Инвариантное преобразование импульсной характеристики. Научно-исследовательская работа " метод инвариантов"

Лабораторная работа 6

РАЗРАБОТКА ФИЛЬТРОВ С БЕСКОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Цель работы: получить навыки разработки БИХ–фильтров.

Задачи работы:

1. Познакомиться с основными методами разработки БИХ-фильтров

2. Изучить команды MATLAB, позволяющие выполнить синтез БИХ-фильтров

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.. 2

1.1. Методы расчета коэффициентов БИХ–фильтра. 2

1.1.1. Расчет коэффициентов фильтра путем размещения нулей и полюсов. 2

1.1.2. Инвариантное преобразование импульсной характеристики. 4

1.1.3. Билинейное z -преобразование. 8

1.1.4. Выбор метода расчета коэффициентов БИХ-фильтров. 12

1.2. Эффект Найквиста. 12

1.3. Разработка БИХ–фильтров с помощью MATLAB.. 16

2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ.. 18

3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.. 20

4. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.. 24

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Методы расчета коэффициентов БИХ–фильтра

На этом этапе вначале выбирается метод аппроксимации, который затем используется для расчета значений коэффициентов a k и b k , при которых спецификации частотной характеристики, полученные на первом этапе разработки, будут удовлетворены. (Про этапы разработки и задание спецификаций фильтра подробнее в 4-й лабораторной работе).

Для простого получения коэффициентов БИХ–фильтра можно разумно разместить полюса и нули на комплексной плоскости, чтобы получающийся в результате фильтр имел нужную частотную характеристику. Данный подход, известный как метод размещения нулей и полюсов, полезен только при разработке простых фильтров, например, узкополосных режекторных фильтров, где параметры фильтра (такие как неравномерность в полосе пропускания) не обязательно задавать точно. Более эффективный подход – вначале разработать аналоговый фильтр, удовлетворяющий желаемой спецификации, а затем преобразовать его в эквивалентный цифровой. Большинство цифровых БИХ–фильтров разрабатываются именно так. Данный подход получил широкое распространение потому, что на настоящий момент в литературе имеется масса информации по аналоговым фильтрам, которую можно использовать при разработке цифровых фильтров. Тремя наиболее распространенными методами конвертации аналоговых фильтров в эквивалентные цифровые являются метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, согласованное z –преобразование и билинейное z –преобразование.

В следующих разделах рассмотрены такие методы расчета коэффициентов БИХ–фильтров:

метод размещения нулей и полюсов;

метод инвариантного преобразования импульсной характеристики;

билинейное z –преобразование.

Расчет коэффициентов фильтра путем размещения нулей и полюсов

Если в некоторую точку комплексной плоскости поместить нуль, частотная характеристика в этой точке будет равной нулю. Полюс, с другой стороны, порождает максимум (рис. 1). Полюса, расположенные близко к единичной окружности, дают большие пики, тогда как нули, расположенные близко к единичной окружности или лежащие на ней, дают минимумы характеристики. Следовательно, стратегическое размещение полюсов и нулей на комплексной плоскости позволяет получить простой фильтр нижних частот или другой частотно-избирательный фильтр.

При разработке фильтра стоит помнить один важный момент: чтобы коэффициенты фильтра были действительными, полюса и нули должны либо быть действительными, либо образовывать комплексно сопряженные пары. Проиллюстрируем описанный метод на примерах.

Рис. 1. Диаграмма нулей и полюсов простого фильтра (панель а); схематическое изображение частотной характеристики этого фильтра (панель б)

Пример 1. Иллюстрация расчета коэффициентов фильтра с помощью простого метода нулей и полюсов. Требуется цифровой полосовой фильтр, удовлетворяющий следующим спецификациям:

полная режекция сигнала на 0 и 250 Гц;

узкая полоса пропускания, центрированная на 125 Гц;

ширина полосы пропускания по уровню 3 дБ равна 10 Гц.

Считая частоту дискретизации равной 500 Гц, определите передаточную функцию фильтра, подходящим образом расположив на комплексной плоскости полюса и нули, и запишите разностное уравнение.

Решение

Вначале нужно определить, где на комплексной плоскости поместить полюса и нули. Поскольку полная режекция требуется на 0 и 250 Гц, в соответствующих точках комплексной плоскости следует поместить нули. Эти точки лежат на единичной окружности в местах, соответствующих углам 0° и 360° х 250/500 = 180°. Чтобы полоса пропускания была центрирована на 125 Гц, требуется поместить полюс в точках ±360° х 125/500 = ±90°. Чтобы коэффициенты были действительными, нужна пара комплексно-сопряженных полюсов.

Радиус r полюсов определяется желаемой шириной полосы. Для определения приблизительной ширины полосы (шп) при r > 0,9 используется следующее соотношение:

Рис. 2. Диаграмма нулей и полюсов (панель а).

В данной задаче шп = 10 Гц и Fs = 500 Гц, откуда r = 1 - (10/500)π = 0,937. Получающаяся диаграмма нулей и полюсов изображена на рис. 2. С помощью этой диаграммы записываем передаточную функцию:

Разностное уравнение:

y (n ) = -0,877969у (n - 2) + x (n ) - x (n - 2).

Сравнивая передаточную функцию H (z ) с общим уравнением БИХ–фильтров, находим, что фильтр представляет собой блок второго порядка со следующими коэф­фициентами:

b 0 =1 a 1 =0

b 1 =0 a 2 =0.877969

Инвариантное преобразование импульсной характеристики

Второй способ построения цифровых фильтров заключается в таком преобразование параметров исходного аналогового фильтра в параметры дискретного фильтра, при котором импульсные характеристики фильтров (аналогового и дискретного) совпадали бы в дискретные моменты времени при .

Математически условие совпадения импульсных характеристик фильтров (аналоговых и дискретных) записывается как

, (1)

где, , – импульсные характеристики аналоговых и дискретных фильтров, соответственно.

