Главная » Ремонт и отделочные материалы » Онлайн решение симметрических систем уравнений. Решение симметрических систем уравнений

Онлайн решение симметрических систем уравнений. Решение симметрических систем уравнений

Главная > Решение

Рациональные уравнения и неравенства

I. Рациональные уравнения.

Линейные уравнения.

Системы линейных уравнений.

Возвратные уравнения.

Формула Виета для многочленов высших степеней.

Системы уравнений второй степени.

Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.

Однородные уравнения.

Решение симметрических систем уравнений.

Уравнения и системы уравнений с параметрами.

Графический метод решения систем нелинейных уравнений.

Уравнения, содержащие знак модуля.

Основные методы решения рациональных уравнений

II. Рациональные неравенства.

Свойства равносильных неравенств.

Алгебраические неравенства.

Метод интервалов.

Дробно-рациональные неравенства.

Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.

Неравенства с параметрами.

Системы рациональных неравенств.

Графическое решение неравенств.

III. Проверочный тест.

Рациональные уравнения

Функция вида

P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n ,

где n - натуральное, a 0 , a 1 ,…, a n - некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) - целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением.

Уравнение вида

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,

где P 1 (x), P 2 (x), … ,P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) - целые рациональные функции, называется рациональным уравнением.

Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) - многочлены (Q (x)  0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x)  0.

Линейные уравнения.

Уравнения вида ax+b=0, где a и b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если a0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b /a.

Если a=0; b0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

Если прямая проходит через точку с координатами X 0 и Y 0 , то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y 0 = aX 0 + b.

Пример 1.1 . Решить уравнение

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Пример 1.2. Решить уравнение

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Ответ: .

Пример 1.3 . Решить уравнение.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 – 9,

Ответ: Любое число.

Системы линейных уравнений.

Уравнение вида

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

где a 1 , b 1 , … ,a n , b -некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x 1 , x 2 , …, x n .

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:

система не имеет решений;

система имеет ровно одно решение;

система имеет бесконечно много решений.

Пример 2.4. решить систему уравнений

Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.

Из первого уравнения выражаем: x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений

X = (8 – 3y) / 2, 3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1.Ответ: (1; 2).Пример 2.5. Решить систему уравнений

Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).

Ответ: Решений нет.

Пример 2.6. решить систему уравнений

Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).

Ответ: Бесконечно много решений.

Пример 2.7. решить систему уравнений

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.

Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.

Таким образом, система приобрела треугольный вид

x + y – z = 2,

Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.Ответ: (1; 1; 0).Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

имеет бесконечно много решений? Решение. Из первого уравнения выражаем x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y. Ответ: 3.

Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c - некоторые числа (a0);

x - переменная, называется квадратным уравнением.

Формула решения квадратного уравнения.

Сначала разделим обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 на a - от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

выделим в левой части полный квадрат

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2)).

Для краткости обозначим выражение (b 2 – 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид

Возможны три случая:

если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (D) 2 . Тогда

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 , потому тождество принимает вид

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .

По формуле разности квадратов выводим отсюда:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– b – D) / 2a)).

Теорема: Если выполняется тождество

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),

то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 при X 1  X 2 имеет два корня X 1 и X 2 , а при X 1 = X 2 - лишь один корень X 1 .

В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

а тем самым и уравнение ax 2 + bx + c = 0, имеет два корня:

X 1 =(-b +  D) / 2a; X 2 = (-b -  D) / 2a.

Таким образом x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Обычно эти корни записывают одной формулой:

где b 2 – 4ac = D.

если число D равно нулю (D = 0), то тождество

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

принимает вид x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .

Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X 1 = – b / 2a

3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax 2 + bx + c = 0.

Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант

D = b 2 – 4ac.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:

X 1 =(-b + D) / (2a); X 2 = (-b - D) / (2a).

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

b = 0; c  0; c / a <0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

Корни квадратного уравнения общего вида ax 2 + bx + c = 0 находятся по формуле

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называется приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение обозначают так:

x 2 + px + q = 0.

Теорема Виета.

Мы вывели тождество

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),

где X 1 и X 2 - корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c =0. Раскроем скобки в правой части этого тождества.

x 2 + (b / a)x + (c / a) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 = x 2 – (x 1 + x 2)x +x 1 x 2 .

Отсюда следует, что X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a. Мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 1603):

Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X, взятому c противоположным знаком и делённому на коэффициент при X 2 ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, делённому на коэффициент при X 2 .

Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства

X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a,

то числа X 1 и X 2 являются корнями квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.

Замечание. Формулы X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет один корень X 1 кратности 2, если положить в указанных формулах X 2 = X 1 . Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ax 2 + bx +c = 0 имеет два совпадающих друг с другом корня.

