Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Открытый урок по алгебре на тему "Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла" (10 класс)
Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.
Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .
Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.
Зависимость между тангенсом и котангенсом
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.
Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .
1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .
Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
Пример 1
Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;
Показать решение
Решение
Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:
\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Это уравнение имеет 2 решения:
\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .
Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3
Пример 2
Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .
Показать решение
Решение
Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .
Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.
ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .
КАРТА УРОКА «ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИНУСОМ, КОСИНУСОМ И ТАНГЕНСОМ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА»
Учащийся _______________________________________________________________________
| 1. Я знаю материал предыдущих уроков | Баллы |
| Я ответил без конспекта на все вопросы правильно. | |
| Я ответил без конспекта с одной ошибкой. | |
| Я ответил без конспекта и сделал более одной ошибки. | |
| Я ответил правильно на все вопросы, используя конспект. | |
| Я ответил, используя конспект, с одной ошибкой | |
| Я ответил, используя конспект, и сделал более одной ошибки |
| 2. Я завершил запись примеров | Баллы |
| Я выполнил все задания без ошибок | |
| Я выполнил с одной ошибкой | |
| Я выполнил задания и сделал более двух ошибок |
| 3. Я выполнил вывод формулы для нахождения синуса и косинуса | Баллы |
| Я вывел формулы правильно | |
| Я вывел формулы и допустил одну ошибку | |
| Я вывел формулы с помощью учителя |
| 4. Я применил свои знания по теме: «Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла» при решении самостоятельной работы | Баллы |
| Я решил примеры 1 варианта без ошибок. | |
| Я решил примеры 1 варианта и допустил ошибку. | |
| Я решил примеры 2 варианта без ошибок. | |
| Я решил примеры 2 варианта и допустил ошибку. | |
| Я решил примеры 3 варианта без ошибок | |
| Я решил примеры 3 варианта и допустил ошибку. | |
| Я решил примеры 4 варианта без ошибок. | |
| Я решил примеры 4 варианта и допустил ошибку. |
| 5. Оцени себя: | |
| Я понял вывод формул и могу решать примеры по данной теме с тетрадкой и помощью учителя. | |
| Я понял вывод формул и могу решать примеры самостоятельно без тетради, только смотря в формулы. | |
| Я понял вывод формул и могу решать примеры самостоятельно без тетради, если забуду формулу, я смогу ее вывести сам. |
Мои баллы: __________
Максимальное кол-во баллов – 22
18 – 22 балла - оценка «5»
15 – 17 баллов - оценка «4»
11 –14 баллов - оценка «3»
Менее 11 баллов - нужно прийти на консультацию в ближайшие дни, материал еще не усвоился.
«Краткий план»
Головатова Вера Анатольевна, преподаватель математики
ГБ ПОУ «Охтинский колледж»
Конспект двух уроков для обучающихся I курса (10кл.) по теме:
«Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла»
Цель: изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Для достижения поставленной цели необходимо:
Знать:
формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса);
знаки тригонометрических функций по четвертям;
множество значений тригонометрических функций;
основные формулы тригонометрии.
Понимать:
что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента;
алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.
Применить:
умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания;
умение работать с простыми дробями;
умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.
Анализ:
анализировать ошибки в логике рассуждения.
Синтез:
предложить свой способ решения примеров;
составить кроссворд, используя полученные знания.
Оценка:
знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.
Оборудование: макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы.
Используемые источники:
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.В. Сидоров и др. Просвещение, 2006.
Задания Открытого банка для подготовки к ЕГЭ по математике, 2011 г.
Ресурсы сети ИНТЕРНЕТ.
Краткий план урока:
Организационный момент.
Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке – 3-5 мин.
Актуализация знаний и умений.
Учащимся раздаются карты урока и даются пояснения как с ними работать.
На экран выводятся вопросы; учащиеся записывают ответы в тетрадь; преподаватель выводит на экран правильный ответ. После окончания опроса учащиеся выставляют баллы в карту урока для Задания № 1 – 10 мин.
Объяснение нового материала.
Преподаватель выводит формулу для основного тригонометрического тождества – 5 мин.
Учащимся предлагается самостоятельно завершить запись примеров, выведенных на экран, проверить правильность ответов и выставить баллы в карту урока для Задания № 2 – 5 мин.
Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. На экран выводится правильный ответ, учащиеся проверяют и выставляют баллы в карту урока для Задания №3 – 5-7 мин.
Преподаватель на доске решает примеры на применение основного тригонометрического тождества. Учащиеся отвечают на вопросы преподавателя по ходу объяснения и записывают примеры себе в тетрадь – 15 мин.
Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и котангенсом, учащиеся принимают активное участие в выводе формул, отвечают на вопросы и делают записи в тетрадь – 5 мин.
Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и косинусом, между синусом и котангенсом – 5 мин.
К доске вызываются учащиеся по желанию и с помощью преподавателя по алгоритму выполняют решение примеров. Все остальные записывают и по мере необходимости отвечают на вопросы – 10 мин.
Закрепление изученного материала
В конце урока на экран выводятся правильные ответы, учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4 – 20 мин.