Определим передаточную функцию аналогового фильтра, а затем представим ее в виде простых дробей

, (2)

где, – различные полюса (корни) передаточной функции аналогового фильтра; – коэффициенты, определенные любым из известных методов; – степень характеристического уравнения знаменателя.

Аналогично уравнению (2) могут быть получены соотношения, определяющие Z –передаточную функцию дискретного фильтра, которые затем так же можно представить в виде суммы дробей

. (3)

Сравнивая выражения (2) и (3), получаем соотношение перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам по методу инвариантного преобразования импульсной переходной характеристики

, (4)

.

Пример 2. Пусть задана передаточная функция аналогового фильтра

.

Найти методом инвариантного преобразования импульсной переходной функции цифровой фильтр. Представим передаточную функцию в виде простых дробей

. (5)

Определим и методом Хевисайда

,

.

Используя соотношение (4) запишем Z –передаточную функцию цифрового фильтра

Упрощая выражение (6), получим

. (7)

При , получим

. (8)

Все трудоемкие вычисления, связанные с переходом от непрерывных передаточных функций к дискретным, можно исключить с помощью команды MATLABimpinvar

Impinvar(b,a,Fs),

где, , – заданные векторы коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции аналогового прототипа, – частота дискретизации сигнала в герцах, а , – вычисленные коэффициенты числителя и знаменателя дискретной передаточной функции дискретного фильтра.

Процедура определения параметров дискретного фильтра по его аналоговому прототипу, базируется на совпадении импульсных характеристик обоих фильтров в точках квантования сигналов, представлена программой MATLAB.

h=tf(,) %Передаточная функция непрерывного фильтра.

Tp=0.1; %Интервал дискретности.

hd=c2d(h,Tp) %Передаточная функция дискретного фильтра.

Tfdata(h,"v") %Определение коэффициентов передаточной

%функции непрерывного фильтра.

Impinvar(n,d,10) %Определение коэффициентов передаточной

%функции дискретного фильтра.

f=filt(nd,dd,0.1) %Передаточная

%функция дискретного фильтра.

bode(h,hd,f),grid on %Логарифмические характеристики

%проектируемых фильтров.

Следует отметить, что усиление цифрового фильтра на нулевой частоте равно , а усиление аналогового фильтра на составляет 1. Поэтому, если сравнить выражение (8) с аналогичным выражением, полученным в пакете MATLAB, то наблюдается расхождение, определяемой множителем . Поэтому, чтобы привести в соответствие результаты расчетов, полученные аналитическим путем (выражения 5–8), с результатами расчетов, полученными в пакете MATLAB, следует пронормировать выражение (8), умножив его на интервал дискретности.

Результаты выполнения этой программы показывают, что передаточные функции, полученные путем трудоемких расчетов (выражения 5–8) и с помощью процедуры impinvar, совпадают. Логарифмические характеристики, полученные применением разных процедур, отличаются: меньшую ошибку дает процедура impinvar.

Рис.3. Логарифмические характеристики фильтров (1 ‑ аналоговый; 2 ‑ дискретный (процедурыimpinvar); 3 ‑ дискретный (процедурыc2d)).

1.1.3. Билинейное z -преобразование

Известно, что метод преобразования импульсной переходной функции базируется на связи точек плоскости S с точками плоскости Z , определяемой отношением

где, – угол между действительной осью плоскости Z и векторами, определяющими точки на окружности единичного радиуса плоскости Z .

Из (9) следует, что связь между точками плоскости S и Z неоднозначна, что вносит наложение и может исказить результаты, т.е. синтезированный таким образом цифровой фильтр не будет адекватен его аналоговому прототипу. Действительно, частот ; и на плоскости Z отображаться в одну точку z =1.

Для исключения нежелательного эффекта наложение введено билинейное преобразование, которое однозначно преобразует точки мнимой оси плоскости S на точки мнимой оси плоскости Z . Таким образом, переход от мнимой оси плоскости S на плоскость Z осуществляется двумя преобразованиями: выражениями (9) и (10). Выражение (9) преобразует мнимую ось плоскости S в окружность единичного радиуса плоскости Z , а выражение (10) преобразует мнимую ось плоскости S в мнимую ось плоскости Z . Последнее преобразование (выражение (10) известно как W преобразование и плоскость Z при таком преобразовании обозначается как плоскость W .

(10)

Решая уравнение (10) относительно z получим выражение, определяющее переходу из плоскости W в плоскость S

Используя соотношения (9-11) обоснуем методику расчета цифровых фильтров, которая не отличается от рассмотренной ранее и состоит из следующих шагов.

1. Исходя из технических требований, определяем передаточную функцию требуемого аналогового фильтра .

2. Применяем к билинейное преобразование и получаем Z‑передаточную функцию цифрового фильтра

. (12)

При преобразовании (12) будут сохраняться частотные характеристики и свойства устойчивости аналогового фильтра. Однако это не означает, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтров одинаковы, одинакова только их форма. Например, если амлитудно–частотная характеристика аналогового фильтра спадает монотонно при изменении частоты от 0 до бесконечности, амлитудно–частотная характеристика цифрового фильтра будет монотонно спадать при изменении цифровой частоты от 0 до ; если амлитудно–частотная характеристика аналогового фильтра имеет подъемов и спадов в частотном диапазоне от 0 до бесконечности, то и амплитудно–частотная характеристика соответствующего цифрового фильтра будет иметь подъемов и спадов в диапазоне цифровой частоты от 0 до . Причем, связь между и нелинейная

(15)

Процедуру определения параметров цифрового фильтра на основе метода билинейного преобразования можно ускорить, воспользовавшись процедурами bilinear или c2dпакета MATLAB.

