмотреть случаи:
- а) концы струны закреплены;
- б) концы струны свободны;
в) к концам струны и, начиная с момента, приложены поперечные силы и соответственно;
г) концы струны закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца.
Решение. Как известно, отклонения точек струны от положения равновесия удовлетворяют в отсутствии действующей внешней силы уравнению свободных колебаний (2.70)
Здесь, натяжение, линейная плотность, т.к. струна однородная.
Начальные условия имеют вид:
Займемся выводом граничных условий.
Случай а). Так как концы струны закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равными нулю при любом, т.е.
Итак, физическая задача о колебаниях закрепленной на концах струны свелась к следующей математической задаче: найти функцию, определенную при и, являющуюся решением уравнения
и удовлетворяющую граничным условиям
и начальным условиям
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Описывает адиабатный процесс, протекающий в . Адиабатным называют такой процесс, при котором отсутствует теплообмен между рассматриваемой системой и окружающей средой: .
Уравнение Пуассона имеет вид:
Здесь – объем, занимаемый газом, – его , а величина называется показателем адиабаты.
Показатель адиабаты в уравнении Пуассона
В практических расчётах удобно помнить, что для идеального газа показатель адиабаты равен , для двухатомного – , а для трёхатомного – .
Как же быть с реальными газами, когда важную роль начинают играть силы взаимодействия между молекулами? В этом случае показатель адиабаты для каждого исследуемого газа можно получить экспериментально. Один из таких методов был предложен в 1819 году Клеманом и Дезормом. Мы наполняем баллон холодным газом, пока давление в нём не достигнет . Затем открываем кран, газ начинает адиабатически расширяться, а давление в баллоне падает до атмосферного . После того, как газ изохорно прогреется до температуры окружающей среды, давление в баллоне повысится до . Тогда показатель адиабаты можно рассчитать за формулой:
Показатель адиабаты всегда больше 1, поэтому при адиабатическом сжатии газа – как идеального, так и реального – до меньшего объема температура газа всегда возрастает, а при расширении газ охлаждается. Это свойство адиабатического процесса, называемое пневматическим огнивом, применяется в дизельных двигателях, где горючая смесь сжимается в цилиндре и воспламеняется от высокой температуры. Вспомним первый закон термодинамики: , где — , а А – выполняемая над ней работа. Поскольку то работа, осуществляемая газом, идёт только на изменение его внутренней энергии – а значит, температуры. Из уравнения Пуассона можно получить формулу для расчёта работы газа в адиабатном процессе:
Здесь n – количество газа в молях, R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура газа.
Уравнение Пуассона для адиабатического процесса применяется не только при расчётах двигателей внутреннего сгорания, но и в проектировании холодильных машин.
Стоит помнить, что уравнение Пуассона точно описывает только равновесный адиабатный процесс, состоящий из непрерывно сменяющих друг друга состояний равновесия. Если же мы в реальности откроем кран в баллоне, чтобы газ адиабатически расширился, возникнет нестационарный переходной процесс с завихрениями газа, которые затухнут из-за макроскопического трения.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Одноатомный идеальный газ адиабатически сжали так, что его объем увеличился в 2 раза. Как изменится давление газа? |
| Решение | Показатель адиабаты для одноатомного газа равен . Однако его можно рассчитать и по формуле:
где R – универсальная газовая постоянная, а і – степень свободы молекулы газа. Для одноатомного газа степень свободы равен 3: это значит, что центр молекулы может совершать поступательные движения по трём координатным осям. Поэтому показатель адиабаты:
Представим состояния газа в начале и конце адиабатного процесса через уравнение Пуассона:
|
| Ответ | Давление уменьшится в 3,175 раза. |
ПРИМЕР 2
| Задание | 100 молей двухатомного идеального газа адиабатически сжали при температуре 300 К. При этом давление газа увеличилось в 3 раза. Как изменилась работа газа? |
| Решение | Степень свободы двухатомной молекулы , так как молекула может двигаться поступательно по трём координатным осям, и вращаться вокруг двух осей. |
Теорема Гаусса применима только для тел простой конфигурации. Уравнение Пуассона – Лапласа позволяет решать гораздо более сложные задачи, эти уравнения используются во всех стационарных полях как электрических так и магнитных.
