Вычисляем площадь квадрата: по стороне, диагонале, периметру

Длина стороны квадрата будет измеряться в соответствующих линейных единицах. Так, например, если площадь квадрата равняется 16 квадратным (см²), то длина его стороны будет равняться 4 сантиметрам (см).

Для того чтобы посчитать корень квадратный из числа, возьмите инженерный (такой, где имеются обозначения математических функций). Наберите на клавиатуре калькулятора числовое значение площади квадрата. Затем нажмите на кнопку, обозначенную как «√». Числовое значение длины стороны квадрата появится на индикаторе калькулятора.

Для расчета квадратного на компьютере запустите стандартный калькулятор Windows. Переключите его в «обычный» (не инженерный!) вид. Затем наберите значение площади. Нажмите на кнопку, обозначенную как «sqrt».

Чтобы найти сторону квадрата с заданной площадью можно воспользоваться программой MS Excel. Для этого запустите саму программу Excel, укажите курсором на произвольную клетку таблицы и нажмите кнопку «=». Затем нажмите на появившийся значок выбора (fx) Выберите из предложенного списка функцию «КОРЕНЬ». После чего введите в появившееся числовое значение площади квадрата и нажмите кнопку «Ок» (или клавишу «Enter»). Значение корня квадратного, а соответственно и длины стороны квадрата тут же появится в данной клетке.

Квадратом можно назвать ромб с одинаковыми длинами сторон и величинами углов. У этой плоской фигуры четыре стороны, что определяет такое же число вершин и углов. Квадрат относится к «правильным» геометрическим фигурам, что значительно упрощает формулы расчета длин его сторон по косвенным данным.

Инструкция

Если из условий задачи известна площадь квадрата (S), то длину его стороны (a) определите вычислением корня из этой величины a=√S. Например, если площадь 121 см², то длина стороны будет равна √121=11 см.

По известной длине квадрата (l) длину его стороны (a) можно вычислить с использованием теоремы Пифагора. Стороны этой фигуры являются катетами в , образуемом ими с диагональю - гипотенузой. Делите длину гипотенузы на квадратный корень из двойки: a=l/√2. Это вытекает из того, что сумма возведенных в квадрат длин катетов, согласно теореме, должна быть равна квадрату длины гипотенузы.

Зная радиус окружности (r), вписанной в квадрат, вычислить длину его стороны очень просто. Размеры сторон совпадают с диаметром такой окружности, поэтому просто увеличьте известное значение вдвое: a=2*r.

Использовать в вычислениях длины стороны квадрата радиус описанной него окружности (R) немного менее удобно - придется извлекать корень. Удвоенное значение этой исходной величины - диаметр - совпадает с длиной . Подставьте это выражение в формулу из второго шага и получите равенство: a=2*R/√2.

Если квадрат в задачи задан координатами своих вершин, для нахождения длины стороны достаточно использовать данные только о двух из них. Длину отрезка по его можно определить с использованием той же теоремы Пифагора. Например, даны координаты двух вершин квадрата в двухмерной прямоугольной системе: A(X₁,Y₁) и B(X₂,Y₂). Тогда расстояние между ними будет равно √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²). Если это смежные вершины, найденное расстояние и будет длиной стороны квадрата : a=√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²). Для противоположных вершин этой формулой определится длина диагонали, а значит, ее надо разделить на корень из двойки: a=√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²)/√2.

Видео по теме

Треугольник как плоскую геометрическую фигуру составляют три стороны, образующие в точках соединения (вершинах) три угла. Эти углы и стороны связаны между собой постоянными соотношениями, что позволяет находить неизвестные длины сторон при наличии хотя бы минимального набора данных о величинах углов и длинах других сторон. Ниже приведено несколько способов определения длины стороны треугольника применительно к Евклидовой плоскости.

Инструкция

Если известны величины двух углов (α и β), а также длина одной из сторон (C), то длины двух других сторон можно определить, но вычисления будут отличаться, в зависимости от того, прилегают ли оба известных угла к стороне известной длины. Если да, то, исходя из теоремы синусов и учитывая теорему о сумме углов , длину той стороны (A), которая лежит напротив угла α, можно определить как произведения синуса этого угла на известную длину стороны к синусу разницы развернутым углом (180°) и суммой двух известных углов: A=sin(α)∗C/(sin(180°-α-β)). Для длины третьей стороны (B), напротив угла β эту формулу надо изменить соответствующим образом: B=sin(β)∗C/(sin(180°-α-β)).