К процедуре bilinearможно обратиться тремя путями

Bilinear(b,a,Fs,Fp) (16)

Bilinear(z,p,kFs,Fp) (17)

Bilinear(А,В,С,D,Fs,Fp) (18)

Исходные данные для выполнения процедуры bilinear параметра аналогового фильтра, заданные в форме LTI. Параметр Fs задает частоту дискретизации в герцах. Параметр Fp не обязателен. Он определяет частоту в герцах, для которой значение АЧХ до и после выполнения преобразования должна совпадать.

Выражение (16)-(18) отличается исходными данными. В (16) определяться коэффициенты числителя bd и знаменателя adдискретного фильтра по коэффициентам числителя b и знаменателя a, аналогового прототипа. В выражении (17) исходными данными аналогового прототипа являются нули z, полюса ри коэффициент усиления k. Обращение к выражению (17) позволяет вичислить нули zd,полюса pdи коэффициент усиления kd дискретного фильтра. И, наконец, выражение (18) определяет дискретную матрицу пространства состояния фильтра по известным непрерывным матрицам пространства состояния это фильтра.

Процедура c2d определяет параметры дискретного фильтра по непрерывной передаточной функции h и интервалу дискретности T П

hd=c2d(h,Tp,‘метод’) (19)

MATLAB предлагает несколько методов аппроксимации: нулевого порядка, первого порядка, метод билинейной аппроксимации Тастина, билинейной аппроксимации Тастина с коррекцией и метод соответствия нулей и полюсов. При выборе метода аппроксимации выражение (19) конкретизируется (применена билинейная аппроксимации Тастина)

hd=c2d(h,Tp,‘TUSTIN’). (20)

Рис.4. Логарифмические характеристики фильтров (1 ‑ аналоговый; 2 ‑ дискретный (процедуры билинейного преобразования); 3 ‑ дискретный (процедурыc2d))

Все выше приведенные теоретические положения по расчету цифровых фильтров с помощью билинейного преобразования проиллюстрированы программой:

h=tf(,) %Исходные данные

syms z s %Ввод символьных переменных

k=2; %Ввод символьных переменных.

s=(2/Tp)*(1-z^-1)/(1+z^-1) %Переход на плоскость W.

hs=k/(s^2+3*s+3) %Применение преобразования к

%аналоговому фильтру.

hs1=simplify(hs) %Алгебраические преобразования

hs2=filt(,,Tp)*(2/463)%Уравнение

%цифрового фильтра при билинейном преобразовании.

Tfdata(h,"v") %Определение коэффициентов

%передаточной функции непрерывного фильтра.

Bilinear(n,d,10) %Уравнение цифрового фильтра при

%билинейном преобразовании.

hdt=c2d(h,Tp,"TUSTIN") %Уравнение цифрового фильтра при

%преобразовании Тастина.

hdv=filt(nd,dd,Tp) %Приведения уравнения к форме фильтра.

bode(h,hdt,hdv,hs2),grid on %Логарифмические

%характеристики аналоговых и цифровых фильтров.

Результаты расчетов этой программы приведены на рис.4, из которого следует, что графики частотных характеристик, полученные путем трудоемких расчетов (выражение (15)) и с помощью процедур bilinearи c2d, совпадают.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия № 9

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-РЕФЕРАТИВНЫЙ ПРОЕКТ

по теме:

Применение метода инвариантов при решении задач ЕГЭ и олимпиадных задач

Выполнила:

ученица XI «Б» класса

Тищенко Элина

Научный руководитель:

учитель математики

Хатунцева

Ирина Владимировна

Воронеж – 2017

Содежание

Введение

В современной математике важную роль играет понятие инвариантности, т.е. неизменность математического объекта. Очень многие определения математики фактически связаны с этим понятием, хотя сам термин инвариантности в учебниках отсутствует.

Пример: четная функция f(x) с областью определения R инвариантна, т.к. f(x)= f(-x).

Наличие того или иного свойства инвариантности у математического объекта позволяет установить некоторые общие качественные свойства этого объекта.

Цель данной работы - показать применение метода инвариантов при решении задач ЕГЭ и олимпиадных задач.

Этой теме посвящено много литературы издательств ведущих ВУЗов страны, таких как МГУ и МФТИ. Классической книгой по теории инвариантов является книга выдающегося немецкого математика Герлеана Вейля. А студентами Оксфордского Университета издается ежегодный журнал "The Invariant".

Эта тема представляется очень актуальной, т.к. метод инвариантов позволяет довольно просто решать задачи повышенного уровня сложности.

Глава 1. Применение метода инварианто в при решении олимпиадных задач

В качестве инварианта чаще всего рассматриваются четность (нечетность), остаток от деления, перестановки, раскраски и т.д.

Применение четности – одна из наиболее часто встречающихся идей при решении олимпиадных задач. Сформулируем наиболее важные утверждения, на которых основано применение этой идеи:

четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых;

знак произведения нескольких (отличных от нуля) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Задача 1.

На доске написано десять плюсов и пятнадцать минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус в противном случае. Какой знак останется на доске после выполнения двадцати четырех таких операций?

Решение.

Заменим каждый плюс числом 1 , а каждый минус числом -1 .

Тогда мы стираем любые два числа и записываем их произведение. Поэтому произведение всех написанных на доске чисел останется неизменным.

Так как произведение изначально было отрицательным (15 отрицательных чисел), то и в конце оно останется отрицательным .

Ответ: минус.

Задача 2.

Мальчик получил двойку за контрольную работу по математике и в порыве отчаяния разорвал листок со своей работой на десять кусков. Затем один из получившихся кусков он разорвал еще на 10 кусков. Может ли по завершении релаксации оказаться 2015 кусков бумаги?

Решение.

Каждый раз при разрывании одного куска бумаги на 10, мальчик увеличивает общее количество кусков бумаги на 9. После первого разрывания у него будет 1+9=10 кусков, после второго – 10+9=19 кусков и т.д. Т.е., количество кусков бумаги на n-ном разрывании находится по формуле 1+9 n .

