Как развязывать систему уравнений. Методы решения систем линейных уравнений
Более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.
Метод подстановки
Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим алгоритмом мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).
Алгоритм использования метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.
1. Выразить у через х из одного уравнения системы.
2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение относительно х.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пар значений (х; у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.
4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если то
5) Пары (2; 1) и решения заданной системы уравнений.
Ответ: (2; 1);
Метод алгебраического сложения
Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.
Пример 2. Решить систему уравнений
Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения:
Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:
В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой системой:
Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим Подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим
Осталось подставить найденные значения х в формулу
Если х = 2, то
Таким образом, мы нашли два решения системы:
Метод введения новых переменных
С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.
Пример 3. Решить систему уравнений
Введем новую переменную Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: Решим это уравнение относительно переменной t:
Оба эти значения удовлетворяют условию , а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t. Но значит, либо откуда находим, что х = 2у, либо
Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения:
х = 2 у; у - 2х.
Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х 2 - у 2 = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений :
Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:
Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим
Так как х = 2у, то находим соответственно х 1 = 2, х 2 = 2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений:
Снова воспользуемся методом подстановки : подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим
Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы.
Ответ: (2; 1); (-2;-1).
Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы. Именно так обстояло дело в примере 3.Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4.
Пример 4. Решить систему уравнений
Введем две новые переменные:
Учтем, что тогда
Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и b:
Так как а = 1, то из уравнения а + 6 = 2 находим: 1 + 6 = 2; 6=1. Таким образом, относительно переменных а и b мы получили одно решение:
Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений
Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:
Так как то из уравнения 2x + y = 3 находим:
Таким образом, относительно переменных х и у мы получили одно решение:
Завершим этот параграф кратким, но достаточно серьезным теоретическим разговором. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных . Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому, но равносильному заданному. В предыдущем параграфе мы ввели понятие равносильности для уравнений с двумя переменными. Используют это понятие и для систем уравнений.
Определение.
Две системы уравнений с переменными х и у называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.
Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.
Графический метод решения систем уравнений
Мы уже с вами научились решать системы уравнений такими распространенными и надежными способами, как метод подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных. А теперь давайте с вами вспомним, метод, который вы уже изучали на предыдущем уроке. То есть давайте повторим, что вы знаете о графическом методе решения.
Метод решения систем уравнения графическим способом представляет собой построение графика для каждого из конкретных уравнений, которые входят в данную систему и находятся в одной координатной плоскости, а также где требуется найти пересечения точек этих графиков. Для решения данной системы уравнений являются координаты этой точки (x; y).
Следует вспомнить, что для графической системы уравнений свойственно иметь либо одно единственное верное решение, либо бесконечное множество решений, либо же не иметь решений вообще.
А теперь на каждом из этих решений остановимся подробнее. И так, система уравнений может иметь единственное решение в случае, если прямые, которые являются графиками уравнений системы, пересекаются. Если же эти прямые параллельны, то такая система уравнений абсолютно не имеет решений. В случае же совпадения прямых графиков уравнений системы, то тогда такая система позволяет найти множество решений.
Ну а теперь давайте с вами рассмотрим алгоритм решения системы двух уравнений с 2-мя неизвестными графическим методом:
Во-первых, вначале мы с вами строим график 1-го уравнения;
Вторым этапом будет построение графика, который относится ко второму уравнению;
В-третьих, нам необходимо найти точки пересечения графиков.
И в итоге мы получаем координаты каждой точки пересечения, которые и будут решением системы уравнений.
Давайте этот метод рассмотрим более подробно на примере. Нам дана система уравнений, которую необходимо решить:
Решение уравнений
1. Вначале мы с вами будем строить график данного уравнения: x2+y2=9.
Но следует заметить, что данным графиком уравнений будет окружность, имеющая центр в начале координат, а ее радиус будет равен трем.
2. Следующим нашим шагом будет построение графика такого уравнения, как:
y = x – 3.
В этом случае, мы должны построить прямую и найти точки (0;−3) и (3;0).
3. Смотрим, что у нас получилось. Мы видим, что прямая пересекает окружность в двух ее точках A и B.
Теперь мы с вами ищем координаты этих точек. Мы видим, что координаты (3;0) соответствуют точке А, а координаты (0;−3) соответственно точке В.
И что мы получаем в итоге?
Получившиеся при пересечении прямой с окружностью числа (3;0) и (0;−3), как раз и являются решениями обоих уравнений системы. А из этого следует, что данные числа являются и решениями этой системы уравнений.
То есть, ответом этого решения являются числа: (3;0) и (0;−3).
Напомним для начала определение решения системы уравнений с двумя переменными.
Определение 1
Пара чисел называется решением системы уравнений с двумя переменными, если при их подстановки в уравнение получается верное равенство.
В дальнейшем будем рассматривать системы из двух уравнений с двумя переменными.