Домашнее задание: Учащиеся записывают в тетрадь задание на дом – 3 мин.
Просмотр содержимого документа
«Рефлексия»
После посещения семинаров по РНС и проведении урока с использованием технологической карты мне стало очевидно, что рейтинговая система стимулирует максимально возможный интерес учащихся к конкретной теме. В моем случае – это основные формулы тригонометрии.
Тригонометрия очень часто не воспринимается учащимися не столько из-за своей сложности, сколько из-за большого количества формул, с которыми нужно уметь работать.
Трудно после одного урока, проведенного с использованием технологической карты, ожидать каких-то невероятных успехов и результатов, но мне кажется, что преимущества рейтинговой системы при изучении тригонометрии и математики в целом состоят в следующем:
появилась возможность организовать и поддерживать как работу на уроке, так и самостоятельную, систематическую работу учащихся дома;
должна повыситься посещаемость и уровень дисциплины на уроках;
повышается мотивация к учебной деятельности;
уменьшаются стрессовые ситуации при получении неудовлетворительных оценок;
стимулируется творческое отношение к работе.
Единственный недостаток РНС (как мне кажется) – это большой объем работы для преподавателя, но это работа на результат. После единственного урока, проведенного по этой системе, учащиеся постоянно спрашивают, будем ли мы еще так работать. Значит, их что-то зацепило. И нужно продолжать работать.
Просмотр содержимого документа
«Самостоятельная работа»
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню ( перед вами задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)
1 вариант
Инструкция:
Инструкция:
Решите самостоятельно этим способом пример: 
2 вариант
Указание: Для определения функции косинус воспользуйтесь формулой (3) из сегодняшнего урока. Не забудьте определить знак, который будет стоять перед корнем. Для вычисления значений тангенса и котангенса можно воспользоваться определением этих функций ил использовать формулы, которые мы вывели сегодня на уроке.
Указание. Сгруппируйте первый и третий члены выражения, вынесите за скобку общий множитель….
3 вариант
4 вариант
Просмотр содержимого презентации
«Презентация»
Повторение:
1. В какой четверти находится угол в
1 радиан и чему он примерно равен?
В I четверти, 1 рад. 57,3 °
2. Какое слово пропущено в определении функции синус?
Синусом угла называется ………… точки единичной окружности.
ОРДИНАТА
3. Какое слово пропущено в определении функции косинус?
Косинусом угла называется
………… точки единичной окружности.
АБСЦИССА
4. Допишите формулу:
tg
5. Определите знак произведения:
tg
6. Какое значение может принимать синус?
или
7. Вычислите:
y
B (x; y)
R
Y=sin
O
x
x=cos
Завершите запись:
x
y
x
y
x
x
x
y
x
y
x
x
- Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).
- Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.
- + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.
- + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.
1 Вариант:
3 Вариант:
2.Вариант:
4 Вариант:
Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла
На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением
- x 2 +y 2 =1.
Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:
- sin(a) = у,
- cos(a) = х.
Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство
- (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.
Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).
Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.
Например.
Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi Воспользуемся формулой приведенной выше: Так как pi Теперь, попробуем найти зависимость, между тангенсом и котангенсов. По определению tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a). Перемножим эти равенства, получим tg(a)*ctg(a) =1. Из этого равенства можно выразить одну функцию через другую. Получим: Следует понимать, что эти равенства справедливы лишь тогда, когда tg и ctg существуют, то есть для любых а, кроме а=k*pi/2, при любом целом k. Теперь попробуем используя основное тригонометрическое тождество найти зависимости между тангенсом и косинусом. Поделим основное тригонометрическое тождество, на (cos(a)) 2 . (cos(a) не равен нулю, иначе бы тангенс не существовал бы. Получим следующее равенство ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 . Разделив почленно получаем: Как уже отмечалось выше, эта формула верна если cos(a) не равен нулю, то есть для всех углов а, кроме а=pi/2 +pi*k, при любом целом k. Тема: Тригонометрические формулы (25 часов)
А сейчас на экране представлены рубрики самооценки по данной теме. Отметьте, на какой уровень вы бы хотели сегодня выйти.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция). Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя. Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний. Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь. Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню (перед вами лежат задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)
1 вариант
4 вариант
А теперь, ребята, давайте проверим ответы. На экран выводятся правильные ответы, и учащиеся проверяют свои работы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4.