Вынесем знак «-» за знак дивергенции:
.
Заменим
div
иgrad
на
:
.
– уравнение Пуассона;
– уравнение Лапласа;
– Лапласан.
В декартовой системе координат:
– уравнение Лапласа;
– уравнение Пуассона.
Если
зависит только от 1-й координаты, то
задача решается 2-х кратным интегрированием
по этой координате, при 2-х и более
координат для решения уравнения
существуют специальные методы: метод
сеток, числовой метод расчёта.
Теорема единственности решения
Уравнение Пуассона – Лапласа, описывающее электрическое поле, является уравнением частных производных. Следовательно, существует множество решений независимых друг от друга.
Существует теорема единственности решения:
Из всего множества функций, удовлетворяющих уравнению Пуассона – Лапласа существует только одна удовлетворяющая граничным условиям.
К ней формулируют два следствия:
Поле в некоторой части пространства не изменится, если по другую сторону границы раздела двух сред производится перераспределение зарядов так, чтобы граничные условия не изменились
Эквипотенциальную поверхность можно заменить металлической, сообщив последней некоторый потенциал.
Метод зеркальных изображений
Если электрические заряды расположены вблизи границы двух разнородных сред, то вектор поля можно определить, применив искусственный метод расчета, который носит название метода зеркальных изображений.
Идея метода заключается в том, что вместо неоднородной среды рассматривается однородная среда, влияние же неоднородности учитывается введением фиктивных зарядов, записывают граничные условия основной задачи и, пользуясь ими, находят искомые векторы поля. Наиболее удобен этот метод для расчёта границы раздела двух сред правильной формы.
Расчет на границе раздела двух сред
Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
(Диэлектрик - Проводник)
Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить характер поля в верхней полуплоскости (диэлектрике).
В результате электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты x . Эти заряды влияют на поле и их влияние надо учитывать. Учесть влияние зарядов, выступивших на поверхности проводящего тела вследствие электростатической индукции, очень сложно, так как надо знать закон распределения их по поверхности проводящего тела. Данную задачу легко можно решить, используя метод зеркальных изображений. Согласно методу влияние зарядов, расположенных на поверхности проводящего тела, учитывается введением фиктивного сосредоточенного заряда, расположенного в зеркальном отражении относительно границы, при этом считается, что все пространство заполнено диэлектриком. Фиктивный заряд равен по модулю действительному и имеет противоположный знак.
Докажем
это. Напряженность поля от двух зарядов
и
в любой точке поля имеет только нормальную
к границе составляющую (выполнено
граничное условие
).
Потенциал от каждой из осей удовлетворяет
уравнению Лапласа
(вывод уч. Бессонов ТОЭ стр. 42 (формула
для потенциала заряженной оси подставляется
в уравнение Лапласа в цилиндрической
системе координат)). На основании теоремы
единственности решения полученное
решение является истинным.
Заряженная ось, расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А.
Применим метод зеркальных изображений. А напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения
;
;
; 
.
для
точки
:
.
Определим силу притяжения провода к проводящей поверхности:
.
Поле заряженной оси, расположенной вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями
(Диэлектрик - Диэлектрик)
В этом случае индуцированные на границе раздела не скомпенсированные связанные заряды влияют на поле в обеих сферах, для учета их вводят два фиктивных заряда. В данной задаче надо удовлетворить двум граничным условием.
а) Если
реальный провод и исследуемая точка
находятся в одной среде, то поле
рассчитывают от двух зарядов:
действительного
,
все пространство заполнено диэлектриком,
в котором находится исследуемая точка.