Если сторона (B) известной длины не лежит между двумя известными углами (α и β), а примыкает только к одному из них ( , к α), то формулы вычисления длин оставшихся сторон изменятся. Сторона (C), лежащая напротив неизвестного, угла будет длину, определяемую соотношением произведения синуса угла, недостающего до суммарной величины всех углов в 180°, на длину известной стороны к синусу угла, лежащего напротив нее: C=sin(180°-α-β)∗B/sin(β). А длина третьей стороны (A) может быть определена по этой формуле: A=sin(α)∗B/sin(β).

Если известны длины двух сторон (A и B) и величина одного из углов, то для нахождения длины недостающей стороны можно воспользоваться теоремой . Если угол известной величины (γ) лежит между известными сторонами, то длина искомой стороны (C) будет равна квадратному корню из разницы между суммой квадратов длин известных сторон и удвоенным произведением длин этих сторон на косинус известного угла: C=√(А²+B²-2∗А∗B∗cos(γ)).

В операционной системе Windows имеется программа-, с помощью которой можно производить вычисления различной сложности и переводить величины. Найти его на компьютере можно несколькими способами.

Инструкция

По умолчанию после установки операционной системы ярлык на автоматически добавляется в меню «Пуск». Чтобы вызвать приложение, нажмите клавишу Windows на клавиатуре или кнопку «Пуск» в левом нижнем углу экрана и разверните все программы. В папке «Стандартные» кликните по значку «Калькулятор» левой кнопкой мыши.

В том случае, если ярлыка на нужное приложение не оказалось в меню «Пуск», найдите калькулятор самостоятельно в той директории, где находится оригинальный файл запуска. Откройте элемент «Мой компьютер» и выберите тот локальный диск, на котором установлена система. Откройте для просмотра папку Windows. Во вложенной папке system32 кликните левой кнопкой мыши по значку calc.exe.

Чтобы каждый раз не проделывать такой долгий путь для запуска калькулятор а, вы можете создать ярлык для него в том месте, откуда вам будет удобнее его вызывать. Для размещения значка на рабочем столе найдите одним из описанных способов иконку калькулятор а, кликните по ней правой кнопкой мыши, выберите в контекстном меню пункт «Отправить» и подпункт «Рабочий стол (создать ярлык)».

Переключение калькулятор а с простого на инженерный и обратно производится в окне самого приложения. В меню «Вид» выберите нужный вам вариант, кликнув по нему левой кнопкой мыши. Ввод цифр, знаков и символов может осуществляться как с клавиатуры, так и с помощью кнопок мыши.

Если вы случайно удалили калькулятор со своего компьютера, различные его версии можно найти в сети интернет. Следуйте инструкциям, прилагающимся к файлам, чтобы установить приложение на свой компьютер. Также можно воспользоваться калькулятор ом, например, на сайте по адресу http://www.online-calculator.com.

Квадратный треугольник более точно называется прямоугольным треугольником. Соотношения между сторонами и углами этой геометрической фигуры подробно рассматриваются в математической дисциплине тригонометрии.

Квадрат – это геометрическая фигура, имеющая четыре стороны одинаковой длины, которые расположены под углом 90 градусов по отношению друг ко другу. Другими словами – это разновидность правильного прямоугольника. В некоторых случаях квадрат называют одним из вариантов ромба.

Диагональ квадрата – это отрезок, пересекающий центральную точку квадрата и соединяющий его противоположные углы. На одном квадрате размещаются 2 диагонали одинаковой длины.

Расчет площади квадрата с учетом длины диагонали

• Длина диагонали квадрата участвует в формуле расчета площади квадрата. Обозначим длину диагонали d, а площадь квадрата S, тогда S = d^2/2.
• Длину диагонали квадрата можно рассчитать при помощи теоремы Пифагора. Учитывая тот факт, что диагональ квадрата – это гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника, имеем следующую формулу расчета длины гипотенузы: a^2 + a^2 = d^2, где a – длина одной стороны равнобедренного треугольника или квадрата. Тогда d = a√2.
• Например, если принять длину диагонали квадрата равной 4 см, то его площадь будет равна: S = 4^2/2 = 8 кв. см.
• Если квадрат вписан в окружность, и известна длина диаметра окружности, то стоит уточнить, что длина диаметра круга и длина диагонали квадрата равны между собой. Поэтому, в этом случае снова выходим на расчет площади квадрата через его диагональ.