Проверим, представимо ли число 2015 в виде 1+9 n :

1+9 n =2015;

9 n =2014.

2014 не делится на 9 без остатка, следовательно, 2015 кусков по завершении релаксации оказаться не может.

Ответ: нет

Задача 3.

На доске записаны числа от 1 до 1998. Разрешается за один ход стирать любые два числа и вместо них записывать их разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулем?

Решение.

Рассмотрим сумму всех чисел, записанных на доске до и после одного шага. Пусть мы стерли числа a , b . Тогда сначала сумма всех чисел была равна , а потом , где S – сумма всех остальных чисел. Как видим, замена (a + b ) на ( a - b ) не меняет четности суммы всех чисел. Сумма чисел в самом начале есть нечетное число (
), значит, на каждом шаге сумма записанных на доске чисел будет нечетна. Ноль – четное число, поэтому получить его на доске мы не можем.

Ответ: нет.

Задача 4.

Каждая клетка квадратной таблицы 2*2 закрашена в черный или белый цвет, как показано на рисунке ниже. За один ход можно перекрасить клетки в любой строке, в любом столбце или в любой диагонали: черные – в белый цвет, а белые – в черный. Можно ли через несколько ходов получить таблицу, все клетки которой белые?

Решение.

Сопоставим каждой клетке 1, если она покрашена в белый цвет, и -1, если она покрашена в черный цвет. Тогда смена цветов означает смену знаков. Рассмотрим произведение всех чисел, соответствующих клеткам. Так как при перекрашивании мы изменяем знаки ровно у двух сомножителей, то произведение всех четырех чисел не изменяется. В самом начале это произведение равно -1. Требуемой раскраске соответствует произведение, равное 1. Следовательно, указанными операциями перекрасить таблицу невозможно.

Ответ: нет.

Задача 5.

В трех кучках лежат 1, 9 и 98 камней. За один ход разрешается из любых двух кучек взять по одному камню и переложить их в третью. Можно ли за несколько ходов собрать все камни в одной из кучек?

Решение.

Рассмотрим остатки при делении на три исходных чисел – количества камней в кучках. В первой кучке остаток 1, во второй – 0, в третьей – 2. Рассмотрим, что будет дальше происходить с точки зрения остатков, когда мы перекладываем камни:

Мы нашли инвариант – после любой из операций остатки будут прежние: 0, 1, 2, только уже распределены по-другому. Если же мы сможем собрать все камни в одной кучке, то остатки при делении на 3 во всех кучках будет одинаковые (равны 0). Следовательно, указанными операциями собрать все камни в одной кучке нельзя.

Ответ: нет.

Задача 6.

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовем пару несоседних звеньев ломаной особой, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особых пар чётно.

Решение.

Возьмем соседние звенья АВ и ВС и назовем уголком угол, симметричный углу АВС относительно точки В (на рисунке ниже уголок заштрихован). Такие же уголки можно рассмотреть для всех вершин ломаной. Ясно, что число особых пар равно числу точек пересечения звеньев с уголками. Остается заметить, что число звеньев ломаной, пересекающихся с одним уголком, четно, т.к. по пути от А к С ломаная входит в уголок столько же раз, сколько выходит из него (это следует из условия, что никакие три вершины ломаной не лежат на одной прямой). Следовательно, число особых пар чётно, что и требовалось доказать.

Задача 7 (региональный этап Всероссийской олимпиады школьников, 2016-2017 г.г., 11 класс, второй день, №8).

Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального d на столе рано или поздно появится карточка с числом, делящимся на
?

Решение.

Если в некоторый момент среди чисел на карточках есть ровно k нечётных, то среди произведений чисел по 12 ровно
нечётных; поэтому число на очередной добавляемой карточке будет нечётным ровно тогда, когда нечётно (и тогда k в эту минуту увеличится на 1).

Нетрудно заметить, что число
нечётно (это следует из того, что степени двойки, входящие в
и
, равны). Далее, при последовательной проверке получаем, что первое
,
,
- нечетные числа, а
- четное. Следовательно, когда количество нечетных карточек достигнет 32, больше оно увеличиваться не будет, и на столе всегда будет лежать только 32 нечетные карточки, а все добавляемые числа будут четными.

Пусть теперь на n -ном шаге – сумма всех произведений по 12 из чисел, написанных на карточках, а – сумма всех произведений по 11 чисел. Число
, которое будет записано на следующей карточке, отличается от на сумму произведений по 12 чисел, среди которых есть только что добавленное четное число , т.е. на
. Значит, . Число - четное, так как количество нечетных сумм по 11
четно. Значит,
нечетно, и максимальная степень двойки, на которую делится
равна максимальной степени двойки, на которую делится . Значит, так как изначально на столе не лежали числа, которые для любого натурального d делились на , то и дальше такие числа не появятся.

Ответ: нет, нельзя.

Глава 2. Применение метода инвариантов в задах ЕГЭ, содержащих параметр

После анализа большого количества задач, был составлен алгоритм решения задач с параметром методом инвариантов..

Алгоритм решения задач с параметрами с помощью инварианта:

1) проверить на инвариантность данное уравнение, неравенство, систему уравнений (неравенств);

2) найти допустимые значения параметра из проверки выполнения условий: при «симметрии относительно знака переменной» подставить её нулевое значение; при «симметрии относительно перестановки переменных» все переменные обозначают одной буквой;

3) проверкой убедиться, что найденные значения параметра удовлетворяют условию задачи;

4) записать ответ.

Утверждение 1 . Если выражение
инвариантно относительно преобразования
и уравнение
имеет корень ,то

Утверждение 2. Если выражение

и уравнение
имеет решение
, то и пара чисел

Утверждение 3 . Если выражение
инвариантно относительно преобразования
и уравнение
имеет решение
, то и пара чисел
также решение этого уравнения.

