Дифференциальные уравнения для "чайников". Примеры решения
можно свести к решению ДУ более низкого порядка. В этом случае говорят, что уравнение допускает понижение порядка . Рассмотрим три типа таких уравнений.
5.1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной
Рассмотрим уравнение | ||||||
y(n ) = f(x) . | ||||||
Общее решение | ДУ (5.1) получается выполнением | n последо- |
||||
вательных интегрирований, а именно: | ||||||
y(x) = ∫ dx | ∫ ..........∫ f (x )dx + C 1 x n − 1 | C 2 x n − 2 | C n − 1 x +C n , |
|||
где С 1 , С 2 ,… С n - | ||||||
произвольные постоянные. |
y ′′′ sin4 x = sin 2x .
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
sin 2x | 2sin x cosx | 2cos x | |||||||
Sin4 x | sin4 x | sin3 x . |
|||||||
Интегрируя это уравнение последовательно три раза, получим его общее решение:
y ′′ =2 | cos x | dx = 2 | sin− 3 xd (sinx )= | sin− 2 x | C 1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||
sin2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ sin3 x | − 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
y ′ = | (− | ) + C 1 | dx = | d (ctgx) + C1 | dx = ctgx+ C1 x+ C2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||
sin2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = ∫ ctgxdx+ C1 ∫ xdx+ C2 ∫ dx= ln | sin x | C2 x+ C3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
y = ln | sin x | x + C. ■ | |||||||||||||||||||||||||||||||||
5.2. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомой функции
Рассмотрим уравнения вида | d 2 y | |||||||
f (x ,dx ). | ||||||||
F(x, y, y | ) = 0или |
Порядок этих уравнений можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую производную данных уравнений (5.2), т.е. y ′ = z ,
z = z(x) .
y ′′ = z ′ и ДУ (5.2) | примут вид дифференциального уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
первого порядка: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 или | (x ,z ). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F (x ,z ,z )= | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. | Решить задачу Коши для уравнения | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1 + x | y (0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,y (0)= 3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Обозначим y | (x ) , тогдаy | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x ); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в данное уравнение, получим | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подставим значения y , | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1 + x 2 )z ′− 2xz = 0- | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
это ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. | Разделяя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменные и интегрируя, находим | z (x ): | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 xdx | 1 + x 2 | LnC z | C (1 | X 2 ) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ 1+ x 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Возвращаемся к функции y : | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C (1+ x 2 ), | dy = C(1 + x2 ) dx, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегрируя, получим | y = C( | X ) +C | общее решение. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
С 1 ,С 2 : | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Используя начальные условия, находим | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = 0 | x = 0 | 0 = C | C = 3, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
y ′ =3 | x = 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 = C 1 | C 2= 0. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя значения С 1 и | в общее решение, получим частное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = 3( | X ) =x 3 +3 x . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.3. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимой переменной х
К этому типу ДУ относятся уравнения вида | |||||||
d 2 y | |||||||
f (y ,dx ). | |||||||
F (y ,y ,y )= 0или |
Порядок этих уравнений можно понизить, если положить y ′ = z (y )
(за новый аргумент принять у ).
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
d 2 y | dz(y) | |||||||||
dx 2 | ||||||||||
Подставим значения первой и второй производных
Z dy |
|||||||
F (y ,z ,z | ) = 0 | F (y ,z ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Эти уравнения уже имеют порядок на единицу ниже, чем исходные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Найти общее решение уравнения | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2 y + 3)y | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2(y ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение . Положимy | Z (y );y | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z dy. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставим значения y ′ | y ′′ в данное уравнение: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2 y + 3)− 2z 2 = 0. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Разделяя переменные и интегрируя, находим | z (y ): | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z(2 y+ 3) dz= 2 z2 dy∫ | = ∫ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 y + | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 y + 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = C 1 (2y + 3). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Возвращаясь к функции | у=у(х), | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C (2y + 3), | C dx, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 y + | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегрируем: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C dx | 2 y + 3 | C x+ C | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ 2y + 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: 1 2 ln 2 y + 3 = C 1 x + C 2 . ■
5.4. Составление дифференциальных уравнений
Решение задачи прикладного характера обычно состоит из трех частей:
1) составления дифференциального уравнения;
2) решения этого уравнения;
3) исследования решения.