При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения

(1 / X 1) + (1/ X 2)= (X 1 + X 2)/ X 1 X 2 ;

X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 – 2 X 1 X 2 ;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 = (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 = ((X 1 + X 2) 2 – 2X 1 X 2) / X 1 X 2 ;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 – X 1 X 2 + X 2 2) =

= (X 1 + X 2)((X 1 + X 2) 2 – 3X 1 X 2).

Пример 3.9. Решить уравнение 2x 2 + 5x – 1 = 0.

Решение. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.

Ответ: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.

Пример 3.10. Решить уравнение x 3 – 5x 2 + 6x = 0

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x(x 2 – 5x + 6) = 0,

отсюда x = 0 или x 2 – 5x + 6 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем X 1 = 2 , X 2 = 3.

Ответ: 0; 2; 3.

Пример 3.11.

x 3 – 3x + 2 = 0. Решение. Перепишем уравнение, записав –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0, а теперь группируемx(x 2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1)(x(x + 1) – 2) = 0,x – 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x – 2 = 0, x 2 = – 2, x 3 = 1.Ответ: x 1 = x 3 = 1, x 2 = – 2.Пример 3.12. Решить уравнение7

Введение Проблема моего проекта заключается в том, что для успешной сдачи ЕГЭ требуется умение решать различные системы уравнений, а в курсе средней школы им отведено недостаточно времени, необходимого познать этот вопрос глубже. Цель работы: подготовиться к успешной сдачи ЕГЭ. Задачи работы: Расширить свои знания в области математики, связанные с понятием «симметрия». Повысить свою математическую культуру, используя понятие «симметрия» при решении систем уравнений, называемых симметрическими, а также других задач математики.

Понятие симметрии. Симме́три́я - (др.-греч. συμμετρία), в широком смысле - неизменность при каких-либо преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы. Двусторонняя симметрия означает, что право и лево относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Решение задач при помощи симметрии. Задача №1 Двое по очереди кладут одинаковые монеты на круглый стол, причём монеты не должны накрывать друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Иначе говоря, у какого из игроков есть выигрышная стратегия?)

Способы решения симметрических систем. Симметрические системы можно решать методом замены переменных, в роли которых выступают основные симметрические многочлены. Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = х + у, v = ху.

Пример №2 3 х 2у – 2ху + 3ху 2 = 78, 2х – 3ху + 2у + 8 = 0 С помощью основных симметрических многочленов система может записана в следующем виде 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8. Выражая из второго уравнения u = и подставляя его в первое уравнение, получим 9v2– 28v – 156 = 0. Корни этого уравнения v 1 = 6 и v 2 = - позволяют найти соответствующие им значения u1 = 5, u2= - из выражения u = .

Решим теперь следующую совокупность систем Решим теперь следующую совокупность систем х + у = 5, и х + у = - , ху = 6 ху = - . х = 5 – у, и у = -х - , ху = 6 ху = - . х = 5 – у, и у = -х - , у (5 – у) = 6 х (-х -) = - . х = 5 – у, и у = -х - , у 1= 3, у 2 =2 х 1 = , х 2 = - х 1 = 2, х 2 = 3, и х 1 = , х 2 = - у 1= 3, у 2 =2 у 1 = - , у 2= Ответ: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

Теоремы, используемые при решении симметрических систем. Теорема 1. (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от двух переменных представим в виде функции от двух основных симметрических многочленов Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция двух переменных φ (u, v), что

Теорема 2. (о симметрических многочленах) Теорема 2. (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов: Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция трёх переменных θ (u, v, w), что

Более сложные симметрические системы – системы, содержащие модуль: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y – 1 | = 2. Рассмотрим данную систему отдельно при х < 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

б) при х ≤ у < 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у > х) система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 + у – 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х – у = - 2, откуда находим х 1 = - 3, у 1 = - 1, х 2 = - 1, у 2 = 1. Вторая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. е. является решением данной системы.

Если х ≥ 1, то: Если х ≥ 1, то: а) х > у и у < 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х > у и у ≥ 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 + у – 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 4, откуда находим х = 1, у = 3. Эта пара чисел не принадлежит рассматриваемой области;

в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система принимает вид в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система принимает вид - х + у + у 2 = 3, х – 1 + у – 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 4, откуда находим х 1 = 5 + √8, у 1 = - 1 - √8; х 2 = 5 - √8, у 2 = - 1 + √8. Эти пары чисел не принадлежат рассматриваемой области. Таким образом, х 1 = - 1, у 1 = 1; х 2 = 1, у 2 = - 1. Ответ: (- 1; 1); (1; - 1).