б) Если
реальный провод и исследуемая точка
находятся в разных средах, то поле в
любой точке нижнего полупространства
определяют как поле от некоторого
дополнительного заряда
.
Все пространство заполнено диэлектриком
той среды, где находится исследуемая
точка.
Из условия равенства тангенциальных составляющих напряженности поля:
.
Из условия равенства нормальных составляющих вектора электрического смещения:
.
.
Решая совместно, получаем:
;
;
.
Знак
будет совпадать с
если
.
Знак
будет всегда как
.
Заряженная ось
расположена в диэлектрике параллельно
поверхности другого диэлектрика.
Требуется определить напряженность
электростатического поля и потенциал
в точке А и В. Пусть
.
Рассмотрим
точку А. Она лежит в одной среде с
заряженной осью. Применяем метод
зеркальных отражений. Все заполняем
средой с диэлектрической проницаемостью
.
Поле рассчитываем от двух зарядов:
действительного
и зеркально отраженного фиктивного
заряда
.
Применим метод зеркальных изображений.
Напряженность поля и потенциал в точке
А найдем, используя метод наложения:
;
;
; 
.
Примем точку с нулевым потенциалом на границе раздела под одним из проводов
.
Рассмотрим
точку В. Она лежит в разных средах с
заряженной осью. Применяем метод
зеркальных отражений. Все заполняем
средой с диэлектрической проницаемостью
.
Поле рассчитываем от фиктивного заряда
,
расположенного в той же точке, где
находился реальный заряд
.
;
.
Замечание: если исследуемая точка лежит на поверхности провода, то расстояние от провода до исследуемой точки равно радиусу провода.
Точечный заряд вблизи границы
Диэлектрик – Проводник и Диэлектрик – Диэлектрик
Если поле создается не заряженной осью, а точечным зарядом, то вся методика расчетов сохраняется.
Точечный заряд лежит вблизи границы диэлектрик – проводник. Найти напряженность и потенциал поля в точке А.
Я хотел бы в познавательных целях рассказать об уравнениях, которые применялись при выводе уравнения Дебая-Хюккеля. Это уравнение Пуассона и распределение Больцмана.
Уравнение Пуассона
Мы выяснили, что плазма квазинейтральна в равновесном состоянии и что под действием электрического поля от движущихся зарядов, заряженные частицы смещаются на дебаевскую длину и поле в пределах этой длины затухает. В электростатике взаимодействие заряженных частиц описывается кулоновским уравнением:
Где – величины взаимодействующих точечных зарядов, – квадрат расстояния между зарядами. Коэффициент k является константой. Если мы используем систему в электростатических единицах СГС, обозначаемых СГСЭq, то k = 1. Если используется система СИ, то , где – диэлектрическая проницаемость среды, в которой расположены заряды, – электрическая постоянная, равная 8,86 ∙ .
В физике непосредственно силой не пользуются, а вводят понятие электростатического поля распределённых зарядов и измеряют поле величиной напряженности электрического поля
. Для этого в каждую точку поля мысленно помещают единичный пробный заряд и измеряют силу, с которой поле зарядов действует на пробный заряд:
Отсюда, если подставить в это уравнение силу Кулона, то получим:
Но и этим физики не ограничиваются, для того чтобы описать полноценно электрическое поле. Рассмотрим единичный заряд, помещённый в электростатическое поле. Поле выполняет работу по перемещению этого заряда на элементарное расстояние ds из точки P1 в точку P2:
Величину называют разностью потенциалов или напряжением. Напряжение измеряется в Вольтах. Знак минус говорит нам о том, что само поле выполняет работу для переноса единицы положительного заряда. Силы, перемещающие заряды являются консервативными, так как работа по замкнутому пути равна всегда нулю, независимо от того, по какому пути перемещается заряд.
Отсюда следует глубокий смысл разности потенциалов. Если зафиксировать точку Р1 и перемещать заряд в переменную точку Р2, то работа зависит только от положения второй точки Р2. Таким образом мы можем ввести понятие потенциала. Потенциал – это силовая функция, показывающая какую необходимо выполнить работу полю, чтобы переместить заряд из бесконечности в данную точку P2, где условно принимают потенциал в бесконечности равным нулю.