При решении геометрических задач полезно пользоваться следующей последовательностью действий:
1) сделать чертеж и ввести обозначения. Например, y = f (x ) - уравнение искомой линии и т.п.;
2) отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомого геометрического места, от условий, имеющих место лишь в отдельных фиксированных точках. Другими словами, выделить начальные условия. Их в начале, при составлении дифференциального уравнения, не учитывать;
3) выразить все упомянутые в задаче величины через х, у иу′ , учитывая при этом геометрический смысл производной;
4) на основании условия задачи составить дифференциальное уравнение семейства искомых кривых;
5) найти общее решение полученного дифференциального уравнения,
а затем по начальным условиям найти конкретную интегральную кривую
(см. пример 1.2 п. 1).
При решении задач с физическим содержанием , так же как и в случае решения геометрических задач, можно рекомендовать следующую последовательность действий:
1) установить, какому закону подчиняется рассматриваемый процесс;
2) решить, что выбрать за независимую переменную, например время t ,
и что – за искомую функцию, например S=f (t ) ;
3) исходя из условий задачи, определить начальные условия, например
S0 = f(t0 ) ;
4) выразить все фигурирующие в задаче величины через t , S , S′, используя при этом физический смысл производной как скорость
изменения переменной S в изучаемом процессе;
5) исходя из условия задачи и на основании физического закона, которому подчиняется данный процесс, составить дифференциальное уравнение;
6) найти общий интеграл дифференциального уравнения;
7) по начальным условиям найти частное решение.
Инструкция
Если уравнение представлено в виде: dy/dx = q(x)/n(y), относите их к категории дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Их можно решить, записав условие в дифференциалах по следующей : n(y)dy = q(x)dx. Затем проинтегрируйте обе части. В некоторых случаях решение записывается в виде интегралов, взятых от известных функций. К примеру, в случае dy/dx = x/y, получится q(x) = x, n(y) = y. Запишите его в виде ydy = xdx и проинтегрируйте. Должно получиться y^2 = x^2 + c.
К линейным уравнениям относите уравнения «первой ». Неизвестная функция с ее производными входит в подобное уравнение лишь в первой степени. Линейное имеет вид dy/dx + f(x) = j(x), где f(x) и g(x) – функции, зависящие от x. Решение записывается с помощью интегралов, взятых от известных функций.
Учтите, что многие дифференциальные уравнения - это уравнения второго порядка (содержащие вторые производные) Таким, например, является уравнение простого гармонического движения, записанное в виде общей : md 2x/dt 2 = –kx. Такие уравнения имеют, в , частные решения. Уравнение простого гармонического движения является примером достаточно важного : линейных дифференциальных уравнений, у которых имеется постоянный коэффициент.
Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, и т.д. – тогда значениями могут быть только . Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.
Источники:
- как решить уравнение с одной переменной
Задачи на дифференциальное и интегральное исчисление являются важными элементами закрепления теории математического анализа, раздела высшей математики, изучаемой в вузах. Дифференциальное уравнение решается методом интегрирования.
Инструкция
Дифференциальное исчисление исследует свойства . И наоборот, интегрирование функции позволяет по данным свойствам, т.е. производным или дифференциалам функции найти ее саму. В этом и заключается решение дифференциального уравнения.
Любое является соотношением между неизвестной величиной и известными данными. В случае дифференциального уравнения роль неизвестного играет функция, а роль известных величин – ее производные. Кроме этого, соотношение может содержать независимую переменную:F(x, y(x), y’(x), y’’(x),…, y^n(x)) = 0, где x – неизвестная переменная, y(x) – функция, которую нужно определить, порядок уравнения – это максимальный порядок производной (n).
Такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же в соотношении несколько независимых переменных и частные производные (дифференциалы) функции по этим переменным, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными и имеет вид:x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0, где z(x, y) – искомая функция.
Итак, чтобы научиться решать дифференциальные уравнения, необходимо уметь находить первообразные, т.е. решать задачу, обратную дифференцированию. Например:Решите уравнение первого порядка y’ = -y/x.
РешениеЗамените y’ на dy/dx: dy/dx = -y/x.
Приведите уравнение к виду, удобному для интегрирования. Для этого умножьте обе части на dx и разделите на y:dy/y = -dx/x.
Проинтегрируйте:∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| + C.
Это решение называется общим дифференциального уравнения. С – это константа, множество значений которой определяет множество решений уравнения. При любом конкретном значении С решение будет единственным. Такое решение является частным решением дифференциального уравнения.
Решение большинства уравнений высших степеней не имеет четкой формулы, как нахождение корней квадратного уравнения . Однако существует несколько способов приведения, которые позволяют преобразовать уравнение высшей степени к более наглядному виду.
Инструкция
Наиболее распространенным методом решения уравнений высших степеней является разложение . Этот подход представляет собой комбинацию подбора целочисленных корней, делителей свободного члена, и последующее деление общего многочлена на вида (x – x0).
Например, решите уравнение x^4 + x³ + 2·x² – x – 3 = 0.Решение.Свободным членом данного многочлена является -3, следовательно, его целочисленными делителями могут быть числа ±1 и ±3. Подставьте их по очереди в уравнение и выясните, получится ли тождество:1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.
Второй корень x = -1. Поделите на выражение (x + 1). Запишите получившееся уравнение (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Степень понизилась до второй, следовательно, уравнение может иметь еще два корня. Чтобы найти их, решите квадратное уравнение:x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11
Дискриминант – отрицательная величина, значит, действительных корней у уравнения больше нет. Найдите комплексные корни уравнения:x = (-2 + i·√11)/2 и x = (-2 – i·√11)/2.
Другой метод решения уравнения высшей степени – замена переменных для приведения его к квадратному. Такой подход используется, когда все степени уравнения четные, например:x^4 – 13·x² + 36 = 0
Теперь найдите корни исходного уравнения:x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.
Совет 10: Как определить окислительно-восстановительные уравнения
Химическая реакция – это процесс превращения веществ, протекающий с изменением их состава. Те вещества, которые вступают в реакцию, называются исходными, а те, которые образуются в результате этого процесса – продуктами. Бывает так, что в ходе химической реакции элементы, входящие в состав исходных веществ, изменяют свою степень окисления. То есть они могут принять чужие электроны и отдать свои. И в том, и в другом случае меняется их заряд. Такие реакции называются окислительно-восстановительными.
Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?
Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.
Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.
Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.
Примеры таких уравнений:
Уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде этот тип уравнений выглядит так:
Приведем пример:
Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:
После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Такие уравнения имеют вид:
Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:
Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).
Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.
Пример решения ДУ с разделяющимися переменными
Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.
Сначала перепишем производную в более привычном виде:
Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":
Теперь осталось проинтегрировать обе части:
Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:
Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":
Однородные
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка . Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка . Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными.
В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.
Пример 1
Решение:
Что в первую очередь
следует проанализировать при решении любого
дифференциального уравнения первого порядка
? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.
В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя .
Возникает вопрос – как же решить этот диффур?
Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным ? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:
В исходное уравнение:
вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем :
Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным .
Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:
Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:
и обе части делим на эту самую лямбду:
В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.
Вывод: Данное уравнение является однородным
Как решить однородное дифференциальное уравнение?
У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.
Функцию «игрек» следует заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»:
Почти всегда пишут коротко:
Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то:
Подставляем и в исходное уравнение :
Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:) и, соответственно, .