Утверждение 4. Если выражение
инвариантно относительно преобразования
и
, а уравнение
имеет решение
, то и пара чисел
также решение этого уравнения.

Утверждение 5. Если выражение
инвариантно относительно преобразования
, уравнение
имеет корень , то
также корень этого уравнения.

Задача 1.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет одно решение

Решение.

Заметим, что если является корнем уравнения, то - - тоже корень => один корень может быть только если =-=0.
Подставим
:

При
:

1 корень, подходит

При
:

Левая часть этого уравнения больше или равна
, причем эта нижняя граница является точной – она достигается при
. Оценить правую часть немного сложнее. Прежде всего отметим, что при изменении переменной от
до
выражение
меняется от -1 до 1. На отрезке
функция
монотонно возрастает от
до
. Поэтому выражение
меняется от
до
. Соответственно, правая часть уравнения (1) меняется от
до
, причем значения правой части уравнения полностью заполняют этот отрезок. Из полученной информации относительно возможных значений левой и правой частей уравнения (1) следует, что они могут быть равны только тогда, когда одновременно равны
. Иначе говоря, уравнение (1) равносильно системе:

Первое уравнение имеет единственный корень
, который удовлетворяет и второму уравнению системы. Значит, система, а вместе с ней и исходное уравнение имеет единственное решение
. Поэтому проверяемое значение параметра (
) нужно включить в ответ задачи.

Ответ: 0;
.

Задача 2. система неравенств
имеет единственное решение?

Решение. 1. В данной системе наблюдаем «симметрию относительно замены переменных». Тогда, если –решение системы, то и
также решение системы. Единственность решения достигается при условии
(Утверждение 4).

2. Обозначив все переменные через
Из неравенства которое имеет единственное решение, если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, т.е.

3. Проверим, имеет ли система единственное решение при найденных значениях параметра.

а) Подставим в данную систему неравенств
:

Сложим неравенства последней системы:
+

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим: . Отсюда



- единственное решение.

б) При подстановке
получим единственное решение

Ответ:

Задача 3. Найдите все значения параметра , при которых система уравнений

имеет четыре различных решения.

Решение.

Из вида системы следует, что> 0.

1.Система инвариантна при замене на - и на -. Поэтому, если искомое значение параметра и пара чисел ;
- решение системы, то пары
;
, ;
и
; -
также решения системы. (Утверждения 2 и 3). Поэтому найдем решения при ≥ 0, ≥0. Изобразим графики уравнений в одной системе координат. График первого уравнения – точки сторон квадрата ABCD , график второго - окружность с центром в начале координат и радиусом, равным .

По рисунку видно, что система имеет ровно четыре решения в двух случаях: 1)


;
; так как > 0, то
; 2) = 0 E - радиус окружности, вписанной в квадрат, сторона которого равна
по т. Пифагора из треугольника ВОС.

Значит, 0Е =
, тогда =
откуда 2
= 2; 2 =
и =
.

Ответ: = 1; =
.

Задача 4. При каких значениях параметра система уравнений
имеет ровно три решения?

Решение. 1. Если пара чисел ;
– решение системы, - искомый параметр, то пара

; -
– также решение системы. Значит, = -
= 0.(Утверждение 3).

2.Подставим = 0 в данную систему уравнений.

Получим:

Проверим, имеет ли данное уравнение при найденных значениях единственное решение. При =-3 имеем:

Решим второе уравнение системы:

или
не имеет решений.

Если у=0, то х=5 и (-5; 0) – единственное решение системы. Значит,
не подходит. . Заключение

В ходе проделанной работы был изучен метод инвариантов. Был применён метод инвариантов при решении задач ЕГЭ, содержащих параметр, и олимпиадных задач на раскраску, четность, остатки от деления, обосновано и наглядно показано практическое применение метода.

Список использованной литературы

МЕТОД ИНВАРИАНТА ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Остонов К.

(Самаркандский государственный университет)

При решении некоторых математических задач применяется совокупность преобразований искомого объекта и требуется, используя данные преобразования, получить из одного состояния объекта другое. С помощью перебора вариантов в многих случаях можно убедиться в правомерности ответа “нельзя”, но доказательство правильности полученного результата будет сложным. Таким математическим методом решения таких задач считается метод инвариант. Прежде всего определим что такое инвариант?

Определение 1. Инвариантом называется нечто, не меняющееся в преобразованиях.

К примеру, инвариантом могут быть число, набор чисел, четность какого – либо числа и другое.

Свойство 1 . Если значение инварианта в двух состояниях объекта различно, то одно из них нельзя получить из другого.

Во многих математических задачах инвариантом считаются четность (нечетность) чисел и остаток от деления.

Здесь прежде всего основывается на определения четного и нечетного числа, абстрактного понятия четности, чисел имеющие “разную четность”, а также на свойство о том, что при прибавлении единицы четность чисел изменяется. Использование принципа четности и нечетности требует применение следующих утверждений:

Утверждение 1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.

Утверждение 2. Знак произведения нескольких (отличных от 0) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

Решение. Предлагается выполнить данную операцию учащимся (результат каждого хода записывается на доске), отмечается закономерность: после каждого хода характер четности меняется: после первого ученика число становится четным, после второго нечетным; после третьего - четным; после четвертого – нечетным. Тогда после шестнадцатого число будет нечетным. Поэтому нуль в конце получиться не может.

Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?

Решение. После подхода первой девочки количество оставшихся платков либо 19, либо 21 (нечетное количество); после подхода второй девочки – либо 18, либо 20, либо 22 (четное количество); после подхода третьей девочки – либо 17, либо 21, либо 23, либо 19 (нечетное количество). После подхода 17 девочки остается нечетное количество платков. Получается противоречие. Значит, 10 платков остаться не может.

Задача 3. В таблице, где имеются 15 чисел (-1), можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из (+ 1)?

Решение. Ответ: нельзя. Так как число чисел в таблице нечетно, а после каждой операции число чисел (+ 1) в таблице четно. На языке инвариантов это означает: инвариантом таблицы относительно введенной операции является произведение всех чисел в таблице. В начальный момент это произведение равно (- 1), а нам нужно получить таблицу, инвариант которой равен (+ 1).

Задача 4. Имеется набор чисел Данный набор чисел меняется на тройку чисел:
,
,
. Дан набор чисел 2016, 2018, 2019. Можно ли из него получить набор из чисел 2017, 2018, 2019?

Решение. Ответ: нельзя. Так как
и
+
+
равны, а сумма 2016+ 2018+ 2019 и сумма 2017+ 2018+ 2019 различны.

Задача 5. Из цифр 2, 3, 4,… 9 составили два натуральных числа. Каждая цифра использовалась один раз. Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого?

Решение. Ответ: нет. Пусть и
– полученные числа, S(a ) и S(b ) – суммы их цифр. По признаку делимости числа N и S(N) имеют одинаковые остатки при делении на 3. Поскольку число a + b = 3a делится на 3, то сумма S = S(a ) + S(b ) должна делиться на 3, что неверно, так как S = 2 + 3 + 4 + … + 9 = 44.

Задача 6. Числа 0,1,2,3, …, 9 записаны по кругу. За один ход разрешается прибавить к двум соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить десять нулей?

Решение. Нельзя. При прибавлении одинаковых целых чисел к любым двум из имеющихся не меняет четность общей суммы всех чисел. Первоначально эта сумма равно 1 + 2 + 3 + … 9 = 45, следовательно, после каждого хода общая сумма полученных чисел должна быть нечетна, а нуль – четное число.

Задача 7. В десяти сосудах содержится 1, 2, 3,…, 10 литров воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6, 7, 8, 9, 10?

Решение. Нельзя. Предложенная операция обладает полуинвариантом: при любом переливании число нечетных сосудов (содержащих нечетное число литров воды) не увеличивается. Количество таких сосудов уменьшается при переливании из нечетного сосуда в нечетный, а в остальных случаях не изменяется. Следовательно, переход 1, 2, … 10 - 3, 3, 3, 3, 3, 6,…,10 невозможен, поскольку увеличивает число нечетных сосудов.

Решения задач головоломок с использованием четности и нечетности чисел отличаются логической безупречностью и абсолютной обоснован-ностью выводов, которые требует знание на простейших свойств арифме-тических операций сложения и вычитания

Здесь действует следующие основные правила четности:

Сумма четных слагаемых - четна.

Если число нечетных слагаемых четно, то и сумма четна.

Если сумма двух чисел - четное число, то и их разность тоже четное число.

Если сумма двух чисел - нечетное число, то и их разность тоже нечетное число.

Если число нечетных слагаемых нечетно, то и сумма нечетна.

Если один из множителей - четное число, то и произведение четно.

Если все множители нечетны, то и произведение нечетно.

Задача 8 . Четно или нечетно число 1+2+3+4+…+2000? Ответ: четно.

Задача 9. Верно ли равенство 1х2+2х3+3х4+…+99х100 = 20002007? Ответ: нет, сумма четных слагаемых всегда четна.

Задача 10 . .Определить на четность числа 3(х+1); х+х; х+х+2005, если х нечетное. Ответ: первое - четное, второе - четное, третье - нечетное.

Задача 11 . Можно ли квадрат размером 25х25 разрезать на прямоугольники 1х2? Ответ: нет, число 625 не делится на2.

Задача 12 . Можно ли соединить 13 городов дорогами, так чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог? Ответ: нет, каждую дорогу считаем дважды, поэтому общее количество дорог должно быть четным. В нашем случае их 13х5 =65.

Задача 13 . Кузнечик прыгает по прямой: первый раз на 1 см, второй раз на 2 см и т.д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на прежнее место? Ответ: нет, чтобы вернуться на старое место общее количество сантиметров должно быть четно, а сумма 1+2+3+…+25 нечетна.

Задача 14 . Можно ли организовать шахматный турнир между 15 шахматистами так, чтобы каждый сыграл по 15 партий? Ответ: нет, 15х15 нечетно.

Задача 15 . Может ли произведение суммы трех последовательных натуральных чисел на сумму трех следующих за ними натуральных чисел быть равным 33333? Ответ: нет, произведение должно быть четно, т.к. один из множителей четное число.

В заключении можно сказать, что применение идеи четности и нечетности позволяет учащимся опровержения тех фактов о которых спрашивается, и понять сходную логику с методом доказательства от противного. При самом распространенном ответе «не может» требуется объяснить почему именно этого не может быть. Если он говорит: «Может», то достаточно привести пример такого расклада, распределения или комбинации. Помимо прямых задач на четность и нечетность может включать в себя разбор близких по замыслу задач (на две противоположности), решаемых при помощи анализа отнесения объекта (или варианта) в ту или иную группу.

Литература

Альхова З. Н., Макеева А. В. Внеклассная работа по математике. – Саратов: «Лицей», 2001.

Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. - М.: Просвещение, 2003.

Козлова Е. Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Издание 2-е, испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2004.

4. Медников Л.Е.Четность.-М.:МЦНМО,2009.

5. Бабич О.А. Сценарий внеурочного занятия по математике(в рамках предметной лаборатории).7 класс.«Инвариант»,г.Холмск, 2015.

6. www.strategy48.ru/sites/default/files/fomina1.pdf

Аннотация

В этой статье рассматривается один из методов решения математических задач – метод инварианта, основанной на идеи четности и нечетности, а также специфика их при решении занимательных задач школьного курса математики.

Ключевые слова : инвариант, задача, идея, четность, число, правила, закномерность.