Чтобы понять уравнение Пуассона, необходимо разбираться в «особой» векторной математике. Я вкратце расскажу про такие понятия как градиент поля и дивергенции (подразумевается, что читатель знаком с математическим анализом)
Пусть f(x,y,z) является некоторой непрерывной дифференцируемой функцией координат. Зная её частные производные в каждой точке пространства можно построить вектор, компоненты которого x, y, z равны соответствующим частным производным:
где – единичные векторы соответствующих осей x, y, z. Значок читается «набла» и является дифференциальным оператором
Этот оператор ввёл в математику Гамильтон. С набла можно выполнять обычные математические операции, такие как обычное произведение, скалярное произведение, векторное произведение и так далее.
Теперь вернёмся к электростатическому полю E. С одной стороны изменение потенциала при переходе из одной точки в другую имеет следующий вид:
С другой стороны, согласно формуле (*)
Применяя только что введённое понятие градиент, эта формула преобразуется в:
Теперь разберёмся с таким понятием, как дивергенция поля. Рассмотрим конечный замкнутый объем V произвольной формы (см. рис. ниже). Обозначим площадь этой поверхности S. Полный поток вектора F, выходящего из этого объема по определению равно
, где da является бесконечно малым вектором, величина которого равна площади малого элемента поверхности S, а направление совпадает с наружной нормалью к этому элементу.
Возьмём этот поток вектора F поделим на объём и найдём предел при стремящейся к нулю, т.е. будем стягивать объём в бесконечно малую точку.
Мы подошли к понятию дивергенции. Обозначается дивергенция символом div и является отношением потока вектора F к объёму V, при V стремящейся к нулю.
Прежде чем показать, как получается уравнение Пуассона, важно знать закон Гаусса и теорему Гаусса. Представим себе сферу, внутри которой находится заряд q. Заряд создаёт вокруг себя электрическое поле напряжённости E. Возьмём поток вектора E
где S площадь нашей сферы равная . Следовательно
Это и есть закон Гаусса, утверждающий, что поток электрического поля E через любую замкнутую поверхность равен произведению на полный заряд, охватываемый поверхностью:
где – плотность объёмного заряда, т.е. величина электрического заряда в единице объёма, и – элементарный объём, выделенный внутри нашего замкнутого объёма.
Теорема Гаусса (полное название теорема Гаусса-Остроградского) чисто математическая теорема о дивергенции. Перепишем полный поток вектора F следующим образом:
В пределе, когда N → ∞, →0 величина в скобках становится дивергенцией и сумма переходит в объёмный интеграл:
Это и есть теорема Гаусса, и является поистине самой важной формулой полевой теории. Применим эту теорему к электростатическому полю. С одной стороны, согласно закону Гаусса
А с другой стороны, согласно теореме Гаусса (только не путайте теорему с законом Гаусса):
Комбинируя два последних уравнения, получим:
Вспомним формулу (**) и подставим сюда вместо E потенциал поля
Дивергенция градиента это новый оператор, который в математике называют оператор Лапласа, или сокращённо лапласиан. Лапласиан обозначается значком набла следующим образом и равен
Перепишем предыдущую формулу в форме лапласиана:
Наконец мы получили уравнение Пуассона. В первой статье это уравнение было немного в другой форме, с учётом диэлектрической проницаемости среды. Вспомните силу Кулона в системе СИ, там константа . Соответственно в законе Гаусса будет не , а коэффициент . Таким образом получаем уравнение Пуассона в форме представленной в предыдущей статье
Таким образом по сути уравнение Пуассона – это закон Кулона (а точнее закон Гаусса) переписанный в другой форме, в обозначениях векторного дифференциального анализа.
В мы разберём важное распределение из математической статистики - распределение Больцмана.
Теги:
- физика
- электростатики