После подстановки проводим максимальные упрощения:
Поскольку – это функция, зависящая от «икс», то её производную можно записать стандартной дробью: .
Таким образом:
Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»:
Переменные разделены, интегрируем:
Согласно моему первому техническому совету из статьи Дифференциальные уравнения первого порядка
константу во многих случаях целесообразно «оформить» в виде логарифма.
После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену
, она тоже стандартна и единственна:
Если , то
В данном случае:
В 18-19 случаях из 20 решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла .
Ответ: общий интеграл:
Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла?
В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего общее решение получается громоздким и корявым.
Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла:
– ну, еще куда ни шло. Хотя, согласитесь, все равно кривовато.
Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл. Это не ошибка , но в «хорошем» стиле, напоминаю, общий интеграл принято записывать в виде . Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!) :
И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:
Полученный ответ можно проверить. Для этого нужно продифференцировать общий интеграл, то есть найти производную от функции, заданной неявно
:
Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на :
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно.
Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте!
Пример 2
Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл.
Ответ записать в виде
Это пример для самостоятельного решения – чтобы вы освоились в самом алгоритме действий. Проверку проведёте на досуге, т.к. здесь она достаточно сложнА, и я даже не стал её приводить, а то вы больше не придёте к такому маньяку:)
А теперь обещанный важный момент, упомянутый ещё в самом начале темы,
выделю жирными чёрными буквами:
Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель (не константу) в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения!
И на самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях . В процессе решения уравнения «игрек» оказался в знаменателе: , но , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение при нулевом значении константы. Сброс «икса» в знаменатель тоже можно не принимать во внимание, т.к. не удовлетворяет исходному диффуру.
Аналогичная история с третьим уравнением того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили» в знаменатель. Строго говоря, здесь следовало проверить, а не является ли решением данного диффура? Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл при .
И если с «разделяющимися» уравнениями такое часто;) «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью.
Проанализируем уже прорешанные задачи этого урока: в Примере 1 был «сброс» икса, однако не может быть решением уравнения . А вот в Примере 2 мы разделили на , но это тоже «сошло с рук»: поскольку , то решения потеряться не могли, их тут попросту нет. Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они:
Пример 3
Решить дифференциальное уравнение
Не правда ли простой пример? ;-)
Решение: однородность этого уравнения очевидна, но всё равно – на первом шаге ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяем, нельзя ли разделить переменные . Ибо уравнение тоже однородно, но переменные в нём преспокойно разделяются. Да, бывают и такие!
После проверки на «разделяемость» проводим замену и максимально упрощаем уравнение:
Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:
И вот здесь СТОП. При делении на мы рискуем потерять сразу две функции. Так как , то это функции:
Первая функция, очевидно, является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную в наш диффур:
– получено верное равенство, значит, функция является решением.
И эти решения мы рискуем потерять .
Кроме того, в знаменателе оказался «икс», однако замена подразумевает, что он не равен нулю. Запомните это факт. Но! Обязательно проверяем , является ли решением ИСХОДНОГО дифференциального уравнения. Нет, не является.
Берём всё это на заметку и продолжаем:
Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже.
Собираем в правой части единый логарифм, и сбрасываем оковы:
И вот только теперь обратная замена :
Умножим все слагаемые на :
Теперь следует проверить – вошли ли в общий интеграл «опасные» решения . Да, оба решения вошли в общий интеграл при нулевом значении константы: , поэтому их не нужно дополнительно указывать в ответе :
общий интеграл:
Проверка
. Даже не проверка, а сплошное удовольствие:)
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.
Для самостоятельного решения:
Пример 4
Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение
Общий интеграл проверить дифференцированием.
Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотрим пару примеров, когда однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами.
Пример 5
Решить дифференциальное уравнение
Это очень интересный пример, прямо целый триллер!