Расчет площади квадрата с учетом длины стороны квадрата

• Из рассмотренной выше теоремы Пифагора следует, что при подстановке выражения d = a√2 в формулу подсчета площади квадрата S = d^2/2 мы выходим на возможность расчета площади квадрата через длину его стороны: S = (a√2)^2/2, тогда S = a^2.
• Вычислим длину стороны квадрата, исходя из рассчитанной нами ранее площади, равной 16 см. A = √S = √8 = 2,83 см.

Расчет площади квадрата с учетом длины периметра квадрата

• Если нам известна длина периметра квадрата, и требуется рассчитать площадь фигуры, тогда нужно уточнить, что представляет собой периметр квадрата. Периметр – это значение, полученное путем суммирования всех длин сторон геометрической фигуры.
• Обозначим периметр P, тогда P = 4a. Тогда длина стороны квадрата будет равна a = P/4. Это выражение подставляем в формулу расчета площади квадрата S = a^2 и получаем S = (P/4)^2, то есть S = P^2/16.
• Например, если периметр квадрата равен 20, тогда S = 20^2/16 = 25 кв. см.

Читайте статью, чтобы знать, как находить площадь квадрата разными способами.

Квадрат — это равносторонний прямоугольник. У данного правильного и плоского четырехугольника равенство во всех сторонах, углах и диагоналях. Из-за того что существует такое равенство, формула для вычисления площади и других характеристик, немного видоизменяется по сравнению с иными математическими фигурами. Но это не делает задачи слишком сложными. Давайте разберем все формулы и решения задач в этой статье.

Площадь S прямого и квадратного угольников вычисляется по формуле: a умножить на b . Но так как у квадрата полное равенство сторон, то его площадь будет равна: S=(a) во второй степени . Как узнать величину стороны квадрата, зная его площадь?

• Если известна площадь квадратного угольника, то сторону находим путем исчисления площади из-под квадратного корня.
• К примеру, площадь угольника равна 49, то чему равняется сторона?
• 49=(а) во второй степени . Решение: а=корень из 49=7. Ответ: 7 .

Если нужно найти сторону квадратного угольника, площадь которого состоит слишком длинного числа, тогда воспользуйтесь калькулятором. Наберите сначала число площади, а потом нажмите знак корня на клавиатуре калькулятора. Получившееся число и будет ответом.

В этом примере будем использовать теорему Пифагора. У квадрата все стороны равны, а диагональ d мы будем рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а . Теперь находим диагональ квадрата, если известна его площадь:

• Чтобы не расписывать всю теорему Пифагора будем решать по второму варианту: d=a√2, где а — это сторона квадрата.
• Итак, нам известна площадь квадрата, например, она равна 64. Значит одна сторона а=√64=8.
• Получается d=8√2 . Корень из 2 не получается целым числом, поэтому в ответе можно написать именно так: d=8√2 . Но, если хочется вычислить значение, тогда воспользуйтесь калькулятором: √2= 1,41421356237 и умножьте на 8, получается 11, 3137084 .

Важно: Обычно в математике не оставляют в ответе цифры с большим количеством чисел после запятой. Нужно округлять или оставить с корнем. Поэтому ответ на нахождение диагонали, если площадь равна 64 будет таким: d=8√2 .

Формула нахождения площади квадрата через диагональ простая:

Теперь напишем решение по нахождению площади квадрата через диагональ:

• Диагональ d=8.
• 8 в квадрате равняется 64.
• 64 разделить на 2 равно 32.
• Площадь квадрата равна 32.

Совет: У этой задачи есть еще одно решение через теорему Пифагора, но оно более сложное. Поэтому используйте решение, которое мы рассмотрели.

Периметр квадратного угольника P — это сумма всех сторон. Чтобы найти его площадь, зная его периметр, нужно сначала вычислить сторону квадратного угольника. Решение:

• Допустим периметр равен 24. Делим 24 на 4 стороны, получается 6 — это одна сторона.
• Теперь используем формулу нахождения площади, зная чему равна сторона квадратного угольника: S=а в квадрате, S=6 в квадрате=36 .
• Ответ: 36

Как видите, зная периметр квадрата, просто найти его площадь.

Радиус R — это половина диагонали квадрата, вписанного в окружность. Теперь можем найти диагональ по формуле: d=2*R . Далее находим площадь квадрата вписанного в окружность с заданным радиусом:

• Диагональ равна 2 умножить на радиус. Например радиус равен 5, тогда диагональ равна 2*5=10 .
• Выше было описано, как находить площадь квадрата, если известна диагональ: S=диагональ в квадрате разделить на 2. S=10*10 и разделить на 2=50.
• Ответ — 50 .

Эта задача немного сложнее, но тоже легко решаемая, если знать все формулы.

На картинке видно, что радиус вписанной окружности равен половине стороны. Сторона находится по формуле обратной той, которая изображена на картинке: а=2*r . Потом уже находим площадь квадрата описанного около окружности с заданным радиусом по формуле S=а в квадрате . Решение:

• Допустим, радиус равен 7. Сторона квадрата а равна 2*7=14.
• S=14 в квадрате=196 .

Если понять суть решения подобных задач, то можно решать их быстро и просто. Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

Примеры решения задач на тему «Площадь квадрата»

Чтобы закрепить пройденный материал и запомнить все формулы, необходимо решить несколько примеров задач на тему «Площадь квадрата». Начинаем с простой задачи и движемся к решению более сложных: Примеры решения сложных задач на тему «Площадь квадрата»

Теперь вы знаете, как пользоваться формулой площади квадрата, а значит, вам любая задача под силу. Успехов в дальнейшем обучении!

Видео: Вычисление площади квадрата

Квадрат - это правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны:
S = a 2

Доказательство

Начнем с того случая, когда a = 1/n, где n является целым числом .
Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n 2 равных квадратов так, как показано на рисунке 1.

Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n 2 . Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна a. Итак,
S = 1/n 2 = (1/n) 2 = a 2 . (1)
Пусть теперь число a представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (в частности, число a может бать целым, и тогда n = 0) . Тогда число m = a · 10 n целое. Разобьем данный квадрат со стороной a на m 2 равных квадратов так, как показано на рисунке 2.

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

a/m = a / (a · 10 n) = 1/10 n .

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10 n) 2 . Следовательно, площадь S данного квадрата равна

m 2 · (1/10 n) 2 = (m/10 n) 2 = ((a · 10 n)/10 n) 2 = a 2 .

Наконец, пусть число a представляет собой бесконечную десятичную дробь . Рассмотрим число a n , получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1) -го. Так как число a отличается от a n не более чем на 1/10 n , то a n ≤ a ≤ a n + 1/10 n , откуда

a n 2 ≤ a 2 ≤ (a n + 1/10 n) 2 . (2)

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной a n и площадью квадрата со стороной a n + 1/10 n:

т. е. между a n 2 и (a n + 1/10 n) 2 :

a n 2 ≤ S ≤ (a n + 1/10 n) 2 . (3)

Будем неограниченно увеличивать число n . Тогда число 1/10 n будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (a n + 1/10 n) 2 будет сколь угодно мало отличаться от числа a n 2 . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a 2 . Следовательно, эти числа равны: S = a 2 , что и требовалось доказать.

Так же площадь квадрата можно найти с помощью следующих формул:

S = 4r 2 ,
S = 2R 2 ,

» от прямоугольника), то для того, чтобы найти сторону квадрата достаточно знать длину одной диагонали. Диагональ и две стороны квадрата , примыкающие к ней, представляют прямоугольный (поскольку все углы квадрата прямые) и равнобедренный (так как все стороны этой фигуры равны) треугольник. В этом треугольнике стороны квадрата являются катетами, а диагональ гипотенузой. Чтобы найти сторону квадрата , воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Поскольку сумма квадратов катетов, которые равны a, равна квадрату гипотенузы, которую обозначьте c (c²=a²+a²), то катет будет равен гипотенузе, поделенной на корень квадратный из числа 2, что проистекает и предыдущего выражения a=c/√2. Например, чтобы найти сторону квадрата с диагональ ю 12 см, это поделите на корень квадратный из 2. Получите a=12/√2≈8,5 см. С учетом того, что корень квадратный из 2 нацело не извлекается, все придется округлять с нужной точностью.

Сторону квадрата найдите, используя соотношение углов и сторон в прямоугольном треугольнике, который диагональ ю и примыкающими к ней сторонами. Известно, что один из углов этого треугольника прямой (как угол между сторонами квадрата ), а два других равны между собой и 45º. Это свойство проистекает из равнобедренности этого треугольника, поскольку катеты его равны между собой.

Чтобы найти сторону квадрата , умножьте диагональ на синус угла 45º (они равны между собой, как прилежащий и противолежащий катеты sin(45º)=cos(45º)=√2/2) a=c∙√2/2. Например, дана диагональ квадрата , равная 20 см, нужно найти его сторону . Произведите расчет согласно выше формуле, результатом будет квадрата с нужной степенью точности a=20∙√2/2≈14,142 см.

Часто в геометрических задачах требуется найти длину стороны квадрата, если известны другие его параметры - такие, как площадь, диагональ или периметр.

Вам понадобится

• Калькулятор

Инструкция

Найти длину стороны квадрата.
Решение:
a=√9=3
Ответ:
Сторона квадрата равняется 3 метрам.

В том случае, когда известен периметр квадрата, для определения длины стороны нужно числовое периметра разделить на (так как квадрат имеет четыре стороны одинаковой длины):
a=P/4, где:
a - длина стороны квадрата;

P - периметр квадрата.
Единицей измерения стороны квадрата будет являться та же самая линейная единица измерения длины как и у периметра. Например, если периметр квадрата задан в сантиметрах, то длина его стороны также получится в сантиметрах.
Пример:
Периметр квадрата составляет 20 метров.

Найти длину стороны квадрата.
Решение:
a=20/4=5
Ответ:
Длина стороны квадрата равняется 5 метрам.

Если известна длина диагонали квадрата, до длина его стороны будет равняться длине его диагонали, разделенной на корень квадратный из 2 (по теореме Пифагора, так как смежные стороны квадрата и диагональ составляют равнобедренный треугольник):
a=d/√2

(т.к. a^2+a^2=d^2), где:
a - длина стороны квадрата;

d - длина диагонали квадрата.
Единицей измерения стороны квадрата будет являться единица измерения длины та же самая, что и у диагонали. Например, если диагональ квадрата измерена в сантиметрах, то и длина его стороны получится в сантиметрах.
Пример:
Диагональ квадрата равняется 10 метров.

Найти длину стороны квадрата.
Решение:
a=10/√2, или приблизительно: 7,071
Ответ:
Длина стороны квадрата равняется 10/√2, или примерно 1,071 метра.

Источники:

• стороны квадрата

Понятие "соотношение " используют в разных областях знаний. Общественные науки изучают соотношение количества мужчин и женщин, работающих и безработных. В экономике популярно соотношение спроса и предложения. В бизнесе оценивают соотношение заемного и собственного капитала. В математике исследуют соотношение сторон геометрических фигур. В спорте интересно соотношение роста и веса человека. В общем смысле соотношение - это коэффициент, позволяющий оценивать разницу между величинами. В качестве иллюстрации найдем соотношение пройденного и оставшегося пути машины, перемещающейся из одного города в другой.

Инструкция

Видео по теме

Обратите внимание

Чтобы водителю машины хватило воды и пищи на весь путь, он должен следить за соотношением между съеденной и оставшейся пищей. Это соотношение должно соответствовать соотношению между пройденным и оставшимся путем.

Полезный совет

Для разных явлений жизни ученые разработали желательные соотношения, к которым надо стремиться для наибольшей эффективности процесса. Такие желательные соотношения сведены в таблицы, размещенные в справочниках. Например, известны желательные соотношения роста и веса человека. Отклонение от этих значений в ту или другую сторону показывает специалистам, что можно улучшить.

Если бы вы захотели оценить, хорошо это или плохо - соотношение 1,2 для машины, то должны были бы обратиться к соответствующему справочнику. В практической деятельности люди на собственном опыте познают, какие соотношения являются хорошими, даже если они не указаны ни в каких таблицах. Например, если путь из одного города в другой занимает 2 дня, водитель машины по опыту может знать, что в первый день следует проехать больше, чем во второй, потому что накапливается усталость. И чем выше соотношение, тем лучше. Он может ехать так, чтобы на конец 1-го дня соотношение пройденного и оставшегося пути оказалось не менее 1,8.

Наблюдения могут подсказать вам наилучшие соотношения для любых дел вашей жизни.

Источники:

• Что такое соотношение в 2019

Квадрат – красивая и простая плоская геометрическая фигура. Это прямоугольник с равными сторонами. Как же найти диагональ квадрата , если известна длина его стороны?

Инструкция

длина диагонали квадрата равна длине его стороны умноженной на из двух.

Видео по теме

Полезный совет

Если точность математического результата не очень важна, то вместо корня из двух можно использовать его приблизительное значение 1,41.

Совет 5: Как найти сторону квадрата, если известна его диагональ

Квадрат является одной из наиболее простых геометрических фигур в плане вычисления его параметров - длин сторон и диагоналей, площади и периметра. Это определяется тем, что в отличие от других многоугольников, всегда известны величины всех его углов, а также достаточно знать длину всего одной стороны. Нахождение длины стороны квадрата по известной длине диагонали, как в общем виде, так и с практическими расчетами не представляет сложности.