Нахождение угла между прямой и плоскостью. §6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Давайте повторим определение угла между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней , называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть даны плоскость γ и прямая a, которая пересекает эту плоскость и не перпендикулярна к ней.

Построим угол между прямой a и плоскостью γ:

1. Из любой удобной для нас точки прямой a опустим перпендикуляр к плоскости γ;
2. Через точки оснований наклонной и перпендикуляра проведем прямую b . Прямая b - проекция прямой a на плоскость γ;
3. Острый угол между прямыми a и b – это угол между прямой a и плоскостью γ, т.е. ∠(a;b)= ∠(a;γ) , где ∠(a;b) - угол между прямыми а и b; ∠(a;γ) - угол между прямой а и плоскостью γ.

Для решения задач с помощью метода координат нам необходимо вспомнить следующее:

3. Если известны координаты направляющего вектора { a 1 ; b 1 ; c 1 } и вектора нормали
{a; b; c}, то угол между прямой а и плоскостью γ вычисляется по формуле, которую сейчас выведем.

Нам известна формула нахождения угла между прямыми:

; (1)
∠(s; a) = 90°-∠(a;b), тогда cos∠(s;a) =cos (90°-∠(a;b))=sin ∠(a;b) ; (2)
Из (1) и (2) => ; (3)
, где – угол между векторами m и n; (4)
Подставляем (4) в (3) и т.к. ∠(a;b)= ∠(a;γ), то получаем:

4. Если координаты вектора нормали неизвестны, то нам необходимо знать уравнение плоскости.

Любая плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнением

ax + by + cz + d = 0,

где хотя бы один из коэффициентов a, b, c отличен от нуля. Эти коэффициенты и будут координатами вектора нормали, т.е. {a; b; c}.

Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью с помощью метода координат:

1. Делаем рисунок, на котором отмечаем прямую и плоскость;
2. Вводим прямоугольную систему координат;
3. Находим координаты направляющего вектора по координатам его начала и конца;
4. Находим координаты вектора нормали к плоскости;
5. Подставляем полученные данные в формулу синуса угла между прямой и плоскостью;
6. Находим значение самого угла.

Рассмотрим задачу:
1. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите тангенс угла между прямой AC 1 и плоскостью BDD 1 .
Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке D.
2. Найдем координаты направляющего вектора АС 1 . Для этого сначала определим координаты точек А и С 1:
А(0; 1; 0);
С 1 (1; 0; 1).
{1; -1; 1}.
3. Найдем координаты вектора нормали к плоскости BB 1 D 1 . Для этого найдем координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой, и составим уравнение плоскости:
D(0; 0; 0);
D 1 (0; 0; 1);
В(1; 1; 0);
D: a⋅0+b⋅0+c⋅0+d=0;
D 1: a⋅0+b⋅0+c⋅1+d=0;
B: a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0.

Подставим в уравнение: a⋅x+(-a)⋅y+0⋅z+0 = 0;
a⋅x-a⋅y = 0; |:a
x-y = 0.
Т.о., вектор нормали к плоскости BDD 1 имеет координаты:
{1;-1; 0}.
4. Найдем синус между прямой АС 1 и плоскостью BDD 1:

5. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем косинус угла между прямой АС 1 и плоскостью BDD 1:

6. Найдем тангенс угла между прямой АС 1 и плоскостью BDD 1:

Ответ: .

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке B.
2. Найдем координаты направляющего вектора BD . Для этого сначала определим координаты точек B и D:

3. Найдем координаты вектора нормали к плоскости SBC. Для этого найдем координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой, и составим уравнение плоскости SBC:

Как получили координаты точки S ?

Из точки S опустили перпендикуляр к плоскости основания ABC. Точку пересечения обозначили О. Точка О - проекция точки S на плоскость ABC. Ее координаты по осям х и у будут первыми двумя координатами точки S.