По карте урока оцените себя. Подсчитайте свои баллы и выставите их в карту. «Теорема синусов и косинусов» - 1) Запишите теорему синусов для данного треугольника: Найдите угол В. Запишите формулу для вычисления: Теорема синусов: Найдите длину стороны ВС. Теоремы синусов и косинусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. 2) Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК: Самостоятельная работа: «Решение тригонометрических неравенств» - Все значения y на промежутке MN. 1. Строим графики функций: Остальные промежутки. Прямая y=-1/2 пересекает синусоиду в бесконечном числе точек, а тригонометрический круг - в точке А. бесконечного множества промежутков. А на синусоиде, ближайший к началу координат промежуток значений x, при которых sinx>-1/2, «Тригонометрические формулы» - Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формулы сложения. По тригонометрическим функциям угла?. Формулы двойных углов. Сложив почленно равенства (3) и (4), получим: Выведем вспомогательные формулы, позволяющие находить. «Решение простейших тригонометрических неравенств» - cos x. Методы решения тригонометрических неравенств. sin x. Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в аргументе тригонометрической функции. Решение простейших тригонометрических неравенств. «Sin и cos» - Верно ли,что косинус 6,5 больше нуля? Синус 60° равен?? Верно ли что соs? х - siп? х = 1? Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса… Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Абсцисса точки на единичной окружности. Отношение косинуса к синусу… «Теорема косинусов для треугольника» - Устная работа. Неизвестные элементы. Треугольник. Квадрат стороны треугольника. Сформулируйте теорему косинусов. Теорема. Теорема косинусов. Решение задач на клеточной бумаге. Углы и стороны. Сформулировать теорему косинусов. Задачи по готовым чертежам. Данные, указанные на рисунке. Всего в теме
21 презентацияСоотношение между тангенсом и котангенсом одного и того же угла
Урок 6 – 7: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Цель:
изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Для достижения поставленной цели необходимо: Знать:
формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса); знаки тригонометрических функций по четвертям; множество значений тригонометрических функций; основные формулы тригонометрии.
Понимать:
что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента; алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.
Применить:
умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; умение работать с простыми дробями; умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.
Анализ:
анализировать ошибки в логике рассуждения.
Синтез:
предложить свой способ решения примеров; составить кроссворд, используя полученные знания.
Оценка:
Оборудование:
макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы.Ход урока: знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.
Организационный момент.
Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке. Актуализация знаний и умений.
Учащимся раздаются карты урока и даются пояснения как с ними работать. На экран выводятся вопросы; учащиеся записывают ответы в тетрадь; преподаватель выводит на экран правильный ответ. После окончания опроса учащиеся выставляют баллы в карту урока для Задания № 1.
В какой четверти находится угол в 1 радиан и чему он примерно равен?
(В I четверти, 1 рад.
57,3 0).
Какое слово пропущено в определение функции синус?
Синусом угла
называется............ точки единичной окружности. (Ордината)
Какое слово пропущено в определении функции косинус?
Косинусом угла
называется............ точки единичной окружности (Абсцисса).
Какие значения может принимать синус?
() Объяснение нового материала.
И
зобразим единичную окружность с центром в точке О. Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол
получен радиус ОВ (рис. 5). Тогда по определению 
где 
– абсцисса точки В, 
– ее ордината. Отсюда следует, что Точка В принадлежит окружности. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению 
Воспользовавшись тем, что получим 
(1).
Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества. Равенство (1) называется основным тригонометрическим тождеством.
В равенстве (1)
может принимать любые значения. Самостоятельно завершите запись:
1.
Проверьте правильность вашей записи. Выставите себе баллы в карту урока для Задания № 2.
Продолжаем. Мы вывели основное тригонометрическое тождество, а для чего оно нам нужно? Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса значение косинуса и наоборот. Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента. Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. Для проверки к доске вызываются два ученика. Одному предлагается выразить синус через косинус, второму – косинус через синус. На экран выводится верный ответ: 
Учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 3.
В этих формулах от чего зависит знак перед корнем? (От того, в какой четверти расположен угол тригонометрической функции, которую мы определяем).
Пример 1
. Вычислить 
если 
Определим четверть, в которой находится угол 
. Четверть – III. Вспомним, что синус в третьей четверти отрицательный, т. е. в формуле (2) перед корнем нужно поставить знак « – »: Пример 2.
Вычислить 
если 
Определяем четверть, в которой находится угол
. Четверть – IV, косинус в четвертой четверти положителен. Поэтому в формуле (3) перед корнем нужен знак « + »:
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом
. По определению тангенса и котангенса 
Перемножая эти равенства, получаем: 
Из равенства (4) можно выразить 
через 
и наоборот: 
Равенства (4) – (6) верны при всех значениях, при которых 
имеют смысл, т. е. при 
Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также котангенсом и синусом одного и того же аргумента. Разделив обе части равенства (1) на 
, получим: 
т.е. 
Если обе части равенства (1) разделить на 
, то будем иметь: 
т.е. 
Рассмотрим примеры использования выведенных формул для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.
Пример 1.
Найдем если известно, что 
Решение:
Для отыскания котангенса угла
удобно воспользоваться формулой (6):
Ответ:
Пример2.
Известно, что 
. Найдем все остальные тригонометрические функции. Решение:
Воспользуемся формулой (7).
Имеем:
, 
. По условию задачи угол
является углом 1 четверти, поэтому его косинус положителен. Значит 
Ответ: 
Установленные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента позволяют упрощать тригонометрические выражения.
Пример 3.
Упростим выражение: 
Решение:
Воспользуемся формулами: 
. Получим: Закрепление.
Инструкция:
Домашнее задание.
6
Записать все выведенные формулы в справочник. По учебнику №459 (3, 5), №460 (1)