Решение будем привыкать оформлять компактнее. Сначала мысленно либо на черновике убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность – на чистовике её обычно не проводят (если специально не требуется) . Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: … ».
Если однородное уравнение содержит готовые дифференциалы, то его можно решить модифицированной заменой:
Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим все члены уравнения на :
И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование!
Нулевому дифференциалу соответствует – семейство прямых, параллельных оси . Являются ли они корнями нашего ДУ? Подставим и в исходное уравнение:
Данное равенство справедливо, если , то есть, при делении на мы рисковали потерять решение , и мы его потеряли – так как оно уже не удовлетворяет полученному уравнению .
Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение , то о корне речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя «отловили».
Продолжаем решение стандартной заменой :
:
После подстановки максимально упрощаем уравнение:
Разделяем переменные:
И вот здесь снова СТОП: при делении на мы рискуем потерять две функции. Так как
, то это функции:
Очевидно, что первая функция является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную :
– получено верное равенство
, значит, функция тоже является решением дифференциального уравнения.
И при делении на мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут войти в общий интеграл. Но могут и не войти
Берём это на заметку и интегрируем обе части:
Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата , но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов :
Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Таким образом:
Находим интегралы:
– так как у нас нарисовались одни логарифмы, то константу тоже заталкиваем под логарифм.
Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить
:
Сбрасываем цепи:
И обратная замена
:
Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение вошло в общий интеграл при , а вот – «пролетело мимо кассы», т.к. оказалось в знаменателе. Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном решении , которое, к слову, тоже оказалось внизу.
Ответ: общий интеграл: . Ещё решения:
Здесь не так трудно выразить общее решение:
, но это уже понты.
Удобные, впрочем, для проверки. Найдём производную:
и подставим в левую часть уравнения:
– в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить.
Следующий диффур – самостоятельно:
Пример 6
Решить дифференциальное уравнение
Полное решение и ответ в конце урока. Попробуйте заодно для тренировки и здесь выразить общее решение.
В заключительной части урока рассмотрим еще пару характерных задач по теме:
Пример 7
Решить дифференциальное уравнение
Решение:
Идём проторенной дорогой. Данное уравнение является однородным, проведем замену :
С «иксом» тут всё в порядке, но вот что с квадратным трёхчленом? Поскольку он неразложим на множители : , то решений мы точно не теряем. Всегда бы так! Выделяем в левой части полный квадрат и интегрируем:
Упрощать тут нечего, а посему обратная замена :
Ответ: общий интеграл:
Пример 8
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения.
Итак :
При неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно) , не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Как правило, сокращение на что-то или деление на что-то. Так, например, при делении на нужно проверить, являются ли функции решениями дифференциального уравнения. В то же время при делении на необходимость в такой проверке уже отпадает – по причине того, что этот делитель не обращается в ноль.
Вот ещё одна опасная ситуация:
Здесь, избавляясь от , следует проверить, не является ли решением ДУ. Часто в качестве такого множителя встречается «икс», «игрек», и сокращая на них, мы теряем функции , которые могут оказаться решениями.
С другой стороны, если что-то ИЗНАЧАЛЬНО находится в знаменателе, то повода для такого беспокойства нет. Так, в однородном уравнении можно не беспокоиться о функции , так как она «заявлена» в знаменателе.
Перечисленные тонкости не теряют актуальность, даже если в задаче требуется найти только частное решение. Существует пусть маленький, но шанс, что мы потеряем именно требуемое частное решение. Правда задача Коши в практических заданиях с однородными уравнениями запрашивается довольно редко. Тем не менее, такие примеры есть в статье Уравнения сводящиеся к однородным , которую я рекомендую изучить «по горячим следам» чтобы закрепить свои навыки решения.
Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, потому что на ближайших уроках (см. ниже) ещё успею вас замучить я хочу вас видеть свежими и оптимистичными!
Успешного продвижения!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо
подставим , а вместо
подставим :
В результате получено исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.