Узнав значение высоты пирамиды, мы нашли третью координату точки S (по оси z)

Треугольник SOB - прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора:

Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0. Подставим в это уравнение координаты точек:

Получили систему из трех уравнений:

Подставим в уравнение:

Т.о., вектор нормали к плоскости SBD имеет координаты:

.
4. Найдем синус между прямой BD и плоскостью SBD.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между прямой и плоскостью считается нулевым. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними по определению считается равным `90^@`. Если вектор `vecn(a;b;c)` перпендикулярен плоскости `alpha`, то угол `varphi` между этой плоскостью и прямой `a`, проходящей через точки `A` и `B`, определяется из равенства

`sinvarphi=|cos(vecn,vec(AB))|=|(vecn*vec(AB))/(|vecn|*|vec(AB)|)|`.

Пусть ребро куба имеет длину`a`. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке `D` и базисом `{vece_1,vece_2,vece_3}`, где векторы `vece_1,vece_2,vece_3` имеют единичные длины и сонаправлены с векторами `vec(DA)`, `vec(DC)`, `vec(D D_1)` (см. рис. 12). В этой системе координат вершины куба имеют координаты: `A(a,0,0)`, `B(a,a,0)`, `C(0,a,0)`, `D(0,0,0)`, `A_1(a,0,a)`, `B_1(a,a,a)`, `C_1(0,a,a)`, `D_1(0,0,a)`.

Направляющий вектор прямой `BD_1` - вектор `vec(BD_1)=(-a,-a,a)`.

Составим уравнение плоскости `BC_1D`. Пусть оно имеет вид `a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0`. Эта плоскость проходит через три точки: `(0, 0, 0)`, `(a , a , 0)` и `(0, a,a)`, подставляем координаты этих точек в уравнение плоскости и получаем систему уравнений:

d 1 = 0 , a · a 1 + a · b 1 + d 1 = 0 , a · b 1 + a · c 1 + d 1 = 0 . \left\{\begin{array}{l}d_1=0,\\a\cdot a_1+a\cdot b_1+d_1=0,\\a\cdot b_1+a\cdot c_1+d_1=0.\end{array}\right.

Находим `a_1=-b_1=c_1`, `d_1=0`. Тогда уравнение этой плоскости будет `x-y+z=0`, `vecn=(1,-1,1)`.

Искомый угол равен

`sinvarphi=((1*(-a)+(-1)*(-a)+1*a))/(asqrt(1^2+(-1)^2+1^2))=a/(3a)=1/3`,

т. е. `varphi=arcsin 1/3`.

При геометрическом способе нахождения угла между наклонной `a` и плоскостью `alpha`, пересекающей эту наклонную в некоторой точке `O`, выбирают какую-нибудь точку `A` прямой `a` и опускают из неё перпендикуляр `A A^"` на плоскость `alpha`. Угол `AOA^"` будет искомым углом между прямой `a` и плоскостью `alpha`. Для его нахождения можно использовать значения тригонометрических функций острых углов прямоугольного треугольника `AOA^"` или теорему косинусов.

Задача 11

В правильной шестиугольной призме `A...F_1`, все рёбра которой равны `1`, найти угол между прямой `CD_1` и плоскостью `AB B_1`.

Пусть `O_1` - центр верхнего основания (рис. 13), прямая `O_1H` перпендикулярна `A_1B_1`. Прямая `BO_1` параллельна `CD_1`. Искомый угол `varphi` равен углу `HBO_1`. В прямоугольном треугольнике `HBO_1` имеем `BO_1=sqrt2`, `O_1H=(sqrt3)/2`. Следовательно, `sinvarphi=(sqrt6)/4`.

С помощью векторов угол находится так. Пусть в пространстве заданы плоскость `alpha` с известным базисом `{veca,vecb}`, точка `A`, лежащая в этой плоскости, и точка `M` вне её, причём вектор `vec(AM)=vecr` предполагается известным (в том же базисе). Пусть `N` - ортогональная проекция точки `M` на плоскость `alpha` (рис. 14). Задача заключается в нахождении угла `MAN`. Представим вектор `vec(MN)` в виде разности векторов `vec(AN)` и `vec(AM)`, а затем, пользуясь компланарностью векторов `vec(AN)`, `veca` и `vecb`, запишем его в виде `vec(MN)=xveca+yvecb-vecr`, где `x` и `y` - неизвестные пока числа. Эти числа можно найти из условия перпендикулярности вектора `vec(MN)` векторам `veca` и `vecb`, т. е. из следующей системы уравнений:

X a → + y b → - r → · a → = 0 , x a → + y b → - r → · b → = 0 . \left\{\begin{array}{l}\left(x\overrightarrow a+y\overrightarrow b-\overrightarrow r\right)\cdot\overrightarrow a=0,\\\left(x\overrightarrow a+y\overrightarrow b-\overrightarrow r\right)\cdot\overrightarrow b=0.\end{array}\right.