Заключение Математика развивает мышление человека, учит посредством логики находить разные пути решения. Так, научившись решать симметрические системы, я поняла, что использовать их можно не только для выполнения конкретных примеров, но я для решения разного рода задач. Я думаю, что проект может принести пользу не только мне. Для тех, кто так же захочет ознакомиться с этой темой, моя работа будет являться хорошим помощником.

Список используемой литературы: Башмаков М. И., «Алгебра и начала анализа», 2-е издание, Москва, «Просвещение», 1992, 350 стр. Рудченко П. А., Яремчук Ф. П., «Алгебра и элементарные функции», справочник; издание третье, переработанное и дополненное; Киев, Наукова, Думка, 1987, 648 стр. Шарыгин И. Ф., « Математика для школьников старших классов», Москва, издательский дом «Дрофа», 1995, 490 стр. Интернет-ресурсы: http://www.college.ru/

Работа может использоваться для проведения уроков и докладов по предмету "Математика"

Готовые презентации по математике используют в качестве наглядных пособий, которые позволяют учителю или родителю продемонстрировать изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показать примеры по решению задач и уравнений, а также проверить знания. В данном разделе сайта можно найти и скачать множество готовых презентаций по математике для учащихся 1,2,3,4,5,6 класса, а также презентации по высшей математике для студентов ВУЗов.

− 4 1+ 4

−6

27≡ 0,

−4 x +4 y +27

+(y +6 )

x = 1, x

(x − 1 )

= −6.

y = −6

Заметим, что решение второго уравнения – это ещё не решение системы. Полученные числа необходимо подставить в оставшееся первое уравнение системы. В данном случае после подстановки получаем тождество.

Ответ: (1, – 6).♦

§5. Однородные уравнения и системы
Функция f (x ,y )	называется	однородной		k , если
f (tx, ty) = tk f(x, y) .	Например, функция f (x ,y ) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2
является однородной степени 4, т. к.		f (tx, ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx ) 2 (ty ) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2 ) . Уравнениеf (x ,y ) = 0, где				f (x, y) –

однородная функция, называется однородным. Оно сводится к уравне-

нию с одним неизвестным, если ввести новую переменную t = x y .

f (x, y) = a,

Система с двумя переменными g (x , y ) = b , гдеf (x ,y ) ,g (x ,y ) –

однородные функции одной и той же степени, называется однородной. Если ab ≠ 0 , умножим первое уравнение наb , второе – наa и вы-

чтем одно из другого – получим равносильную систему

bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.

Первое уравнение заменой переменных t =

(или t =

) сведётся к

уравнению с одним неизвестным.

Если a = 0

(b = 0) , то уравнениеf (x ,y ) = 0(g (x ,y ) = 0) заменой

переменных t =

(или t =

) сведётся к уравнению с одним неизвест-

− xy +y

21 ,

Пример 20. (МГУ, 2001, химфак) Решите систему

− 2xy + 15= 0.

2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы

− xy +y 2 =21,

− xy +y 2

y2 − 2 xy

−2 xy = −15

2xy = − 15

x ≠ 0,y ≠ 0;

19 ± 11

5x 2 − 19xy + 12y 2 = 0 5

− 19

12 = 0

−2 xy = −15

x = 3 y,

y = ±5.

3 ) ,

(− 3 3;−

3 ) ,(4; 5) ,

(− 4;− 5) .♦

§6. Симметрические системы

f (x, y)

называется

симметрической,

f (x, y) = f(y, x) .

f (x, y) = a

Система уравнений вида

где f (x ,y ) ,g (x ,y ) – симмет-

g (x, y) = b,

рические, называется симметрической системой. Такие системы реша-

ются чаще	всего с помощью введения новых	переменных
x + y= u, xy

x 3+ x 3y 3+ y 3= 17,

Пример 21. Решите систему уравнений

x + xy+ y= 5 .

♦ Эта алгебраическая (симметрическая) система, обычно она решается заменойx + y = u ,xy = v . Заметив, что

x 3+ x 3y 3+ y 3= (x + y ) (x 2− xy + y 2) + x 3y 3=

= (x+ y) ((x+ y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u(u2 − 3 v) + v3 ,

перепишем систему в виде

2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы

− 3 uv+ v

u = 5 − v,

6 =0

V =5

−5 v

v = 3, u= 2

(в старых переменных)

x + y= 2,

x =2 −y ,

xy = 3,

y 2 − 2y + 3= 0

x + y= 3,

x = 3 − y,

x = 2,y = 1,

y −3 y +2 =0

x = 1,y = 2.

xy = 2,

Ответ: (2;1 ) ,

(1; 2) .♦

Литература

1. С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс;

2. «Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако», 2011;

3. Журнал «Потенциал» №№1 –2 за 2005 г – статьи С. И. Колесниковой «Иррациональные уравнения» и «Иррациональные неравенства»;

4. С. И. Колесникова «Иррациональные уравнения», Москва, 2010,

ООО«Азбука»;

5. С. И. Колесникова «Иррациональные неравенства », Москва, 2010, ООО«Азбука»;

6. С. И. Колесникова «Уравнения и неравенства, содержащие модули», Москва, 2010, ООО«Азбука».