Метод инвариантности

Метод инвариантности состоит в том, что в средстве измерений помимо измерительной цепи (канала) имеется сравнительная цепь (канал), к которой не подается входной сигнал, но которая, как и измерительная цепь, находится под воздействием некоторой влияющей величины. Причем параметры сравнительной цепи подобраны так, что изменение ее сигнала под действием влияющей величины идентично изменению сигнала измерительной цепи под действием этой величины, т. е. возмущения, вызванные влияющей величиной, поступают в средство измерений по двум каналам (принцип двухканальности). Использование разности сигналов измерительной и сравнительной цепей (при дифференциальном включении этих цепей) обеспечивает независимость (инвариантность) результирующего сигнала от названной влияющей величины, т. е. метод обеспечивает исключение дополнительной погрешности, вызванной изменениями некоторой, как правило, основной влияющей величины.

Метод прямого хода

Метод прямого хода состоит в том, что измеряемый сигнал поступает к чувствительному элементу средства измерений через ключ, с помощью которого осуществляется периодическое во времени отключение измеряемого сигнала от чувствительного элемента и подача к последнему сигнала, значение которого равно нулю. Это обеспечивает работу средства измерений на восходящей ветви (прямой ход) статической характеристики при всех значениях измеряемого сигнала, что исключает наиболее существенную погрешность многих средств измерений - погрешность от вариации.

Метод вспомогательных измерений

Метод вспомогательных измерений заключается в автоматизации процесса учета дополнительной погрешности средства измерений по известным функциям влияния ряда влияющих величин. Для этого осуществляется измерение значений этих величин и с помощью вычислительного устройства, построенного с учетом названных функций влияния, автоматически корректируется выходной сигнал средства измерений.

Метод обратного преобразования

Метод обратного преобразования (итерационный метод) базируется на использовании дополнительно в составе средства измерений кроме прямой измерительной цепи (прямого преобразователя), цепи, способной осуществлять обратное преобразование выходного сигнала (обратный преобразователь), имеющей существенно большую точность, чем цепь прямого преобразования. Результат измерения получают путем итераций. В процессе каждой итерации последовательно осуществляются: прямое преобразование измеряемой величины и запоминание результата, обратное преобразование запомненного значения этой величины, прямое преобразование сигнала обратного преобразователя, соответствующего запомненному значению измеряемой величины, и сравнение результатов этих двух преобразований, на основе которого формируется корректирующий сигнал. Обратный преобразователь в данном методе играет роль как бы многозначной меры, по которой корректируется статическая характеристика прямого преобразователя. Метод обратного преобразования позволяет уменьшать в зависимости от используемого алгоритма коррекции аддитивную и мультипликативную погрешности средств измерений.

При синтезе дискретного фильтра по аналоговому прототипу необходимо преобразовать функцию передачи аналогового фильтра H(s) в функцию передачи дискретного фильтра H(z). Получающийся дискретный фильтр не может быть полностью идентичен аналоговому по своим характеристикам - хотя бы потому, что частотные характеристики дискретного фильтра являются периодическими. Можно говорить только об определенном соответствии характеристик аналогового и дискретного фильтров. Поскольку теория аппроксимации идеальных АЧХ аналоговыми средствами хорошо развита, методы синтеза дискретных фильтров по аналоговым прототипам получили широкое распространение.

В данном разделе мы рассмотрим два метода синтеза рекурсивных дискретных фильтров по аналоговым прототипам:

Метод инвариантных импульсных характеристик.

В основе этого - простейшего метода синтеза ЦФ лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа.

Метод инвариантного преобразования ИХ предполагает расчет дискретного фильтра, ИХ которого представляет собой дискретизированную ИХ фильтра-прототипа. Дискретизация временной функции, как известно, приводит к тому, что спектр функции делается периодическим с периодом, равным частоте дискретизации. Поэтому при переходе от непрерывной ИХ к дискретной ИХ частотная характеристика фильтра начинает периодически повторяться со сдвигом, равным частоте дискретизации f 2 . Если частота f 2 установлена достаточно высокой в сравнении с характерными частотами ЧХ фильтра-прототипа, то тогда дискретный фильтр по своим свойствам будет соответствовать непрерывному фильтру-прототипу.

Имея в виду синтез физически реализуемых систем, для которых импульсная характеристика обращается в нуль при t < 0, получим следующее выражение импульсной характеристики ЦФ:

{h k }=(h(0), h(Δ), h(2Δ)) (*)

Следует обратить внимание на то, что число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным. Это определяет структуру синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ.

Частотная характеристика получаемого фильтра связана с частотной характеристикой аналогового прототипа точно так же, как спектр дискретизированного сигнала связан со спектром сигнала аналогового - периодическим повторением. Поэтому для получения хороших результатов при таком методе синтеза коэффициент передачи аналогового прототипа должен быть пренебрежимо малым на частотах, превышающих частоту Найквиста. Отсюда следует также, что этот метод подходит для создания ФНЧ и полосовых фильтров, но непригоден для синтеза ФВЧ и режекторных фильтров.

В качестве примера синтезируем методом инвариантной импульсной характеристики ФНЧ Чебышева 2-го порядка с частотой среза 10 кГц, причем специально выберем недостаточно высокую частоту дискретизации (48 кГц), чтобы хорошо видеть эффекты, связанные с наложением сдвинутых копий спектра (рис. 6.2):

Рис. 6.2. АЧХ аналогового прототипа (пунктир) и дискретного фильтра (сплошная линия), синтезированного методом инвариантной импульсной характеристики

На рисунке хорошо видно, что из-за недостаточно высокой частоты дискретизации коэффициент передачи аналогового фильтра на частоте Найквиста недостаточно мал, что обусловливает заметные искажения формы АЧХ синтезированного дискретного фильтра. Повышение частоты дискретизации позволяет сделать эти искажения пренебрежимо малыми.