Если `vec(AN)=vec0`, то, очевидно, прямая `AM` перпендикулярна плоскости `alpha`, иначе `cos/_(AM,alpha)=cos/_(AM,AN)=(|(xveca+yvecb)*vecr|)/(|xveca+yvecb|*|vecr|)`.

Задача 12

В кубе `A...D_1` найти угол между прямой `BD_1` и плоскостью `BC_1D`.

Пусть длина ребра куба равна `a`. Введём базис `veca=vec(DA)`, `vecb=vec(DC)`, `vecc=vec(D D_1` (рис. 15). Обозначим через `D_2` - ортогональную проекцию точки `D_1` н а плоскость `BC_1D` . Тогда `vec(D_1D_2)=x(veca+vecb)+y(vecb+vecc)+veca+vecb-vecc`.

Составим систему уравнений для нахождения неизвестных чисел `x` и `y`: x a → + b → + y b → + c → + a → + b → - c → a → + b → = 0 , x a → + b → + y b → + c → + a → + b → - c → b → + c → = 0 . \left\{\begin{array}{l}\left(x\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)+\overrightarrow a+\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)=0,\\\left(x\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)+\overrightarrow a+\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)=0.\end{array}\right.

Приведём эту систему к равносильной:

2 x + y + 2 = 0 , x + 2 y = 0 . \left\{\begin{array}{l}2x+y+2=0,\\x+2y=0.\end{array}\right.

Отсюда находим `x=-4/3`, `y=2/3`. Теперь найдём косинус искомого угла

`cosvarphi=(|vec(D_1B)*vec(BD_2)|)/(|vec(D_1B)|*|vec(BD_2)|)=(|(veca+vecb-vecc)(-4/3veca-2/3vecb+2/3vecc)|)/(sqrt((veca+vecb-vecc)^2)*sqrt((-4/3veca-2/3vecb+2/3vecc)^2))=`

`=(8/3 a^2)/(asqrt3*(2sqrt2)/(sqrt3)a)=(2sqrt2)/3`.

Следовательно, `/_(BD_1,BC_1D)=arccos (2sqrt2)/3`.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

\(\blacktriangleright\) Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (т.е. это угол \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\) ).

\(\blacktriangleright\) Чтобы найти угол между прямой \(a\) и плоскостью \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\) ), нужно:

Шаг 1: из какой-то точки \(A\in a\) провести перпендикуляр \(AO\) на плоскость \(\phi\) (\(O\) – основание перпендикуляра);

Шаг 2: тогда \(BO\) – проекция наклонной \(AB\) на плоскость \(\phi\) ;

Шаг 3: тогда угол между прямой \(a\) и плоскостью \(\phi\) равен \(\angle ABO\) .

Задание 1 #2850

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая \(l\) пересекает плоскость \(\alpha\) . На прямой \(l\) отмечен отрезок \(AB=25\) , причем известно, что проекция этого отрезка на плоскость \(\alpha\) равна \(24\) . Найдите синус угла между прямой \(l\) и плоскостью \(\alpha\)

Рассмотрим рисунок:

Пусть \(A_1B_1=24\) – проекция \(AB\) на плоскость \(\alpha\) , значит, \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . Так как две прямые, перпендикулярные к плоскости, лежат в одной плоскости, то \(A_1ABB_1\) – прямоугольная трапеция. Проведем \(AH\perp BB_1\) . Тогда \(AH=A_1B_1=24\) . Следовательно, по теореме Пифагора \ Заметим также, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, искомый угол – угол между \(AB\) и \(A_1B_1\) . Так как \(AH\parallel A_1B_1\) , то угол между \(AB\) и \(A_1B_1\) равен углу между \(AB\) и \(AH\) .
Тогда \[\sin\angle BAH=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac7{25}=0,28.\]

Ответ: 0,28

Задание 2 #2851

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABC\) – правильный треугольник со стороной \(3\) , \(O\) – точка, лежащая вне плоскости треугольника, причем \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Найдите угол, который образуют прямые \(OA, OB, OC\) с плоскостью треугольника. Ответ дайте в градусах.

Проведем перпендикуляр \(OH\) на плоскость треугольника.

Рассмотрим \(\triangle OAH, \triangle OBH, \triangle OCH\) . Они являются прямоугольными и равны по катету и гипотенузе. Следовательно, \(AH=BH=CH\) . Значит, \(H\) – точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от вершин треугольника \(ABC\) . Следовательно, \(H\) – центр описанной около него окружности. Так как \(\triangle ABC\) – правильный, то \(H\) – точка пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы).
Так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, а \(AH\) – проекция \(AO\) на плоскость треугольника, то угол между \(AO\) и плоскостью треугольника равен \(\angle OAH\) .
Пусть \(AA_1\) – медиана в \(\triangle ABC\) , следовательно, \ Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\) , считая от вершины, то \ Тогда из прямоугольного \(\triangle OAH\) :\[\cos OAH=\dfrac{AH}{AO}=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]

Заметим, что из равенства треугольников \(OAH, OBH, OCH\) следует, что \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\) .

Ответ: 60

Задание 3 #2852

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая \(l\) перпендикулярна плоскости \(\pi\) . Прямая \(p\) не лежит в плоскости \(\pi\) и не параллельна ей, также не параллельна прямой \(l\) . Найдите сумму углов между прямыми \(p\) и \(l\) и между прямой \(p\) и плоскостью \(\pi\) . Ответ дайте в градусах.

Из условия следует, что прямая \(p\) пересекает плоскостью \(\pi\) . Пусть \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .

Тогда \(\angle POL\) – угол между прямыми \(p\) и \(l\) .
Так как угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то \(\angle OPL\) – угол между \(p\) и \(\pi\) . Заметим, что \(\triangle OPL\) прямоугольный с \(\angle L=90^\circ\) . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\) , то \(\angle POL+\angle OPL=90^\circ\) .

Замечание.
Если прямая \(p\) не пересекает прямую \(l\) , то проведем прямую \(p"\parallel p\) , пересекающую \(l\) . Тогда угол между прямой \(p\) и \(l\) будет равен углу между \(p"\) и \(l\) . Аналогично угол между \(p\) и \(\pi\) будет равен углу между \(p"\) и \(\pi\) . А для прямой \(p"\) уже верно предыдущее решение.

Ответ: 90

Задание 4 #2905

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Точка \(N\) – середина ребра \(BB_1\) , а точка \(M\) – середина отрезка \(BD\) . Найдите \(\mathrm{tg}^2\, \alpha\) , где \(\alpha\) – угол между прямой, содержащей \(MN\) , и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\) . Ответ дайте в градусах.

\(NM\) – средняя линия в треугольнике \(DBB_1\) , тогда \(NM \parallel B_1D\) и \(\alpha\) равен углу между \(B_1D\) и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\) .

Так как \(DD_1\) – перпендикуляр к плоскости \(A_1B_1C_1D_1\) , то \(B_1D_1\) проекция \(B_1D\) на плоскость \((A_1B_1C_1D_1)\) и угол между \(B_1D\) и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\) есть угол между \(B_1D\) и \(B_1D_1\) .

Пусть ребро куба \(x\) , тогда по теореме Пифагора \ В треугольнике \(B_1D_1D\) тангенс угла между \(B_1D\) и \(B_1D_1\) равен \(\mathrm{tg}\,\angle DB_1D_1=\dfrac{DD_1}{B_1D_1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\mathrm{tg}\,\alpha\) , откуда \(\mathrm{tg}^2\, \alpha = \dfrac{1}{2}\) .