Контрольные вопросы

1(2). Найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все решения неравенства 5x + 1≥ 2(x − 1) .

2(2). Решите неравенствоx 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 (не требуется решать кубическое уравнение, т. к. справа и слева есть множительx − 2).

3(2). Решите неравенство 2− x ≥ x − 3.

4(2). Найдите наименьшую длину промежутка, которому принадле-

жат все решения неравенства	x2 + 5 x− 84	≤ 0 .
	(x + 13 )(x + 14 )

5(3). Найдите сумму квадратов целочисленных решений неравенства

2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы

4 −x −8 +x ≤x +6 .

6(3). Решите неравенство 5+ x − 8− x ≤ 3− x .

7(3). Решите неравенство	− x 3 −x −1		≤ x .
				9 − 4x − (x + 3) )

8(3). Решите неравенство	4 −x −(x +2 ) )(				≤ 0.
		(x + 1 )(x − 2 )(x − 3 )

9(4). Найдите наименьшую длину промежутка, которому принадле-

жат все решения неравенства
	x + 5	x + 2		144 − x < 0.


	X −2	4 x −5	6x − 6
	X −2	4 x −5	6x − 6

10(2). Найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все решения неравенства 8x − 8≤ 32+ 4x − x 2 .

11(4). Найдите сумму квадратов всех целочисленных решений нера-

2(2). Найдите наименьшую длину промежутка, который содержит
	(x − 1 )3 (x + 3 )
все решения неравенства				≤ 0 .
	2x − 1	x − 2	) (x − 1 )

3(2). Решите неравенство

4 (x− 3 ) 4 ≥ 4 (x− 7 ,5 ) 4 .

4(4). Решите неравенство

x2 + 3 x− 4

x 2− 16

2x 2 + 3x − 20

5(3). Решите неравенство(x 2

X +1 ) 2 −2 x 3 +x 2 +x −3 x 2

≥ 0 .

венства 4 − 2x − 1≤ 3.

Задачи

− 5x + 6+ 9− 2x − 5

2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы

7(4). Найдите все значения параметра

a , при каждом из которых

функция f (x ) = x 2 + 4x +

x 2−

x − 1

− a принимает только

неотрица-

тельные значения.

8(4). Решите уравнение4 x − 3

x − 1

5x + 14− 3

5x + 14− 1

9(4). Решите уравнение

x 2− 5 +

x 2 −3 =x +1 +

x + 3 .

24 − x 2

9 2 x

10(3). Решите неравенство

≥ 0 .

x2 − 4 7 x− 10

11(3). Три гонщика стартуют одновременно из одной точки круговой трассы и едут с постоянными скоростями в одном направлении. Первый гонщик впервые догнал второго, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально противоположной старту, а через полчаса после этого он вторично, не считая момента старта, догнал третьего гонщика. Второй гонщик впервые догнал третьего через 3 часа после старта. Сколько кругов в час делает первый гонщик, если второй проходит круг не менее, чем за двадцать минут?

Цели урока:

образовательная: обучение решению систем уравнений, содержащих однородное уравнение, симметрических систем уравнений;
развивающая : развитие мышления, внимания, памяти, умения выделять главное;
воспитательная: развитие коммуникативных навыков.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Используемые технологии обучения:

работа в группах;
проектный метод.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

За неделю до урока учащиеся получают темы творческих заданий (по вариантам).
I вариант. Симметрические системы уравнений. Способы решения .
II вариант. Системы, содержащие однородное уравнение. Способы решения .

Каждый ученик, используя дополнительную учебную литературу, должен найти соответствующий учебный материал, подобрать систему уравнений и решить её.
По одному учащемуся от каждого варианта создают мультимедийные презентации по теме творческого задания. Учитель при необходимости проводит консультации для учащихся.

I. Мотивация учебной деятельности учащихся

Вступительное слово учителя
На предыдущем уроке мы рассматривали решение систем уравнений методом замены неизвестных. Общего правила выбора новых переменных не существует. Однако, можно выделить два вида систем уравнений, когда есть разумный выбор переменных: