Как найти промежутки возрастания. Возрастание и убывание функций, экстремумы. Как искать точки максимума и минимума функции

Производной. Если производная функции положительна для любой точки интервала, то функция возрастает, если отрицательна – убывает.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти область ее определения, производную, решить неравенства вида F’(x) > 0 и F’(x)

Решение.

3. Решим неравенства y’ > 0 и y’ 0;
(4 - x)/x³

Решение.
1. Найдем область определения функции. Очевидно, что выражение, стоящее в знаменателе, должно всегда быть отличным от нуля. Поэтому 0 исключается из области определения: функция определена при x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Вычислим производную функции:
y’(x) = ((3·x² + 2·x - 4)’ ·x² – (3·x² + 2·x - 4) · (x²)’)/x^4 = ((6·x + 2) ·x² – (3·x² + 2·x - 4) ·2·x)/x^4 = (6·x³ + 2·x² – 6·x³ – 4·x² + 8·x)/x^4 = (8·x – 2·x²)/x^4 = 2· (4 - x)/x³.

3. Решим неравенства y’ > 0 и y’ 0;
(4 - x)/x³

4. Левая часть неравенства имеет один действительный х = 4 и обращается в при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток , и в промежуток убывания, а точка 0 не включается .
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ .

4. Левая часть неравенства имеет один действительный х = 4 и обращается в при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток , и в промежуток убывания, а точка 0 не включается .
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Источники:

• как найти на функции промежутки убывания

Функция представляет собой строгую зависимость одного числа от другого, или значения функции (y) от аргумента (х). Каждый процесс (не только в математике), может быть описан своей функцией, которая будет иметь характерные особенности: промежутки убывания и возрастания, точки минимумов и максимумов и так далее.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка.

Инструкция

Пример 2.
Найти промежутки убывания f(x)=sinx +x.
Производная данной функции будет равна: f’(x)=cosx+1.
Решая неравенство cosx+1

Интервалом монотонности функции можно назвать промежуток, в котором функция либо только возрастает, либо только убывает. Ряд определенных действий поможет найти такие диапазоны для функции, что нередко требуется в алгебраических задачах подобного рода.

Инструкция

Первым шагом в решении задачи по определению интервалов, в которых функция монотонно возрастает или убывает, станет вычисление данной функции. Для этого узнайте все значения аргументов (значения по оси абсцисс), для которых можно найти значение функции. Отметьте точки, в которых наблюдаются разрывы. Найдите производную функции. Определив выражение, которое представляет собой производную, приравняйте его к нулю. После этого следует найти корни получившегося . Не про область допустимых .

Точки, в которых функция либо в которых ее производная равна нулю, представляют собой границы интервалов монотонности . Эти диапазоны, а также точки, их разделяющие, следует последовательно внести в таблицу. Найдите знак производной функции в полученных промежутках. Для этого подставьте в выражение, соответствующее производной, любой аргумент из интервала. Если результат положительный, функция в данном диапазоне возрастает, в обратном случае - убывает. Результаты вносятся в таблицу.

В строку, обозначающую производную функции f’(x), записывается соответствующий значениям аргументов : «+» - если производная положительна,«-» - отрицательна или «0» – равна нулю. В следующей строке отметьте монотонность самого исходного выражения. Стрелка вверх соответствует возрастанию, вниз – убыванию. Отметьте функции. Это точки, в которых производная равна нулю. Экстремум может быть либо точкой максимума, либо точкой минимума. Если предыдущий участок функции возрастал, а текущий убывает, это точка максимума. В случае, когда до данной точки функция убывала, а теперь возрастает – это точка минимума. Внесите в таблицу значения функции в точках экстремума.

Источники:

• что такое определение монотонность

Исследование поведения функции, имеющей сложную зависимость от аргумента, проводится с помощью производной. По характеру изменения производной можно найти критические точки и участки роста или убывания функции.

Возрастание и убывание функции

функция y = f (x ) называется возрастающей на отрезке [a , b ], если для любой пары точек х и х" , а ≤ х выполняется неравенство f (x ) ≤ f (x" ), и строго возрастающей - если выполняется неравенство f (x ) f (x" ). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х 2 (рис. , а) строго возрастает на отрезке , а

(рис. , б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x ), а убывающие f (x )↓. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x ) была возрастающей на отрезке [а , b ], необходимо и достаточно, чтобы её производная f "(x ) была неотрицательной на [а , b ].

Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x ) называется возрастающей в точке x 0 , если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x 0 , что для любой точки х из (α, β), х> x 0 , выполняется неравенство f (x 0) ≤ f (x ), и для любой точки х из (α, β), х 0 , выполняется неравенство f (x ) ≤ f (x 0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x 0 . Если f "(x 0) > 0, то функция f (x ) строго возрастает в точке x 0 . Если f (x ) возрастает в каждой точке интервала (a , b ), то она возрастает на этом интервале.

С. Б. Стечкин.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Возрастание и убывание функции" в других словарях:

Понятия математического анализа. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА НАСЕЛЕНИЯ соотношение численности разных возрастных групп населения. Зависит от уровней рождаемости и смертности, продолжительности жизни людей … Большой Энциклопедический словарь

Понятия математического анализа. Функция f(х) называется возрастающей на отрезке , если для любой пары точек x1 и x2, a≤x1 … Энциклопедический словарь

Понятия матем. анализа. Ф ция f(x) наз. возрастающей на отрезке [а, b], если для любой пары точек х1 и x2, а<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Естествознание. Энциклопедический словарь

Раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 … Большая советская энциклопедия

Раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

Аристотель и перипатетики - Аристотелевский вопрос Жизнь Аристотеля Аристотель родился в 384/383 гг. до н. э. в Стагире, на границе с Македонией. Его отец по имени Никомах был врачом на службе у македонского царя Аминта, отца Филиппа. Вместе с семьей молодой Аристотель… … Западная философия от истоков до наших дней

- (КХД), квантовополевая теория сильного вз ствия кварков и глюонов, построенная по образу квант. электродинамики (КЭД) на основе «цветовой» калибровочной симметрии. В отличие от КЭД, фермионы в КХД имеют дополнит. степень свободы квант. число,… … Физическая энциклопедия

I Сердце Сердце (лат. соr, греч. cardia) полый фиброзно мышечный орган, который, функционируя как насос, обеспечивает движение крови а системе кровообращения. Анатомия Сердце находится в переднем средостении (Средостение) в Перикарде между… … Медицинская энциклопедия

Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… … Биологическая энциклопедия

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков:

• если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
• если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

• найти область определения функции;

• найти производную функции;

• к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x = 0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2] .

- Точки экстремума функции одной переменной. Достаточные условия экстремума

Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке , не является в нем монотонной. Найдутся такие части [ , ] промежутка , в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и.

Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x 0 - ,x 0 +), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.

f(x) < f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

Иными словами, точка x 0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x 0) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x 0 .

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x 0) выполняется строгое неравенство

f(x)f(x 0)

то говорят, что функция имеет в точке x 0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках x 0 и x 1 , то, применяя к промежутку вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x 2 между x 0 и x 1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.

Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.

Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х 0 . Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

Из рисунка 1 видно, что в точках х 1 и х 3 локальные максимумы, а в точках х 2 и х 4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.

Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.

Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х 0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х 0 - ,х 0 +), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f(x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.

Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие неявляется достаточным

Функция называетсявозрастающей на интервале
, если для любых точек

выполняется неравенство
(большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

Аналогично, функция
называетсяубывающей на интервале
, если для любых точек
из этого интервала при выполнении условия
выполняется неравенство
(большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Возрастающие на интервале
и убывающие на интервале
функции называютсямонотонными на интервале
.

Знание производной дифференцируемой функции позволяет находить интервалы ее монотонности.

Теорема (достаточное условие возрастания функции).
функции
положительна на интервале
, то функция
монотонно возрастает на этом интервале.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой на интервале
функции
отрицательна на интервале
, то функция
монотонно убывает на этом интервале.

Геометрический смысл этих теорем состоит в том, что на интервалах убывания функции касательные к графику функции образуют с осью
тупые углы, а на интервалах возрастания – острые (см.рис. 1).

Теорема (необходимое условие монотонности функции). Если функция
дифференцируема и
(
) на интервале
, то она не убывает (не возрастает) на этом интервале.

Алгоритм нахождения интервалов монотонности функции
:

Пример. Найти интервалы монотонности функции
.

Точка называетсяточкой максимума функции

такое, что для всех, удовлетворяющих условию
, выполнено неравенство
.

Максимум функции – это значение функции в точке максимума.

На рис 2 показан пример графика функции, имеющей максимумы в точках
.

Точка называетсяточкой минимума функции
, если существует некоторое число
такое, что для всех, удовлетворяющих условию
, выполнено неравенство
. Нарис. 2 функция имеет минимум в точке .

Для максимумов и минимумов есть общее название – экстремумы . Соответственно точки максимума и точки минимума называются точками экстремума .

Функция, определенная на отрезке, может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

В точках экстремума у производной есть особые свойства.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть в точке функция
имеет экстремум. Тогда либо
не существует, либо
.

Те точки из области определения функции, в которых
не существует или в которых
, называютсякритическими точками функции .

Таким образом, точки экстремума лежат среди критических точек. В общем случае критическая точка не обязана быть точкой экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пример. Рассмотрим
. Имеем
, но точка
не является точкой экстремума (см.рис 3).

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть в точке функция
непрерывна, а производная
при переходе через точкуменяет знак. Тогда– точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «–», и минимума, если с «–» на «+».

Если при переходе через точку производная не меняет знак, то в точкеэкстремума нет.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке производная дважды дифференцируемой функции
равна нулю (
), а ее вторая производная в этой точке отлична от нуля (
) и непрерывна в некоторой окрестности точки. Тогда– точка экстремума
; при
это точка минимума, а при
это точка максимума.

Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума:

Найти производную.

Найти критические точки функции.

Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.

Найти экстремальные значения функции.

Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью второго достаточного условия экстремума:

Пример. Найти экстремумы функции
.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;

если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x=0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.