Ответ: 0,5

Задание 5 #2906

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Точка \(N\) – середина ребра \(BB_1\) , а точка \(M\) делит отрезок \(BD\) в отношении \(1:2\) , считая от вершины \(B\) . Найдите \(9\mathrm{ctg}^2\, \alpha\) , где \(\alpha\) – угол между прямой, содержащей \(MN\) , и плоскостью \((ABC)\) . Ответ дайте в градусах.

Так как \(NB\) – часть \(BB_1\) , а \(BB_1\perp (ABC)\) , то и \(NB\perp (ABC)\) . Следовательно, \(BM\) – проекция \(NM\) на плоскость \((ABC)\) . Значит, угол \(\alpha\) равен \(\angle NMB\) .

Пусть ребро куба равно \(x\) . Тогда \(NB=0,5x\) . По теореме Пифагора \(BD=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2x\) . Так как по условию \(BM:MD=1:2\) , то \(BM=\frac13BD\) , следовательно, \(BM=\frac{\sqrt2}3x\) .

Тогда из прямоугольного \(\triangle NBM\) : \[\mathrm{ctg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\angle NMB=\dfrac{BM}{NB}=\dfrac{2\sqrt2}3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm{ctg}^2\,\alpha=8.\]

Ответ: 8

Задание 6 #2907

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Чему равен \(\mathrm{ctg^2}\,\alpha\) , если \(\alpha\) – угол наклона диагонали куба к одной из его граней?

Искомый угол будет совпадать с углом между диагональю куба и диагональю любой его грани, т.к. в данном случае диагональ куба будет являться наклонной, диагональ грани – проекцией этой наклонной на плоскость грани. Таким образом, искомый угол будет равен, например, углу \(C_1AC\) . Eсли обозначить ребро куба за \(x\) , то \(AC=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2 x\) , тогда квадрат котангенса искомого угла: \[\mathrm{ctg^2}\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]

Ответ: 2

Задание 7 #2849

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
По теореме Пифагора \ Следовательно, \[\cos 30^\circ=\dfrac{AB}{AH}\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac{AB}{\cos 30^\circ}=2.\] Так как \(OH\perp (ABC)\) , то \(OH\) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(\triangle OAH\) – прямоугольный. Тогда \[\cos \angle OAH=\dfrac{AH}{AO}=\dfrac25=0,4.\]

Ответ: 0,4

Учащимся старших классов на этапе подготовки к ЕГЭ по математике будет полезно научиться справляться с заданиями из раздела «Геометрия в пространстве», в которых требуется найти угол между прямой и плоскостью. Опыт прошлых лет показывает, что подобные задачи вызывают у выпускников определенные сложности. При этом знать базовую теорию и понимать, как найти угол между прямой и плоскостью, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение достойных баллов.

Основные нюансы

Как и другие стереометрические задачи ЕГЭ, задания, в которых требуется найти углы и расстояния между прямыми и плоскостями, могут быть решены двумя методами: геометрическим и алгебраическим. Учащиеся могут выбрать наиболее удобный для себя вариант. Согласно геометрическому методу, необходимо найти на прямой подходящую точку, опустить из нее перпендикуляр на плоскость и построить проекцию. После этого выпускнику останется применить базовые теоретические знания и решить планиметрическую задачу на вычисление угла. Алгебраический метод предполагает введение системы координат для нахождения искомой величины. Необходимо определить координаты двух точек на прямой, правильно составить уравнение плоскости и решить его.

Эффективная подготовка вместе со «Школково»

Чтобы занятия проходили легко и даже сложные задания не вызывали затруднений, выбирайте наш образовательный портал. Здесь представлен весь необходимый материал для успешной сдачи аттестационного испытания. Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». А для того чтобы попрактиковаться в выполнении заданий, достаточно перейти в «Каталог» на нашем математическом портале. В этом разделе собрана большая подборка упражнений разной степени сложности. В «Каталоге» регулярно появляются новые задания.

Выполнять задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью или на , российские школьники могут в режиме онлайн, находясь в Москве или другом городе. По желанию учащегося любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Это позволит при необходимости быстро его найти и обсудить ход его решения с преподавателем.