Степень приближения амплитудно-частотной характеристики синтезированного ЦФ к характеристике аналогового прототипа зависит от выбранного шага дискретизации Δ . При необходимости следует вычислить частотный коэффициент передачи ЦФ, осуществив в системной функции H(z) замену переменной по формуле z=exp(jωΔ), и затем сравнить результат с частотным коэффициентом передачи аналоговой цепи.

Пример

Рассмотреть синтез трансверсального цифрового фильтра, подобного динамической системе 1-го порядка (например, интегрирующей RC-цепи) с импульсной характеристикой вида

(несущественный для задачи синтеза амплитудный множитель в импульсной характеристике положен равным единице).

Пусть импульсная характеристика апроксимируется последовательностью из трех равноотстоящих отсчетов:

Трансверсальный ЦФ с такой импульсной характеристикой описывается разностным уравнением

Применив z-преобразование к последовательности , находим системную функцию ЦФ

откуда частотный коэффициент передачи

Пример

Рассмотреть случай, когда импульсная характеристика аналоговой цепи аппроксимируется бесконечной дискретной последовательностью

()

Выполнив z-преобразование импульсной характеристики (), получим системную функцию

()

Данной системной функции отвечает рекурсивный ЦФ 1-го порядка, содержащий, помимо сумматора, один масштабный блок и один элемент задержки.

Частотный коэффициент передачи фильтра

Метод инвариантных частотных характеристик (билинейного преобразования).

Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации (рис.).

Рис. . Амплитудно-частотные характеристики фильтров:

а - аналогового; 6 - цифрового

Говоря о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот ω а , относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот ω ц цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству

-π/Δ<ω ц < π/Δ

при сохранении общего вида АЧХ.

Пусть K а (p) - передаточная функция аналогового фильтра, задаваемая дробно-рациональным выражением по степеням комплексной частоты р . Если воспользоваться связью между переменными z и р:

z = exp(pΔ) ,

то можно записать

p = (1/ Δ) ln z (чч)

Однако с помощью этого закона связи нельзя получить физически реализуемую системную функцию ЦФ, поскольку подстановка (чч) в выражение Ks(p) приведет к системной функции, не выражающейся в виде частного двух многочленов. Требуется найти такую дробно-рациональную функцию от z, которая обладала бы основным свойством преобразования (чч), а именно переводила бы точки единичной окружности, лежащей в плоскости z, в точки мнимой оси на плоскости р.

Среди прочих способов для синтеза фильтров нижних частот получила распространение связь вида

устанавливающая однозначное соответствие между точками единичной окружности в z-плоскости со всей мнимой осью в р-плоскости. Характерная особенность этого закона преобразования состоит в следующем. Пусть в (15.97) выполнена замена переменной

z = exp(j ω ц Δ), .

откуда вытекает соотношение между частотными переменными соа и соц аналоговой и цифровой систем:

(15.98)

Если частота дискретизации достаточно велика (ω ц Δ <<1), то, как легко видеть из формулы (15.98), . Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают. В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра, описываемого формулой (15.98).

Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции Кл(р) аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (15.97). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.

Пример

Синтезировать цифровой фильтр с частотной характеристикой, подобной характеристике аналогового ФНЧ. Частота среза для ЦФ ω сц = 1500 с -1 . Частота дискретизации ω д = 10000 с -1 .

Прежде всего определяем шаг дискретизации

Для получения дискретного фильтра с заданными частотами среза необходимо скорректировать частоты среза аналогового прототипа, чтобы компенсировать искажения частотной оси. Так, для синтеза дискретного ФНЧ с частотой среза се>од аналоговый фильтр-прототип должен иметь частоту среза Юо а, связанную с со 0 д следующим образом:

По формуле (15.98) находим частоту среза аналогового фильтра, подобного синтезируемому ЦФ:

Передаточная функция аналогового ФНЧ

К а (р)

Выполнив в замену переменной вида (15.97), находим системную функцию ЦФ:

Рис. 60. Амплитудно-частотные характеристики фильтра-прототипа (1} и синтезированных БИХ-фильтров (2-5)

Сравнивая кривые 1 и 2, видим, что наложение спектров, характерное для дискретного фильтра(инвар мет), приводит к ухудшению вида АЧХ фильтра в сравнении с фильтром-прототипом. Однако это ухудшение будет тем меньше, чем больше отношение частоты дискретизации f 2 =1/T 2 к частоте среза фильтра f c . В данном случае f 2 /fс=10 . Если, например, выбрать f 2 /f c =20 , то тогда получим для дискретного фильтра АЧХ, представленную кривой 3 на рис. 60. Эта кривая заметно ближе к кривой 1 (АЧХ фильтра-прототипа), чем кривая 2.

Из сравнения АЧХ дискретного БИХ-фильтра, рассчитанного методом инвариантного преобразования ИХ (кривые 2 и 3 на рис. 60), и БИХ-фильтра, найденного методом билинейного преобразования (кривая 4), видно, что второй метод дает меньшие значения АЧХ в полосе заграждения. Это объясняется отсутствием здесь эффекта наложения спектров, характерного для метода инвариантного преобразования ИХ.

Вместе с тем сравнение кривых 1 и 4 на рис. 60 дает основание сделать вывод, что метод билинейного преобразования приводит к некоторому изменению масштаба по оси частот: у дискретного фильтра спад АЧХ наступает раньше, чем у непрерывного фильтра-прототипа. Соотношение между частотой f непрерывного фильтра и частотой f n дискретного фильтра можно найти из равенства (330)

Итак, метод инвариантного преобразования импульсной характеристики сохраняет масштаб графика АЧХ по горизонтальной оси (оси частот), но дает искажения по вертикальной оси вследствие эффекта наложения. Что же касается метода билинейного преобразования, то здесь картина обратная: по вертикальной оси график не искажается, но происходит деформация графика на горизонтальной оси. Зная характер этой деформации, можно заранее внести соответствующие изменения в ЧХ фильтра-прототипа для того, чтобы получить желаемый результат.