Существуют четыре основных способа решения систем уравнений : способ подстановки, способ сложения, графический способ, способ ведения новых переменных. Рассмотрим эти способы на конкретных примерах. Для описания принципа использования первых трех способов будем рассматривать систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Способ подстановки
Способ подстановки заключается в следующем: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$
Пример 1
Выразим из второго уравнения $y$ через $x$:
Подставим в первое уравнение, найдем $x$:
\ \ \
Найдем $y$:
Ответ: $(-2,\ 3)$
Способ сложения.
Рассмотрим данный способ на примере:
Пример 2
\[\left\{ \begin{array}{c} {2x+3y=5} \\ {3x-y=-9} \end{array} \right.\]
Умножим второе уравнение на 3, получим:
\[\left\{ \begin{array}{c} {2x+3y=5} \\ {9x-3y=-27} \end{array} \right.\]
Теперь сложим оба уравнения между собой:
\ \ \
Найдем $y$ из второго уравнения:
\[-6-y=-9\] \
Ответ: $(-2,\ 3)$
Замечание 1
Отметим, что в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении одна из переменных «исчезла».
Графический способ
Графический способ заключается в следующем: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.
Пример 3
\[\left\{ \begin{array}{c} {2x+3y=5} \\ {3x-y=-9} \end{array} \right.\]
Выразим из обоих уравнений $y$ через $x$:
\[\left\{ \begin{array}{c} {y=\frac{5-2x}{3}} \\ {y=3x+9} \end{array} \right.\]
Изобразим оба графика на одной плоскости:
Рисунок 1.
Ответ: $(-2,\ 3)$
Способ введения новых переменных
Этот способ рассмотрим на следующем примере:
Пример 4
\[\left\{ \begin{array}{c} {2^{x+1}-3^y=-1} \\ {3^y-2^x=2} \end{array} \right.\]
Решение.
Данная система равносильна системе
\[\left\{ \begin{array}{c} {{2\cdot 2}^x-3^y=-1} \\ {3^y-2^x=2} \end{array} \right.\]
Пусть $2^x=u\ (u>0)$, а $3^y=v\ (v>0)$, получим:
\[\left\{ \begin{array}{c} {2u-v=-1} \\ {v-u=2} \end{array} \right.\]
Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:
\ \
Тогда из второго уравнения, получим, что
Возвращаясь к замене, получим новую систему показательных уравнений:
\[\left\{ \begin{array}{c} {2^x=1} \\ {3^y=3} \end{array} \right.\]
Получаем:
\[\left\{ \begin{array}{c} {x=0} \\ {y=1} \end{array} \right.\]
Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.
Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы .
Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в систему вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin{cases}3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end{cases}\)
А вот \(x=1\); \(y=-2\) - не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin{cases}1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end{cases}\)
Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо "\(x=3\); \(y=-1\)" пишут так: \((3;-1)\).
Как решить систему линейных уравнений?
Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:
- Способ подстановки.
-
\(\begin{cases}13x+9y=17\\12x-2y=26\end{cases}\)
Во втором уравнении каждое слагаемое - четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).
\(\begin{cases}13x+9y=17\\6x-y=13\end{cases}\)
Эту систему можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.
\(\begin{cases}13x+9y=17\\y=6x-13\end{cases}\)
Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.
\(\begin{cases}13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end{cases}\)
Первое уравнение превратилась в обычное . Решаем его.
Сначала раскроем скобки.
\(\begin{cases}13x+54x-117=17\\y=6x-13\end{cases}\)
Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.
\(\begin{cases}67x=134\\y=6x-13\end{cases}\)
Поделим обе части первого уравнения на \(67\).
\(\begin{cases}x=2\\y=6x-13\end{cases}\)
Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).
\(\begin{cases}x=2\\y=12-13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\)
Запишем ответ.
\(\begin{cases}x-2y=5\\3x+2y=7 \end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=5+2y\\3x+2y=7\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)
Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое уравнение системы.
\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)
Системой линейных уравнений с двумя неизвестными - это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:
{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2
Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 - некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Существует несколько способов решения системы линейных уравнений. Рассмотрим один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ сложения.
Алгоритм решения способом сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.
1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.
2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным
3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.
4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.
5. Сделать проверку решения.
Пример решения способом сложения
Для большей наглядности решим способом сложения следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:
{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;
Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной у. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.
{3*x+2*y=10 |*3
{5*x + 3*y = 12 |*2
Получим следующую систему уравнений:
{9*x+6*y = 30;
{10*x+6*y=24;
Теперь из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.
{3*(-6) + 2*y =10;
{2*y=28; y =14;
Получилась пара чисел x=6 и y=14. Проводим проверку. Делаем подстановку.
{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Как видите, получились два верных равенства, следовательно, мы нашли верное решение.